沈 鑫，鄒德旋，張 強(qiáng)，2

1.江蘇師范大學(xué) 電氣工程及自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 徐州221116

2.徐州開放大學(xué) 信息技術(shù)與電氣工程學(xué)院，江蘇 徐州221000

1 引言

差分進(jìn)化（Differential Evolution，DE）算法[1]是由Storn和Price提出的一種簡(jiǎn)單高效的進(jìn)化算法，本質(zhì)上是一種隨機(jī)搜索技術(shù)，它不要求數(shù)學(xué)模型具有連續(xù)性和可微性，因此具有良好的適用性。近年來，DE算法在電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)調(diào)度[2]、約束優(yōu)化[3]、車間調(diào)度[4]等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。

與遺傳算法和粒子群算法類似[5-6]，DE算法也不能保證準(zhǔn)確及時(shí)地找到全局最優(yōu)解，特別是解決高維、非線性、動(dòng)態(tài)等復(fù)雜問題時(shí)表現(xiàn)得更為明顯。為此，許多國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)DE算法提出了各種改進(jìn)，這些改進(jìn)研究主要集中在以下幾方面：一是對(duì)控制參數(shù)調(diào)整的研究。Coelho等[7]介紹了一種基于高斯概率分布、伽瑪分布和混沌序列的自適應(yīng)縮放因子和交叉概率，有效避免了種群陷入局部最優(yōu)。Wang等[8]動(dòng)態(tài)調(diào)整縮放因子和交叉概率，平衡了算法的全局搜索和局部搜索。二是對(duì)變異策略的研究。歐陽海濱等[9]對(duì)兩個(gè)不同特性的變異策略隨機(jī)選擇并加以小概率擾動(dòng)。Islam等[10]使用了新的變異策略DE/current-to-gr_best/1，相比于變異算子DE/current-to-best/1，新算子兼顧了算法收斂的快速性和可靠性。三是對(duì)引入優(yōu)良機(jī)制的研究。Guo等[11]建立外部存檔去儲(chǔ)存每代進(jìn)化成功的個(gè)體，幫助種群跳出局部最優(yōu)。Tian等[12]提出一種重新開始機(jī)制增強(qiáng)了種群多樣性。四是對(duì)混合算法的研究?；旌螪E算法和粒子群優(yōu)化算法（Particle Swarm Optimization，PSO）[13]，混合DE算法和和聲搜索算法（Harmony Search，HS）[14]。以上改進(jìn)措施改善了DE的優(yōu)化性能，但在高維和動(dòng)態(tài)問題下，算法易發(fā)生早熟收斂現(xiàn)象，且收斂精度較低。

為了增強(qiáng)算法在低、中、高維和動(dòng)態(tài)問題下的收斂性能，使優(yōu)化結(jié)果更接近或找到全局最優(yōu)值，提出了采用雙變異策略的自適應(yīng)差分進(jìn)化算法（Adaptive Differential Evolution algorithm using Double mutation strategies，DADE）。該算法改進(jìn)了交叉概率和變異策略，并引入種群相似度和中心解去產(chǎn)生變異個(gè)體。7個(gè)測(cè)試函數(shù)和3個(gè)電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題的實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，DADE算法與其他算法相比優(yōu)化性能更好。

2 標(biāo)準(zhǔn)差分進(jìn)化算法

差分進(jìn)化算法的基本思想是首先在搜索空間內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生初始種群，然后進(jìn)行變異、交叉、選擇操作，不斷迭代更新種群。DE算法的步驟如下：

（1）初始化種群

（2）變異

DE算法利用一個(gè)確定的變異策略得到變異個(gè)體vi(g+1)。通常DE算法中最常用的變異策略有如下幾種[15]。

①變異策略DE/rand/1

②變異策略DE/best/1

③變異策略DE/rand-to-best/1

④變異策略DE/current-to-best/1

其中，F(xiàn)為縮放因子；r0、r1、r2表示[ ]1,NP上兩兩互不相同的隨機(jī)整數(shù)并且均不等于i；xi(g)表示第g代的第i個(gè)體；xbest(g)表示第g代的最優(yōu)個(gè)體。

（3）交叉

DE算法將目標(biāo)個(gè)體xi(g)和變異個(gè)體vi(g+1)進(jìn)行交叉操作得到實(shí)驗(yàn)個(gè)體ui(g+1)=(u1.i(g+1),u2.i(g+1),…,uD.i(g+1))。

其中，CR為交叉概率；jr表示上的隨機(jī)整數(shù)。

（4）選擇

DE算法是基于貪婪原則選擇下一代個(gè)體，即保留優(yōu)秀個(gè)體，淘汰劣質(zhì)個(gè)體，對(duì)于最小化問題，適應(yīng)度值越小，表示個(gè)體越優(yōu)秀。

其中，xi(g+1)表示第g+1代的第i個(gè)體。

3 采用雙變異策略的自適應(yīng)差分進(jìn)化算法

標(biāo)準(zhǔn)DE算法進(jìn)化前期，個(gè)體間差異較大，種群多樣性豐富，但算法的開發(fā)能力弱。隨著迭代次數(shù)的增加，個(gè)體間的差異逐漸變小，種群多樣性降低，容易陷入局部最優(yōu)。為此學(xué)者們從不同角度對(duì)算法做了大量的改進(jìn)研究。借鑒學(xué)者們的研究，這里對(duì)DE算法的變異策略和交叉概率做如下的改進(jìn)。

3.1 基于種群相似度和中心解的雙變異策略

3.1.1 種群相似度和中心解

由于當(dāng)前種群多樣性與算法的搜索能力密切相關(guān)，一些學(xué)者通過定義種群中所有個(gè)體聚集程度的指標(biāo)來判斷當(dāng)前種群多樣性的優(yōu)劣，從而決定是否執(zhí)行某種操作。湯偉等[16]定義群體相似度系數(shù)來判斷種群的多樣性，該群體相似度系數(shù)由種群中個(gè)體適應(yīng)度值與當(dāng)前最優(yōu)適應(yīng)度值的相似程度來表示，并且通過該系數(shù)來決定當(dāng)前采用哪種變異策略更有利于種群搜索。王叢佼等[17]定義群體適應(yīng)度值方差來反映種群中所有個(gè)體聚集程度。借鑒前人的研究，新算法使用了一種新的種群相似度指標(biāo)μ(g)，通過定義當(dāng)前種群的平均適應(yīng)度值與當(dāng)前最優(yōu)適應(yīng)度值的相似程度來間接衡量種群多樣性。中心解源自于Liu等[18]提出的中心粒子群優(yōu)化算法。中心解和種群相似度指標(biāo)μ(g)表達(dá)式如下：

其中，xcenter(g)表示第g代的中心解；faver(g)(faver(g)=表示第g代的平均適應(yīng)度值；f(xworst(g))和f(xbest(g))分別表示第g代最差解和最優(yōu)解的適應(yīng)度值；μ(g)表示第g代的種群相似度，μ(g)→1，種群相似度低多樣性好，μ(g)→0，種群相似度高多樣性差。

3.1.2 基于中心解的變異策略

DE算法的變異策略影響著種群多樣性。正如第2章呈現(xiàn)的常用變異策略，DE/rand/1保證了種群多樣性，與之相反，DE/best/1、DE/rand-to-best/1、DE/current-to-best/1增強(qiáng)了算法的開發(fā)能力，但使種群多樣性快速下降，從而不利于算法對(duì)搜索空間的充分探測(cè)。不同于上述4種常用變異策略，這里提出了一種基于中心解的變異策略DE/center-to-rand/1，該策略融入了中心解xcenter(g)，保證了種群多樣性，它的表達(dá)式如下：

其中，λ是一個(gè)局部參數(shù)，表示隨機(jī)個(gè)體xr0(g)向xcenter(g)移動(dòng)的步長(zhǎng)，這里取0.1。

3.1.3 雙變異策略

在進(jìn)化過程中，為了平衡算法的探測(cè)和開發(fā)能力，加強(qiáng)算法的全局搜索。一些學(xué)者們提出了新的變異策略。Zhang等[19]采用新變異策略DE/current-to-pbest/1，在該策略中使用xpbest(g)個(gè)體代替DE/current-to-best/1中的xbest(g)個(gè)體，xpbest(g)是在種群最優(yōu)的若干個(gè)體中隨機(jī)選擇。Islam等[10]使用新變異策略DE/current-togr_best/1，在該策略中使用xgr_best(g)個(gè)體代替DE/currentto-best/1中的xbest(g)個(gè)體，首先在種群隨機(jī)選出部分個(gè)體，xgr_best(g)是這部分個(gè)體中的最優(yōu)個(gè)體。還有一些學(xué)者提出使用多變異策略的方式。Qin等[20]建立了一個(gè)變異策略候選池，對(duì)于每個(gè)目標(biāo)個(gè)體，根據(jù)歷史經(jīng)驗(yàn)從候選池中選擇一個(gè)變異策略。Yi等[21]使用兩種變異策略，每次迭代根據(jù)策略選擇概率選擇其中一個(gè)，優(yōu)秀個(gè)體選擇DE/current-to-best/1的概率大，增強(qiáng)了對(duì)優(yōu)秀個(gè)體的開發(fā)，劣質(zhì)個(gè)體選擇DE/rand/1的概率大，為了探測(cè)優(yōu)秀個(gè)體。借鑒前人的研究，這里采用兩種變異策略，根據(jù)當(dāng)前種群相似度選擇一個(gè)合適的變異策略，這兩種變異策略的選擇方式被表示如下：

其中，若μ(g)較小，則選擇DE/center-to-rand/1的概率大，有利于保證種群多樣性；反之，若μ(g)較大，則選擇DE/best/1的概率大，加速收斂且增強(qiáng)算法對(duì)搜索空間的開發(fā)。另外，縮放因子F對(duì)DE算法的性能有很大影響，通常在進(jìn)化過程中取固定值，然而這限制了算法的探測(cè)能力，為此在DADE算法中采用隨機(jī)縮放因子，即F在（0，1）區(qū)間上隨機(jī)取值，以便找到大量有潛力的個(gè)體。

3.2 自適應(yīng)交叉概率

取固定值的交叉概率CR雖然避免了參數(shù)選擇的麻煩，但它不適用于求解各種問題以及算法搜索的全部過程。為此學(xué)者們做了相關(guān)的研究。Yi等[21]提出一種自適應(yīng)交叉概率，交叉概率與個(gè)體一同編碼，對(duì)于更新成功的個(gè)體，它的交叉概率保持不變，否則，它的交叉概率將重新取值。這種自適應(yīng)機(jī)制有利于每代目標(biāo)個(gè)體更新成功，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)種群更新。Zhang等[19]根據(jù)所有更新成功個(gè)體的交叉概率產(chǎn)生下一代每個(gè)個(gè)體的交叉概率。不同于已有的研究，一種新的自適應(yīng)交叉概率被提出。首先本文新定義了一種個(gè)體優(yōu)劣指標(biāo)φi(g)(i=1,2,…,NP)。

其中，φi(g)表示第g代的第i個(gè)體的優(yōu)劣指標(biāo)，φi(g)→1，個(gè)體越差，φi(g)→0，個(gè)體越好。

每個(gè)個(gè)體的交叉概率具有向所有更新成功個(gè)體的交叉概率學(xué)習(xí)的能力，同時(shí)又能保持一定的原有交叉概率。產(chǎn)生每個(gè)個(gè)體交叉概率的表達(dá)式如下：

其中，SCR表示當(dāng)前所有成功個(gè)體交叉概率的集合，NSCR表示SCR中元素的個(gè)數(shù)；CRi(g)和CRi(g+1)分別表示第g代和第g+1代的第i個(gè)體的交叉概率；w表示權(quán)重，根據(jù)當(dāng)前個(gè)體優(yōu)劣決定向成功個(gè)體的交叉概率學(xué)習(xí)的比重，個(gè)體越優(yōu)秀，表明它的交叉概率越適合個(gè)體進(jìn)化，那么它的交叉概率保留到下一代的比重越高，這里權(quán)重w大于權(quán)重1-w，本文w取0.6。另外，在初始化和集合SCR為空時(shí)，所有個(gè)體的交叉概率在區(qū)間[CRmin,CRmax]內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生。

圖1為自適應(yīng)交叉概率的示意圖。

圖1 自適應(yīng)交叉概率示意圖

圖1描述了優(yōu)秀個(gè)體和劣質(zhì)個(gè)體的交叉概率產(chǎn)生方式。在圖中的概率下，劣質(zhì)個(gè)體的交叉概率繼承所有成功個(gè)體交叉概率的比重大于優(yōu)秀個(gè)體的交叉概率繼承所有成功個(gè)體交叉概率的比重；陰影豎線、橫線和空白部分表示CRpoor(g)、CRgood(g)或信息的比重，比如在概率φpoor(g)≥rand下，CRpoor(g+1)接收

的信息比重大，且接收CRpoor(g)的信息比重小，顯然，對(duì)于CRpoor(g+1)，陰影豎線所占比重大于空白部分；CRpoor(g)和CRgood(g)分別表示第g代劣質(zhì)個(gè)體和優(yōu)秀個(gè)體的交叉概率；CRpoor(g+1)和CRgood(g+1)分別表示第g+1代劣質(zhì)個(gè)體和優(yōu)秀個(gè)體的交叉概率；表示第g代所有更新成功個(gè)體交叉概率的平均值；φpoor(g)和φgood(g)分別表示第g代劣質(zhì)個(gè)體和優(yōu)秀個(gè)體的優(yōu)劣指標(biāo)，φpoor(g)≥rand和φgood(g)＜rand分別表示下一代劣質(zhì)個(gè)體和優(yōu)秀個(gè)體的交叉概率按圖中產(chǎn)生方式的概率。

3.3 算法實(shí)現(xiàn)流程圖

綜合以上對(duì)DE算法的改進(jìn)，DADE算法的流程如圖2。

4 電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)調(diào)度

電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)調(diào)度（Dynamic Economic Dispatch，DED）問題[22]是在某一特定調(diào)度周期內(nèi)滿足系統(tǒng)運(yùn)行約束條件下優(yōu)化發(fā)電機(jī)組間功率分配，使系統(tǒng)發(fā)電燃料費(fèi)用最小化的問題。DED是一類復(fù)雜時(shí)變的優(yōu)化問題，優(yōu)化DED除了尋找系統(tǒng)的最小發(fā)電燃料費(fèi)用，還需滿足系統(tǒng)運(yùn)行約束，以便得到的解是可行的。

圖2 DADE算法的流程圖

4.1 費(fèi)用函數(shù)

系統(tǒng)發(fā)電的費(fèi)用函數(shù)[23]通常是一個(gè)二次函數(shù)或二次函數(shù)和正弦函數(shù)的組合，這里考慮系統(tǒng)的閥點(diǎn)效應(yīng)，因此使用二次函數(shù)和正弦函數(shù)的組合構(gòu)成費(fèi)用函數(shù)。它的表達(dá)式如下：

其中，f（$）表示系統(tǒng)發(fā)電的總?cè)剂腺M(fèi)用；Cjt（$/h）表示第t時(shí)段機(jī)組j發(fā)電產(chǎn)生的燃料費(fèi)用；Pjt（MW）表示機(jī)組j在第t時(shí)段的輸出功率；Pminj（MW）表示機(jī)組j的最小輸出功率；T為調(diào)度時(shí)段數(shù)；D為發(fā)電機(jī)組總數(shù)；aj、bj和cj為機(jī)組j的發(fā)電燃料費(fèi)用系數(shù)；ej和fj為機(jī)組j的閥點(diǎn)效應(yīng)系數(shù)。

4.2 約束處理

DED的約束[23]被劃分為等式和不等式約束，等式約束指某一時(shí)段所有發(fā)電機(jī)組的輸出功率等于系統(tǒng)總的負(fù)載需求和傳輸損耗之和，不等式約束包括機(jī)組有功出力約束、機(jī)組爬坡約束和禁止運(yùn)行區(qū)。

等式約束指的是電力平衡約束，它的表達(dá)式如下：

其中，PDt（MW）表示第t時(shí)段系統(tǒng)總的負(fù)載需求；PLt（MW）表示第t時(shí)段系統(tǒng)的傳輸損耗。它通常被表示如下[23]：

其中，Bji、B0j和B00為損耗系數(shù)。

機(jī)組有功出力約束是指機(jī)組輸出功率的上下邊界，它被表示如下：

其中，Pminj（MW）和Pmaxj（MW）分別表示機(jī)組j的最小和最大輸出功率。

機(jī)組爬坡約束是指機(jī)組運(yùn)行時(shí)段改變時(shí)，機(jī)組的爬坡率不能超過最大升或降爬坡率，它被表示如下：

其中，Pjt-1（MW）表示第t-1時(shí)段機(jī)組j的輸出功率；URj和LRj分別表示機(jī)組j的最大升和降爬坡率。

禁止運(yùn)行區(qū)是指由于機(jī)器設(shè)備的物理限制，某些機(jī)組不能運(yùn)行的區(qū)間，它被描述如下：

通常處理約束的方法是罰函數(shù)法，但它對(duì)有些約束處理效果往往不佳，特別是對(duì)等式約束，甚至得不到可行解。這里使用了Zou等[2]處理約束的方法。該方法首先對(duì)不可行解進(jìn)行修復(fù)，然后使用罰函數(shù)法進(jìn)一步處理等式約束和禁止運(yùn)行區(qū)。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證算法的性能，將DADE算法用于優(yōu)化7個(gè)測(cè)試函數(shù)[24-25]和3個(gè)DED案例[26-28]，并且將優(yōu)化結(jié)果與幾種著名的DE算法和文獻(xiàn)中報(bào)道的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。3個(gè)DED案例分別是考慮傳輸損耗的5機(jī)組系統(tǒng)[26]、考慮傳輸損耗和禁止運(yùn)行區(qū)的5機(jī)組系統(tǒng)[26-27]和考慮傳輸損耗的10機(jī)組系統(tǒng)[28]，3個(gè)DED案例的詳細(xì)參數(shù)見文獻(xiàn)[26-28]，7個(gè)測(cè)試函數(shù)如表1所示。同時(shí)討論了DADE算法改進(jìn)策略、參數(shù)λ和w對(duì)算法性能的影響；將DADE算法中的雙變異策略與4種典型的變異策略進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)。所有實(shí)驗(yàn)都在Matlab8.3軟件上仿真，且實(shí)驗(yàn)的電腦配置為Intel?CoreTMi5-2450M CPU@2.50 GHz。

5.1 測(cè)試函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果與分析

將DADE算法與著名的DE算法MDE（Modified Differential Evolution）[8]、RMDE（Random Mutation Differential Evolution）[9]、SPS-DE（Differential Evolution with a Successful-Parent-Selecting framework）[11]和標(biāo)準(zhǔn)DE算法進(jìn)行比較。根據(jù)平均值、標(biāo)準(zhǔn)差和以顯著性水平為0.05的Wilcoxon rank-sum test指標(biāo)[2，29]得出DADE算法與對(duì)比算法性能的優(yōu)劣。其中，Wilcoxon rank-sum test指標(biāo)只能得出兩個(gè)算法是否有顯著性差異。若兩個(gè)算法無顯著性差異，則它們被標(biāo)記為“=”；若兩個(gè)算法有顯著性差異，則再根據(jù)平均值判斷孰優(yōu)孰劣，性能好的算法被標(biāo)記為“+”，相反，性能差的算法被標(biāo)記為“-”。關(guān)于參數(shù)的設(shè)置，MDE和RMDE算法的參數(shù)與對(duì)應(yīng)的文獻(xiàn)一致；SPS-DE算法中縮放因子F=0.5，交叉概率CR=0.9，Q=32，變異策略為DE/rand/1；標(biāo)準(zhǔn)DE算法中縮放因子F=0.5，交叉概率CR=0.9，變異策略為DE/rand/1；DADE算法中λ=0.1，w=0.6，CRmin=0.1，CRmax=1.1；對(duì)于所有測(cè)試函數(shù)的維數(shù)D分別取20、50和100維，最大迭代次數(shù)G=1 500,種群規(guī)模NP=100，各算法獨(dú)立運(yùn)行30次。優(yōu)化結(jié)果見表2，其中加粗字體表示該算法的平均值或標(biāo)準(zhǔn)差不劣于其他所有算法。

從表2中可以看出，除了20維的函數(shù)f7，對(duì)于其他低、中和高維下的測(cè)試函數(shù)，DADE算法性能明顯優(yōu)于其他4種DE算法。具體來說，除了20維的函數(shù)f7，其余不同維數(shù)下的函數(shù)，DADE算法的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差低于所有對(duì)比算法，說明DADE算法平均優(yōu)化性能和穩(wěn)定性好于它們。一般而言，對(duì)于不同算法求解同一個(gè)函數(shù)，如果某一算法的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差同時(shí)最小，那么該算法性能最佳，顯而易見，DADE算法對(duì)所有函數(shù)可以達(dá)到平均值和標(biāo)準(zhǔn)差同時(shí)最優(yōu)。對(duì)于20維的函數(shù)f7，每次運(yùn)行所有DE算法都能找到全局最優(yōu)解。根據(jù)Wilcoxon rank-sum test指標(biāo)，除了20維的函數(shù)f7，DADE算法與所有對(duì)比算法有顯著性差異，且所有對(duì)比算法劣于DADE算法，對(duì)于20維的函數(shù)f7，DADE算法與所有對(duì)比算法無顯著性差異，說明所有算法優(yōu)化20維函數(shù)f7的性能相當(dāng)。

表1 7個(gè)測(cè)試函數(shù)

表2 不同DE算法優(yōu)化測(cè)試函數(shù)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比

綜上所述，DADE算法對(duì)所有測(cè)試函數(shù)具有較強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力和較好的穩(wěn)定性。

為了直觀顯示DADE算法的迭代特性，這里選擇20維函數(shù)f1、50維函數(shù)f3和100維函數(shù)f4的迭代曲線，這3種曲線分別如圖3、圖4和圖5，橫坐標(biāo)表示迭代次數(shù)（Iteration number），縱坐標(biāo)表示平均函數(shù)值（Average function value）。

圖3 20維函數(shù)f1

圖4 50維函數(shù)f3

圖5 100維函數(shù)f4

從上面3個(gè)函數(shù)迭代曲線可以看出，DADE算法的收斂速度很快，并且在迭代的中后期迭代曲線始終比其他DE算法低，說明該算法擁有較強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力和較高的收斂精度。

5.2 DADE算法改進(jìn)策略作用分析

相較于標(biāo)準(zhǔn)DE算法，DADE算法改進(jìn)了交叉概率和變異操作，且使用了隨機(jī)F取代標(biāo)準(zhǔn)DE算法中固定值F，這里在DADE算法的結(jié)構(gòu)下討論改進(jìn)策略的作用。具體措施為將FDADE（DADE with Fix parameter）、

CDADE（DADE with Center solution）、RDADE（DADE with DE/rand/1）與DADE算法進(jìn)行比較實(shí)驗(yàn)。FDADE算法表示用固定值F和CR取代DADE算法中隨機(jī)F和自適應(yīng)CR，DADE算法的其他部分不變，在圖2中顯示為實(shí)施采用雙變異策略的變異操作和實(shí)施交叉操作中F和CR值固定，取消步驟自適應(yīng)調(diào)整交叉概率，其余步驟不變。CDADE算法表示用本文提出的基于中心解的變異策略取代DADE算法中雙變異策略，DADE算法的其他部分不變，在圖2中顯示為實(shí)施采用雙變異策略的變異操作變?yōu)閷?shí)施基于中心解的變異策略的變異操作，其余步驟不變。RDADE算法表示用變異策略DE/rand/1取代DADE算法中基于中心解的變異策略，DADE算法的其他部分不變，在圖2中顯示為實(shí)施采用雙變異策略的變異操作中變異策略在DE/rand/1和DE/best/1的動(dòng)態(tài)選擇，選擇條件依然是基于所提的當(dāng)前種群相似度，其余步驟不變。通過優(yōu)化結(jié)果的最小值和改進(jìn)率σk=mk/(m4+δ)(k=1,2,3)得出改進(jìn)策略的作用。m1、m2、m3和m4分別表示FDADE、CDADE、RDADE和DADE算法的最小值。為了防止分母為0，設(shè)置了一個(gè)足夠小的正數(shù)δ(δ=10-300)。σ1、σ2和σ3分別表示FDADE、CDADE、RDADE算法最小值與DADE算法最小值的比值。若σk(k∈{1,2,3})大于1，表明該改進(jìn)策略有利于提升DADE算法的性能，σk(k∈{1,2,3})值越大，表明該改進(jìn)策略在DADE算法中越有效；反之，若σk(k∈{1,2,3})小于1，表明引入該改進(jìn)策略將使DADE算法性能變差。該實(shí)驗(yàn)參數(shù)與50維下不同DE算法對(duì)比實(shí)驗(yàn)的參數(shù)一致，DADE算法中不同改進(jìn)策略作用的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3。

從表3中可以看出，對(duì)于所有函數(shù)FDADE算法的最小值均大于DADE算法的最小值，且改進(jìn)率σ1均大于1，說明新算法中控制參數(shù)的改進(jìn)是有益的。除了函數(shù)f7，DADE算法的最小值均好于CDADE和RDADE算法的最小值，且改進(jìn)率σ2和σ3均大于1，意味著雙變異策略和基于中心解的變異策略有利于增強(qiáng)算法的全局尋優(yōu)能力。另外，這3個(gè)算法優(yōu)化函數(shù)f7都能找到全局最優(yōu)解。根據(jù)改進(jìn)率σk(k=1,2,3)，控制參數(shù)的改進(jìn)對(duì)新算法性能的提升最明顯?？傊?，DADE算法的改進(jìn)策略都不同程度提升了DADE算法的性能。

5.3 變異策略性能分析

為了進(jìn)一步研究DADE算法中雙變異策略的作用，在該算法框架下，選擇4種流行的單變異策略（DE/rand/1，DE/best/1，DE/current-to-best/1，DE/rand-to-best/1）進(jìn)行對(duì)比，這些單變異策略分別替換DADE算法中雙變異策略，DADE算法的其他部分不變，也就是將圖2中實(shí)施采用雙變異策略的變異操作分別替換為實(shí)施這4種單變異策略的變異操作，其余步驟不變，對(duì)比結(jié)果如表4。該實(shí)驗(yàn)參數(shù)與50維下不同DE算法對(duì)比實(shí)驗(yàn)參數(shù)一致。

表3 不同改進(jìn)策略的作用

在表4中，最小值、標(biāo)準(zhǔn)差和AR指標(biāo)被用來評(píng)價(jià)不同變異策略的優(yōu)劣。AR表示平均排名。首先根據(jù)最小值和標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)，對(duì)于每個(gè)函數(shù)分別將所有變異策略進(jìn)行排名，值越小，排名越靠前。然后分別將每種變異策略在每個(gè)函數(shù)下的排名之和除以函數(shù)總數(shù)得到它們各自的平均排名，平均排名越低的變異策略性能越好，反之，平均排名越高的變異策略性能越差。顯而易見，不管對(duì)于最小值還是標(biāo)準(zhǔn)差，采用雙變異策略的DADE算法的AR值均最低，因此雙變異策略有利于增強(qiáng)算法的全局尋優(yōu)能力和穩(wěn)定性。

5.4 局部參數(shù)對(duì)算法性能的影響

DADE算法中有兩個(gè)局部參數(shù)λ和w，這里討論它們的取值對(duì)算法性能的影響。λ分別取值0.1、0.3、0.5、0.7和0.9，w分別取值0.6、0.7、0.8、0.9和1.0。其余實(shí)驗(yàn)參數(shù)與50維下不同DE算法對(duì)比實(shí)驗(yàn)的參數(shù)一致。取不同局部參數(shù)值的DADE算法的優(yōu)化結(jié)果如表5和表6。

根據(jù)表5和表6，最小值、標(biāo)準(zhǔn)差和AR指標(biāo)被用來評(píng)價(jià)參數(shù)λ和w對(duì)算法性能的影響。AR的含義與表4相同，對(duì)于參數(shù)λ，不管對(duì)于最小值還是標(biāo)準(zhǔn)差，λ=0.1下的AR值最小，表明λ=0.1是最恰當(dāng)?shù)?，在該值下DADE算法的全局尋優(yōu)能力和穩(wěn)定性達(dá)到最優(yōu)。對(duì)于參數(shù)w,w取0.6時(shí)最小值的平均排名最低，意味著在該值下DADE算法的全局尋優(yōu)能力最強(qiáng)，且在該值下標(biāo)準(zhǔn)差的平均排名較高。

綜上分析，合適的局部參數(shù)值有利于提高算法的優(yōu)化性能，同時(shí)局部參數(shù)的取值主要依靠實(shí)驗(yàn)得出，未來的工作是加強(qiáng)參數(shù)設(shè)置的理論研究。

5.5 電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題的優(yōu)化結(jié)果與分析

利用DADE、MDE[8]、RMDE[9]、SPS-DE[11]和標(biāo)準(zhǔn)DE算法優(yōu)化3個(gè)DED案例，所有算法優(yōu)化DED案例的約束處理方法相同，各算法獨(dú)立運(yùn)行30次，比較它們的最小值、平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。此外，與5.1節(jié)相同，采用Wilcoxon rank-sum test指標(biāo)[2，29]和平均值共同得出DADE算法與對(duì)比算法性能的優(yōu)劣。各算法優(yōu)化3個(gè)DED案例的種群規(guī)模和調(diào)度時(shí)段數(shù)分別為100和24，考慮傳輸損耗的5機(jī)組系統(tǒng)[26]和考慮傳輸損耗和禁止運(yùn)行區(qū)的5機(jī)組系統(tǒng)[26-27]的最大迭代次數(shù)為1 000，考慮傳輸損耗的10機(jī)組系統(tǒng)[28]的最大迭代次數(shù)為2 000，懲罰系數(shù)1010，其余參數(shù)同5.1節(jié)。各算法的優(yōu)化結(jié)果見表7。

表4 不同變異策略對(duì)比結(jié)果

表5 參數(shù)λ對(duì)算法性能的影響

表6 參數(shù)w對(duì)算法性能的影響

從表7中可以看出，對(duì)于3個(gè)DED案例，DADE算法的最小值和平均值均小于其他4種DE算法的最小值和平均值，甚至對(duì)于第一個(gè)DED案例，DADE算法的平均值比其他所有DE算法的最小值還小，因此，DADE算法的全局優(yōu)化能力和整體性能優(yōu)于它的所有競(jìng)爭(zhēng)者。另外，DADE算法優(yōu)化考慮傳輸損耗的5機(jī)組系統(tǒng)[26]的標(biāo)準(zhǔn)差最小，表明DADE算法優(yōu)化該案例的穩(wěn)定性較好，對(duì)于其他2個(gè)DED案例，DADE算法的標(biāo)準(zhǔn)差較大，說明DADE算法的穩(wěn)定性較差。根據(jù)統(tǒng)計(jì)性分析，DADE算法顯著性地優(yōu)于其他DE算法。

為了顯示所有DE算法的平均收斂特性，考慮傳輸損耗的5機(jī)組系統(tǒng)[26]、考慮傳輸損耗和禁止運(yùn)行區(qū)的5機(jī)組系統(tǒng)[26-27]和考慮傳輸損耗的10機(jī)組系統(tǒng)[28]的迭代曲線分別如圖6、圖7和圖8，橫坐標(biāo)表示迭代次數(shù)（Iteration number），縱坐標(biāo)表示平均燃料費(fèi)用（Average fuel cost（$））。

從圖6～圖8中可以看出，隨著迭代的進(jìn)行，DADE算法的平均收斂曲線大部分逐漸低于其他曲線，表明DADE算法的全局尋優(yōu)能力強(qiáng)于其他DE算法。從縱坐標(biāo)刻度范圍看，對(duì)于考慮傳輸損耗的5機(jī)組系統(tǒng)[26]和考慮傳輸損耗的10機(jī)組系統(tǒng)[28]，所有DE算法能快速找到可行區(qū)域。而對(duì)于考慮傳輸損耗和禁止運(yùn)行區(qū)的5機(jī)組系統(tǒng)[26-27]，MDE、RMDE和DADE算法能夠逐漸收斂到可行區(qū)域，但其他2種DE算法收斂到可行區(qū)域的速度比MDE、RMDE和DADE算法慢甚至無法收斂到可行區(qū)域，表明禁止運(yùn)行區(qū)使得算法找到可行解的難度變大。總之，DADE算法整體優(yōu)化性能優(yōu)于其他DE算法。

圖6 考慮傳輸損耗的5機(jī)組系統(tǒng)的迭代曲線

圖7 考慮傳輸損耗和禁止運(yùn)行區(qū)的5機(jī)組系統(tǒng)的迭代曲線

圖8 考慮傳輸損耗的10機(jī)組系統(tǒng)的迭代曲線

表7 不同DE算法優(yōu)化DED問題的對(duì)比結(jié)果

為了進(jìn)一步證明DADE算法的全局優(yōu)化能力，對(duì)DADE算法優(yōu)化DED問題的最小費(fèi)用(Costmin)與文獻(xiàn)中各種方法獲得的最小費(fèi)用進(jìn)行比較。除此以外，DED問題的約束違反量也被作為不同方法性能比較的指標(biāo)。約束違反量被用來判斷解的可行性，從而決定獲得的最小費(fèi)用是否有意義。通常文獻(xiàn)中很少列出相應(yīng)的約束違反量，這里將基于文獻(xiàn)中列出的最優(yōu)機(jī)組輸出功率分配計(jì)算出它們的約束違反量。對(duì)于考慮傳輸損耗的5機(jī)組系統(tǒng)[26]和考慮傳輸損耗的10機(jī)組系統(tǒng)[28]，它們的約束違反量包括機(jī)組有功出力約束違反量Vg、機(jī)組爬坡約束違反量Vr和電力平衡約束違反量Vpl。對(duì)于考慮傳輸損耗和禁止運(yùn)行區(qū)的5機(jī)組系統(tǒng)[26-27]，除了上面幾種約束違反量，還包括禁止運(yùn)行區(qū)約束違反量Vpoz。實(shí)際中等式約束難以完全滿足，因此設(shè)置等式約束違反量容許誤差來近似考慮解的可行性，它的值被設(shè)置為0.1。另外，不等式約束只有完全被滿足，解才認(rèn)為可行。DADE算法與其他文獻(xiàn)方法的對(duì)比結(jié)果如表8、表9和表10?！啊北硎疚墨I(xiàn)中沒有列出最優(yōu)機(jī)組輸出功率分配，因此無法計(jì)算出相應(yīng)的約束違反量。

表8 不同算法優(yōu)化考慮傳輸損耗的5機(jī)組系統(tǒng)的對(duì)比結(jié)果

表9 不同算法優(yōu)化考慮傳輸損耗和禁止運(yùn)行區(qū)的5機(jī)組系統(tǒng)的對(duì)比結(jié)果

從表8中可以看出，SOA-SQP[35]的最小費(fèi)用比DADE算法的最小費(fèi)用低，然而根據(jù)Vr和Vpl，SOA-SQP[35]所獲得的最優(yōu)解是不可行解，因此它的最小費(fèi)用缺乏實(shí)際意義。在其他方法中，DADE算法的最小費(fèi)用最低，且它的約束違反量滿足要求，因此DADE算法具有最好的優(yōu)化性能。所有方法嚴(yán)格滿足機(jī)組有功出力約束，APSO[30]、MSL[32]和SOA-SQP[35]存在機(jī)組爬坡約束違反量，因此它們的解不可行。AIS[31]的約束違反量滿足要求，因此AIS[31]的解可行。CMAES[33]、SOA-SQP[35]、Clona[36]和RMDE的Vpl大于違反量容許誤差，因此它們的解是不可行的?？傊谝欢ǔ潭壬辖獾目尚行员茸钚≠M(fèi)用值更重要，不管Costmin大小，可行解的最小費(fèi)用比不可行解的最小費(fèi)用更可取，當(dāng)兩個(gè)方法的解都可行，最小費(fèi)用低的方法性能更優(yōu)。

表10 不同算法優(yōu)化考慮傳輸損耗的10機(jī)組系統(tǒng)的對(duì)比結(jié)果

從表9中可以看出，LPSO-DVS[37]和RMDE的Vpoz值不等于0且較大，因此它們的解不可行。在所有方法中DADE算法可以獲得最小的Costmin值，且它的解可行，因此DADE算法的全局尋優(yōu)能力最好。

從表10中可以看出，HCRO[39]、IBFA[40]和RMDE的解不可行，在其他方法中，DADE算法可以獲得可取的最小燃料費(fèi)用，因此DADE算法優(yōu)化考慮傳輸損耗的10機(jī)組系統(tǒng)[28]最有效。

綜上所述，DADE算法對(duì)不同特性的DED問題優(yōu)化性能比著名的DE算法和文獻(xiàn)中的方法更好。

6 結(jié)束語

為了提高差分進(jìn)化算法的全局尋優(yōu)能力，提出了采用雙變異策略的自適應(yīng)差分進(jìn)化算法。新算法采用基于種群相似度和中心解的雙變異策略和自適應(yīng)交叉概率。DADE引入種群相似度來判斷當(dāng)前種群多樣性以便在DE/center-to-rand/1和DE/best/1變異策略中選擇當(dāng)前合適的變異策略，有效平衡了全局搜索和局部搜索。提出一種自適應(yīng)交叉概率，有利于種群個(gè)體向更新成功的個(gè)體移動(dòng)，提高算法收斂到全局最優(yōu)解的能力。首先對(duì)7個(gè)測(cè)試函數(shù)進(jìn)行仿真研究，結(jié)果表明，相比于其他DE算法，DADE算法具有更高的收斂精度。然后研究了3個(gè)不同特性的電力系統(tǒng)動(dòng)態(tài)經(jīng)濟(jì)調(diào)度問題，結(jié)果表明DADE算法的可行解比其他DE算法和文獻(xiàn)中所報(bào)道方法的解好。另外，DADE算法中引入了一些局部參數(shù)，而這些局部參數(shù)取值主要依靠實(shí)驗(yàn)得出，沒有相關(guān)理論的指導(dǎo)，而實(shí)際工程問題相對(duì)復(fù)雜，這就使得該算法的通用性在一定程度上下降。下一步的工作是加強(qiáng)參數(shù)設(shè)置的理論研究，同時(shí)將本文算法應(yīng)用到電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)調(diào)度以外的領(lǐng)域，如約束優(yōu)化[3]、車間調(diào)度[4]等。