裴東亮 楊洮 陳猛? 劉宇 徐文帥 張滿弓 姜恒? 王育人

1) (中國(guó)科學(xué)院力學(xué)研究所微重力重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100190)

2) (中國(guó)科學(xué)院大學(xué),北京 100049)

3) (武漢第二船舶設(shè)計(jì)研究院,武漢 430064)

具有良好可重構(gòu)性、良好缺陷兼容性及緊湊型的聲學(xué)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可能成為聲學(xué)發(fā)展中一個(gè)有前景的方向.本文設(shè)計(jì)了一種可調(diào)諧、應(yīng)用于空氣聲的二維寬帶復(fù)合蜂窩形晶格結(jié)構(gòu),其元胞擁有兩個(gè)變量:一個(gè)是中心圓的縮放參數(shù)s,另一個(gè)是“花瓣”圖案圍繞其質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)角度θ.研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)s為1.2,θ為±33°時(shí),在結(jié)構(gòu)的布里淵區(qū)中心點(diǎn)出現(xiàn)四重簡(jiǎn)并態(tài).在±33°兩側(cè),能帶會(huì)發(fā)生反轉(zhuǎn),體系經(jīng)歷拓?fù)湎嘧?同時(shí),結(jié)構(gòu)的相對(duì)帶隙寬帶逐漸增加,其中θ為0°和60°時(shí),相對(duì)帶寬分別為0.39和0.33.本研究還計(jì)算了由這兩種轉(zhuǎn)角的聲子晶體組成的拼合結(jié)構(gòu)的投影能帶,發(fā)現(xiàn)在其體帶隙中存在著邊界態(tài)并驗(yàn)證了此拓?fù)溥吔绲娜毕菝庖咛匦?最后通過(guò)變化s,構(gòu)建了一種非周期性雙狄拉克錐型的聲拓?fù)浣^緣體并驗(yàn)證了其缺陷免疫性.本研究的體系相對(duì)帶寬顯著超過(guò)已知體系,將為利用聲拓?fù)溥吔绲穆暡ㄆ骷⑿突蛳铝己玫幕A(chǔ).

1 引 言

量子霍爾效應(yīng)[1-4]與量子自旋霍爾效應(yīng)[5-8]的發(fā)現(xiàn)引起了凝聚態(tài)物理研究的新高潮,同時(shí)也將數(shù)學(xué)中的“拓?fù)洹备拍钜氲轿锢硌芯慨?dāng)中.2016年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)被授予“理論發(fā)現(xiàn)拓?fù)湎嘧兒屯負(fù)湎辔镔|(zhì)”方向[9,10],顯示出拓?fù)溥@一概念在當(dāng)今物理學(xué)中的重要性.具有拓?fù)湫再|(zhì)的材料有很多新穎的性質(zhì)[11-14],比如邊界的背散射抑制與無(wú)損傳輸?shù)仁沟闷湓陔娮訉W(xué)、聲學(xué)以及機(jī)械系統(tǒng)等領(lǐng)域存在巨大的應(yīng)用潛力.

拓?fù)溥吔鐟B(tài)首先發(fā)現(xiàn)于電子系統(tǒng)中,此后通過(guò)與電子類(lèi)比,學(xué)者發(fā)現(xiàn)此類(lèi)現(xiàn)象也會(huì)出現(xiàn)于光子系統(tǒng)[15-24].聲系統(tǒng)屬于玻色子系統(tǒng),其在本質(zhì)上不同于電磁系統(tǒng).所以對(duì)于聲學(xué)系統(tǒng),無(wú)法通過(guò)磁場(chǎng)來(lái)打破時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性.有學(xué)者通過(guò)引入旋轉(zhuǎn)的氣流或者引入聲學(xué)贗自旋的方式來(lái)模擬聲學(xué)系統(tǒng)中的“磁場(chǎng)”打破系統(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性,進(jìn)而形成聲學(xué)邊界態(tài)[25-27].Ni等[25]提出了一種聲學(xué)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),它通過(guò)在設(shè)計(jì)的聲環(huán)諧振器中使用循環(huán)流動(dòng)的空氣為聲音創(chuàng)建有效的測(cè)量磁場(chǎng),從而實(shí)現(xiàn)拓?fù)渎暡ňw.Chen和Wu[27]提出了一種正方形聲子晶體,然后同時(shí)打破結(jié)構(gòu)的時(shí)間反轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性和單位晶胞的幾何尺寸形成了可以調(diào)節(jié)的拓?fù)淠軒?也有學(xué)者利用調(diào)節(jié)超耦合環(huán)的耦合強(qiáng)度來(lái)實(shí)現(xiàn)受到拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊界態(tài)[28-30].Peng等[29]利用改進(jìn)性能的Floquet拓?fù)浣^緣體實(shí)現(xiàn)了聲波的低損耗、寬帶、單向傳播.此后,Peng等[30]通過(guò)調(diào)整波導(dǎo)晶格中的耦合強(qiáng)度來(lái)觸發(fā)拓?fù)湎嘧?進(jìn)而利用不同拓?fù)湎嗟慕Y(jié)構(gòu)構(gòu)建了受保護(hù)的邊界態(tài).此外,有學(xué)者構(gòu)造具有C3v對(duì)稱(chēng)性聲學(xué)系統(tǒng),從而在布里淵區(qū)的角點(diǎn)形成簡(jiǎn)并的狄拉克錐,然后通過(guò)旋轉(zhuǎn)散射體[31-34]或者調(diào)整共振空腔的尺寸[35,36],降低結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性至C3,發(fā)現(xiàn)此時(shí)狄拉克錐會(huì)打開(kāi)形成帶隙,進(jìn)而利用不同谷陳數(shù)的結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)了拓?fù)涔冗吔?也有學(xué)者通過(guò)類(lèi)比于電子系統(tǒng)中的石墨烯系統(tǒng),構(gòu)造聲學(xué)系統(tǒng)中具有C6v對(duì)稱(chēng)性的二維結(jié)構(gòu),從而在布里淵區(qū)的中心點(diǎn)形成四重簡(jiǎn)并的狄拉克錐,然后改變散射體的轉(zhuǎn)角、直徑等方式打開(kāi)簡(jiǎn)并態(tài),最后構(gòu)建具有拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊界[37-43].Zhang等[37]在一個(gè)簡(jiǎn)單的無(wú)流動(dòng)對(duì)稱(chēng)破碎的超材料晶格中實(shí)現(xiàn)了聲贗自旋多極態(tài),通過(guò)簡(jiǎn)單地收縮或擴(kuò)展超分子來(lái)調(diào)節(jié)分子間偶聯(lián)的強(qiáng)度可以誘導(dǎo)贗自旋偶極子和四極子之間的帶內(nèi)轉(zhuǎn)換效應(yīng)來(lái)引發(fā)拓?fù)湎嘧?Deng等[38]增加或減少中心原子的半徑,同時(shí)保留結(jié)構(gòu)整體的C6v對(duì)稱(chēng)性來(lái)實(shí)現(xiàn)布里淵區(qū)中心點(diǎn)處四重簡(jiǎn)并態(tài)的打開(kāi)與拓?fù)湎嘧兊陌l(fā)生.Zhang等[39]改變結(jié)構(gòu)的半徑和旋轉(zhuǎn)角度以實(shí)現(xiàn)贗自旋狀態(tài)之間的頻帶反轉(zhuǎn).Zhang等[40]通過(guò)將散射體從普通的三角形結(jié)構(gòu)調(diào)節(jié)到“三腿”結(jié)構(gòu),使帶寬大約增加到以前的1.5倍.接著作者利用此結(jié)構(gòu)構(gòu)建了寬帶的聲延遲線.Xia等[41]首次提出了基于蜂窩狀聲子晶體可編程聲拓?fù)浣^緣體概念,通過(guò)改變單元圓柱的直徑實(shí)現(xiàn)了聲子晶體的能帶反轉(zhuǎn),并將拓?fù)淦接古c非平庸聲子晶體分別定義為數(shù)字單元“0”和“1”.與傳統(tǒng)的聲拓?fù)浣^緣體不同,通過(guò)變換可編程聲拓?fù)浣^緣體的編碼,可以靈活地實(shí)時(shí)調(diào)控拓?fù)浣^緣體中的聲傳播路徑.最近,Han等[44]構(gòu)造了由兩個(gè)或多個(gè)不同形狀的原始單元組成的各種配置,顯示了非周期谷拓?fù)浣^緣體的實(shí)現(xiàn),為聲拓?fù)浣^緣體的實(shí)現(xiàn)提供了更多的可能性.然而現(xiàn)有的聲學(xué)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的相對(duì)帶隙寬度還有提高的空間,這對(duì)于設(shè)計(jì)對(duì)制造缺陷具有良好兼容性、緊湊型的聲學(xué)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)比較重要;同時(shí)也沒(méi)有學(xué)者研究基于蜂窩結(jié)構(gòu)的,在布里淵區(qū)中心具有四重簡(jiǎn)并態(tài)的非周期雙狄拉克錐型拓?fù)浣^緣體結(jié)構(gòu).

基于此,本文設(shè)計(jì)了一種二維的應(yīng)用于空氣聲的復(fù)合蜂窩形晶格結(jié)構(gòu)(CHL),其元胞具有縮放參數(shù)s (x方向擴(kuò)大為原來(lái)的倍,y方向縮小為原來(lái)的倍)與位于晶格頂點(diǎn)的散射體圍繞形心的轉(zhuǎn)角θ兩個(gè)變量.首先研究s=1.2、相對(duì)帶寬(帶隙寬度與帶隙中間頻率之比)為0.33的一種由不同θ的CHL拼接組成的寬帶拓?fù)浣^緣體的性質(zhì),然后使用s為0.8,1.0,1.2的三種CHL構(gòu)造了一個(gè)由“45×5”個(gè)混合聲子晶體構(gòu)成的非周期聲拓?fù)浣^緣體,研究了這種混合邊界的拓?fù)湫再|(zhì).研究發(fā)現(xiàn)s為1.2時(shí),轉(zhuǎn)角θ為0°與60°兩種聲子晶體構(gòu)成的邊界對(duì)直角、“Z”形角、亂序、缺失等缺陷有很好的魯棒性;s為0.8,1.0,1.2的三種結(jié)構(gòu)的混合邊界依然是受到拓?fù)浔Ｗo(hù)的,入射聲波能繞過(guò)亂序、缺失這些缺陷繼續(xù)無(wú)反射地傳播.

2 研究體系

2.1 體系的設(shè)計(jì)

CHL的元胞如圖1(a)所示,其最簡(jiǎn)布里淵區(qū)如圖1(b)中的綠色區(qū)域Γ-M-K所示.晶格常數(shù)a=43 mm,晶格基矢本文首先構(gòu)建一個(gè)六角形基本結(jié)構(gòu),然后在晶格中心取一半徑r1=6 mm的圓,再將此圓進(jìn)行s=1.2的縮放,即形成一個(gè)橢圓結(jié)構(gòu).然后將橢圓繞著自己的中心旋轉(zhuǎn)30°使得橢圓的水平軸指向六角形的一個(gè)角點(diǎn)b.再將此旋轉(zhuǎn)后的橢圓沿著頂點(diǎn)b與六角形中心o的連線移動(dòng),移動(dòng)距離為ob線段長(zhǎng)度的0.8倍.由于移動(dòng)的距離沒(méi)有達(dá)到ob的長(zhǎng)度,因此橢圓的中心并沒(méi)有與b點(diǎn)重合.再將橢圓繞著b點(diǎn)旋轉(zhuǎn)120°,240°,將三個(gè)相交的橢圓組合成一個(gè)整體,形成一個(gè)“類(lèi)三角”的花瓣圖形.然后將“花瓣”繞著o點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到六邊形的六個(gè)頂點(diǎn).然后在o點(diǎn)重新放置一個(gè)半徑r2=10 mm的圓,即可得到本體系的晶格元胞.此元胞“花瓣”的頂點(diǎn)朝向均與晶格的高對(duì)稱(chēng)方向重合,結(jié)構(gòu)整體具有C6v對(duì)稱(chēng)性.元胞中的“花瓣”形與位于中心的圓柱形結(jié)構(gòu)使用的是硬質(zhì)散射體,其與空氣的阻抗失配很大,因此在使用有限元軟件Comsol進(jìn)行模擬仿真的時(shí)候可以忽略結(jié)構(gòu)中剪切波的影響,研究結(jié)構(gòu)中的縱波傳播特性.

圖1 (a)正六邊形表示晶格的元胞,其中a1,a2是晶格基矢.在六邊形頂點(diǎn)的藍(lán)色“花瓣”形結(jié)構(gòu)與位于中心的圓形結(jié)構(gòu)表示位于空氣中的硬質(zhì)散射體;(b)晶格的最簡(jiǎn)布里淵區(qū)Γ-M-K;(c)晶格結(jié)構(gòu)的示意圖Fig.1.(a) The hexagon represents the cell of the lattice,where a1,a2 is the lattice basis vector,the blue “petal” shape at the apex of the hexagon and the circular structure at the center represent the hard scatterers surrounded by air;(b) the irreducible Brillouin zone Γ-M-K;(c) schematic diagram of crystal structure.

2.2 能帶反轉(zhuǎn)

根據(jù)量子系統(tǒng)中的規(guī)則,對(duì)于具有C6v對(duì)稱(chēng)性的晶格結(jié)構(gòu),在布里淵區(qū)的中心Γ點(diǎn)的本征態(tài)有2個(gè)二維不可約表示:E1和E2.二重簡(jiǎn)并的偶極子態(tài),對(duì)應(yīng)于 E1不可約表示,具有奇宇稱(chēng),簡(jiǎn)稱(chēng)為p態(tài),如圖2(a)中上面兩個(gè)插圖所示.二重簡(jiǎn)并的四極子態(tài),對(duì)應(yīng)于 E2不可約表示,具有偶宇稱(chēng),簡(jiǎn)稱(chēng)為d態(tài),如圖2(a)中下面兩個(gè)插圖所示.對(duì)于本文的聲子晶體,通過(guò)將每個(gè)“花瓣”繞著自己的中心旋轉(zhuǎn)一定的角度θ,發(fā)現(xiàn)在θ為±33°時(shí)Γ處的第2—5能帶發(fā)生簡(jiǎn)并,形成一個(gè)四重簡(jiǎn)并態(tài),即此時(shí)p態(tài)與d態(tài)形成簡(jiǎn)并.改變?chǔ)劝l(fā)現(xiàn)p態(tài)與d態(tài)在特定角度會(huì)發(fā)生反轉(zhuǎn),如圖2(c)所示.體系的p態(tài)與d態(tài)只是在θ為±33°時(shí)偶然地發(fā)生簡(jiǎn)并.其他角度時(shí)p態(tài)與d態(tài)分開(kāi),但是p態(tài)與d態(tài)仍然保持為雙重簡(jiǎn)并的狀態(tài).在 0—33°(—33°—0)的范圍內(nèi)d態(tài)所對(duì)應(yīng)的頻率低(高)于p態(tài)所對(duì)應(yīng)的頻率.在 33°—60° (—60°——33°)的范圍內(nèi) d 態(tài)所對(duì)應(yīng)的頻率高(低)于p態(tài)所對(duì)應(yīng)的頻率.也就是說(shuō)體系在±33°兩側(cè),經(jīng)歷了p,d態(tài)互換的能帶反轉(zhuǎn)過(guò)程.這種能帶反轉(zhuǎn)現(xiàn)象意味著拓?fù)湎嘧兊陌l(fā)生.

圖2 CHL不同轉(zhuǎn)角時(shí)的頻帶圖與其拓?fù)湎嘧?(a) θ=0°,其中下面兩幅插圖表示d態(tài)的聲壓場(chǎng)分布,上面兩幅插圖表示p態(tài)的聲壓場(chǎng)分布;(b) θ=60°,插圖表示p,d態(tài)的聲壓場(chǎng)分布;(c)結(jié)構(gòu)的拓?fù)湎鄨D,表示隨著轉(zhuǎn)角變化,頻帶發(fā)生反轉(zhuǎn);(d)不同轉(zhuǎn)角下帶隙的相對(duì)帶寬Fig.2.The band structures with different θ and its topological phase transition of the CHL:(a) θ=0°,in which the lower two illustrations show the sound pressure field distribution of the d state,and the upper two illustrations show the sound pressure field distribution of the p state;(b) θ=60°,in which the upper and lower illustrations show the sound pressure field distribution of the d and p states,respectively;(c) the topological phase diagram of the structure,indicating that the frequency band is reversed as the rotation angle changes;(d) the relative bandwidth of the band gap at different θ.

2.3 寬帶邊界態(tài)的選擇與構(gòu)建

對(duì)于CHL,當(dāng)轉(zhuǎn)角位于0—33°時(shí),d態(tài)的頻率位于p態(tài)的頻率之下(fd＜fp),導(dǎo)致(fd— fp)/2=M＜0,Cs=±[sgn(M)+sgn(B)]/2=±1 (B來(lái)自體系有效哈密頓量的二階微擾項(xiàng)的對(duì)角項(xiàng),且小于零[42]),屬于非平庸拓?fù)鋷禰13];當(dāng)轉(zhuǎn)角位于33°—60°時(shí),d態(tài)頻率位于p態(tài)頻率之上(fd＞fp),導(dǎo)致M＞0,Cs=0,屬于平庸拓?fù)鋷?從結(jié)構(gòu)的拓?fù)湎鄨D圖2(c)可知,轉(zhuǎn)角變化時(shí)結(jié)構(gòu)的帶隙寬帶也在變化,通過(guò)計(jì)算可以得到不同轉(zhuǎn)角所對(duì)應(yīng)的相對(duì)帶寬如圖2(d)所示.其中,θ=0°時(shí),Γ 點(diǎn)存在兩個(gè)二重簡(jiǎn)并態(tài),而且在它們之間存在很寬的帶隙(5284—7866 Hz),相對(duì)帶寬為39.3%.從圖2(a)的聲壓場(chǎng)分布圖中可以看出,位于較低頻率處的是雙重簡(jiǎn)并的d態(tài),較高頻率的是p態(tài),因此這個(gè)帶隙是非平庸的.分析θ=60°時(shí)元胞的聲壓場(chǎng)圖2(b)發(fā)現(xiàn),位于較低頻率處的是雙重簡(jiǎn)并的p態(tài),較高頻率的是d態(tài),因此這個(gè)帶隙是平庸的,其相對(duì)帶寬為33.4%.本文選擇相對(duì)帶寬為39.3%、θ=60°的CHL與相對(duì)帶寬為33.4%、θ=0°的CHL兩種聲子晶體構(gòu)成的邊界進(jìn)行研究.

2.4 自旋依賴(lài)的拓?fù)溥吔鐟B(tài)

選擇θ=60°的5層平庸型聲子晶體與θ=0°的5層非平庸型聲子晶體沿著ky方向拼接起來(lái),將其構(gòu)成的邊界稱(chēng)為Ⅰ型邊界,并計(jì)算了該結(jié)構(gòu)沿kx的投影帶結(jié)構(gòu),如圖3(a)所示;選擇θ=60°的10層平庸型聲子晶體與θ=0°的10層非平庸型聲子晶體沿著kx方向拼接起來(lái),將其構(gòu)成的邊界稱(chēng)為Ⅱ型邊界,如圖3(b)所示.從兩個(gè)不同方向的投影能帶圖中都發(fā)現(xiàn)了存在于體帶隙范圍內(nèi)的邊界態(tài),而且從邊界處的能流分布中可以發(fā)現(xiàn)其存在“自旋與動(dòng)量鎖定”的特性.從邊界態(tài)中可以看出:1)由于邊界上C6v對(duì)稱(chēng)性被破壞,導(dǎo)致邊界態(tài)并沒(méi)有完全占據(jù)體態(tài)的帶隙范圍,Ⅰ型邊界中6278—6448 Hz范圍依然存在禁帶,Ⅱ型邊界中6181—6612 Hz是禁帶;2)圖中青色箭頭大小和方向代表聲波能流的大小和方向(黑色箭頭是能流方向的示意圖),可以看出對(duì)于Ⅰ型邊界在kx為—0.04π/a的位置低頻點(diǎn)處的能流是逆時(shí)針向右傳播的,高頻點(diǎn)處的能流是順時(shí)針向左傳播的.而其能流的方向與0.04π/a處的能流的方向剛好相反.對(duì)于Ⅱ型邊界,在ky為的位置低頻點(diǎn)處的能流是順時(shí)針向左傳播,高頻點(diǎn)處的能流是逆時(shí)針向右傳播,與處的能流的方向剛好相反.所以,本研究利用不同轉(zhuǎn)角的CHL構(gòu)造了一種類(lèi)似于電子系統(tǒng)中QSHE的螺旋邊界態(tài).而且,由于此兩種聲子晶體具有較大的相對(duì)寬帶,所以使用較少的本體系即可觀察到受到拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊界態(tài).

2.5 拓?fù)溥吔绲拿庖呷毕萏匦?/h3>

拓?fù)溥吔绲囊粋€(gè)重要特點(diǎn)就是其對(duì)缺陷具有免疫性.拓?fù)溥吔鐚?duì)直角、“Z”形角與存在于邊界的缺失、亂序等具有免疫性,使得受到拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊界態(tài)能繞過(guò)這些缺陷幾乎沒(méi)有反射地進(jìn)行傳播.圖4(a)模擬的是使用幅值為1、f=6900 Hz的平面波從左側(cè)入射到一個(gè)具有直角與Z形角的邊界上的情況,從聲壓分布圖中發(fā)現(xiàn)聲波能沿著θ=60°與θ=0°的聲子晶體構(gòu)成的邊界順利地傳播過(guò)去.圖4(b)接著在圖4(a)的傳播路徑上引入亂序與缺失的缺陷,發(fā)現(xiàn)聲波也可以繞過(guò)這這些缺陷繼續(xù)向下傳播.圖4(c)是對(duì)比實(shí)驗(yàn),其表示的是聲波入射到單獨(dú)由θ=60°的聲子晶體構(gòu)成的與圖4(a)、圖4(b)相同大小的結(jié)構(gòu)上時(shí),聲壓的分布情況.圖4(d)是圖4(a)和圖4(c)結(jié)構(gòu)的聲強(qiáng)透射譜.聲強(qiáng)的探測(cè)位置選在邊界的出口附近,如圖4(b)中黃色區(qū)域內(nèi)黑線(output)所示,具體位置為灰色區(qū)域下0.081a,寬度為1.5a.從圖4(d)可以看出:對(duì)于圖4(c)結(jié)構(gòu),其聲強(qiáng)透射率在體態(tài)與帶隙范圍相差比較大,特別是在其帶隙內(nèi)聲能幾乎不能透過(guò)去;在圖4(a)和圖4(b)中,聲波依然能夠沿著邊界傳播到出口;不同頻率的透射聲波能量略有不同.由于圖4(a)和圖4(b)中的缺陷不同,導(dǎo)致兩者的透射率存在差異.本文所設(shè)計(jì)的邊界態(tài)是具有相對(duì)帶寬33.4%的寬帶結(jié)構(gòu),所以邊界態(tài)十分穩(wěn)定,能夠免疫文中的那些缺陷.這種寬帶結(jié)構(gòu)無(wú)論是在聲波隔離還是在聲波操控方面都具有很大的優(yōu)勢(shì),為實(shí)現(xiàn)聲波的靈活控制打下了良好的基礎(chǔ).

圖3 (a) Ⅰ型邊界沿kx方向的投影帶結(jié)構(gòu),圖中的灰色區(qū)域表示體態(tài),紅色點(diǎn)線表示邊界態(tài),兩側(cè)插圖表示θ=60°的5層平庸型聲子晶體與θ=0°的5層非平庸型聲子晶體沿著ky方向拼接起來(lái),構(gòu)成的超胞及a1,a2,b1,b2點(diǎn)的聲壓分布;(b) Ⅱ型邊界沿ky方向的投影帶結(jié)構(gòu),兩側(cè)插圖表示θ=60°的10層平庸型聲子晶體與θ=0°的10層非平庸型聲子晶體沿著kx方向拼接起來(lái),構(gòu)成的超胞及c1,c2,d1,d2點(diǎn)的聲壓分布,插圖中的黑色弧形箭頭表示邊界處的能流方向Fig.3.(a) The projection band structure of the type I edge along the kx direction.The gray area in the figure represents the bulk state,and the red dotted line represents the edge state.The illustrations on both sides indicate that the five-layer trivial phononic crystal with θ=60° and the five-layer nontrivial phononic crystal with θ=0° are spliced along the ky direction to form the supercell and the sound pressure distribution at a1,a2, b1,b2;(b) the projection band structure of the type II edge along the ky direction.The illustrations on both sides indicate that a 10-layer trivial phononic crystal with θ=60° and a 10-layer nontrivial phononic crystal with θ=0° are spliced together in the kx direction to form the supercell and the sound pressure distribution at points c1, c2,d1,d2.The black curved arrow in the illustration indicates the energy flow direction at the edge.

2.6 非周期雙狄拉克錐型拓?fù)浣^緣體

保持“花瓣”形整體結(jié)構(gòu)不變,改變 r1=6 mm圓的縮放參數(shù)s,并使用不同s的結(jié)構(gòu)構(gòu)造非周期雙狄拉克錐型拓?fù)浣^緣體.首先研究在保持角度θ=0°不變,s從0.7增加到1.7的情況下,元胞布里淵區(qū)中心點(diǎn)Γ處d,p態(tài)的頻率變化,結(jié)果如圖5(a)所示.隨著s的增加d,p態(tài)之間的帶隙寬度逐漸增加,并且沒(méi)有相變發(fā)生.此時(shí),計(jì)算可知,s為1.5,1.6時(shí),相對(duì)帶寬達(dá)到了0.52,0.56,超過(guò)了0.5.然后保持s不變,改變?chǔ)?發(fā)現(xiàn)這些結(jié)構(gòu)在θ為±33°兩側(cè)發(fā)生相變,與s=1.2時(shí)的拓?fù)渥兓嗨?s=0.8與s=1.0的相圖如圖5(b)和圖5(c)所示.

圖4 幅值為1,f=6900 Hz的平面波從左側(cè)入時(shí)結(jié)構(gòu)的聲壓分布及透射譜 (a)由θ=60°與θ=0°的聲子晶體的拼接結(jié)構(gòu)組成的混合聲子晶體,兩種聲子晶體的相接觸的邊界稱(chēng)為拓?fù)溥吔?左側(cè)的青色箭頭表示平面波入射,從圖中聲壓分布可以看出:聲波能夠繞過(guò)直角與Z形角沿著邊界進(jìn)行傳播;(b)在圖(a)的基礎(chǔ)上繼續(xù)引入亂序與缺失的缺陷,聲波依然能夠繞過(guò)這些缺陷傳播;(c)由θ=60°聲子晶體單獨(dú)構(gòu)成的結(jié)構(gòu),聲波不能傳播;(d)圖(a)—圖(c)結(jié)構(gòu)的聲強(qiáng)透射譜Fig.4.The sound pressure distribution and transmission spectrum of the structure when a plane wave is incident from the left side with amplitude 1 Pa and f=6900 Hz:(a) A mixed phononic crystal composed of a spliced structure of phononic crystals with θ=60° and θ=0°,and the edge between the two phononic crystals is called the topological edge.The cyan arrow on the left side indicates the plane wave incidence.It can be seen from the sound pressure distribution that the sound wave can propagate around the right angle and the Z-angle along the edge;(b) introduce disorder and cavity on the basis of Fig.(a),sound waves can still propagate around these defects;(c) a structure consisted of phononic crystals with θ=60° alone where sound waves cannot propagate;(d) sound intensity transmission spectra of the structures of Fig.(a)—Fig.(c).

使用s為0.8,1.0,1.2三種結(jié)構(gòu)構(gòu)造一個(gè)由“45×5”個(gè)混合聲子晶體構(gòu)成的非周期聲拓?fù)浣^緣體.其結(jié)構(gòu)如圖6(a)所示,右下角的插圖表示組成,其中A,B,C分別表示s為0.8,1.0,1.2三種不同的聲子晶體,數(shù)字 1,2分別代表 θ為 0°,60°兩種不同的轉(zhuǎn)角.研究中使用f=6900 Hz的平面波從右側(cè)入射,圖6(a)表示聲壓幅值的分布,從圖中可以看出聲壓主要分布在不同s參數(shù)聲子晶體的水平拼接位置附近,離開(kāi)此位置聲壓迅速衰減,這點(diǎn)從圖6(b)中也能得到.由此得出此處構(gòu)造的非周期性結(jié)構(gòu)能夠限制特定頻率的聲波沿著邊界傳播;圖6(b)表示x=20a處沿著y方向的聲壓幅值分布,其值經(jīng)過(guò)最大值歸一化;圖6(c)是在圖6(a)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步引入缺失與亂序的缺陷時(shí)結(jié)構(gòu)聲壓幅值的分布,從中可以看出聲波能夠繞過(guò)缺陷繼續(xù)向前傳播.在先前的工作中,由于使用相同原始單位單元的限制,并未實(shí)現(xiàn)非周期雙狄拉克錐型拓?fù)浣^緣體的構(gòu)建.本節(jié)使用不同s參數(shù)這種靈活簡(jiǎn)便、易于設(shè)計(jì)的方式實(shí)現(xiàn)了非周期的聲拓?fù)浣^緣體的設(shè)計(jì),為聲拓?fù)浣^緣體的構(gòu)建提供了新穎、多變的“原材料”.

圖5 (a) Γ處d,p態(tài)對(duì)應(yīng)的頻率值隨s的變化情況;(b) s=0.8時(shí)結(jié)構(gòu)的拓?fù)湎鄨D;(c) s=1.2時(shí)結(jié)構(gòu)的拓?fù)湎鄨DFig.5.(a) The frequency corresponding to the d and p states with the changes of the parameter s at Γ;(b) the topological phase diagram of the structure at s=0.8;(c) the topological phase diagram of the structure at s=1.2.

圖6 非周期拓?fù)浣^緣體結(jié)構(gòu)的聲壓分布 (a)為由s為0.8,1.0,1.2三種聲子晶體構(gòu)造的非周期聲拓?fù)浣^緣體組成及其在右側(cè)f=6900 Hz聲波入射下的聲壓幅值分布.中間的橫虛線表示水平拼接位置,豎虛線表示豎直拼接位置,第一、二幅插圖代表θ為0°,s為0.8,1.0時(shí),晶格的元胞.三種聲子晶體的具體位置如第三幅插圖所示,其中A,B,C分別表示s為0.8,1.0,1.2三種結(jié)構(gòu),數(shù)字1,2分別代表θ為0°,60°兩種不同的轉(zhuǎn)角,右側(cè)的青色箭頭代表平面波入射;(b)表示x=20a處沿著y方向的聲壓幅值分布,其值經(jīng)過(guò)最大值歸一化;(c)在圖(a)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步引入亂序與缺失的缺陷時(shí)結(jié)構(gòu)聲壓幅值的分布Fig.6.Sound pressure distribution of aperiodic topological insulator structure:(a) A periodic acoustic topological insulator composed of three phononic crystal structures with s=0.8,1.0,and 1.2 and its sound pressure amplitude distribution when sound wave with f=6900 Hz is incident from the right side.The horizontal dashed line in the middle indicates the horizontal stitching position,and the vertical dashed line indicates the vertical stitching position.The first and second insets represent the lattice cells with θ=0° and s of 0.8 and 1.0,respectively.The specific positions of the three phononic crystals are shown in the third illustration,where A,B,and C respectively represent s=0.8,1.0,and 1.2,and the numbers 1 and 2 represent θ=0° and 60°,respectively.The cyan arrow on the right indicates the incident plane wave;(b) the sound pressure amplitude distribution along the y direction at x=20a,and its value is normalized by the maximum value;(c) the distribution of the sound pressure amplitude when introducing disorder and cavity on the basis of Fig.(a).

3 結(jié) 論

設(shè)計(jì)了可以應(yīng)用于空氣聲的復(fù)合、寬帶蜂窩形周期聲拓?fù)浣^緣體及非周期雙狄拉克錐型拓?fù)浣^緣體.此結(jié)構(gòu)可以調(diào)節(jié)的參數(shù)為半徑r1=6 mm的圓的縮放參數(shù)s與位于六邊形頂點(diǎn)的散射體的轉(zhuǎn)角θ.首先固定s為1.2,改變散射體的旋轉(zhuǎn)角度θ進(jìn)行研究.通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)θ為±33°時(shí),在結(jié)構(gòu)的最簡(jiǎn)布里淵區(qū)中心點(diǎn)Γ點(diǎn)出現(xiàn)四重簡(jiǎn)并態(tài);在此θ兩側(cè),能帶會(huì)發(fā)生p,d態(tài)的反轉(zhuǎn),體系經(jīng)歷拓?fù)湎嘧?研究發(fā)現(xiàn)體系的相對(duì)帶寬在±33°兩側(cè)從0逐漸增大,其中θ為 0°與60°時(shí),相對(duì)帶寬分別為0.39與0.33.接著使用θ為0°的非平庸型聲子晶體與60°的平庸型聲子晶體構(gòu)建了兩種邊界,并計(jì)算了它們的投影帶結(jié)構(gòu).研究發(fā)現(xiàn)在體帶隙的頻率范圍內(nèi)存在自旋-動(dòng)量鎖定的單向傳輸邊界態(tài),而且此種邊界具有對(duì)直角、亂序、缺失等缺陷的魯棒性.接著本文改變s,發(fā)現(xiàn)元胞布里淵區(qū)中心點(diǎn)Γ處d,p態(tài)的頻率隨著s的增大逐漸增加,s增加到1.5時(shí)帶寬達(dá)到了0.52.接著使用s為0.8,1.0,1.2三種結(jié)構(gòu)構(gòu)造了一個(gè)由“45×5”個(gè)混合聲子晶體構(gòu)成的非周期雙狄拉克錐型拓?fù)浣^緣體,并發(fā)現(xiàn)其對(duì)亂序、缺失具有免疫性.綜上所述,本文在仿真時(shí)使用的是相對(duì)于空氣聲的硬質(zhì)散射體,其與空氣具有較大的阻抗失配,所以在選材方面比較寬泛.同時(shí)本體系具有寬帶、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、易于設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn),使用較少的CHL即可觀察到受到拓?fù)浔Ｗo(hù)的邊界態(tài),為利用聲拓?fù)溥吔绲穆暡ㄆ骷男⌒突峁┝艘环N方便、靈活的選擇.