趙淑波 崔仁浩 劉萍

[摘 要] 數(shù)學(xué)分析選講教學(xué)的重心在于如何讓學(xué)生“學(xué)解”， 而不僅是教師在“解”;培養(yǎng)學(xué)生如何“數(shù)學(xué)地思維”。為此，教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會“構(gòu)造”、一題多解、多題一解、深挖核心概念和定理、解題回顧等，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解題主要是有意義的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)分析;教學(xué);解題;構(gòu)造

[中圖分類號] G642 ?? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號] 1008-2549（2020） 01-0107-03

學(xué)生們感到數(shù)學(xué)難學(xué)主要原因在于沒有培養(yǎng)好對數(shù)學(xué)分析的辯證思維、沒有掌握好豐富的數(shù)學(xué)分析方法?；诜治鰧W(xué)掌握的困難性和重要性，加之?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須突出解題練習(xí)這個環(huán)節(jié)分析選講課應(yīng)運(yùn)而生， 其是數(shù)學(xué)分析課的后繼課， 是對分析課的回顧、反思，同時為學(xué)生研究生入學(xué)考試分析科目的準(zhǔn)備起協(xié)助作用。學(xué)生們對這門課的掌握情況與教師的教學(xué)有關(guān)，教與學(xué)相伴而生，教對學(xué)具有引領(lǐng)功效，其作用是不言而喻的。

分析的思維是否跟得上，內(nèi)容有沒有掌握好，重要的檢驗(yàn)方式是面對題是否會做，也就是數(shù)學(xué)分析的解題能力是否培養(yǎng)起來，解數(shù)學(xué)分析題當(dāng)然也是解數(shù)學(xué)題，怎樣解題？通俗說，解題就是在已知與未知之間建橋;在新知識和舊知識間建立起聯(lián)系， 且聯(lián)系是非人為的、實(shí)質(zhì)性的.利用已有知識及思維結(jié)構(gòu)，對抽象的形式化思想材料進(jìn)行加工，且依托思維而完成的。

解題重要，自然解題能力的培養(yǎng)是這門課教學(xué)的重中之重. 教學(xué)的重心在于以問題為載體培養(yǎng)學(xué)生“學(xué)解”而不僅是給“解”;教學(xué)生如何“數(shù)學(xué)地思維”。

教學(xué)生學(xué)解數(shù)學(xué)分析題就是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解題，有意義地發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生去探索。

一 引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)“構(gòu)造”， 是學(xué)習(xí)解數(shù)學(xué)分析題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要手段

分析中關(guān)于構(gòu)造的問題遍布于各章，面對涉及構(gòu)造性題目，重點(diǎn)研究為什么這樣處理優(yōu)于講怎樣處理，也就是，著重談為何這樣構(gòu)造，而不僅是怎么構(gòu)造。數(shù)學(xué)解題是一個嘗試過程，不同的嘗試會悟出不同的解決方法。 涉及需要輔助函數(shù)、輔助點(diǎn)集等的構(gòu)造，多數(shù)情況，構(gòu)造不唯一， 多種證明方法引導(dǎo)開闊了同學(xué)們的解題思路。同時伴隨著思維的訓(xùn)練。

實(shí)數(shù)幾個等價的完備性定理是數(shù)學(xué)分析的邏輯基礎(chǔ)，其應(yīng)用有一定難度。這是一道考研真題。設(shè)f在[a，b]上連續(xù)，f（a）<0，

f（b）>0。 證明： 存在x0∈（a，b）， 使得f（x0）=0且f（x）>0， ■x∈（x0，b]。其證明不管是應(yīng)用區(qū)間套定理還是確界原理，都需要進(jìn)行構(gòu)造。

首先引導(dǎo)學(xué)生分析：這個題目是極限理論部分關(guān)于抽象函數(shù)的特殊點(diǎn)的一般存在性問題。閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)性質(zhì)這類題目證明方向是多選完備性定理;選哪個定理，其實(shí)幾個定理本質(zhì)上是等價的，都從不同角度刻畫了實(shí)數(shù)系的完備性。理論上，能用一個定理解決的，一定也能用其它定理來解決。 形式上的不同又決定了同一個題目應(yīng)用不同的定理證明難易程度不同。聯(lián)想與該題目相關(guān)的零點(diǎn)定理的證明首選確界原理、區(qū)間套定理。這里我們也不妨先選二者試之。 再引導(dǎo)學(xué)生回憶構(gòu)造法證明存在性問題的常用思路，可先找到可疑點(diǎn)，再驗(yàn)證真?zhèn)?。怎么找？假設(shè)法，先假設(shè)已經(jīng)找到可疑點(diǎn)，看它所應(yīng)具備的條件，然后再根據(jù)這些條件想辦法構(gòu)造。

對于證法一：確界原理

分析用確界原理的一般思路是先構(gòu)造點(diǎn)集，再證確界是所找的點(diǎn)。 要找的點(diǎn)是某點(diǎn)集的上確界，同時又是另點(diǎn)集的下確界， 這就意味著可選的點(diǎn)集不唯一。 怎么構(gòu)造簡單？假設(shè)法，假設(shè)最大零點(diǎn)已找到， 其必是零點(diǎn)集的最大數(shù)也必是上確界，所以構(gòu)造的點(diǎn)集不妨就取零點(diǎn)集， 驗(yàn)證其上確界為最大數(shù)，證確界為最大數(shù)只需證確界屬于集合即可。

證該問題集合的構(gòu)造不唯一， 同樣可證出零點(diǎn)集的最大值點(diǎn)也是點(diǎn)集

E={x∈[a，b]：■y∈[x，b]f（y）>0}的下確界，此證法稍麻煩一些。

對于證法二： 區(qū)間套定理

引導(dǎo)學(xué)生分析：用區(qū)間套定理證題的思路是構(gòu)造區(qū)間套，使得套住的點(diǎn)即是所求的點(diǎn)怎么構(gòu)造？ 思路是由果索因，先假設(shè)點(diǎn)已找到，它應(yīng)滿足上述條件，不管怎么構(gòu)造，這個點(diǎn)一定是區(qū)間套套住的點(diǎn)，現(xiàn)在就分析這個區(qū)間套具備的條件，套住的點(diǎn)是零點(diǎn)， 所以區(qū)間套中區(qū)間必含零點(diǎn)， 且零點(diǎn)右側(cè)函數(shù)值大于零， 相應(yīng)的區(qū)間右側(cè)函數(shù)值也應(yīng)大于零。滿足這兩點(diǎn)構(gòu)造即可。以上是以構(gòu)造區(qū)間套為例來談如何構(gòu)造，類似還有構(gòu)造函數(shù)、開覆蓋、構(gòu)造點(diǎn)列等。

有說法是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)構(gòu)造浪費(fèi)時間，我認(rèn)為如果稱是為了所謂的教學(xué)省時間，就算數(shù)學(xué)知識可以被動地傳授給學(xué)生，但解數(shù)學(xué)題的各種典型方法、技巧、個性化解題策略和深層次蘊(yùn)含的思想不可能只靠老師單純講解幾個例題， 然后學(xué)生機(jī)械模仿老師的解法，就可以獲得的。單純講授的解題方式的培養(yǎng)，容易造成學(xué)生只能應(yīng)付一些模式固定的問題。而難以處理靈活的題目。 真正的解題能力是練出來的，而不是教出來的。學(xué)習(xí)解題好的方法就是在不斷解題中學(xué)習(xí)解題，是有意義的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)。 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解題就是不斷積累經(jīng)驗(yàn)的過程，有經(jīng)驗(yàn)的解題人會發(fā)現(xiàn)解決數(shù)學(xué)問題常常就在一念之間，這一念如果被攻破，問題就迎刃而解、水到渠成。比如前面提到的構(gòu)造問題，區(qū)間套的構(gòu)造，一旦區(qū)間套給出問題就攻克，但問題在于，這個構(gòu)造是別人給出的還是自己獲得的，只有自己點(diǎn)破，才對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解題有意義，只有學(xué)習(xí)練就這種點(diǎn)石成金之功，才可能實(shí)現(xiàn)解題的宗旨。這種功夫基本不是別人教的，而是自己悟出來的。

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)解題，是有意義的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，談到發(fā)現(xiàn)，就需要學(xué)生自己去實(shí)踐，實(shí)踐出真知。對于實(shí)踐而言，學(xué)生們已有的解題認(rèn)知結(jié)構(gòu)就起著決定性的作用，其包括解題知識結(jié)構(gòu)、思維結(jié)構(gòu)和解題元認(rèn)知結(jié)構(gòu)。具備一個組織良好的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)是解題者解題的必要前提。 知識結(jié)構(gòu)與知識儲備相聯(lián)系。 涉及數(shù)學(xué)相關(guān)的概念、定理等，記憶里的知識被安放得井然有序會對解題有很大的幫助。 這一點(diǎn)數(shù)學(xué)家波利亞也曾提到。

有兩種方式形成數(shù)學(xué)的解題知識塊，一種是按照歸類的方式形成。如何歸類，依照問題關(guān)鍵事實(shí)歸類，常見如判定定理等，由此，我們將題按照解題方法進(jìn)行歸類，我們稱它為多題一解;另一種方式是對每一類數(shù)學(xué)問題都盡可能地形成一種或幾種解題思路，由此我們建議一題多解。

二 實(shí)現(xiàn)一題多解、多題一解是形成解題知識塊的重要方式，是實(shí)現(xiàn)有意義發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)

學(xué)過的知識自然希望掌握扎實(shí)、應(yīng)用自如。將知識結(jié)成塊、形成網(wǎng)是實(shí)現(xiàn)這一想法的重要手段，如何結(jié)成塊？嘗試一題多解、多題一解。每每遇到問題，將其能解決的各種手段有重點(diǎn)的試之。比如，極限是數(shù)學(xué)分析研究的工具。以下遞推數(shù)列以歐拉常數(shù)為極限，設(shè)x0=1， xn+1（1+xn）=1（n≥0）。 證明： ■xn存在并求其極限值。證明數(shù)列極限存在的常用方法都可以試證之。 極限定義、迫斂性定理、柯西收斂準(zhǔn)則、壓縮映像原理、單調(diào)有界定理、上下極限定義等多種方法證明。 經(jīng)驗(yàn)證，這些方法都可以解決此題。就一個題而言， 可以多種方法處理， 推而廣之，一類問題的解決方案同樣可以多種， 如判定■正項(xiàng)級數(shù)收斂的方法：收斂定義;柯西準(zhǔn)則;四則運(yùn)算、可結(jié)合性、可交換性;基本定理;判別法：比較、比式、根式、積分、拉貝判別法等，可根據(jù)方法和題的特點(diǎn)比較，逐一試之。 啟發(fā)學(xué)生用多種方法解決， 以幫助學(xué)生學(xué)會建立解題知識塊。 我們可以分別將各個方法的常見考研題進(jìn)行歸類，總結(jié)用每一類方法的問題的特點(diǎn)以及用每一類方法解題的一般思路和解題步驟。

如可按照同一判定方法將下面積分不等式證明問題歸類

1.設(shè)f ″（x）>0，求證 其中為任意正數(shù)

■

2.證明，■，其中f在[0，1]上連續(xù)，且f （x）>0.

3.設(shè)φ在[0，a]上連續(xù)，f二階可導(dǎo)，且f ?″（x） ≥0，

■

4. 設(shè)f在[0，1]上二階可導(dǎo)，且f ″（x） ≤0，求證

■

其中λ為任意正數(shù)。

形成解題知識塊的重要方式是按照歸類的方式形成。

這些題目形式上看似不同，但都可用凸函數(shù)、積分不等式性來證明，解題思路相同，我們稱它為多題一解。會做這類題的同時掌握了該證明方法，題是無限的，但方法是有限的，學(xué)會用有限的方法解決無限的題，同時有助于形成解題知識塊，這也符合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要不斷提高運(yùn)用抽象概況思維方法水平的特點(diǎn)。勢必會收到事半功倍的效果。

當(dāng)然，強(qiáng)調(diào)多題一解、一題多解的同時，方法有所側(cè)重更是快速解決問題的必須，很多問題的解決還是有一般規(guī)律的，如在應(yīng)用微分學(xué)基本定理證題時，涉及一個函數(shù)的函數(shù)值與一階導(dǎo)數(shù)時，先用拉格朗日中值定理證之，遇到一個函數(shù)的函數(shù)值與二階及以上導(dǎo)數(shù)時，先用泰勒公式處理之，看到兩個函數(shù)的函數(shù)值與一階導(dǎo)數(shù)時，首選柯西中值定理去解決。

為了培養(yǎng)學(xué)生的解題能力這個中心，分析選講的教學(xué)除了從形式上看，要注意引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會構(gòu)造，學(xué)會一題多解、多題一解，形成解題知識塊。內(nèi)容上，要注意抓住核心概念與定理這兩個基本點(diǎn)。

三 注意核心定理理解的透徹性是學(xué)會解題的關(guān)鍵

定理是數(shù)學(xué)知識的重要組成部分，如果把數(shù)學(xué)概念比作數(shù)學(xué)大樹的根，我認(rèn)為數(shù)學(xué)定理就是大樹的干，有了樹干才為枝葉更好地輸送養(yǎng)分，使得枝繁葉茂，經(jīng)常我們可以直接根據(jù)概念計(jì)算證明，但是根據(jù)定理計(jì)算證明有時更直接容易。應(yīng)用定理處理問題，使得解決問題的深度、廣度都擴(kuò)大了，要想對定理更好地應(yīng)用必須很好的掌握，如何掌握？深挖掘細(xì)體會，比如中值定理結(jié)論中形式上最簡單的是Rolle定理的結(jié)果，這個定理給出了導(dǎo)函數(shù)存在零點(diǎn)的一個充分條件，該定理的已知要求：函數(shù)f在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)， 但我們注意到為得同樣的結(jié)論，函數(shù)值相等可推廣為極限值相等。即設(shè)f在有限區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，f（a+0）=f（b-0）=A（A為有限數(shù)），則至少存在一點(diǎn)ξ∈（a，b），使得f（ξ）=0。 而且a，b不但可為有限數(shù)， 也可為a=-∞或b=+∞或a=-∞同時b=+∞即區(qū)間由有限區(qū)間可推廣為無窮區(qū)間。 而且， 極限A為有限數(shù)可推廣為A=+∞或A=-∞。 相應(yīng)的拉格朗日中值定理與柯西中值定理也可作把函數(shù)值換為極限值的推廣等。

還有聯(lián)系函數(shù)極限與數(shù)列極限橋梁的歸結(jié)原則：在教科書中是這樣敘述的。設(shè)f在U0（x0; δ）上有定義， ■存在■對任何含于U0（x0; δ）且以x0為極限的數(shù)列■都存在，并且相等。我們注意定理中條件極限相等是可以去掉的，定理仍然成立。 一方面加深了對定理的理解應(yīng)用，另一方面也顯現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡潔性與嚴(yán)密性之美。

四 掌握數(shù)學(xué)分析概念的教學(xué)是教好數(shù)學(xué)分析的前提，同時把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)及應(yīng)用也是上好選講課的關(guān)鍵

有數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，分析選講教學(xué)重心在于概念、定理的深層次理解及應(yīng)用上。就概念而言，從思維的形式來看，所有的思維形式都離不開概念，概念是基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)的細(xì)胞，數(shù)學(xué)分析中的概念是數(shù)學(xué)分析大廈的基石，是分析中定理與方法的源泉，根據(jù)概念證題，伴隨在整個分析學(xué)習(xí)中，不論是書中定理還是習(xí)題證明都離不開它，分析的研究對象是函數(shù)、研究工具是極限。要談概念，函數(shù)和極限當(dāng)然是重中之重了，極限的ε-δ、ε-N定義，眾多核心概念依其而存在的，連續(xù)、可微、可積、一致收斂、一致連續(xù)等等。還包括函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂、含參量廣義積分的一致收斂等。談如何學(xué)習(xí)概念時，經(jīng)常會提到抓住其本質(zhì)，那么數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性是什么呢？一般來說，一個特定數(shù)學(xué)對象，在一定的條件下，保持不變的性質(zhì)，就是其本質(zhì)屬性，而可變的則是非本質(zhì)屬性。函數(shù)是數(shù)學(xué)分析的研究對象，它的本質(zhì)屬性是什么呢？函數(shù)是一種映射，要理解函數(shù)的本質(zhì)其實(shí)質(zhì)就是弄清映射的本質(zhì)特征，映射是兩個集合之間滿足隨處且單值定義的對應(yīng)關(guān)系，而函數(shù)就是數(shù)集到數(shù)集上的對應(yīng)關(guān)系，由此我們可知數(shù)集到數(shù)集上的對應(yīng)、隨處定義、單值定義是函數(shù)的本質(zhì)特征，是函數(shù)不變的性質(zhì)。

掌握了定義、定理就掌握了基本證題術(shù)中的根據(jù)定義證題術(shù)、根據(jù)定理證題術(shù)。此外，推廣性命題證題術(shù)也是數(shù)學(xué)分析中常用的一種證題術(shù)，它包括仿照法、轉(zhuǎn)化法、變異法。根據(jù)推廣對象的特點(diǎn)可分為：個別向一般的推廣、一維向二維的推廣、離散問題向連續(xù)問題的推廣、有限向無限的推廣、有界向無界的推廣等。

五 解題回顧是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析解題的重要環(huán)節(jié)

解題回顧從時間順序來說，雖說是數(shù)學(xué)解題最后環(huán)節(jié)，卻是解題學(xué)習(xí)的最關(guān)鍵步驟，針對提高學(xué)生解題能力而言，回顧解題是最有意義的環(huán)節(jié)。然而在實(shí)際教學(xué)實(shí)踐中，這一點(diǎn)常被輕視或忽略，進(jìn)而使學(xué)生錯過了更多的獲益機(jī)會。我們要清楚教學(xué)目的的問題，進(jìn)行解題教學(xué)并不僅僅是求得所謂問題的結(jié)果，其真正目的是為了提高學(xué)生數(shù)學(xué)解題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性品質(zhì)，而這一教學(xué)目的恰恰主要是通過回顧解題的授課來實(shí)現(xiàn)的，基于此，經(jīng)驗(yàn)豐富的教師總是高度重視解題回顧這一過程的教學(xué)，師生一同對解題的最終結(jié)果和多種解法進(jìn)行細(xì)致分析，對解題的主要思想和關(guān)鍵要素進(jìn)行簡要概況，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)不足，獲取經(jīng)驗(yàn)，成為以后解題時聯(lián)想的基礎(chǔ)。檢驗(yàn)解答、討論解法、推廣結(jié)果和思維活動反思，構(gòu)成回顧解題四個方面。

討論解法一題多解、多題一解，這一點(diǎn)前面已闡述，我們著重談一下推廣結(jié)果。

推廣的形式多樣，可以是從具體到抽象，從特殊到一般等。

設(shè)在內(nèi)可微， 證明： 在內(nèi)至少有x（1-x）f ?′（經(jīng) -2的一個零點(diǎn)。

注意到：如果記g（x）=x（1-x），則1-2x=g′（x）

推廣到抽象函數(shù)情形：

設(shè)函數(shù)φ，ψ在[a，b]上連續(xù)， 在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且？漬（x1）= ψ（x2）=0，x1、x2∈（a，b），證明： 在（x1，x2）內(nèi)至少有？漬′（x）+？漬（x） ？漬′（x）的一個零點(diǎn)。

從兩個推廣到多個函數(shù)情形

設(shè)函數(shù)f在[a，b]上連續(xù)， 且

■。 則f在（a，b）內(nèi)至少有兩個零點(diǎn)。

推廣 設(shè)函數(shù)f在[a，b]上連續(xù)， 且存在非負(fù)整數(shù)n， 使得

■ 則f在（a，b）內(nèi)至少有n+1個零點(diǎn)。

簡要地說，回顧的不僅是相關(guān)知識、解題方法，還包括開始時怎樣想的，遇到哪些問題，犯過那些錯誤，為什么會出現(xiàn)這些問題，分析對的理由，錯的原因。從而不斷地積累經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過不斷的練習(xí)，會總結(jié)出自己的處理經(jīng)驗(yàn)，就是所稱的解題策略，會指導(dǎo)我們今后學(xué)習(xí)。同樣是行得通的思路經(jīng)常是不是唯一。

解題后的回顧為今后學(xué)生們的解題積累經(jīng)驗(yàn)。 在浩瀚無邊的題海中，學(xué)生是爹爹不休地做題，老師是風(fēng)風(fēng)火火地講題，有時我們甚至把解題回顧看成是浪費(fèi)時間。 正如古人所說：工欲善其事，必先利其器，解題回顧可稱是磨礪解題武器的過程，別忘了我們的目標(biāo)是學(xué)會解題，而不是解完所有題，解題回顧起到事半功倍的效果。

總之，不管這門課的教學(xué)手段、形式如何，教學(xué)的主旨都是為了學(xué)生能夠更好地學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)不只是本門課程內(nèi)容，更是要學(xué)會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。所談的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，能夠認(rèn)為是學(xué)生經(jīng)過取得數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗(yàn)，而引發(fā)的持續(xù)長久行為、能力和傾向變化的過程。要想學(xué)會解題，要想掌握好數(shù)學(xué)分析，是一個綜合能力的培養(yǎng)。 需要注意做的地方很多， 這里我只談了我認(rèn)為重要的且容易忽略的幾點(diǎn)， 希望和讀者能有共鳴。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉廣云.數(shù)學(xué)分析選講[M].哈爾濱：黑龍江教育出版社，2000.

[2]涂榮豹.數(shù)學(xué)解題的有意義學(xué)習(xí)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2001（7）.

[3]裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法[M].北京：高等教育出版社，2006.

[4]涂榮豹.數(shù)學(xué)教學(xué)認(rèn)識論[M].南京：南京師范大學(xué)出版社，2003.

（責(zé)任編輯：姜海晶）