金波　周旺　唐麗瑩　李梓溢　姜早龍

摘???要：提出了一種適用于具有復雜隱式功能函數的鋼桁架結構可靠度計算方法.?采用神經網絡逼近正常使用極限狀態(tài)下隱式功能函數，基于可靠度指標的幾何意義，運用新改進的遺傳算法搜索鋼桁架可靠度指標最優(yōu)解及驗算點.?通過兩個算例，分別使用JC法和蒙特卡洛重要抽樣法驗證了新改進的遺傳算法的準確性和有效性.?結果表1明，新改進的遺傳算法與蒙特卡洛法計算的鋼桁架可靠度指標相對誤差僅為0.23%;且對于小概率失效結構，引入的自適應隨機變量能有效改善傳統(tǒng)方法中初始種群基因不良的問題.?該方法在計算復雜隱式功能函數結構可靠度指標時，具有計算速度快、計算簡單、精度高等優(yōu)點.

關鍵詞：可靠度指標;隱式功能函數;神經網絡;遺傳算法

中圖分類號：U442.5???????????????????????????????文獻標志碼：A

Reliability?Calculation?of?Implicit?Function

Structure?in?Service?Ability?Limit?State

JIN?Bo？，ZHOU?Wang，TANG?Liying，LI?Ziyi，JIANG?Zaolong

（College?of?Civil?Engineering，Hunan?University，Changsha?410082，China）

Abstract：A?reliability?calculation?method?is?proposed?to?calculate?the?reliability?of?structure?with?complex?implicit?function?like?steel?truss?structures.?It?firstly?adopts?the?neural?network?to?approach?the?implicit?function?in?service?ability?limit?state?and?NGA?（New?Genetic?Algorithm）?is?employed?to?obtain?the?optimal?solution?of?reliability?index?of?steel?truss?structures?and?its?design?point?on?the?basis?of?the?geometric?implication?of?reliability?index.?Finally，JC?method?and?Monte?Carlo?Critical?Sampling?Method?are?introduced，respectively，in?two?examples?to?verify?the?accuracy?and?validity?of?NGA.?The?results?manifest?that?the?relative?error?is?only?0.23?percent?when?NGA?and?Monte?Carlo?Method?are?used，respectively，to?calculate?the?reliability?index?of?steel?truss.?In?addition，the?introduction?of?adaptive?random?variable?can?greatly?improve?the?gene?of?initial?population?for?small?probability?failure?structures.?All?above?prove?that?NGA?is?of?significance?in?practical?projects?for?calculating?the?reliability?index?of?structure?with?complex?implicit?function?due?to?its?advantages?of?fast?computation?speed?and?high?precision.

Key?words：reliability?index;implicit?function;neural?networks;genetic?algorithms

金波等：正常使用極限狀態(tài)下隱式功能函數結構可靠度計算

保證結構在規(guī)定的使用期內能夠承受設計的各種作用，滿足設計要求的各項使用功能，保證結構的安全性、適用性與耐久性，這三個方面構成了工程結構可靠性的基本內容.?結構可靠度是結構可以完成“預定功能”的概率量度，通常采用“極限狀態(tài)”來衡量預定功能，工程結構中的極限狀態(tài)可分為正常使用極限狀態(tài)與承載能力極限狀態(tài).?在實際工程中存在諸多不確定性，如材料性能、外荷載、制作安裝等變異.?這些變異是隨機的，可靠度分析是建立在統(tǒng)計數學的基礎上，予以可靠性一個定量的描述.

在實際工程中結構往往為多次超靜定結構，其變量與響應難以用顯式關系表1達，而且功能函數具有非線性、復雜性、多峰性等特點.?因此，鋼桁架的功能函數顯化難度大，甚至無法顯化[1-4].?另外，結構失效為小概率事件導致可靠度計算工作量大.?傳統(tǒng)的一次二階矩法、二次二階矩法、響應面法、蒙特卡洛法雖然理論成熟，但都是以顯式功能函數為前提的，因此不適用于小失效概率復雜隱式功能函數結構的可靠度計算.

文獻[5]通過引入差分法，解決了隱式功能函數不能理論求解偏導的問題，并計算了隱式功能函數結構的可靠度，其計算過程較繁瑣且未考慮截面尺寸的隨機性對結構響應的影響.?文獻[6]采用傳統(tǒng)的遺傳算法與BP神經網絡結合的方法對斜拉橋的可靠度進行計算.?但BP神經網絡具有學習過程冗長、容易陷入局部極值等缺點;傳統(tǒng)遺傳算法存在“早熟”，陷入局部最優(yōu)，收斂速度慢等不足.?文獻[7]提出了將均勻設計法、徑向基神經網絡技術和最大熵原理相結合對邊坡進行可靠性分析的四階矩計算方法.?文獻[8]采用徑向神經網絡、β約界法、概率網絡評估技術與蒙特卡洛結合的方法求解了鋼桁架的可靠度指標.?文獻[9]通過建立標準化屈曲安全余量方程，采用逐步等效線性化Johnson求交法計算了輸電塔的結構可靠度.?文獻[10]通過隨機有限元法和結構系統(tǒng)可靠性理論，建立桁架結構單元的安全余量的表1達式，對桁架結構系統(tǒng)進行可靠性分析.?文獻[11]將一次可靠度確定驗算點與響應面法的思路相結合，并引入單邊差分法針對性地解決了隱式功能函數求偏導數的問題，確定各分量函數的二次多項式近似，從而獲得近似的整體功能函數，最后采用蒙特卡洛法進行計算，計算過程較繁瑣，且對于小概率失效結構，蒙特卡洛法求解計算量巨大.?國內外學者在復雜隱式功能函數可靠度計算上做了大量工作，但難以有效協(xié)調計算精度、計算量及方法適應性等方面的要求進行可靠度計算.

為提高具有復雜隱式功能函數的小概率失效結構可靠度計算的速度與精度，通過引入自適應隨機變量與遺傳算子的改進對自適應遺傳算法進行優(yōu)化.?采用泛化能力更好的徑向神經網絡逼近鋼桁架的隱式功能函數，基于可靠度指標的幾何意義，運用新改進的遺傳算法搜索鋼桁架可靠度指標最優(yōu)解.?該方法能更加精確地逼近復雜隱式結構功能函數，有效解決小概率失效結構可靠度求解中帶來的精度不足、過程復雜與計算量大等問題.

1???新改進的遺傳算法（NGA）

對于具有復雜性、非線性、非凸性、多峰性功能函數的結構，其可靠度指標是極限狀態(tài)曲面與坐標原點多個局部極小距離中的最小距離.?為避免計算過程中產生局部極小值問題，提高計算結果可靠性，可采用遺傳算法這類具有全局最優(yōu)搜索能力的算法.?但傳統(tǒng)的遺傳算法容易出現局部“搜索能力不足”“欺騙”以及“早熟”等問題，針對以上問題對傳統(tǒng)遺傳算法進行了改進.

1.1???改進遺傳算法的編碼方式與隨機變量的產生

為便于對所有連續(xù)變量進行統(tǒng)一編碼，在不改變隨機變量取值范圍的前提下，將所有隨機變量的產生轉化到[0?1]中，傳統(tǒng)方法產生服從正態(tài)分布隨機變量xi，可按式（1）計算.

xi?=?ui?+?σisin（2πγ3）.????（1）

式中：γi為[0，1]上相互獨立的均勻分布隨機數.

由式（1）可知，基于二進制編碼及γi在[0?1]上服從均勻分布的特點，采用二進制進行編碼.

但式（1）中含有自然對數，自然對數的值域在0附近分布密集，在[0，1]區(qū)間采用均勻分布產生隨機變量時，大量有效的點將會被忽略.?由圖1可知，當二進制步長為0.001時，按均勻分布產生的隨機變量大約分布在[-3，3]區(qū)間，但隨機變量的取值應該為

[-∞，+∞]，同時對于小概率失效結構，最優(yōu)解距中心點的距離較遠，故采用傳統(tǒng)產生隨機變量的方法，不能滿足遺傳算法初始變量的要求，甚至導致可靠度計算失敗.?為提高隨機變量的適應性，根據失效概率的大小，通過引入自適應隨機參數進行改進以改善自然對數對隨機變量的影響，從而擴大初始變量距中心點的距離，達到改善遺傳算法初始種群中不良基因的目的.

設x為已知分布特征的隨機變量，可按式（2）（3）（4）產生服從正態(tài)分布、對數正態(tài)分布和極值Ⅰ型分布的隨機變量.

正態(tài)分布：

xi?=?ui?+?aγ1σisin（2πγ3）.????（2）

對數正態(tài)分布：

[????????σy?=?σln?x?=?，

uy?=?ln?ux?-?σ2

ln?x?=?ln，

yi?=?uy?+?aγ1σysin（2πγ3），

xi?=?e.????????????????????????][?（3）]

極值Ⅰ型分布：

xi?=?ui?-?0.5σi?-?0.779?7aγ1σi?ln（-lnγ2）.????（4）

式中：a為變量自適應參數，可根據失效概率進行調整.

1.2???改進遺傳算法的基本操作

通過改變傳統(tǒng)遺傳算法的交叉率、變異率及加入精英保留策略，能使種群中最大適應度個體的交叉和變異率不為零，從而增加算法跳出局部極小值問題的可能性，自動調整適應度，有效地保護最優(yōu)個體不受損害及加快收斂速度.?新改進遺傳算法的基本操作如下.

1）選擇.?采用輪盤賭，按照適者生存的原則，使適應度高的個體生存，低的淘汰.

2）交叉.?采用改進的二進制單點交叉法，兩個染色體在同一位置截斷，其相應位置交叉組合成兩個新的染色體.?在進化過程中，通過式（5）對交叉率進行自適應調整.

Pc?=

，f?′≤?favg，

，f?′>?favg.?（5）

3）變異.?染色體復制時以很小的概率產生復制

差錯，形成新的染色體.?在進化過程中，通過式（6）對交叉率進行自適應調整.

Pm?=

，f?≤?favg，

，f??>?favg.?（6）

式中：fmax表1示種群中最大適應度值;favg表1示每代群體的平均適應度值;f?′表1示要交叉的2個個體中較大的適應度值;f表1示變異個體的適應度值;Pc1、Pc2、Pc3為區(qū)間（0，1）內表1示給定的交叉概率值，Pm1、Pm2、Pm3為區(qū)間（0，1）內表1示給定的變異概率值，且有Pc1?>?Pc2?>?Pc3，Pm1?>?Pm2?>?Pm3.

1.3???適應度函數

遺傳算法中，可以通過引入罰函數將有約束問題轉化為無約束問題.?功能函數為z?=?0，以搜索目標函數的最小值為目標，適應度函數如式（7）所示.

fit（x）?=?.?????（7）

式中：c為β（x）的保守估計值;mz為懲罰項，m為懲罰因子，取值一般很大.

2???基于RBF-NGA法可靠度計算

2.1???RBF神經網絡擬合隱式功能函數

在實際工程可靠度計算中，結構失效一般為小概率事件，且結構的功能函數具有非線性、復雜性、多峰性等特點，導致可靠度計算時計算量大、顯化難度大與精度難以滿足甚至無法用顯化的方程表1示.?對隱式功能函數，利用數值模擬或試驗方法得到結構的變量與響應，以此作為神經網絡的輸入和輸出對神經網絡進行訓練和測試.?訓練好的神經網絡能較好地逼近結構的功能函數.

徑向基函數（Radial?Basis?Function，RBF）神經網絡是一個三層前反饋型神經網絡.?徑向網絡能夠根據用戶設定的目標誤差，自適應地增加網絡的隱含層節(jié)點數量，直到滿足目標誤差要求，無需用戶指定隱含層節(jié)點數.?以精確映射出結構各個隱式功能函數為目的構建神經網絡，能更加精確地逼近結構功能函數，該方法避免了對功能函數的顯化、擬合功能函數的精度不足、計算量大等問題.?采用MATLAB?13a神經網絡工具箱中提供的神經網絡設計和擬合函數.?函數如下所示.

1）RBF神經網絡學習函數newrb.?調用格式為：

net=newrb（P，T，goal，spread，MN，DF）

其中：P為輸入矩陣;T為目標輸出矩陣;spread為RBF的擴展常數;goal為網絡的均方差;MN為網絡學習過程中神經元的最大數目;DF為兩次顯示之間所增加的神經元數目.

2）RBF神經網絡仿真函數sim.?調用格式為：

Y?=?sim（net，X）

其中：net為學習好的徑向基神經網絡;X為輸入測試矩陣;Y為預測值.

在訓練神經網絡時，為減少神經網絡的樣本點數量，需采用更高質量的訓練數據.?UD（均勻設計）[12]與正交設計相比，有更好的均勻性，且同樣試驗次數可安排更多的水平數，采用DPS[13]（數據處理系統(tǒng)）的均勻試驗設計功能，通過多次迭代可生成更高質量的均勻試驗設計變量.

為提高計算響應的效率，采用Python多線程調用ANSYS批量計算均勻設計變量的結構響應，其具體操作流程如圖2所示.

最后將變量和結構響應歸一化后作為網絡的輸入和輸出，構建鋼桁架的功能函數.

2.2???可靠度指標的幾何意義

可靠度指標β在標準獨立正態(tài)坐標系中等于原點到極限狀態(tài)曲面的最短距離，其對應在失效面上的點即為驗算點.?設具有n個獨立正態(tài)分布變量的極限方程為g（x）?=?g（x1，x2，…，xn），將變量標準化，[x]i?=（xi?-?ui）/σi，其中ui、σi分別為變量的均值和標準差.?極限狀態(tài)方程可改寫為z?=?g（u

x1+?[x]1σ

x1，…，u

xn+

[x]n?σ

xn），故β在標準正態(tài)空間中按式（8）計算.

β（x）?=?min

，

g（[x]）?=?g（[x]1，[x]2，…，[x]n）?=?0.?（8）

對于服從一般分布的隨機變量，可進行高斯變換，將一般分布當量成正態(tài)分布.?高斯變換如[x]i?=?？-1[Fi（xi）]，其中：Fi（xi），？-1[Fi（xi）]分別為隨機變量xi的CDF和標準正態(tài)分布的CDF.

2.3???RBF-NGA方法的可靠度計算

傳統(tǒng)的蒙特卡洛法及一次二階矩法難以實現具有隱式功能函數鋼桁架的可靠度指標的計算[14].事實上基于可靠度的幾何意義，可采用RBF神經網絡逼近復雜功能函數供具有全局搜索能力的NGA調用，搜索可靠度指標.

由式（2）～（4）可知，只需對γi產生均勻隨機數就可得xi的取值，即可靠度指標可表1示為γi的函數，則式（1）可改寫為式（9）.

β（x）?=?min?f（γ1，γ2，…，γm），

g（[x]）?=?g（γ1，γ2，…，γm）?=?0.??????（9）

根據式（9）以RBF神經網絡構建好的隱式功能函數為約束條件，運用自編的NGA計算可靠度指標β.?RBF-NGA的計算過程如圖3所示.

3???工程算例分析

3.1???例1：較大概率失效結構可靠度計算

已知非線性極限狀態(tài)方程為g?=?567fr?-?0.5H2?=0，參數取值及分布見表11.?采用NGA分別計算傳統(tǒng)隨機變量方法與式（2）～（4）產生隨機變量方法計算可靠度指標，結果見表12.

采用3個標準節(jié)建立ANSYS計算模型.?荷載布置在每個標準節(jié)平聯桿的1、2、3、4位置，如圖5所示.

3.2.2???RBF神經網絡構建鋼桁架功能函數

考慮到失效模式為位移失效的情況，可從位移限值的角度構建鋼桁架的復雜隱式功能函數，以正常使用極限狀態(tài)下結構的最大豎向位移構造功能函數.?其功能函數如式（10）所示.

z?=?umax?-?u（x）.?????（10）

式中：?umax為正常使用極限狀態(tài)下位移限值;?u（x）為各隨機變量對應的鋼桁架的最大豎向位移.

考慮到材料截面尺寸的制作和安裝誤差、荷載的不確定性，以鋼桁架的高度H、橫架的截面高度h1、寬度w1和腹桿截面寬度w2為不確定性變量.?各變量的設計值分別為H?=?7?500?mm，h1?=?800?mm，h2?=?w1?=?640?mm，w2?=?340?mm，外荷載F?=?550?kN.?不確定性范圍取±10σ.?先采用DPS生成U400（4005）的均勻設計樣本作為RBF神經網絡的輸入，設計變量取值范圍、分布類型及參數見表13.

再根據圖3流程，計算各個樣本值對應鋼桁架的最大豎向位移，最后均勻設計變量與最大豎向位移分別進行歸一化處理后，采用MATLAB中的RBF神經網絡工具箱構建鋼桁架的功能函數.?RBF神經網絡參數見表14，測試網絡精度如圖6所示.

根據RBF神經網絡預測和ANSYS計算結果，最大豎向位移神經網絡預測值與ANSYS計算值最大相對誤差為1.88%.?由圖6可看出，在有限組變量下，RBF神經網絡擬合精度高，得到泛化能力較好的神經網絡.

3.2.3???鋼桁架可靠度計算

按照圖3所示流程分別按傳統(tǒng)的方法產生遺傳算法隨機變量（方案1）與按式（2）～（4）自適應產生隨機變量（方案2）兩種方案，采用自編的NGA程序（參數見表15，兩種方案進化過程如圖7所示）搜索鋼桁架的可靠度指標及驗算點.

對于小概率失效結構，若直接采用蒙特卡洛模擬方法，則效率和精度都較低.?若以NGA搜索的驗算點為蒙特卡洛抽樣中心，則能使樣本點有更多機會落入失效區(qū)域，增加功能函數小于0的機會，從而有效提高蒙特卡洛法的效率和精度，并以此驗證NGA的準確性和有效性.?采用蒙特卡洛法在方案2搜索的驗算點處進行重要抽樣（108次）（可認為是精確解），結果見表16.

從圖7、表16可看出，對于小概率失效結構，傳統(tǒng)方法產生的初始種群適應性較差，種群的平均適應度、最佳適應度、進化后期個體多樣性都不理想.?且搜索的最優(yōu)解與蒙特卡洛法的相對誤差為13.89%，難以實現小概率失效結構可靠度的準確計算.

自適應隨機變量方法根據結構失效概率自適應調整隨機變量分布，使初始種群個體更集中于適應度大的個體.?從進化圖（圖7）中可看出，產生的初始種群適應性良好、進化過程保存了個體的多樣性，優(yōu)化了小概率失效結構可靠度的計算過程.?NGA進化到第25代左右時已收斂，且與蒙特卡洛法相對誤差僅為0.23%，進一步驗證了NGA收斂速度快、計算精度高的優(yōu)點.

4???結???論

基于本文提出的一種適用于具有復雜隱式功能函數的鋼桁架結構可靠度計算方法，采用RBF-NGA算法計算可靠度指標，通過兩個算例，得到如下主要結論：

1）采用均勻設計變量構建的RBF神經網絡，網絡預測值與ANSYS計算出的最大位移值最大相對誤差僅為1.88%，說明RBF神經網絡方法能很好地擬合復雜結構隱式功能函數.

2）在小概率失效結構可靠度計算中引入的自適應隨機變量較好地改善了傳統(tǒng)方法隨機變量的適用性和遺傳算法中不良基因.

3）采用NGA計算具有復雜隱式功能函數結構

可靠度指標的結果與蒙特卡洛法（精確解）基本吻合，且第25代左右已收斂，說明NGA計算復雜功能函數可靠度具有精度高、收斂速度快等優(yōu)點.

4）通過工程算例驗證了RBF-NGA的結果精度高、可靠性高等優(yōu)點，故該算法具有一定的工程實際意義.

參考文獻

[1]????SU?G，PENG?L，HU?L.?A?Gaussian?process-based?dynamic?surrogate?model?for?complex?engineering?structural?reliability?analysis?[J].?Structural?Safety，2017，68：97—109.

[2]????AU?S?K，BECK?J?L.?A?new?adaptive?importance?sampling?scheme?for?reliability?calculations[J].?Structural?Safety，1999，21（2）：135—158.

[3]????CHAKRABORTY?S，CHOWDHURY?R.?Assessment?of?polynomial?correlated?function?expansion?for?high-fidelity?structural?reliability?analysis[J].?Structural?Safety，2016，59：9—19.

[4]????張杰，肖汝誠，程進.?基于神經網絡的隱式顯化方法在結構可靠度分析中的應用[J].?力學季刊，2007，28（1）：135—141.

ZHANG?J，XIAO?R?C，CHENG?J.?An?explicit?method?based?on?implicit?expression?of?neural?network?for?structure?reliability?application[J]?Chinese?Quarterly?of?Mechanics，2007，28（1）：135—141.?（In?Chinese）

[5]????周道成，段忠東，歐進萍.?具有隱式功能函數的結構可靠指標計算的改進矩法[J].?東南大學學報（自然科學版），2005，35（S1）：139—143.

ZHOU?D?C，DUAN?Z?D，OU?J?P.?Improved?moment?method?for?reliability?index?without?explicit?performance?function[J].?Journal?of?Southeastern?University?（Natural?Science），2005，35（S1）：139—143.?（In?Chinese）

[6]????張建仁，劉揚.?遺傳算法和人工神經網絡在斜拉橋可靠度分析中的應用[J].?土木工程學報，2001，34（1）：7—13.

ZHANG?J?R，LIU?Y.?Reliability?analysis?of?cable-stayed?bridge?using?GAS?and?ANN[J].?China?Civil?Engineering?Journal，2001，34（1）：7—13.?（In?Chinese）

[7]????周芬，郭奧飛，杜運興.?邊坡穩(wěn)定可靠度分析的新型四階矩法[J].?湖南大學學報（自然科學版），2016，43（5）：113—119.

ZHOU?F，GUO?A?F，DU?Y?X.?A?new?method?of?four?order?moments?for?reliability?analysis?on?slope?stability[J].?Journal?of?Hunan?University（Natural?Sciences），2016，43（5）：113—119.?（In?Chinese）

[8]????劉揚，魯乃唯，殷新鋒.?基于體系可靠度的鋼桁梁結構優(yōu)化設計[J].?中南大學學報（自然科學版），2014，45（10）：3629—3636.

LIU?Y，LU?N?W，YIN?X?F.?Structural?optimization?design?of?steel?truss?beam?based?on?system?reliability[J].?Journal?of?Central?South?University?（Science?and?Technology），2014，45（10）：3629—3636.?（In?Chinese）

[9]????鄭敏，梁樞果，熊鐵華，等.?基于可靠度的輸電塔抗風優(yōu)化研究[J].?湖南大學學報（自然科學版），2014，41（6）：35—42.

ZHEN?M，LIANG?S?G，XIONG?T?H，et?al.?Study?on?the?reliability-based?wind?resistant?optimization?of?transmission?line?tower[J].?Journal?of?Hunan?University?（Natural?Sciences），2014，41（6）：35—42.?（In?Chinese）

[10]??HAI?A，AN?W，YANG?D.?Static?force?reliability?analysis?of?truss?structure?with?piezoelectric?patches?affixed?to?its?surface[J].?Chinese?Journal?of?Aeronautics，2009，22（1）：22—31.

[11]??范文亮，周擎宇，李正良.?基于單變量降維模型和坐標旋轉的可靠度混合分析方法[J].?土木工程學報，2017，50（5）：12—18.

FAN?W?L，ZHOU?Q?Y，LI?Z?L.?Hybrid?reliability?method?based?on?the?univariate?dimension-reduction?method?and?rotational?transformation?of?variables[J].?China?Civil?Engineering?Journal，2017，50（5）：12—18.?（In?Chinese）

[12]??方開泰.?均勻設計與均勻設計表1[M].?北京：科學出版社，1994：151.

FANG?K?T.?Uniform?design?and?uniform?design?table[M].?Beijing：Science?Press，1994：151.?（In?Chinese）

[13]??TANG?Q?Y，ZHANG?C?X.?Data?processing?system?（DPS）?software?with?experimental?design，statistical?analysis?and?data?mining?developed?for?use?in?entomological?research[J].?Insect?Science，2013，20（2）：254—260.

[14]??趙國藩.?結構可靠度理論[M].?北京：中國建筑工業(yè)出版社，2000：12—34.

ZHAO?G?F.?Structural?reliability?theory[M].?Beijing：China?Architecture?&?Building?Press，2000：12—34.?（In?Chinese）