夏雨 龍嘉欣 余穎燁 劉敬敏

摘要：為了解決在可靠度計(jì)算中涉及多維高階數(shù)值計(jì)算的極限狀態(tài)函數(shù)的梯度計(jì)算，首先使用單純形法構(gòu)造初始復(fù)形，然后對復(fù)形進(jìn)行尋優(yōu)迭代計(jì)算。通過此方法求解可靠件指標(biāo)，無需計(jì)算極限狀態(tài)函數(shù)的梯度，使計(jì)算變得更加簡單。通過算例驗(yàn)證了此方法的效率和精度，同時(shí)通過工程實(shí)例也表明了此方法對實(shí)際工程具有一定的適用件。

關(guān)鍵詞：復(fù)形法;可靠形指標(biāo);單純形法

中圖分類號：TU31DOI：10.16375/j.cnkj.cn45-1395/t.2020.01.011

0引言

可靠性指標(biāo)概念引入用于概率描述可靠度，在研究實(shí)際工程應(yīng)用的計(jì)算方法時(shí)更加方便?？煽啃灾笜?biāo)計(jì)算方法的提出歷經(jīng)了從簡單到復(fù)雜或精確的過程，這些方法包含一次二階矩、二次二階矩、蒙特卡洛法、遺傳算法及其他方法。國內(nèi)外學(xué)者在可靠度的計(jì)算上做了一些研究，韋益夫等使用改進(jìn)移動(dòng)最小乘二法的響應(yīng)面來增加樣本點(diǎn)的權(quán)重并擴(kuò)大影響域的范圍，進(jìn)而讓更多的賦權(quán)樣本點(diǎn)參與擬合計(jì)算，可靠性指標(biāo)的計(jì)算精度更高。羅建斌等將一些結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，得到新的響應(yīng)面函數(shù)，提高計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。許家赫等提出了一種自適應(yīng)調(diào)整權(quán)重的PSO算法與fmincon函數(shù)的混合算法，優(yōu)化了模型，一定程度上減少了數(shù)值誤差。唐承等提出采用序列二次規(guī)劃方法來提高PSO的局部搜索性能，提高了PSO計(jì)算可靠性指標(biāo)的精度。Keshtegar等提出的基于可靠性方法的MCS和M5Tree改進(jìn)了用于評估可靠性分析中的性能函數(shù)，通過將復(fù)雜的隱式問題分解為更小的問題來提供處理復(fù)雜隱式問題，提高了可靠性分析的效率。shayanfar等將重要性抽樣與定向模擬相結(jié)合，圍繞設(shè)計(jì)點(diǎn)的方向進(jìn)行采樣，此混合方法極大地減少調(diào)用極限狀態(tài)函數(shù)的次數(shù)，與以往的方法相比，更容易得到失效概率。

一次二階矩方法是目前可靠度分析最常用的方法。但是一次二階矩方法和二次二階矩方法都需要計(jì)算極限狀態(tài)函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，然而有些極限狀態(tài)函數(shù)難以計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)?？煽啃灾笜?biāo)的計(jì)算中，約束函數(shù)往往涉及到高階多維數(shù)值計(jì)算過程，約束函數(shù)的梯度計(jì)算變得困難。所以，通過引入復(fù)形法計(jì)算可靠性指標(biāo)，省去了繁瑣的梯度計(jì)算，在求解可靠性指標(biāo)上更為簡單、方便。

1 復(fù)形法的基本原理

可靠性指標(biāo)的求解屬于約束非線性優(yōu)化問題，本文選擇復(fù)形法來對其進(jìn)行計(jì)算。此方法打破了以往需要求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的常規(guī)，是一種不需要計(jì)算目標(biāo)函數(shù)梯度的直接方法，而它的下降方向是通過代入其所有復(fù)形的頂點(diǎn)計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值并進(jìn)行比較來判斷的。

假設(shè)n個(gè)變量，這些變量將會產(chǎn)生n+1個(gè)頂點(diǎn)來構(gòu)造初始復(fù)形。如圖1所示，圖中為兩個(gè)變量，那么3個(gè)頂點(diǎn)連接起來就構(gòu)成了一個(gè)三角形。將這3個(gè)復(fù)形的頂點(diǎn)依次代入目標(biāo)函數(shù)中計(jì)算，得到目標(biāo)函數(shù)值并比較其大小。由此可以定義最差點(diǎn)X_h為目標(biāo)函數(shù)值最大的點(diǎn)，次差點(diǎn)X_g為目標(biāo)函數(shù)值次大的點(diǎn)，最好點(diǎn)X₁為目標(biāo)函數(shù)值最小的點(diǎn)，并且其變化趨勢可以從目標(biāo)函數(shù)值的大小進(jìn)行大致的判斷。若X_c為除最差點(diǎn)X_h以外的每個(gè)頂點(diǎn)的形心，那么目標(biāo)函數(shù)值的下降方向通常是由最差點(diǎn)X_h指向形心X的方向。所以在最差點(diǎn)X_h和形心X_c連線的延長線上取一點(diǎn)X_r，并使

X_r=X_c+α（X_c-X_h） （1）

這一個(gè)過程稱之為反射，在此過程中產(chǎn)生的X_r點(diǎn)稱為最差點(diǎn)X_h的反射點(diǎn)。α為反射系數(shù)，且一般取α>1.檢查反射點(diǎn)X_r是否滿足全部約束條件，若反射點(diǎn)X_r滿足要求，且

f（X_r）h） （2）則用形心X_c替換最差點(diǎn)X_h，新的復(fù)合形組成，完成了一次迭代。如果不等式（2）得不到滿足，則應(yīng)該將反射系數(shù)減半。當(dāng)反射系數(shù)減至很小的時(shí)候，應(yīng)再次檢查目標(biāo)函數(shù)值是否滿足不等式（2），如果目標(biāo)函數(shù)值已滿足不等式（2），則新的復(fù)合形還是用反射點(diǎn)X_r替換最差點(diǎn)X_h進(jìn)行構(gòu)造;如果減到很小的時(shí)候（例如當(dāng)α≤10^-5時(shí)），目標(biāo)函數(shù)值仍然達(dá)不到式（2）的要求，則新的反射是將次差點(diǎn)X_g代替最差點(diǎn)X_h，通過新的反射，新的迭代過程就組成了。如果反射點(diǎn)X_r不在可行域內(nèi)，也應(yīng)該將反射系數(shù)α減半。如此反復(fù)進(jìn)行迭代，直至目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到收斂準(zhǔn)則的要求為止。

2改進(jìn)后的復(fù)形法及可靠性指標(biāo)的計(jì)算

在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中，坐標(biāo)原點(diǎn)到極限狀態(tài)面的最短距離為可靠性指標(biāo)β的定義。根據(jù)此定義，把計(jì)算可靠性指標(biāo)轉(zhuǎn)化為最優(yōu)數(shù)學(xué)模型如下：

⑦若單純形的所有頂點(diǎn)都滿足：

g（x）≤0（10）則停止迭代并輸出最好點(diǎn)x₁及目標(biāo)函數(shù)值g（x₁），完成初始復(fù)形的構(gòu)造（如圖2所示）。

（II）進(jìn)行復(fù)形法的迭代計(jì)算

①目標(biāo)函數(shù)為求解可靠性指標(biāo)β，約束函數(shù)則為結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)g（x），目標(biāo)函數(shù)值是通過復(fù)合形各個(gè)頂點(diǎn)的代人，從而找出目標(biāo)函數(shù)的最大值β（x_t）及最差點(diǎn)x_t：

β（x_t）=max{β（x_m）（m=1，2，…，n+1）] （11）找出次差點(diǎn)x_b：

β（x_b）=max{β（x_m）（m=1，2，…，n+1;但m≠t）} （12）找出最好點(diǎn)x_w：

β（x_w）=min{β（x_m）（m=1，2，…，n+1）} （13）

②計(jì)算除最差點(diǎn)x_t外其他各頂點(diǎn)的形心x_c：把形心x_c代人約束函數(shù)g（x）≥0中，檢查其可行性。

③如果形心x_c滿足約束條件，則沿著（x_c-x_t）方向求得反射點(diǎn)x_r，由式：

x_r=x_c+α（x_c-x_r） （15）式中的反射系數(shù)α≥1，可以取α=1.3.如果反射點(diǎn)x_r不滿足約束條件，則應(yīng)將α值減半之后，計(jì)算新的反射點(diǎn)x_r，如此反復(fù)計(jì)算，直到計(jì)算所得到的反射點(diǎn)x_r滿足所有約束條件為止。如果反射點(diǎn)x_r不滿足結(jié)構(gòu)功能函數(shù)的所有約束條件，則返回步驟（I）重新構(gòu)造初始復(fù)形。

④把反射點(diǎn)x_r代入目標(biāo)函數(shù)中得到β（x_r），如果

β（x_r）<β（x_t） （16）時(shí)，則新的復(fù)形是由反射點(diǎn)x_r替換最差點(diǎn)x_h而組成，完成一次迭代后并轉(zhuǎn)入步驟①，否則轉(zhuǎn)入步驟⑤。

⑤如果

β（x_r）>β（x_t） （17）則將α值減半之后，反射點(diǎn)x_r重新計(jì)算。這時(shí)如果β（x_r）<β（x_t）且反射點(diǎn)x_r滿足所有約束條件，則轉(zhuǎn)入步驟④。反射點(diǎn)x_r不滿足所有約束條件，則應(yīng)再將α值減半之后，如此反復(fù)計(jì)算，得出反射點(diǎn)x_r和目標(biāo)函數(shù)值β（x_r）。如果經(jīng)過多次減半α值后，并使α值已經(jīng)縮小到了給定的一個(gè)很小的正數(shù)ζ（例如ζ=10^-5）以下，仍然得不到滿足要求的反射點(diǎn)x_r和目標(biāo)函數(shù)值β（x_r）時(shí)，則可將最差點(diǎn)x_t換成次差點(diǎn)x_b并轉(zhuǎn)入步驟②。然后重新進(jìn)行新的迭代計(jì)算，直到得到的反射點(diǎn)x_r和目標(biāo)函數(shù)值β（x_r）滿足計(jì)算精度為止，如圖3所示。即當(dāng)復(fù)合形已經(jīng)收縮到很小的值時(shí)，各頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值均滿足

3算例分析

3.1算例1

假設(shè)指數(shù)型功能函數(shù)

g（x）=exp（0.2x+1.4）-x₂其中，變量x₁和x₂均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即x_i～N（0，1）（i=1，2），求解可靠性指標(biāo)。

圖4是此算例的迭代過程，采用本文方法無須計(jì)算功能函數(shù)的梯度，得到了驗(yàn)算點(diǎn)（-1.6798，2.8981），并最終計(jì)算得到的可靠性指標(biāo)為β=3.3497.由表1可以看出，本文方法與其他基本方法計(jì)算得到結(jié)果是一致的，證明了本文方法的可靠性與實(shí)用性。

3.2算例2

似設(shè)功能函數(shù)具有如下形式：

計(jì)算結(jié)果及復(fù)形法尋優(yōu)迭代過程如表2、圖5所示，從表2、圖5中可以看出，此二維高階隨機(jī)變量問題屬于高非線性問題，HL-RF法和經(jīng)典響應(yīng)面法因其非線性程度太高而不收斂，但本文方法不僅避開了梯度的計(jì)算，而且準(zhǔn)確的得到了驗(yàn)算點(diǎn)和可靠性指標(biāo)。從計(jì)算結(jié)果表明，本文方法在高非線性功能函數(shù)計(jì)算得到的精度表現(xiàn)良好且非線性越高表現(xiàn)越好。

3.3工程實(shí)例

其中，基本隨機(jī)變量ω——分布荷載，E——彈性模量，I——慣性矩，均服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立，其分布參數(shù)如表3所示。

先用單純形構(gòu)造初始復(fù)形，然后用復(fù)合形進(jìn)行數(shù)值迭代計(jì)算，得到驗(yàn)算點(diǎn)和可靠性指標(biāo)。計(jì)算結(jié)果如表4所示。不難看出，本文方法計(jì)算得到的驗(yàn)算點(diǎn)與HL-RF法相差不大，可靠性指標(biāo)與失效概率與其他方法計(jì)算得出的結(jié)果一致，而且本文方法無需計(jì)算功能函數(shù)的梯度。對于多維非線性問題功能函數(shù)的可靠性指標(biāo)求解，本文方法的計(jì)算結(jié)果精度很高。Monte carlo法的隨機(jī)性比較大，所以相對于其他方法的精度也會比較低。而本文方法在隨機(jī)性上做了一定的優(yōu)化，使得驗(yàn)算點(diǎn)更靠近失效面，并且在實(shí)際T程中具有一定的適用性，隨著功能函數(shù)非線性程度越高，在計(jì)算效果方面更顯著。

4 結(jié)論

一般的結(jié)構(gòu)可靠性指標(biāo)的求解往往會涉及梯度計(jì)算，而本文提出了一種結(jié)合復(fù)合形建立最優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型來求解可靠性指標(biāo)，在此計(jì)算過程無需計(jì)算任何函數(shù)的梯度，使得可靠性指標(biāo)的求解更加簡單、方便。通過幾個(gè)算例的計(jì)算，表明了本文方法在求解多維高非線性問題的可靠性指標(biāo)時(shí)的有效性以及在精度上的優(yōu)越性，在工程中具有一定的適用性。