林 陽，封周權，華旭剛，陳政清

(湖南大學風工程與橋梁工程湖南省重點實驗室，湖南，長沙 410082)

顫振導數是表征橋梁斷面氣動特性的重要參數之一，對于一般的橋梁斷面，目前多通過風洞試驗[1]或流體動力學模擬[2_3]來得到顫振導數。在風洞試驗中，識別橋梁節(jié)段模型顫振導數的主要方法有均勻流風場的自由振動法[4_7]和強迫振動法[8_9]以及紊流風場的隨機激勵法[10_11]；其中均勻流風場自由振動法識別顫振導數是其中較為簡便的方法。1998年，張若雪[12]提出了基于豎彎信號和扭轉信號總體誤差最小的總體最小二乘法(ULS)，用于識別顫振導數。為了解決豎彎信號和扭轉信號幅值差異所造成的識別誤差問題，丁泉順[13]基于 ULS法在整體誤差函數中引入了一個平衡豎彎和扭轉信號權重的加權因子，提出了修正最小二乘法(MLS)。2017年，李加武等[14]通過加權矩陣對加權因子進行細化，提出了加權矩陣最小二乘法(WLS)，對高噪聲處信號取較小權值，低噪聲處信號取較大權值。在自由振動試驗中，通常在同一風速下對節(jié)段模型進行多次激振，采集多組同風速下的自由振動衰減信號，以提高識別精度[15]。為了解決同一風速下多次激振的自由振動信號識別誤差問題，李永樂等[16]提出了加權整體最小二乘法(WELS)，對相同風速下N次采樣的各時程信號進行加權，避免了識別過程中弱信號被強信號所“淹沒”。除了基于最小二乘原理的識別方法，部分學者還提出了基于特征系統(tǒng)實現(xiàn)理論的識別算法[17_18]。

使用最小二乘原理對橋梁斷面的顫振導數進行識別時，所構造的目標函數是含有多個待求參數的非線性函數，在求解該優(yōu)化問題時，可以使用梯度下降算法[19]或者隨機搜索方法[20]。使用傳統(tǒng)迭代算法求解時需要使用迭代初值，且初值對識別結果具有一定的影響，欠佳的初值可能只得到一個局部最優(yōu)解。為解決這一難題，可采用生物啟發(fā)類的全局優(yōu)化算法，人工蜂群算法就是其中性能較為優(yōu)異的一種。人工蜂群算法最先由土耳其學者Karaboga[21]于 2005年提出，是一種模擬蜂群群體尋找優(yōu)良蜜源的智能仿生計算方法。從算法尋優(yōu)機理來看，該方法是一種進行廣義鄰域搜索的智能算法，通過采蜜蜂、觀察蜂和偵察蜂三種蜂的轉換，不僅能有效地進行局部鄰域搜索，還具有全局尋優(yōu)能力。人工蜂群算法對待優(yōu)化的目標函數無特殊要求，也不需要特定的初值，算法本身具有全局收斂能力，因此初值可設為特定值或者隨機值，參數可搜索的范圍較廣，算法適應性比較強。本文基于最小二乘原理，將豎彎和扭轉信號的整體殘差平方和作為目標函數，使用人工蜂群算法對中間參數進行識別，進而識別出橋梁斷面的顫振導數。

1 節(jié)段模型自由衰減振動的數學模型

根據Scanlan橋梁顫振導數理論，橋梁斷面的自激升力和自激力矩的表達式為[22]：

式中：Lse、Mse分別為自激升力和自激力矩；ρ為空氣密度；U為平均風速；K=Bω/U為折算頻率；B為模型寬度；h、α分別為模型的豎向線位移和扭轉角位移；為顫振導數。

在氣動自激力的作用下，彎扭兩自由度橋梁節(jié)段模型運動微分方程為：

式中：m、I分別為單位長度模型質量和質量慣性矩；ζh、ζα分別為豎彎和扭轉阻尼比；、分別為豎彎和扭轉圓頻率。

將式(1)、式(2)分別代入式(3)、式(4)，經整理后可得：

式中：

將式(5)和式(6)寫成矩陣形式：

求解方程式(8)可得到自由振動響應。

矩陣A具有復共軛特征值以及復共軛特征向量令：

則自由振動豎彎h和扭轉α信號時程響應估計值為：

式中，ci、di、ei、fi(i=1,2)是由初始條件決定的常數。

式(10)和式(11)中的ai、bi、ci、di、ei、fi(i=1, 2)為 12個待求中間參數，其中ci、di、ei、fi(i=1, 2)為8個線性參數，ai、bi(i=1, 2)為4個非線性參數。通過人工蜂群算法求出這 12個參數，進而識別出顫振導數。

設豎彎信號h和扭轉信號α的時程長度為m，h和α時程實測值和估計值之間誤差分別為：

相應地，豎彎信號和扭轉信號實際值和估計值之間誤差的權值分別為：

豎彎信號的權值可取扭轉信號的最大值，扭轉信號的權值可取豎彎信號的最大值[13]。

豎彎信號和扭轉信號誤差平方和函數分別為：

總體誤差平方和函數為：

下面討論如何求解12個待求中間參數。

由λi＝ai+ibi，記：

式中，k=1, 2, …，m，m為振動采樣記錄總點數。

則總體誤差平方和函數為：

通過交叉迭代的方法可以求解 12個中間參數ai、bi、ci、di、ei、fi(i=1, 2)。該問題本質上屬于優(yōu)化問題，本文采用人工蜂群算法得到使總體誤差目標函數J最小的最優(yōu)解。

將式(8)中的狀態(tài)向量Y寫成Y=的形式，將狀態(tài)向量寫成的形式。矩陣P和Q由12個中間參數組成，且

系統(tǒng)矩陣A=QP-1，從系統(tǒng)矩陣中可確定顫振導數。

2 人工蜂群算法基本原理及求解步驟

人工蜂群算法是受自然界中蜜蜂采蜜行為啟發(fā)而產生的一種生物啟發(fā)式算法。人工蜂群算法的尋優(yōu)過程參照了蜜蜂尋找最優(yōu)蜜源的機理。負責尋找新蜜源的偵察蜂外出隨機尋找蜜源，一旦尋找到蜜源，偵察蜂就轉變?yōu)椴擅鄯?。采蜜蜂記錄所采的蜜源信?蜜源好壞和蜜源位置)并與觀察蜂分享。觀察蜂接收采蜜蜂分享的蜜源信息并依據蜜源的好壞對蜜源進行選擇，較好的蜜源吸引到觀察蜂的概率較大，被蜜源吸引的觀察蜂轉化為采蜜蜂。采蜜蜂分享蜜源信息后，根據記憶，在原蜜源附近選擇一個新的蜜源，若在附近找不到更好的蜜源，采蜜蜂則放棄該蜜源，成為偵察蜂，隨機尋找新的蜜源[23]。

將人工蜂群算法應用到顫振導數識別上，蜜源對應于由參數確定的橋梁振動數學模型，蜜源的好壞與數學模型對橋梁斷面響應預測的精確程度相對應，本文由最小二乘總體誤差平方和函數來度量。誤差函數值越小，數學模型對真實系統(tǒng)的預測越精確，相對應蜜源越好，最好的蜜源則對應已有信息下數學模型對真實系統(tǒng)的最佳估計。

基于自由振動響應信號將人工蜂群算法應用于橋梁斷面顫振導數識別的基本步驟如下(見圖1)。

1)蜜蜂種群的初始化：蜜蜂的總數為N(其中采蜜蜂為Ne，觀察蜂為Nu)，蜜蜂個體向量維度為4(a1,b1,a2,b2)，S為個體搜索的待定參數空間。是Ne個個體，則X=(X1,X2, …,代表一個采蜜蜂種群。用X(0)表示初代采蜜蜂種群，X(n)表示第n代采蜜蜂種群。

2)n=0時刻，在搜索空間內隨機生成Ns個可行解可行解Xi為：

式中，j取值于{1，2，3，4}，為 4維解向量的某個分量。

3)計算[C]，[S]，A1，B1，D1，Xh，Yh，Xα，Yα。計算ci、di、ei、fi(i=1, 2)。計算總體誤差平方和函數J，根據蜜源的收益度計算各向量的“收益度”函數值，將排名靠前一半的蜜蜂作為初代采蜜蜂X(0)。

4)對于第n代的采蜜蜂X(n)，在搜索空間內從其位置向附近鄰域搜索新位置，所采用的搜索公式為：

式中，j取自于{1，2，3，4}，k取自于且k不等于i，k和i隨機生成。

圖1 人工蜂群算法流程Fig.1 The flowchart of the ABC algorithm

5)在采蜜蜂搜索到的新向量new-Xi和原位置向量Xi中，選取“收益度”較大的，保留給下一代，這保證了種群能夠保留精英個體，使得進化方向不會后退。

6)觀察蜂依據采蜜蜂“收益度”的大小選擇其所要跟隨的采蜜蜂，并在鄰域內搜索。

7)同步驟 4)和步驟 5)，并記下種群更新后的最優(yōu)“收益度”值，以及相應的參數。

8)在某只采蜜蜂的周圍，若搜索次數Bas達到一定的閾值Limit仍然沒有搜索到更優(yōu)的位置時，則初始化該采蜜蜂，隨機搜索新的位置。

9)若滿足停止準則，則停止計算并輸出最優(yōu)適應度值對應的參數，否則轉向步驟3)。

10)將人工蜂群算法識別出的 12個參數代入系統(tǒng)矩陣，計算出顫振導數。

3 理想平板模型仿真

3.1 仿真模型

為驗證人工蜂群算法識別橋梁斷面顫振導數的可行性，設計理想平板仿真模型，節(jié)段模型氣動自激力采用Theodorsen理論解[24]。模型參數為：平板寬0.45 m，單位長度質量11.94 kg，單位長度質量慣性矩0.532 kg·m2，豎彎基頻1.488 Hz，扭轉基頻2.966 Hz，豎彎阻尼比ζh=0.007，扭轉阻尼比ζα=0.002。豎彎信號的權值取扭轉信號的最大值，扭轉信號的權值取豎彎信號的最大值。將計算的理論參數代入式(7)中進行求解，得到仿真模型在各個風速下自由衰減時程。

3.2 顫振導數識別

3.2.1 添加白噪聲的識別結果

仿真計算風速增量為 2 m/s，為考察人工蜂群算法在混有測量噪聲時的識別精度，對無噪聲，添加 2%白噪聲、5%白噪聲、10%白噪聲水平的情況進行仿真，由于無噪聲的結果和理論解完全吻合，這里不再單獨列出。各個工況顫振導數識別結果如圖2所示。

從圖2可以看出，在2%小噪聲情況下，各個風速下用人工蜂群算法識別出的顫振導數和Theodorsen理論解非常吻合，識別值幾乎完全等于理論值；在 5%中等噪聲情況下，識別值與理論值有較少的偏差，其中識別值與理論值在低風速區(qū)間有一定的偏差，的識別值和理論值在高風速區(qū)間有一定的偏離；在10%大噪聲情況下，除顫振導數在部分風速下偏差較大外，其余顫振導數的識別值與理論值相差較小，且所有識別值與理論值趨勢性完全相同。在中高等白噪聲水平下，顫振導數中有部分識別結果與理論值出現(xiàn)了一些偏差，其余顫振導數識別值與理論值偏差很小。顫振導數仿真識別的結果表明，人工蜂群算法具有較好的抵抗白噪聲能力。

圖2 不同白噪聲水平下識別的顫振導數和Theodorsen理論解的對比Fig.2 Comparison on the flutter derivatives for Theodorsen’s theoretical solutions and identified results with different white noise levels

在計算效率方面，利用同一計算平臺(酷睿i5-6500CPU，內存 12G，MATLABR2017a)，分別采用ABC法和MLS法對某一風速下的顫振導數進行識別，識別結果收斂至同一精度，重復 20次計算，ABC算法平均用時為0.074 s，MLS法平均用時為0.017 s，采用ABC算法計算時無須提供初值，但會增加一定的計算時間，由于兩種方法的計算時間均較短，ABC法計算時間的增加幾乎可以忽略不計。

3.2.2 添加有色噪聲的識別結果

為多方面驗證人工蜂群算法的抗噪能力，對添加 2%有色噪聲、5%有色噪聲、10%有色噪聲水平的情況進行仿真，5%有色噪聲信號的功率譜如圖3所示。識別結果如圖4所示。

從圖4中可以看出，在添加2%有色噪聲的情況下，各顫振導數的識別值與Theodorsen理論解十分吻合，除的個別值出現(xiàn)一定的偏離外，其余識別值幾乎完全等于理論值；在添加 5%有色噪聲的情況下，、和有一定的偏離，其余識別值仍能與理論值吻合較好；在添加10%有色噪聲的情況下，A4*和 H2*與理論解偏離較大，其余識別值只在高風速下有稍大的偏離，且所有識別值與理論值都具有相同的趨勢性。識別結果表明，人工蜂群算法也具有較好的抗有色噪聲能力。

圖3 添加有色噪聲的功率譜Fig.3 Power spectrum of the non-white noise

圖4 不同有色噪聲水平下識別的顫振導數和Theodorsen理論解的對比Fig.4 Comparison on the flutter derivatives for Theodorsen’s theoretical solutions and identified results with different non-white noise levels

4 某大橋主梁斷面顫振導數

某大橋節(jié)段模型測振試驗在湖南大學風工程試驗研究中心 HD－2號風洞第一試驗段邊界層風洞中進行。模型設計參數為：縮尺比 1∶40；風速比1∶8；模型寬度B=0.28 m；質量m=14.327 kg/m；慣性矩I=0.6543 kg·m2/m。實橋主梁斷面和節(jié)段模型見圖5和圖6。

圖5 主梁標準斷面/mmFig.5 Typical cross section of main girder

風洞試驗進行了0°風攻角下的測振試驗，分別使用人工蜂群算法和 MLS算法對顫振導數進行識別，豎彎信號的權值取扭轉信號的最大值，扭轉信號的權值取豎彎信號的最大值，識別結果如圖7所示?；谧R別出的顫振導數，采用 M-S搜索法[22]計算顫振臨界風速，計算值為11.8 m/s，節(jié)段模型風洞試驗測得的顫振臨界風速為12 m/s，兩者相差1.56%，從而驗證了識別結果的準確性。從識別結果中可以看出：

圖6 風洞中的節(jié)段模型Fig.6 Sectional model in wind tunnel

圖7 ABC法和MLS法識別結果對比Fig.7 Comparison on the identified results for ABC method and MLS method

(1)人工蜂群算法與已有 MLS法的識別結果幾乎完全一致，且由識別的顫振導數計算出的顫振臨界風速與風洞試驗結果吻合較好，說明了人工蜂群算法在識別橋梁斷面顫振導數上的有效性。

(2)相比MLS迭代法，人工蜂群算法對初值沒有要求，識別精度與需要設定初值的迭代算法一致，這體現(xiàn)了群體智能算法在全局尋優(yōu)方面的優(yōu)勢。

5 結論

本文首先介紹了橋梁斷面彎扭兩自由度自由振動的數學模型，并建立了基于最小二乘原理的目標函數，進而將人工蜂群算法應用到顫振導數的識別，最后采用理想平板數值仿真和節(jié)段模型風洞試驗驗證了該方法的有效性。本文的數值仿真和試驗結論如下：

(1)應用人工蜂群算法對仿真理想平板進行識別，在無噪聲時，得到的顫振導數與Theodorsen理論解完全一致，表明在高風速下人工蜂群算法仍能精確地識別出顫振導數，可以克服風速較高時，信號衰減快，有效豎彎信號短對顫振導數識別帶來的困難。

(2)在2%小噪聲情況下，理想平板的識別結果與理論解幾乎完全吻合；在 5%中等噪聲情況下，識別結果有微小偏差；在10%大噪聲情況下識別結果與理論值的趨勢仍完全相同。這表明，人工蜂群算法具有較好的抗噪能力。

(3)對某大橋節(jié)段模型進行了風洞試驗，并分別采用人工蜂群算法和 MLS迭代法進行了顫振導數的識別，結果表明，人工蜂群算法與 MLS迭代法具有相同的精度，且不需要提供初值，體現(xiàn)了群體智能算法的優(yōu)勢。

綜上所述，識別橋梁斷面顫振導數的人工蜂群算法具有穩(wěn)定可靠、抗噪聲能力強、識別精度高的特點，可以作為橋梁斷面顫振導數識別的有效新工具。