呂 杰,韋煜明,彭華勤

(廣西師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院, 廣西 桂林 541006)

傳染病歷來是危害人類健康的大敵, 為尋求對其預防和控制的最優(yōu)策略, 建立能反映傳染病動力學特性的數(shù)學模型, 通過對其定性、定量分析和數(shù)值模擬, 來顯示疾病的發(fā)展過程和傳播規(guī)律[1]. KERMACK和MCKENDRICK提出了均勻混合原則[2], 從而建立了現(xiàn)在熟悉的倉室模型, 并得到了廣泛的應用. 許多研究人員在傳播和控制傳染性疾病方面取得了顯著進展, 如麻疹, 鼠疫, 水痘, 天花, 結核病, 肝炎等傳染病[3-5]. 在疾病發(fā)生時, 為了減少受感染人數(shù), 政府或組織通常會采取隔離措施. 此時的生物數(shù)學模型稱為SIQS流行病模型[6]:

其中,S表示易感人群數(shù)量,I表示受感染但未被隔離數(shù)量,Q表示受感染后被隔離數(shù)量,Λ為新進人口數(shù)量,μ表示自然死亡率,γ,ε分別表示受感染個體和被隔離個體的恢復率,α表示因病死亡率,β表示接觸率,δ表示已受感染個體的隔離率.

基于以上模型分析, 提出具有Beddington-DeAngelis發(fā)生率的雙流行病SIQS模型:

(1)

其中I1,I2表示被A病毒和B病毒的感染者數(shù)量,β1,β2分別為2種疾病的接觸率,γ1,γ2分別為2種疾病的恢復率,ai,bi(i=1,2)為抑制效果參數(shù),δ1,δ2分別為已受感染個體的隔離率,α1,α2,α3分別為2種疾病在I1,I2,Q中的因病死亡率,γ1,γ2,ε分別為2種疾病在I1,I2,Q中的恢復率.考慮到自然界的不確定性和隨機性, 許多學者提出了將隨機擾動引入微分方程的方法來揭示環(huán)境波動的影響[14].考慮由于環(huán)境波動和隨機擾動的強度, 假設因病死亡率和發(fā)生率在平均值上下波動, 本文提出隨機SIQS雙流行病模型:

(2)

本文第1部分將證明系統(tǒng)(2)的全局正解的存在和唯一性; 第2部分將分析疾病的滅絕性; 第3部分研究了一種遍歷平穩(wěn)分布的存在, 即疾病將在人群中流行, 不會滅絕; 第4部分將總結本文的主要結論并給出數(shù)值模擬.

1 全局正解的存在和唯一性

σ1(I1-1)dB1(t)-σ2(I2-1)dB2(t)-σ3(Q-1)dB3(t),

其中K為正整數(shù), 則有

σ2(I2-1)dB2(t)-σ3(Q-1)dB3(t),

對上式兩邊同時從0到τk∧T積分, 并求期望:

即

E(V(S(τk∧T)),I1(τk∧T),I2(τk∧T),Q(τk∧T)))≤

E(V(S(0),I1(0),I2(0),Q(0))+KE(τk∧T)≤E(V(S(0),I1(0),I2(0),Q(0))+KT.

(3)

令Ωk={τk:τk≤T}, ?k≥k1, 有P(Ωk)≥. 對?ω∈Ωk, 則至少存在一個S(τk,ω)或者I1(τk,ω) 或者I2(τk,ω)或者Q(τk,ω)等于k或等于即

由式(3),

V(S(0),I1(0),I2(0),Q(0))+KT≥

E(IΩk(ω)V(S(τk∧T),I1(τk∧T),I2(τk∧T),Q(τk∧T))≥

其中IΩk(ω)是示性函數(shù), 當k→∞時∞>V(S(0),I1(0),I2(0),Q(0))+KT=∞,矛盾, 故有τ∞=∞,得證. 即存在全局唯一正解.

2 疾病的滅絕性

證對系統(tǒng)(2)應用It公式可得

(4)

兩邊同時求積分并除t可得

同理, 若H(σ2,σ5)<μ+α2+γ2+δ2, 那么系統(tǒng)(2)的疾病B將會滅絕.

由定理2可知,相對大的噪音強度會促使疾病滅絕.

3 系統(tǒng)的平穩(wěn)分布和遍歷性

本節(jié)主要討論系統(tǒng)(2)的2種流行病的持久性, 對于確定性模型, 此問題常通過給出有病平衡點是一個全局吸引子或是全局漸近穩(wěn)定的來解決, 但隨機系統(tǒng)(2)不存在有病平衡點, 故本節(jié)應用KHAS’MINSKII[15]的平穩(wěn)分布, 反映疾病是否流行.

引理1[15]Markov過程X(t)存在平穩(wěn)分布π(·),f(·) 為關于測度π可積的函數(shù), 對?x∈n, 如果存在具有正則邊界Γ的有界區(qū)域D?n且滿足:

(ii)存在非負C2函數(shù), 使得對?x∈nD,LV是負的，其中：

定理3假設

證若要證明定理3, 只需證明引理1的2個條件滿足.

V(S,I1,I2,Q)=p1(-lnS-c1lnI1)+p2(-lnS-c2lnI2)+(S+I1+I2+Q)ρ+1-lnS-lnQ:=

p1V1+p2V2+V3+V4+V5,

其中：

常數(shù)p1,p2,ρ滿足以下條件:

(6)

(7)

(8)

其中：

LV3=(ρ+1)(S+I1+I2+Q)ρ(Λ-μS-(μ+α1)I1-(μ+α2)I2-(μ+α3)Q)+

其中：

故

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

當ε2,ε3充分小的時候, 由條件(6)可得條件(10), 由條件(7)可得條件(11).有

(A1) 當(S,I1,I2,Q)∈D1時, 應用條件(9)可得

(A2) 當(S,I1,I2,Q)∈D2時, 應用條件(10)可得

(A3) 當(S,I1,I2,Q)∈D3時, 應用條件(11)可得

(A4) 當(S,I1,I2,Q)∈D4時, 應用條件(12)可得

(A5) 當(S,I1,I2,Q)∈D5時, 應用條件(13)可得

(A6) 當(S,I1,I2,Q)∈D6時, 應用條件(14)可得

(A7) 當(S,I1,I2,Q)∈D7時, 應用條件(15)可得

(A8) 當(S,I1,I2,Q)∈D8時, 應用條件(16)可得

(ii)系統(tǒng)(2)的擴散矩陣為

4 數(shù)值模擬

用Milstein方法[17]來驗證所得主要結果的有效性, 并總結本文的重要結論. 首先將模型(2)離散化

其中ξi(k)(i=1,2,3,4,5,k=1,2,3,…,n) 是服從N(0,1) 分布的獨立的隨機變量.

4.1 疾病的滅絕性

首先當系統(tǒng)(2)中σ1=σ2=σ3=σ4=σ5=0 時為SIQS確定性模型, 即不受環(huán)境干擾的情況, 取參數(shù)Λ=1,μ=0.1,β1=0.5,β2=0.7,γ1=0.1,γ2=0.1,δ1=0.1,δ2=0.2,α1=0.1,α2=0.2,α3=0.2,a1=1,a2=1,ε=0.1,b1=2,b2=1, 確定性模型隨時間t變化的趨勢如圖1.

由定理2可知, 當H(σ1,σ4)<μ+α1+γ1+δ1且H(σ2,σ5)<μ+α2+γ2+δ2時, 2種疾病消亡. 如圖2, 給定的初值為(S(0),I1(0),I2(0),Q(0))=(10,5,5,5). 此時選取受環(huán)境擾動的參數(shù)值分別為:σ1=0.1,σ2=0.2.σ3=0.1,σ4=0.5,σ5=0.5. 滿足條件H(σ1,σ4)<μ+α1+γ1+δ1,H(σ2,σ5)<μ+α2+γ2+δ2.

圖1 確定性系統(tǒng)(S,I1,I2,Q)的軌跡 Fig.1 The paths of S, I1, I2 and Q for the determin-isticmodel 圖2 隨機系統(tǒng)(S,I1,I2,Q) 在σ1=0.1, σ2=0.2, σ3=0.1, σ4=0.5, σ5=0.5下的軌跡Fig.2 The paths of S, I1, I2 and Q for the stochastic modelwith noise intensities σ1=0.1, σ2=0.2, σ3=0.1,σ4=0.5, σ5=0.5

4.2 疾病在均值意義下的持久性

由定理3可知:

由圖6可知, 系統(tǒng)(2)存在唯一的遍歷平穩(wěn)分布, 即圖5和圖6都可驗證系統(tǒng)(2)中2種疾病在此狀態(tài)下持久.

5 主要結論