熊志鑫， 黃志權， 張道兵， 胡雄

(1.上海海事大學 海洋科學與工程學院，上海 201306； 2.上海海事大學 物流工程學院，上海 201306)

潛器在水下工作時承受很大的深水壓力，其耐壓殼多采用球形結構[1]。在研制大深度潛器的設計中，耐壓球殼結構的強度與穩(wěn)定性分析是設計的關鍵技術之一，受到越來越多研究人員的關注[2-3]。隨著研究的不斷深入和安全性能要求的不斷提升，結構的強度問題由完善耐壓球殼研究深入到觀察窗[4]、含開孔[5]、考慮焊接效應[6]、帶初始撓度[7]等缺陷的殼體研究。針對含有初始缺陷球殼的非線性失穩(wěn)方面的研究，主要是基于局部缺陷[8]和模態(tài)缺陷[9]展開。出于耐壓殼安全性考慮，模態(tài)缺陷往往被作為最差缺陷引入。歐洲標準明確指出，幾何缺陷的形狀應取最差缺陷，即導致殼體屈曲載荷下降最快的缺陷[10]。在最差缺陷形狀未知的情況下，建議采用模態(tài)缺陷來分析殼體的屈曲特性。第一階線性屈曲失穩(wěn)模式往往被作為最差缺陷引入[11]，這在鋼結構行業(yè)中也稱為一致缺陷模態(tài)法[12]。但是，對具有相近分立特征值殼體，存在多模態(tài)屈曲現象，第一階線性屈曲失穩(wěn)模式往往不是最差缺陷，高階線性屈曲失穩(wěn)模式也可能導致較低的屈曲載荷[13]。文獻[14]研究了多種缺陷形式對軸壓柱形殼體屈曲特性的影響規(guī)律，發(fā)現第一階線性屈曲失穩(wěn)模式并非柱形殼體的最差模態(tài)缺陷。

為此，本文研究了基于前15階模態(tài)缺陷耐壓球殼的極限強度，比較了各階模態(tài)缺陷對應極限強度的差值，并在210種不同隨機缺陷樣本的統(tǒng)計基礎上，研究各階模態(tài)缺陷計算對應的可靠性。在可靠性較高的模態(tài)缺陷條件下，分析不同半徑厚度比對缺陷幅度的敏感度。

1 模態(tài)缺陷方法

工程分析結構缺陷的常用方法是用一階屈曲模態(tài)模擬結構的初始幾何缺陷，這種方法在確定結構的缺陷敏感性時是十分有效的，但不一定是最差缺陷狀態(tài)。模態(tài)缺陷方法則是將特征值屈曲分析計算得出的前N(N是正整數)階模態(tài)作為結構的N個初始缺陷的分布模式。分別計算這N個模態(tài)缺陷形態(tài)對應的臨界屈曲荷載，比較它們的大小，并進行可靠度分析。本文以耐壓球殼的前15階屈曲模態(tài)作為研究對象展開分析。

1.1 計算模型

文獻[15]分析了一種鈦合金深潛耐壓球殼的極限強度，并得到了極限強度計算的經驗公式。其所采用球殼模型的參數為：內徑D=2 100 mm，殼厚t=10 mm，材料彈性模量E=1.148×105MPa，泊松比υ=0.3。

建立上述球殼的有限元模型，模型單元為減縮四邊形單元S4R，單元網格大小為50 mm，共得到23 330個單元節(jié)點和7 776個四邊形單元。邊界條件使用簡支的三點約束6自由度的方法，在x軸上的2個節(jié)點分別添加條件約束y軸和z軸方向的位移即T2=T3=0，在y軸上的1個節(jié)點添加條件約束x軸和z軸方向的位移即T1=T3=0[9]。

文獻[16]計算得出該耐壓球殼結構在完善狀態(tài)下的極限強度為12.51 MPa。

1.2 計算結果

采用模態(tài)缺陷法，將上述耐壓球殼的前15階彈性屈曲模態(tài)作為結構的初始幾何缺陷分布形態(tài)，對其進行極限強度計算：1)進行耐壓殼結構特征值屈曲分析，提取結構前15階屈曲模態(tài)。2)參考相關規(guī)范和實際制造誤差，確定最大缺陷幅值[17]，并引入計算模型。3)采用弧長法對結構進行非線性屈曲分析。施加不同初始缺陷后，結構的非線性屈曲計算結果如表1所示。

表1 屈曲模態(tài)階數與對應的極限強度(最大缺陷幅值為1.758 3 mm)Table 1 Buckling mode and ultimate strength (the maximum defect amplitude is 1.758 3 mm)

從表1可以看出，考慮1～15階屈曲模態(tài)缺陷后，耐壓球殼的極限強度在第5階模態(tài)缺陷條件下達到最大值為7.23 MPa，在第15階時最小值為6.20 MPa，分別為完善球殼的59.5%和51.0%。由上述計算結果可以看出：結構對初始幾何缺陷較為敏感，極限強度較完善球殼大幅降低；按一致缺陷模態(tài)法施加的第1階屈曲模態(tài)并非結構的最不利初始缺陷。因此，需要考慮前幾階甚至前幾十階的模態(tài)缺陷條件進行比較，才能較準確評估耐壓殼結構的安全性。

2 不同模態(tài)缺陷的可靠度計算

為了評估上述若干階模態(tài)缺陷條件耐壓殼結構的可靠性，引入隨機缺陷模態(tài)法[18]，求出極限荷載對應的概率分布。

在工程設計中，隨機缺陷方法能夠較為真實地反映結構的工作性能，所求的的極限荷載結果更能客觀地反映結構的情況。假設耐壓球殼在生產制造中導致的缺陷遵循正態(tài)分布[19]，即是球殼有限元模型的各個網格節(jié)點在x、y、z3個方向的坐標值符合各節(jié)點理論坐標值的均值為μ，待求值σ為方差的正態(tài)分布。假定各節(jié)點的位移誤差為±δ，實際坐標值為X1，理論坐標值為X0，則符合正態(tài)分布的各節(jié)點坐標值滿足如下分布：

(1)

通過坐標位置偏差作為隨機缺陷引入原始模型，相繼建立210組球殼隨機模型用于非線性屈曲計算分析。對210個樣本進行非線性屈曲計算，結果的統(tǒng)計直方圖如圖1所示。其中，極限荷載最大值為7.83 MPa，最小值為5.58 MPa，均值7.22 MPa。

圖1 極限荷載值統(tǒng)計分布Fig.1 The statistical distribution of ultimate loads

由圖1可知，極限荷載值的統(tǒng)計直方圖符合正態(tài)分布特征。隨機缺陷模態(tài)法計算耐壓球殼的臨界屈曲荷載服從均值μ=7.22,方差σ=0.324 的正態(tài)分布規(guī)律。根據正態(tài)分布函數可以對每一階模態(tài)對應的臨界屈曲荷載進行可靠度計算，計算結果如表2所示。

表2 1～15階模態(tài)缺陷極限強度值的可靠度Table 2 Reliability of ultimate strength from the 1～15th order modal imperfections

由表2可以看出，第1階、10階、14階和15階模態(tài)缺陷具有99%以上的可靠度，其中第15階模態(tài)缺陷的可靠度最高，達到99.94%。

3 缺陷敏感性分析

當考慮結構的初始缺陷后，其非線性屈曲的分析變得更為復雜。結構對初始缺陷的敏感性分析將有助于進一步了解結構的屈曲性能。本文第1節(jié)是基于標準規(guī)范允許的最大缺陷作為幅值分析了最大幾何缺陷對極限強度的影響程度。但是，工程制造中可能存在更多其他缺陷值情況。因此，需要計算不同的缺陷幅值對耐壓殼的影響，進一步明確耐壓殼失穩(wěn)的機理，為耐壓殼的設計提供參考。

3.1 缺陷幅值對臨界屈曲荷載的影響

為分析缺陷幅值對臨界屈曲壓力的影響，在確定厚度t和半徑Rm后，對每類球殼設置不同的缺陷幅值，再計算得到每個缺陷幅值對應的臨界屈曲壓力。計算結果的曲線如圖2所示。圖2中分析計算選取的厚度t為10、15、20、 25、 35、45、55、65、75、85, 95、105 mm，共12組。缺陷幅值為0.1、0.3、0.5、0.7、1、2、4、6、8、10 mm，共10組。

從圖2所示的曲線可以看出，隨著缺陷幅值的不斷增加，結構的臨界屈曲壓力值近似均勻下降，沒有出現跳躍的現象，且不同厚度耐壓球殼的臨界屈曲荷載呈現近似的線性關系。不同厚度對應的耐壓殼臨界屈曲壓力值下降的幅度值可以作為進一步作為結構敏感性分析的參考因素。因此，觀察缺陷幅值較小的0.1～1 mm曲線段，由12組不同厚度t從小到大增加時，臨界屈曲壓力降低的幅度是逐漸減小的。由此可見，當耐壓殼的厚度增加時，其對結構的敏感度是降低的。

圖2 耐壓球殼缺陷幅值δm與臨界屈曲荷載Pcr關系Fig.2 Relationship between imperfection amplitude δm of pressure spherical hull and critical buckling loads Pcr

3.2 厚度半徑比對臨界屈曲荷載的影響

基于不同的缺陷幅值，建立厚度半徑比(t/Rm)與臨界屈曲壓力值的對應關系，可以量化表達不同尺度耐壓球殼對某幅值模態(tài)缺陷的敏感程度。同樣分析Rm保持不變，球殼厚度t從10～105 mm的12組耐壓殼，可以得到相關的臨界屈曲壓力曲線，為含缺陷的耐壓殼設計提供參考。如圖3所示，共有10根曲線，每根曲線含有12個計算點。

圖3 耐壓球殼t/Rm值與臨界屈曲壓力Pcr的關系Fig.3 Relationship between t/Rm of pressure spherical shell and critical buckling pressure

由圖3可知，隨著厚度半徑比(t/Rm)的不斷增大，耐壓殼的臨界屈曲壓力也在呈現斜線增長，且每根斜線間具有相似的斜率和均勻的間距。為進一步細化研究缺陷對耐壓殼承載能力的影響，比較相同的厚度半徑比時，不同對應缺陷幅值對應的耐壓球殼臨界壓力差值。此處的不同缺陷幅值主要是缺陷幅值為0.1 mm(δ=0.1)和10 mm(δ=10)。圖4是上述12組臨界壓力差值曲線。圖4中，縱坐標值ΔPcr即是表示臨界壓力差值，具體計算表達為ΔPcr=Pcr(δ=0.1)-Pcr(δ=10)，Pcr(δ)為含缺陷幅值為δ的臨界壓力值。由圖4可以得出，臨界壓力差值曲線大致可以分為3段：在t/Rm<0.033時，隨著t/Rm值的增大，ΔPcr值也是逐漸增大且差值幅值較大，結構對缺陷的敏感度是逐漸增強的；在0.033≤t/Rm<0.06時，ΔPcr值隨著t/Rm值的增大反而減小，且其降低幅度相對變小，結構對缺陷的敏感度是逐漸減弱的；0.06

圖4 t/Rm值對應的臨界屈曲壓力差值ΔPcrFig.4 Critical buckling pressure difference for different t/Rm of spherical shell

3.3 厚度半徑比對臨界屈曲荷載相對值的影響

為進一步研究不同的缺陷幅值相對完善球殼的影響，計算不同厚度半徑比(t/Rm)得到臨界屈曲壓力值，并取臨界屈曲壓力值Pcr與理想完善球殼的彈性屈曲壓力值Pperfect的比值Pcr/Pperfect為縱坐標，得到相對值曲線圖，如圖5所示。

圖5 球殼的半徑厚度比與相對極限強度的關系Fig.5 Relationship between t/Rm of spherical shell and Pcr/Pperfect

由圖5可知，不同缺陷幅值的臨界壓力相對值走勢比較相近，整體上呈現相對值降低的形態(tài)。隨著t/Rm值的增大，所有相對值曲線的變化率也是在不斷減小的。隨著缺陷幅值的增大，不同缺陷幅值的比值差值是變小的，且最后均定格在0.15～0.2。一些曲線在t/Rm值為0.015 處出現拐點，反映出結構對缺陷幅值的敏感性存在特殊點，在該點時，相對值取得極大值，這在設計中需要特別引起關注。除此以外，隨著厚度的不斷增加，耐壓球殼對缺陷的敏感性是不斷降低的，直至最后缺陷值幅度的影響甚微。

4 結論

1)耐壓球殼采用結構的第1階屈曲模態(tài)并非最差初始幾何缺陷分布形態(tài)。為找到最差的初始缺陷，可以采用結構的前若干階屈曲模態(tài)作為初始缺陷進行比較。然后，采用樣本數較大的隨機模態(tài)法可以合理評估其各階模態(tài)缺陷對應計算結果的可靠度。

2)初始缺陷對耐壓球殼有較大的影響，考慮最大幅值為平均半徑的1/20的初始幾何缺陷后，結構的極限強度最低僅為完善球殼的51%左右。

3)隨著缺陷幅值的增大，不同厚度球形耐壓殼結構的臨界屈曲載荷不斷下降，其下降趨勢呈現近似的線性關系。如果結構的厚度半徑比的逐漸增大，耐壓殼結構承載能力會則變得相對穩(wěn)定，缺陷幅值對其極限強度的影響將逐漸減弱。