蔡慧鴻

[摘 要]函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題的思想。它是高中數(shù)學(xué)解題的重要思維策略，是一種考慮對(duì)應(yīng)、運(yùn)動(dòng)變化、相依關(guān)系，以一種狀態(tài)確定地刻畫另一種狀態(tài)，由研究狀態(tài)過渡到研究變化過程的思想方法。函數(shù)比較抽象，學(xué)生單純依靠題意和理論理解難度很大，這就要求學(xué)生必須運(yùn)用一定的數(shù)學(xué)思想才能化繁為簡(jiǎn)，以達(dá)到理清函數(shù)的本質(zhì)，并找到抽象問題解決的突破口，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)完美解答的目的。本文以函數(shù)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用為研究載體，闡述培養(yǎng)學(xué)生多元思維的方法。

[關(guān)鍵詞]函數(shù)思想;構(gòu)造函數(shù);函數(shù)模型;函數(shù)性質(zhì)

近年來，高考數(shù)學(xué)試題落實(shí)新課程標(biāo)準(zhǔn)要求，以高中數(shù)學(xué)六大主干知識(shí)為考查的重難點(diǎn)，同時(shí)兼顧向量、不等式等非主干知識(shí)，通過模塊間的綜合、滲透，突出能力的考查，力求綜合考量學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，包括數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模和直觀想象等核心素養(yǎng)。高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)是提高學(xué)生的解題能力，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用意識(shí)，不斷提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。高中數(shù)學(xué)題型多變，如何快速、正確解題也成為影響學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)提高的重要因素。分析發(fā)現(xiàn)，高中數(shù)學(xué)解題并非無章可循，應(yīng)用正確的數(shù)學(xué)思想往往能達(dá)到事半功倍的效果。其中，函數(shù)思想是重要的一種思維策略。那么，如何引領(lǐng)學(xué)生應(yīng)用函數(shù)思想來解題呢？

一、將代數(shù)式看作函數(shù)來解題

解答高中數(shù)學(xué)部分題型時(shí)，直接進(jìn)行解答難度較大，而且部分學(xué)生因無法處理已知量與未知量之間的關(guān)系，導(dǎo)致解題出錯(cuò)。此時(shí)，如能結(jié)合題目中的已知條件，將代數(shù)式看作函數(shù)來解題，可使數(shù)學(xué)解題柳暗花明。函數(shù)思想的應(yīng)用意識(shí)培養(yǎng)，要求教師多呈現(xiàn)相關(guān)題型，通過對(duì)比分析提升學(xué)生的代入感，并在解題中形成良好的思維習(xí)慣。

例如，已知函數(shù)f（x）=ax3-x+1，為能保證x∈[-2，3]，總有f（x）≥0成立，請(qǐng)問實(shí)數(shù)a的取值范圍是什么？

分析：解答該類恒成立問題的題目時(shí)，不少學(xué)生認(rèn)為應(yīng)將a分離出來而后進(jìn)行解答，此種解題思路是正確的，不過在分離參數(shù)之前，應(yīng)當(dāng)先通過對(duì)式子、數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，顯然本題在分離參數(shù)a時(shí)，不等式兩邊同時(shí)除以a的系數(shù)，因此需要對(duì)a的系數(shù)的正負(fù)情況進(jìn)行討論，即，當(dāng)x=0時(shí)，顯然f（x）=1>0。當(dāng)x≠0時(shí)，需要分兩種情況進(jìn)行討論：

1.當(dāng)x∈（0，3]時(shí)，f（x）=ax3-x+1≥0成立，可轉(zhuǎn)化為a≥- ，顯然應(yīng)將 看做函數(shù)，只要a的值大于等于其最大值即可。設(shè)g（x）= -，求導(dǎo)得 g'（x）= ，不難得出當(dāng)x∈（0， ]時(shí)，g（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，而當(dāng)x∈[ ，3]時(shí)，g（x）為單調(diào)遞減函數(shù)，因此，g（x）max=g（ ）=- ，要想滿足題意，則a≥- 。

2.當(dāng)x∈[-2，0）時(shí)，f（x）≥0可轉(zhuǎn)化為a≤- ，同樣將-看做函數(shù)g（x），只要a小于等于其最小值即可，當(dāng)x∈[-2，0）時(shí)， （x）>0，g'（x）單調(diào)遞增，因此，當(dāng)x=-2時(shí)，g（x）min=g（-2）= ，即a≤ 。綜上可知a的取值范圍為[- ， ]。

二、利用構(gòu)造函數(shù)法來解題

通過巧妙地構(gòu)造函數(shù)，能使復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化成熟悉而簡(jiǎn)單的問題。高中數(shù)學(xué)綜合型題目中，采用傳統(tǒng)方法很難求解，不少學(xué)生盡管花費(fèi)大量時(shí)間，但卻得出錯(cuò)誤結(jié)果，因此，在解答一些數(shù)學(xué)題目時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意觀察，注重構(gòu)造函數(shù)，以降低求解難度，順利進(jìn)行解答。

例如，函數(shù)h（x）=2ex-e-x，為能保證任意x∈[0，+∞），總有h（x）≥ex+2ax成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍是多少？

分析：該題目題干較為簡(jiǎn)單，分離參數(shù)法在此就失靈了，可通過構(gòu)造函數(shù)的方法進(jìn)行求解，即可設(shè)g（x）=h（x）-（ex+2ax），即，g（x）= ex-e-x-2ax，因?yàn)閷?duì)所有x≥0，都有h（x）≥ex+2ax，等價(jià)于x∈[0，+∞）時(shí)，g（x）min≥0，如此便不難求解：

1.如a≤1，當(dāng)x≥0時(shí)， g'（x）=ex+e-x-2a≥2-2a≥0，因此，g（x）在x∈[0，+∞）是增函數(shù)，從而g（x）min=g（0）=0，因此，f（x）≥ex+2ax。

2.如a>1，方程 （x）=0的根為x1= 1n（a-），x2=1n（a+），因?yàn)?a-<1，因此方程g' （x）=0只有一個(gè)正根 x2，當(dāng) x∈（0，? x2）， g' （x）<0，g（x）為減函數(shù)，當(dāng)x∈[ x2，+∞），g（x）為增函數(shù)，因此g（x）最小值為g（x2 ），不過當(dāng)x∈（0，x2 ）時(shí)，總有g(shù)（x）

三、建立函數(shù)模型來解題

高考中常以數(shù)學(xué)應(yīng)用題來考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，在教學(xué)中，我們發(fā)現(xiàn)如何具體實(shí)施對(duì)實(shí)際問題的理解，并抽象出數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解實(shí)際應(yīng)用題的解題策略問題一直是學(xué)生的硬傷，對(duì)此，要多引導(dǎo)學(xué)生接觸多樣化的實(shí)際應(yīng)用問題，積累更多的數(shù)學(xué)模型。函數(shù)模型在高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中最常見，常以七類初等函數(shù)或其混合形式呈現(xiàn)，應(yīng)在教學(xué)實(shí)踐中給予適當(dāng)?shù)臍w類訓(xùn)練，多角度思考，慢慢體會(huì)數(shù)學(xué)模型思想，為學(xué)生更好地解題提供更多的可能性。

例如，隨著電商的不斷興起，快遞行業(yè)也蒸蒸日上，已知某快遞公司需要從A地運(yùn)一批貨物給相距Skm的B地，該汽車從A地勻速行駛到B地，汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本為a+bv2元，且最大速度每小時(shí)不能超過ckm （其中a，b，c均為大于0的常數(shù)），請(qǐng)問汽車的行駛速度為每小時(shí)多少千米時(shí)，全程運(yùn)輸成本最小。

分析：該類應(yīng)用題要結(jié)合具體問題情境，梳理數(shù)量之間的關(guān)系，或易或難地建立起關(guān)鍵的兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系式即建立函數(shù)模型是解題的關(guān)鍵。

設(shè)汽車全程運(yùn)輸成本為y元，則不難得到其與速度v（km/h）之間的關(guān)系滿足關(guān)系式：y=a· +b··v2（0c時(shí)，函數(shù)在0

四、利用函數(shù)性質(zhì)靈活解題

高中階段的學(xué)生會(huì)接觸到很多函數(shù)，熟練掌握不同函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合具體數(shù)學(xué)題目加以靈活應(yīng)用，不僅能降低解題計(jì)算的繁瑣度，而且能保證解題的正確性，因此，教師要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)利用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行解題。

例如，已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x ）=-f（-x），且圖象關(guān)于x =6對(duì)稱，當(dāng)-6≤x <0時(shí)f（x）=-log，則方程f（x）+5=0在（0，36）內(nèi)的所有根的和為多少？

分析：綜合應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，多思少算是此類題目的解題要點(diǎn)。本題中易判斷函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，不難得出當(dāng)0

總之，函數(shù)思想是高中數(shù)學(xué)解題的重要思想，由于高中知識(shí)點(diǎn)較多，題型又復(fù)雜、多變，部分題型利用傳統(tǒng)方法難以找到有效解答的方法，運(yùn)用函數(shù)思想能幫助學(xué)生找到解題思路，而且計(jì)算并不繁瑣，可達(dá)到快速解題的目的。教師要多講解函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用，鼓勵(lì)學(xué)生不斷總結(jié)與反思相關(guān)數(shù)學(xué)題型的特點(diǎn)，結(jié)合數(shù)學(xué)題型的特點(diǎn)養(yǎng)成利用函數(shù)思想解題的習(xí)慣，并在解題實(shí)踐中不斷豐富函數(shù)解題思想，完善問題解決的策略，最終實(shí)現(xiàn)解題能力的全面提升。

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（責(zé)任編輯 付淑霞）