張陽 韓忠華 柳斐 宋科 張科施 宋文萍

摘要：高超聲速寬速域飛行器需要從地面零速滑跑起飛，經(jīng)歷亞聲速起飛、跨聲速/超聲速爬升，直至高超聲速巡航等多個飛行階段，因此，除了需要保證高超聲速性能以外，還必須兼顧滿足工程需求的亞、跨和超聲速氣動特性。首先，本文提出了一種基于代理模型的高效多目標優(yōu)化新算法，結合新算法和RANS方程求解器、幾何參數(shù)化、網(wǎng)格自動生成等技術發(fā)展了一套寬速域翼型多目標優(yōu)化設計方法。然后，進行了兼顧跨聲速與高超聲速氣動性能的翼型多目標氣動優(yōu)化設計，優(yōu)化獲得了包含58個翼型的Pareto最優(yōu)化解集。本文分析了Pareto前沿上的優(yōu)化翼型，對寬速域翼型協(xié)調跨聲速與高超聲速氣動性能的機理進行了總結。

關鍵詞：多目標優(yōu)化算法；Pareto解集；寬速域；翼型設計；高超聲速飛行器

中圖分類號：V221.3文獻標識碼：ADOI：10.19452/j.issn1007-5453.2020.11.003

高超聲速寬速域飛行器實際飛行中必然要經(jīng)歷亞聲速起飛、跨聲速/超聲速爬升，直到高超聲速巡航的多個飛行階段。其飛行速域之寬、空域之廣，對氣動外形設計提出了巨大的挑戰(zhàn)。除了需要保證高超聲速性能以外，寬速域飛行器還必須兼顧滿足工程需求的亞、跨和超聲速氣動特性。因此，具備優(yōu)良的寬速域氣動性能是此類飛行器設計的基礎和體現(xiàn)其優(yōu)勢的決定性因素。然而，適應各個速度階段氣動性能的最佳氣動外形/構型往往是相互矛盾的，保證良好的氣動性能所要求的外形/構型也存在很大不同，使得以試湊法和反設計方法為代表的傳統(tǒng)設計方法難以滿足此類飛行器氣動設計的嚴苛要求。因此，將計算流體力學（CFD）數(shù)值模擬與優(yōu)化算法結合，開展飛行器寬速域氣動優(yōu)化設計方法研究顯得十分必要。

隨著高超聲速飛行器對寬速域氣動性能的需求，近年來有學者開展了兼顧不同速域氣動性能的寬速域翼型優(yōu)化設計研究[1-4]。然而據(jù)調研所知，這些寬速域翼型設計工作中大多數(shù)采用單目標或加權系數(shù)多目標的優(yōu)化設計方法找到了一個較優(yōu)的解。寬速域翼型氣動設計是一個典型的多目標設計問題，也是一個較新的領域，直接進行多目標優(yōu)化設計以獲得各不同目標的Pareto前沿是很有必要的。這將有助于設計人員掌握寬速域流動機理，理解各不同速域氣動性能相互矛盾的機制，從而形成新的設計準則，并找到更好的協(xié)調各速域氣動性能的外形。因此，發(fā)展Pareto解集[5]多目標優(yōu)化設計方法，構造寬速域翼型優(yōu)化設計的多目標Pareto最優(yōu)解集是十分有必要的。

代理優(yōu)化算法[6-8]通過建立優(yōu)化目標關于設計變量的近似模型，能夠大大提高優(yōu)化設計效率。目前，代理優(yōu)化算法得到航空航天領域研究人員的廣泛重視，已應用于各類飛行器的氣動優(yōu)化設計問題中[9-15]。

近年來，代理模型被成功引入到翼型和復雜外形的多目標氣動優(yōu)化設計中[16-17]，這些多目標氣動優(yōu)化設計方法大多采用如下思路：建立不同目標的代理模型用以直接替代CFD分析，采用多目標遺傳算法等傳統(tǒng)多目標優(yōu)化算法在代理模型上進行多目標優(yōu)化，評估優(yōu)化獲得的前沿作為設計結果。該方法通過建立代理模型替代CFD分析能夠大大降低計算成本，然而，為了獲得足夠精確的代理模型，往往需要大量的樣本點用于建模，其優(yōu)化效率仍有待改進。

21世紀以來，國內外的研究人員在基于代理模型的多目標進化算法領域已經(jīng)開展了較深入研究，并取得了一些有意義的研究成果[18]。Knowles[19]提出了將高效全局優(yōu)化方法（EGO[20]）與切比雪夫聚合方法相結合的ParEGO，該算法在建立不同目標的代理模型以后，在每一次迭代中通過隨機選取的目標權重系數(shù)將多目標問題轉換為單目標問題尋優(yōu)，找到的點用以更新代理模型。Keane[21]和Emmerich[22]等提出了multi-EI和EHVI加點準則，將原本用于單目標優(yōu)化問題的期望改進（EI）和概率改進（PI）推廣到了多目標優(yōu)化中。Beume[23]和Ponweiser[24]等發(fā)展了SMSEMOA和SMS-EGO算法，將最大化超體積作為子優(yōu)化目標來指導加點。這些工作能夠提高傳統(tǒng)的無代理模型輔助的多目標優(yōu)化算法的優(yōu)化效率，但是它們在每次迭代中只添加一個新增樣本點來更新代理模型，整個Pareto前沿不能在一次迭代中得到充分的探索。為此，張青富[25]等將MOEA/D[26]與代理模型相結合，提出了MOEA/D-EGO，Lin[27]和Silver[28]等采用類似思路發(fā)展了MOBO/D，sMOEA/ D，這些算法能夠在一次迭代中同時添加多個樣本點，可進一步提高優(yōu)化效率。但是，這些算法主要針對無約束優(yōu)化，而實際工程設計中大多數(shù)為帶約束問題。因此亟待發(fā)展帶約束處理能力的高效多目標優(yōu)化算法。

本文發(fā)展了一套高超聲速飛行器寬速域翼型優(yōu)化設計新方法。首先介紹了課題組新提出的基于Kriging代理模型的多目標進化算法[29]（SBMO），該算法能夠在建立代理模型后由多目標加點準則在一代中產(chǎn)生多個新樣本點促進代理模型的高效進化，并實現(xiàn)了約束處理。結合新算法和RANS方程求解器、幾何參數(shù)化、網(wǎng)格自動生成等技術，發(fā)展了一套高效全局的寬速域翼型氣動優(yōu)化設計新方法。采用提出的多目標優(yōu)化設計方法開展了兼顧跨聲速和高超聲速氣動性能的寬速域翼型優(yōu)化設計研究。通過優(yōu)化設計得到了包含一系列優(yōu)化翼型的翼型簇。對Pareto最優(yōu)化解集中的翼型進行研究，分析了寬速域翼型兼顧跨聲速與高超聲速氣動性能的空氣動力學原理。

1基于代理模型的多目標氣動優(yōu)化設計新方法

1.1 SBMO算法

SBMO通過對不同目標建立代理模型，在尋找子代的過程中產(chǎn)生一系列不同的權重，將子代的搜索過程分解為一系列子優(yōu)化問題，從而大大減小了樣本點分析的次數(shù)。通過建立代理模型并分解組合的思路能夠在子優(yōu)化中直接采用單目標約束處理方法。將SBMO算法與作者所在團隊開發(fā)的SurroOpt[30]軟件平臺結合，發(fā)展了基于代理模型的多目標氣動優(yōu)化設計方法。圖1為多目標優(yōu)化設計流程示意圖。以下分別對SBMO算法中使用的Kriging代理模型、多目標問題分解策略和加點準則進行介紹。

1.2 Kriging代理模型[6，31]

目前，國內外已經(jīng)發(fā)展了包括多項式響應面（RSM）、Kriging模型、徑向基函數(shù)（RBFs）、神經(jīng)網(wǎng)絡（NN）、支持向量回歸（SVR）等多種代理模型方法。其中Kriging代理模型具有對非線性函數(shù)的良好近似能力和獨特的誤差估計功能，近年來受到了航空航天領域研究人員的廣泛重視。本文采用普通Kriging模型作為代理模型。假定優(yōu)化問題有d個設計變量，樣本點x處的響應值為y。現(xiàn)有n個樣本點及其響應值：

1.4多目標加點準則

采用分解聚合方法生成一系列的子問題后，需要構造適當?shù)募狱c準則來選擇新的樣本點。下面介紹采用切比雪夫聚合方法構造的最小化代理模型加點準則（MSP加點準則）和改善期望加點準則（EI加點準則）。

（1） MSP加點準則

2寬速域翼型氣動優(yōu)化設計方法

2.1 CFD數(shù)值模擬

準確、高效并且魯棒的CFD求解器對于氣動優(yōu)化設計至關重要。這里對寬速域氣動優(yōu)化設計中采用的RANS方程求解器進行驗證，分別對RAE2822翼型和高超聲速方形彈體繞流進行模擬，將結果與試驗數(shù)據(jù)對比，從而驗證所采用的CFD求解器對于從跨聲速到高超聲速流動的求解準確性。

（1）二維跨聲速流動數(shù)值模擬驗證

對RAE2822翼型在跨聲速下進行CFD數(shù)值模擬，計算網(wǎng)格如圖2所示，計算狀態(tài)為馬赫數(shù)Ma=0.734，雷諾數(shù)Re= 6.5×105，α=2.79°。流場求解采用Roe離散格式和兩方程k-ωSST湍流模型。圖3為計算的翼型壓力系數(shù)分布與實難值的對比，表1為數(shù)值模擬獲得的力系數(shù)與試驗值對比結果?？梢?，數(shù)值模擬獲得的壓力系數(shù)分布與試驗結果吻合良好，升力系數(shù)十分接近試驗值，阻力系數(shù)與力矩系數(shù)計算值稍微偏大，但處于合理的范圍內。

（2）方形彈體算例[32]

本文采用的是8階CST參數(shù)化方法，共18個設計變量。

3寬速域翼型氣動優(yōu)化設計研究

以NACA64A-204翼型為基準翼型，將跨聲速和高超聲速兩個設計狀態(tài)的升阻比關于基準機翼的升阻比進行歸一化作為優(yōu)化目標，將兩個設計狀態(tài)的升阻比和升力系數(shù)以及翼型厚度作為約束?？缏曀僭O計狀態(tài)：Ma=0.8，Re= 7.6×106，α=1.5°；高超聲速設計狀態(tài)：Ma=6.0，Re=4.23×106，α=5°。采用本文發(fā)展的寬速域氣動優(yōu)化設計方法，開展高超聲速飛行器寬速域翼型多目標氣動優(yōu)化設計。優(yōu)化問題的數(shù)學模型表述為：

在優(yōu)化過程中，通過LHS選取初始樣本點100個，采用本文發(fā)展的SBMO優(yōu)化算法和組合加點準則，每一代加點12個（其中EI加點兩個，MSP加點10個，EI采用權重系數(shù){（0，1）， （1，0）}，MSP的權重系數(shù)使用拉丁超立方抽樣在0～1之間隨機生成），總樣本點數(shù)為400。

圖6為Pareto多目標寬速域氣動優(yōu)化設計在優(yōu)化過程中所添加的所有樣本點在目標空間的分布，其中藍色正方形為初始樣本點，橙色三角形為加點過程新增樣本點，紅色正方形為優(yōu)化最終獲得的近似Pareto前沿?？梢姡瑑?yōu)化前沿快速向前推進，只經(jīng)過了400次樣本點評估就獲得了質量較好的近似Pareto前沿。圖7為Pareto多目標優(yōu)化獲得的結果在目標空間的分布圖，結果表明，Pareto多目標優(yōu)化設計只用了400次樣本點評估就獲得了包含58個優(yōu)化結果的非支配解集，優(yōu)化效率顯著提升。但Pareto多目標優(yōu)化設計獲得的近似Pareto前沿上的分布性有待進一步改進。

為了更直觀地展示優(yōu)化結果，從近似Pareto前沿上選取最邊界的兩個翼型和中間的一個翼型進行評估和分析，如圖8所示。圖9為選取的三個優(yōu)化翼型的幾何外形對比。其中opt1是Pareto前沿上高超聲速氣動性能最好的翼型，opt2是超聲速和高超聲速氣動性能得到較好權衡的翼型，opt3是Pareto前沿上跨聲速氣動性能最好的翼型。從外形來看，選取的三個翼型的前緣半徑相比基準翼型均減小。其中opt1與opt2翼型的最大厚度明顯后移，且下表面型線與基準翼型相比有較大改變，呈現(xiàn)出前后緣附近向內凹的特征。而opt3翼型的下表面前緣附近與基準機翼比較相似，但在上表面前緣附近opt3翼型相比基準翼型更向內凹。

表2列出了基準翼型和選取的三個優(yōu)化翼型的優(yōu)化目標以及約束的對比。結果表明，三個優(yōu)化翼型的跨聲速和高超聲速升阻比都有所提升，所有約束嚴格滿足。其中，opt1側重提升高超聲速氣動特性，其高超聲速升阻比提升了102%；opt3側重提升跨聲速氣動特性，其跨聲速升阻比提升了27%。

圖10和圖11為跨聲速設計狀態(tài)下基準翼型和三個優(yōu)化翼型的表面壓力分布對比和壓力云圖對比。三個優(yōu)化翼型均消除了基準翼型上表面中部的激波，阻力系數(shù)相比基準翼型都減小。opt1翼型的上表面前緣附近收縮太過劇烈，導致流動在上表面前緣附近出現(xiàn)了一道較強的激波，不僅損失了升力還增加了阻力，其跨聲速升阻比在三個優(yōu)化翼型中最小。opt2翼型在上表面前緣雖然未形成明顯的激波，其阻力系數(shù)較小，但流動在opt2翼型前緣附近顯著減速，壓力分布塌陷，導致升力不足，opt2翼型的跨聲速升阻比適中。opt3翼型上表面壓力分布在跨聲速下呈現(xiàn)出無激波形態(tài)，其阻力系數(shù)較小，而且上表面壓力分布比較豐滿，較好地保持了升力系數(shù)，其跨聲速升阻比是三個優(yōu)化翼型中最大的。圖12為三個優(yōu)化翼型的表面壓力分布對比壓力云圖對比，圖13為高超聲速設計狀態(tài)下基準翼型。opt1與opt2翼型上表面前緣向內凹，減小了頭部張角，有利于減小高超聲速狀態(tài)下的阻力。opt1與opt2翼型的下表面前、后緣均向內凹，它們的下表面壓力分布在高超聲速下呈現(xiàn)出多級壓縮的特征：首先流動接觸翼型前緣經(jīng)歷第一次壓縮，然后馬上膨脹，在翼型中部經(jīng)歷第二次壓縮，緊接著再次膨脹，最后在下表面尾緣經(jīng)歷最后一次壓縮。這種壓力分布的特點是：下表面前緣的膨脹波有利于削弱前緣激波，減小阻力，但會損失升力，而下表面中部與尾緣的加載彌補了升力的損失。在高超聲速下opt1與opt2翼型具有更高的升阻比，而opt3翼型前緣較鈍，高超聲速狀態(tài)下激波阻力較大，升阻比明顯更小一些。上述分析結果表明，相比于基準翼型，Pareto多目標寬速域氣動優(yōu)化設計獲得的一系列優(yōu)化翼型在跨聲速和高超聲速設計狀態(tài)的升阻特性都得到了改善，并且優(yōu)化設計結果對不同馬赫數(shù)的氣動特性各有側重，能夠在工程設計中給設計人員提供更多的決策選項。

4結論

本文提出了一種基于代理模型的多目標優(yōu)化算法（SBMO）。以多目標算法為基礎發(fā)展了寬速域翼型多目標優(yōu)化設計方法，進行了兼顧跨聲速和高超聲速氣動性能的寬速域翼型多目標優(yōu)化設計研究，得到一系列優(yōu)化翼型。本文的一些研究結論如下：

（1）SBMO多目標優(yōu)化算法的效率顯著高于NSGA-II。在氣動優(yōu)化設計的工程應用中，尤其是采用昂貴的高可信度數(shù)值模擬時，提出的SBMO多目標優(yōu)化算法優(yōu)勢十分明顯，具有很好的應用前景。

（2）翼型下表面前后緣向內凹時，高超聲速狀態(tài)下翼型下表面壓力分布會呈現(xiàn)出多級壓縮的特征，有利于在高超聲速下增升減阻。

未來還有許多需要改進和值得研究的方向：（1）SBMO對多目標（三目標及以上）優(yōu)化問題的處理能力；（2）SBMO與MOEA/D-EGO等現(xiàn)有類似算法進行對比；（3）更為高效魯棒的多目標加點準則；（4）提高優(yōu)化解集的均勻性；（5）SBMO在復雜外形氣動優(yōu)化設計中的應用研究。

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（責任編輯陳東曉）

作者簡介

張陽（1996-）男，碩士研究生。主要研究方向：氣動與多學科優(yōu)化設計。

E-mail：1559695483@qq.com

韓忠華（1977-）男，教授。主要研究方向：氣動與多學科優(yōu)化設計。

Tel：13909235014

E-mail：hanzh@nwpu.edu.cn

Efficient Multi-Objective Shape Optimization Method of Hypersonic Wide-MachNumber-Range Airfoil

Zhang Yang1，2，Han Zhonghua1，2，*，Liu Fei1，2，Song Ke1，2，Zhang Keshi1，2，Song Wenping1，2

1. Institute of Aerodynamic and Multidisciplinary Design Optimization，Northwestern Polytechnical University，Xian

710072，China

2. National Key Laboratory of Science and Technology on Aerodynamic Design and Research，Northwestern

Rolytechnical University，Xian 710072，China

Abstract： The hypersonic wide-Mach-number-range vehicle needs to take off from ground with zero speed， go through transonic， supersonic climb， up to hypersonic cruise. Therefore， besides the hypersonic performance， it must also takes into account the subsonic， transonic and supersonic aerodynamic characteristics to meet the engineering requirements. First， a new algorithm based on Surrogate model is proposed for multi-objective optimization， and the numerical test instances of multi-objective optimization are tested， which shows that the efficiency of the algorithm is significantly improved compared with the traditional multi-objective optimization algorithm NSGA-II. By combining the new algorithm with RANS equation solver， shape parametrization method and automatic mesh generation technology， a method for wide-Mach-number-range airfoil optimization is proposed. Then， a multi-objective aerodynamic design optimization of airfoil is carried out， which takes the transonic and hypersonic aerodynamic performance into account. The Pareto optimal solution set consists of 58 airfoils. The optimized airfoils on the Pareto front are analyzed， and the mechanism of compromising transonic and hypersonic aerodynamic performance of wide-Mach-number-range airfoil is summarized.

Key Words： multi-objective optimization； Pareto solution set； wide-Mach-number-range； airfoil design； hypersonic vehicle