趙瑞 嚴昊 席柯 溫志湧

摘要：以聲學超表面為研究對象，采用線性穩(wěn)定性理論，研究了聲學超表面導納幅值與相位對超聲速邊界層內(nèi)第一模態(tài)的影響。研究結果表明，當導納相位θ接近0.5π時，第一模態(tài)趨于穩(wěn)定；與此同時，在一定范圍內(nèi)導納幅值的增大能夠增強第一模態(tài)的穩(wěn)定性，但超出該范圍后幅值的增大會激發(fā)第一模態(tài)。在此基礎上，采用反向設計的思想，通過對聲學超表面微結構的幾何尺寸進行優(yōu)化設計，實現(xiàn)其在馬赫數(shù)為4的平板邊界層流動中抑制第一模態(tài)的目標。

關鍵詞：聲學超表面；第一模態(tài)；線性穩(wěn)定性分析；邊界層轉捩；超聲速流動

中圖分類號：O354.5文獻標識碼：ADOI：10.19452/j.issn1007-5453.2020.11.013

基金項目：國家自然科學基金（11872116，11991030，11991033）

層流和湍流流動在壁面摩擦阻力、噪聲和氣動加熱等方面有巨大差別[1-3]。湍流區(qū)氣動加熱遠大于層流區(qū)，而熱流峰值一般出現(xiàn)在流動轉捩區(qū)，高超聲速時可達層流熱載荷的三倍[4]，因而需配置額外的熱防護系統(tǒng)、采用主動冷卻技術或進行彈道調整，但會造成高超飛行器成本與重量的增加[5]。層流到湍流的轉捩過程與環(huán)境擾動密切相關[6]，一般來說，高超聲速飛行器使用尖前緣和盡量光滑的蒙皮表面可以抑制由于粗糙元引起的旁路轉捩以及橫流不穩(wěn)定性，但無法抑制由于第一模態(tài)或Mack第二模態(tài)誘發(fā)的轉捩。低馬赫數(shù)時，第一模態(tài)是轉捩的主要誘因，隨著馬赫數(shù)的增加，Mack第二模態(tài)逐漸占據(jù)主導地位[7-8]。

為了降低飛行阻力，增加有效載荷比，有效抑制轉捩成為國內(nèi)外高超領域的研究熱點。聲學超表面對飛行器流場影響較小，同時能夠明顯抑制Mack第二模態(tài)，且其結構可與熱防護系統(tǒng)進行一體化設計，因此受到國內(nèi)外廣泛關注[9-11]。Mack第二模態(tài)被認為是一種聲學擾動模態(tài)。聲學超表面通過設計表面微結構幾何尺寸和排布方式，實現(xiàn)特定的聲學特性（如吸聲、近零阻抗、可控反射方向等），從而抑制或破壞Mack第二模態(tài)的增長或傳播。Malmuth等[12]最先提出可以使用超聲波吸收表面（吸聲型聲學超表面的一種，通過孔/縫內(nèi)黏性耗散聲波能量，達到抑制轉捩的目的）來穩(wěn)定Mack第二模態(tài)，并在加州理工學院的風洞試驗中得到證實[13]。國內(nèi)趙瑞等[14]給出了計及相鄰孔間干擾的二維縫隙超表面阻抗模型，優(yōu)化設計了吸聲型超表面，并提出可抑制Mack第二模態(tài)的近零阻抗型超表面[15]。近零阻抗型超表面使反射聲波的相位與入射波的相位在壁面處相反，聲壓相互抵消，破壞了Mack第二模態(tài)傳播機制，從而抑制轉捩。此外，國內(nèi)朱德華等[15]采用線性穩(wěn)定性理論與直接數(shù)值模擬相結合的方式，研究了不同孔隙排列情形對Mack第二模態(tài)的影響，并指出順排多孔表面推遲高超聲速邊界層轉捩的能力更強。涂國華等[16]采用時間模式的直接數(shù)值模擬對馬赫數(shù)6的平板邊界層進行研究，在較廣的參數(shù)范圍內(nèi)考察了微圓孔超表面的開孔率和孔半徑對Mack第二模態(tài)擾動波幅值增長率的影響，得到了最優(yōu)開孔率和孔半徑沿流向的分布。李闖和董明[17]采用直接數(shù)值模擬方法研究了局部矩形凹槽對馬赫數(shù)6的高超聲速平板邊界層中Mack第二模態(tài)擾動演化的影響，研究表明當孔深小于0.25時，凹槽深度增加，對不穩(wěn)定模態(tài)的抑制作用增加；但更深的凹槽對不穩(wěn)定波的抑制作用減弱。郭啟龍等[18]采用二維數(shù)值模擬研究了微縫隙超表面對高超聲速邊界層Mack第二模態(tài)擾動增長的抑制作用，研究表明縫隙型超表面能在寬頻范圍內(nèi)有效抑制Mack第二模態(tài)，且控制效果隨著開槽率的增大而增強。朱文凱等[19-20]通過理論與試驗研究表明，Mack第二模態(tài)在可滲透材料表面的增長速度更快，發(fā)展區(qū)域更大，但由于后期非線性干擾更弱，能夠起到抑制轉捩的作用。

然而，F(xiàn)edorov等[21]研究表明，聲學超表面會導致第一模態(tài)不穩(wěn)定。Stephen等[22]研究了規(guī)則微結構的聲學超表面對第一模態(tài)的影響，發(fā)現(xiàn)其能夠激起非軸對稱的擾動模態(tài)。Wang和Zhong[23]發(fā)現(xiàn)Mack第二模態(tài)的不穩(wěn)定性與聲學超表面的導納相位有關。田旭東等[24]提出了一種反向設計方法，考慮在不激發(fā)第一模態(tài)的同時，有效抑制Mack第二模態(tài)所需的導納相位與幅值。但是截至目前，如何使用超表面抑制第一模態(tài)的研究鮮有報道。

本文研究了聲學超表面導納幅值與相位對超聲速邊界層內(nèi)第一模態(tài)的影響規(guī)律。采用反向設計的思路，通過優(yōu)化設計超表面微結構幾何參數(shù)，實現(xiàn)單頻和寬頻范圍內(nèi)抑制第一模態(tài)的目的。

1研究方法與模型

1.1線性穩(wěn)定性理論

可壓縮黏性流體高超聲速或超聲速邊界層中的不穩(wěn)定性問題可以使用線性穩(wěn)定性理論分析[8，25-29]?？蓧嚎s黏性流體的Navies-Stocks方程為：

反向設計思路首先通過不穩(wěn)定模態(tài)的無量綱角頻率確定抑制該模態(tài)所需的導納幅值和相位，再尋找滿足上述條件的聲學超表面結構參數(shù)。以下各節(jié)中將采用這種設計思路。

2.1第一模態(tài)單頻抑制策略

2.1.1導納對單頻第一模態(tài)的影響

當擾動頻率為80kHz時，x*在0～0.4m范圍內(nèi)對應的無量綱角頻率為0～0.127。從圖2中可以看出，該無量綱角頻率范圍對應第一模態(tài)。因此對單頻抑制策略的研究，選擇擾動頻率為80kHz。圖3研究了雷諾數(shù)Re為2358時（x*= 0.4m），在不同導納幅值|A|下，導納相位θ對第一模態(tài)和Mack第二模態(tài)增長率σ的影響。對于第一模態(tài)，當相位θ在π附近時，第一模態(tài)增長率增加；相位θ接近0.5π時，第一模態(tài)增長率減小。隨著導納幅值|A|的增加，第一模態(tài)出現(xiàn)的頻率范圍也在θ≈π處擴大。從圖3（c）中可以看出，當|A| = 4時，第一模態(tài)和Mack第二模態(tài)在θ= 0.75π附近合并，并不利于超表面針對性設計。因此可以認為，當超表面相位θ接近0.5π，且幅值|A| < 4時，可以有效抑制第一模態(tài)。

進一步研究導納相位θ與幅值|A|對第一模態(tài)的影響。如圖4所示，在相位θ分別為0.5π和0.55π時，幅值對不同流向位置處第一模態(tài)的影響。圖4表明，相位θ取0.5π和0.55π時，幅值|A|在一定范圍內(nèi)對第一模態(tài)都有抑制作用，但超過該范圍，則會激發(fā)第一模態(tài)。隨著流向位置x*增大，能夠抑制第一模態(tài)的幅值|A|逐漸變小。顯然，若使整個邊界層內(nèi)第一模態(tài)皆受抑制，應以x*=0.4m處抑制效果最佳的導納幅值作為設計的上限，此處無量綱角頻率亦為最大值。此外，圖4（a）和圖4（b）兩者相較，相位θ=0.5π時，抑制效果更明顯。

2.1.2反向設計

為抑制80kHz擾動頻率激發(fā)的第一模態(tài)，導納相位θ應接近0.5π，幅值|A|應盡量滿足式（11）。本文在以下參數(shù)空間中通過數(shù)值求解式（9）來計算所需的導納幅值與相位：0.1≤H*≤5mm，0.1≤Ar≤1.5，0.2≤n≤0.8。最終確定聲學超表面所需的幾何參數(shù)為：H*= 0.35235mm，n = 0.5246，Ar = 1.5；此時x*= 0.4m處導納幅值和相位分別為2.7552和 0.5227π。

為了驗證設計的聲學超表面的性能，圖6給出了擾動頻率為80kHz的第一模態(tài)增長率。如圖6所示，在80kHz下，經(jīng)過設計的聲學超表面使第一模態(tài)的增長率在流向各位置處都有所降低。

2.2第一模態(tài)寬頻抑制策略

2.2.1導納對寬頻第一模態(tài)的影響

2.1.1節(jié)內(nèi)已通過圖3說明了導納相位θ接近0.5π時，在寬頻內(nèi)可以降低第一模態(tài)的增長率。為了考慮對寬頻內(nèi)第一模態(tài)的抑制效果，需以沿流向各位置不同頻率對應的增長率的最大值為參照來研究導納相位和幅值對第一模態(tài)的抑制效果，并且在寬頻對應的無量綱角頻率范圍內(nèi)均需滿足抑制條件。圖7（a）和圖7（b）為導納相位θ= 0.5π時，在不同的導納幅值|A|下的第一模態(tài)的最大增長率及其相應的角頻率關系，幅值|A|沿箭頭方向從0增長到2，步長為0.2。從圖7（a）可以看出，隨著導納幅值|A|的增加，第一模態(tài)的最大增長率逐步降低。圖7（b）表明，當導納幅值|A|在一定范圍內(nèi)增加時，第一模態(tài)最大增長率對應的角頻率無明顯變化；當雷諾數(shù)Re較大時，無量綱角頻率約為0.064。

2.2.2反向設計

從圖2中可以看出，第一模態(tài)對應的無量綱角頻率范圍為0～0.12。根據(jù)上文對于單頻第一模態(tài)的研究，無量綱角頻率最大值占主導地位，即在ω=0.12時能滿足抑制條件，則ω在0～0.12范圍內(nèi)均能滿足抑制條件。因此，為抑制寬頻第一模態(tài)，在設計過程中無量綱角頻率取其中最大值，即0.12，導納相位θ應接近0.5π，為避免模態(tài)融合導致的不穩(wěn)定，幅值|A|的取值范圍為0～2。

圖8給出了寬頻設計的聲學超表面的導納相位和幅值的云圖。圖8（a）表明，當ω在0～0.12范圍內(nèi)時，導納相位θ接近0.5π，導納幅值|A|在0～2范圍內(nèi)。因此設計的聲學超表面滿足抑制第一模態(tài)的要求。

為驗證設計的聲學超表面的性能，對不同頻率下的第一模態(tài)增長率進行了計算，如圖9所示。在不同擾動頻率下，第一模態(tài)的增長率在各位置處都有所降低。通過反向設計得到的聲學超表面可以降低第一模態(tài)的不穩(wěn)定性。

3結論

本文使用線性穩(wěn)定性理論分析了聲學超表面對超聲速邊界層中第一模態(tài)的影響規(guī)律。研究表明，當導納相位θ接近0.5π時，第一模態(tài)趨于穩(wěn)定；在一定范圍內(nèi)增大導納幅值能夠增強第一模態(tài)的穩(wěn)定性，但超出該范圍幅值的增大會激發(fā)第一模態(tài)。以擾動頻率80kHz為例，導納相位在0.5π～0.55π范圍內(nèi)可以抑制第一模態(tài)：當導納相位取0.5π時，幅值在0～5.22范圍內(nèi)對第一模態(tài)有抑制作用；當導納相位取0.55π時，幅值取0～1.81對第一模態(tài)都有抑制效果；并擬合了抑制效果最佳的幅值與相位之間的關系。對于抑制寬頻第一模態(tài)，當導納相位取0.5π，導納幅值|A|在0～2內(nèi)增加時，第一模態(tài)的最大增長率逐步降低。運用反向設計的思想，優(yōu)化設計了縫隙型聲學超表面以抑制80kHz下的第一模態(tài)，可使最大增長率減小32.14%；又設計了孔寬和孔深逐漸增加的縫隙型聲學超表面，在一定頻率范圍內(nèi)，流向各位置處第一模態(tài)增長率均有所降低。

不同來流工況下聲學超表面導納對第一/Mack第二模態(tài)的影響不盡相同。在后續(xù)工作中，將進一步研究以上策略在不同工況中的運用，也將在此基礎上，使用eN方法預測聲學超表面對邊界層轉捩的影響，進一步研究聲學超表面的工程應用價值。

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（責任編輯王昕）

作者簡介

趙瑞（1987-）男，博士，副教授。主要研究方向：高超聲速氣體動力學、計算流體力學。

Tel：15801555304

E-mail：zr@bit.edu.cn

嚴昊（1996-）女，學士。主要研究方向：高超聲速氣體動力學、計算流體力學。

Tel：13382392100E-mail：3220180057@bit.edu.cn

席柯（1986-）男，博士，副研究員。主要研究方向：高超聲速氣體動力學、計算流體力學。

Tel：13401084423

E-mail：cauchy86@163.com

溫志湧（1964-）男，博士，教授。主要研究方向：高超聲速氣體動力學，計算流體力學。

Tel：852-27666644

E-mail：chihyung.wen@polyu.edu.hk

Research on Acoustic Metasurfaces for the Suppression of the First Mode

Zhao Rui1，*，Yan Hao1，Xi Ke2，Wen Zhiyong3

1. Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China

2. Research Institute of Navigation and Control Technology，Beijing 100089，China 3. The Hong Kong Polytechnic University，Kowloon 999077，China

Abstract： Taking the acoustic metasurfaces as the research object， the influence of the admittance amplitude and phase on the first mode in a high-speed boundary layer are analyzed using linear stability theory. It showns that the first mode is damped when the admittance phaseθtends to 0.5π. Meanwhile， the increase of amplitude in a certain range can enhance the stability of the first mode， while amplitude out of the range may amplify the first mode. Based on the requirements of the admittance phase and amplitude for the suppression of the first mode， the reverse design strategy is used for the structural design of the acoustic metasurfaces to satisfy the target which stabilizes the first mode on the flat plate boundary layer with the freestream Mach number 4.

Key Words： acoustic metasurfaces； first mode； linear stability analysis； boundary-layer transition； supersonic flow