魏祥勤

一些中考試題是以課本例題或習題為模板通過改編而設計的探究型問題.下面以人教版數(shù)學九年級下冊第58頁“拓廣探索”的一道練習題為例，對與相似有關(guān)的銳角三角形內(nèi)接正方形求邊長的問題進行探究，并把問題進一步拓廣，探究銳角三角形內(nèi)接矩形面積最大值的求解問題，以及半圓形內(nèi)接矩形面積最大值的計算問題.

例1 （人教版數(shù)學九年級下冊第58頁第11題）如圖1，一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=120 mm，高AD=80 mm，把它加工成正方形零件，使正方形EFHG的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上.這個正方形零件的邊長是多少？

變式1：如圖2，銳角三角形ABC中，BC=120 mm，高AD=80 mm，矩形EFHG是△ABC的內(nèi)接矩形.當矩形EFHG的邊長分別是多少時，矩形EFHG的面積S最大？60 mm時，面積最大，

變式2：如圖3，在直徑是120 mm的半圓中，畫出矩形EFHG，使得E，F(xiàn)兩點位于半圓弧上，兩點G，H位于直徑AB 上.當矩形邊長分別是多少時，矩形EFHG的面積最大？

探究三角形的內(nèi)接矩形的最大面積時，綜合運用了相似三角形及二次函數(shù)等知識.探究半圓的內(nèi)接矩形的最大面積時，綜合運用了圓的有關(guān)性質(zhì)、完全平方公式，其實由變式l與變式2可得到一般結(jié)論：（1）任意三角形的內(nèi)接矩形的最大面積是原三角形面積的一半，此時平行于三角形一邊的矩形的邊是三角形的中位線.（2）半圓的內(nèi)接矩形的最大面積是圓半徑長度的平方，此時矩形的長是半徑長度的√2倍.