安茜 吳念陽(yáng)

摘 要： 辨別兒童概念性知識(shí)和程序性知識(shí)的水平，對(duì)理解兒童數(shù)學(xué)發(fā)展具有重要意義。該研究以141名被試為研究對(duì)象，探討5—7歲兒童數(shù)數(shù)概念性和程序性知識(shí)的發(fā)展特點(diǎn)。結(jié)果表明：（1）根據(jù)兒童在數(shù)數(shù)探測(cè)任務(wù)上的表現(xiàn)，將其分為數(shù)數(shù)概念性知識(shí)理解型兒童、僵硬型和不穩(wěn)定型兒童。（2）兒童數(shù)數(shù)概念性知識(shí)和程序性知識(shí)均呈線性增長(zhǎng)模式，兒童對(duì)數(shù)數(shù)概念性知識(shí)理解的進(jìn)程并未在7歲時(shí)結(jié)束，非本質(zhì)的時(shí)間和空間連續(xù)性規(guī)則存在于他們的判斷中。（3）兒童在數(shù)數(shù)概念性知識(shí)上的表現(xiàn)和程序性知識(shí)呈中等程度的相關(guān)。在數(shù)學(xué)教育實(shí)踐中，教育者應(yīng)該創(chuàng)設(shè)多種數(shù)數(shù)情境，通過(guò)反省抽象促進(jìn)兒童數(shù)數(shù)概念性知識(shí)的發(fā)展;在優(yōu)先發(fā)展數(shù)學(xué)概念性知識(shí)的同時(shí)兼顧兩類知識(shí)的融合。

關(guān)鍵詞： 數(shù)數(shù);概念性知識(shí);程序性知識(shí)

作者簡(jiǎn)介：安茜，上海師范大學(xué)教育學(xué)院博士研究生，主要從事兒童認(rèn)知和語(yǔ)言發(fā)展研究;吳念陽(yáng)，上海師范大學(xué)教育學(xué)院教授，博士生導(dǎo)師，博士，主要從事兒童認(rèn)知和語(yǔ)言發(fā)展研究。

一、問(wèn)題提出

數(shù)數(shù)是兒童算術(shù)能力發(fā)展的基礎(chǔ)，盡管數(shù)數(shù)對(duì)兒童來(lái)說(shuō)是一項(xiàng)基本技能，但它卻又是一個(gè)復(fù)雜且相互關(guān)聯(lián)的過(guò)程，需要多個(gè)數(shù)學(xué)思維的協(xié)調(diào)。[Johnson N C ， Turrou A C ， Mcmillan B G ， et al. “Can You Help Me Count these Pennies？”： Surfacing Preschoolers Understandings of Counting[J]. Mathematical Thinking and Learning， 2019，21（6）：1-27.]當(dāng)兒童能用手一個(gè)接著一個(gè)去點(diǎn)排成直線的物體，同時(shí)按順序唱數(shù)，且知道最后唱出的數(shù)就是總數(shù)，他是否已經(jīng)掌握了數(shù)數(shù)？從表面來(lái)看，數(shù)數(shù)程序中所需要的要素在上述幼兒的行動(dòng)中都具備了。但如果和兒童再進(jìn)一步互動(dòng)，主試從左數(shù)到右，再?gòu)挠覕?shù)到左，然后問(wèn)兒童“為什么總數(shù)還是一樣多”，則會(huì)出現(xiàn)分化現(xiàn)象：有的兒童的回答是不管從左到右、還是從右到左，東西還是那么多;有的兒童的回答是他學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)都是從左到右的。這里兒童對(duì)數(shù)數(shù)背后必然性的理解就是概念性知識(shí)（conceptual knowledge），執(zhí)行的數(shù)數(shù)步驟所反映的知識(shí)是程序性知識(shí)（procedural knowledge）。

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中概念性知識(shí)和程序性知識(shí)是兒童獲得的兩類基本的知識(shí)，概念性知識(shí)指的是對(duì)程序有效性的理解，程序性知識(shí)是執(zhí)行序列動(dòng)作來(lái)解決問(wèn)題的能力;概念性知識(shí)能增加兒童解決問(wèn)題的靈活性，使得兒童在不同問(wèn)題情境中靈活應(yīng)用程序，是數(shù)學(xué)能力發(fā)展的一個(gè)重要標(biāo)志。[Baroody， A.， Feil， Y.， & Johnson， A. An Alternative Reconceptualization of Procedural and Conceptual Knowledge[J]. Journal for Research in Mathematics Education， 2007，38（2）， 115–131.]什么是數(shù)學(xué)能力？這一問(wèn)題會(huì)影響研究者對(duì)兒童數(shù)學(xué)能力不同維度特征的聚焦。數(shù)學(xué)思維理論（the mathematical thinking perspective）關(guān)注的是兒童對(duì)數(shù)字真正的理解，兒童如何從邏輯上思考數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)概念性知識(shí)和程序性知識(shí)的劃分正是基于這一理論，在數(shù)學(xué)思維理論下理解算術(shù)概念的核心是理解數(shù)量之間的關(guān)系，而不僅僅是孤立地了解數(shù)字。[Nunes，T.， Bryant， P.， Barros， R.， & Sylva， K. The Relative Importance of Two Different Mathematical Abilities to Mathematical Achievement[J]. British Journal of Educational Psychology，2012， （82）：136-156.]

Gelman和Gallistel提出了數(shù)數(shù)五原則，分別為：一一對(duì)應(yīng)原則、固定順序原則、基數(shù)原則、抽象原則以及順序無(wú)關(guān)原則。[Gelman R ， Meck E . Preschoolers Counting： Principles before Skill[J]. Cognition， 1983， 13（3）：343-359.]Briars和Siegler提出“數(shù)詞—物體對(duì)應(yīng)”是數(shù)數(shù)的本質(zhì)原則，同時(shí)從反面確定了數(shù)數(shù)的四個(gè)非本質(zhì)原則：標(biāo)準(zhǔn)方向、連續(xù)、每個(gè)物體只能點(diǎn)一次以及始于一端。[Briars D ， Siegler R S . A Featural Analysis of Preschoolers Counting Knowledge[J]. Developmental Psychology， 1984， 20（4）：607-618.]如果兒童認(rèn)為一個(gè)正確的數(shù)數(shù)行為必須具備以上四個(gè)特征，則說(shuō)明他們把一些非本質(zhì)的要素認(rèn)定為必要的特征，其學(xué)習(xí)是表面模仿性的，他們的數(shù)數(shù)概念性知識(shí)比較僵化，還沒(méi)有完全發(fā)展起來(lái)。Rodríguez及其合作者從兒童對(duì)他人數(shù)數(shù)行為的解釋中，區(qū)分了兩種類型的連續(xù)： 空間連續(xù)性和時(shí)間連續(xù)性;空間連續(xù)性是指在點(diǎn)數(shù)過(guò)程中不能跳躍，如在數(shù)蘋(píng)果過(guò)程中跳過(guò)第三個(gè)，數(shù)完其他物體后再返回?cái)?shù)，就違反了空間連續(xù)性;時(shí)間連續(xù)性是指數(shù)詞不向或向后跳躍或重復(fù)，如在數(shù)數(shù)的過(guò)程中只報(bào)告偶數(shù)，這樣就違反了時(shí)間連續(xù)性原則。[Purificación Rodríguez， Lago M O ， Enesco I ， et al. Childrens Understandings of Counting： Detection of Errors and Pseudoerrors by Kindergarten and Primary School Children[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2013， 114（1）：35-46]

數(shù)數(shù)的本質(zhì)原則遵循的是邏輯規(guī)則，是不可更改和必需的;數(shù)數(shù)的非本質(zhì)原則遵循的是傳統(tǒng)規(guī)則，是可以更改的。[Marta Laupa. Childrens Understanding of Logical and Conventional Rules in Arithmetic Algorithms[J].The Journal of Mathematical Behavior， 2000，19（3）：219-305.]違反數(shù)數(shù)的本質(zhì)原則肯定會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤，如一個(gè)對(duì)象對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的數(shù)詞;但是違反非本質(zhì)原則并不一定會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤，如標(biāo)準(zhǔn)方向是從左往右數(shù)，當(dāng)從右往左數(shù)時(shí)也是正確的。綜上，可以看出數(shù)數(shù)概念性知識(shí)體現(xiàn)為：對(duì)數(shù)數(shù)本質(zhì)原則必然性和對(duì)非本質(zhì)原則可變性的理解。

研究者普遍將兒童鑒別他人數(shù)數(shù)行為的能力和正確數(shù)出物體的能力，分別用來(lái)測(cè)查兒童數(shù)數(shù)概念性知識(shí)和程序性知識(shí)的發(fā)展。值得注意的是，雖然必須將概念性和程序性知識(shí)分開(kāi)測(cè)查，但必須認(rèn)識(shí)到在測(cè)量中很難只衡量一種類型的知識(shí)而完全排斥另一種類型的知識(shí)。[Rittle-Johnson B ， Schneider M . Developing Conceptual and Procedural Knowledge of Mathematics[M].Oxford Handbook of Numerical Cognition. 2015：1102-1118.]

已有研究對(duì)兒童數(shù)數(shù)概念性知識(shí)的發(fā)展進(jìn)行了許多探索，在兒童數(shù)數(shù)概念性知識(shí)的發(fā)展研究中，發(fā)現(xiàn)了線性增長(zhǎng)和U型發(fā)展兩種模式。所謂的線性增長(zhǎng)，就是兒童概念性知識(shí)的發(fā)展隨著年齡的增長(zhǎng)而不斷趨于成熟，兒童對(duì)數(shù)數(shù)本質(zhì)原則的掌握隨著年齡的增長(zhǎng)而增強(qiáng)，同時(shí)兒童越來(lái)越強(qiáng)地意識(shí)到非本質(zhì)原則是可以改變的。[Purificación Rodríguez， Lago M O ， Enesco I ， et al. Childrens Understandings of Counting： Detection of Errors and Pseudoerrors by Kindergarten and Primary School Children[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2013， 114（1）：35-46]U型發(fā)展模式是指在最初發(fā)展階段，兒童對(duì)違反非本質(zhì)原則的偽錯(cuò)誤數(shù)數(shù)行為接受程度很高，隨著他們數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累，這種接受度反而會(huì)下降;當(dāng)他們的數(shù)數(shù)知識(shí)變得更加穩(wěn)定時(shí)，這種接受度又開(kāi)始增加。[Lefevre J A ， Smith-Chant B L ， Fast L ， et al. What Counts as Knowing？ The Development of Conceptual and Procedural Knowledge of Counting from Kindergarten through Grade 2[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2006， 93（4）：285-303.]

兒童數(shù)數(shù)概念性知識(shí)和程序性知識(shí)之間的關(guān)系也是研究者探討的重點(diǎn)。Gelman等人研究發(fā)現(xiàn)，兒童在掌握數(shù)數(shù)程序性知識(shí)之前就對(duì)數(shù)數(shù)概念性知識(shí)有了很好的理解;而其他研究者則報(bào)告了兒童程序性知識(shí)先于概念性知識(shí)發(fā)展;Rittle-Johnson等提出數(shù)數(shù)概念性知識(shí)和程序性知識(shí)是相互交織共同發(fā)展的。[Rittle-Johnson B ， Schneider M . Developing Conceptual and Procedural Knowledge of Mathematics[M].Oxford Handbook of Numerical Cognition. 2015：1102-1118.]

已有研究對(duì)兒童數(shù)數(shù)概念性知識(shí)的考察中只涉及了數(shù)數(shù)概念性知識(shí)的某一方面，缺乏系統(tǒng)的探究。此外，大多數(shù)研究?jī)H以兒童在數(shù)數(shù)探測(cè)任務(wù)中的判斷為評(píng)分依據(jù)，這可能會(huì)產(chǎn)生誤報(bào)，無(wú)法獲得兒童是基于什么理由而做出判斷的。Kamawar等人的研究表明，兒童在數(shù)數(shù)探測(cè)任務(wù)中的判斷不受數(shù)數(shù)集合大小的影響，然而“兒童對(duì)不同數(shù)數(shù)行為的解釋是否受到集合大小的影響”還有待進(jìn)一步研究。[Kamawar， D.， Lefevre， J. A.， Bisanz， J.， Fast， L.， Skwarchuk， S. L.， Smith-Chant， B.， et al . Knowledge of Counting Principles： How Relevant is Order Irrelevance？ [J].Journal of Experimental Child Psychology， 2010，105：138-145.]此外，在為數(shù)不多的以“兒童在數(shù)數(shù)探測(cè)任務(wù)中的解釋”為評(píng)分依據(jù)的研究中，只問(wèn)了“為什么這樣數(shù)是不對(duì)的”，在對(duì)數(shù)數(shù)本質(zhì)規(guī)則的解釋中，兒童可能只是復(fù)述了玩偶的數(shù)數(shù)行為，如“他跳著數(shù)了”，難以區(qū)分兒童是理解數(shù)數(shù)的邏輯規(guī)則了，還是從常規(guī)規(guī)則進(jìn)行的解釋。當(dāng)進(jìn)一步追問(wèn)“跳著數(shù)為何是錯(cuò)的”，有的兒童會(huì)說(shuō)“這里本來(lái)有5個(gè)，跳著數(shù)就是4個(gè)，少了”，有部分兒童會(huì)回答“我們數(shù)數(shù)不能跳著的”，或者說(shuō)“大人教的就是不能跳的”。

本研究在前人的研究基礎(chǔ)之上，對(duì)兒童數(shù)數(shù)概念性知識(shí)所涵蓋的內(nèi)容進(jìn)行梳理，以半結(jié)構(gòu)化的訪談形式較為系統(tǒng)和全面地考察5-7歲兒童數(shù)數(shù)概念性知識(shí)的發(fā)展模式，并與數(shù)數(shù)程序性知識(shí)進(jìn)行結(jié)合，探討兩種知識(shí)之間的關(guān)系。

基于以往的研究，本研究提出以下三種研究假設(shè)：

研究假設(shè)1：兒童對(duì)數(shù)數(shù)概念性知識(shí)的理解隨著年齡的增加逐步提高，兒童對(duì)違反本質(zhì)原則的數(shù)數(shù)行為的識(shí)別優(yōu)于對(duì)非本質(zhì)數(shù)數(shù)行為的識(shí)別。

研究假設(shè)2：兒童數(shù)數(shù)程序性知識(shí)隨著年齡的增加，數(shù)數(shù)的正確率逐步提高，數(shù)數(shù)速度更快。

研究假設(shè)3：兒童數(shù)數(shù)概念性知識(shí)和程序性知識(shí)呈中等相關(guān)。

二、研究方法

1.研究對(duì)象

從上海市某所幼兒園和小學(xué)按照年齡班分層抽樣，共選取141名兒童為研究被試，被試基本來(lái)源于社區(qū)中的工薪家庭。選取5歲組（中班）兒童共47名，平均年齡62.41個(gè)月，標(biāo)準(zhǔn)差3.60，其中男生25人，女生22人;6歲組（大班）兒童49名，平均年齡73.28個(gè)月，標(biāo)準(zhǔn)差3.45，其中男生25人，女生24人;7歲組（一年級(jí)）兒童共45名，平均年齡84.76個(gè)月，標(biāo)準(zhǔn)差3.38，其中男生23人，女生22人。

2.研究工具

（1）數(shù)數(shù)行為探測(cè)任務(wù)

數(shù)數(shù)行為探測(cè)任務(wù)是根據(jù)Kamawar等人和Rodrígue及其合作者采用的數(shù)數(shù)探測(cè)任務(wù)改編而成。[Kamawar， D.， Lefevre， J. A.， Bisanz， J.， Fast， L.， Skwarchuk， S. L.， Smith-Chant， B.， et al . Knowledge of Counting Principles： How Relevant is Order Irrelevance？ [J].Journal of Experimental Child Psychology， 2010，105：138-145.][Purificación Rodríguez， Lago M O ， Enesco I ， et al. Childrens Understandings of Counting： Detection of Errors and Pseudoerrors by Kindergarten and Primary School Children[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2013， 114（1）：35-46.]

在實(shí)驗(yàn)任務(wù)中有28個(gè)數(shù)數(shù)行為需要兒童進(jìn)行判斷，其中包括4個(gè)正確數(shù)數(shù)行為、8個(gè)違反本質(zhì)規(guī)則的數(shù)數(shù)行為和16個(gè)違反非本質(zhì)規(guī)則的數(shù)數(shù)行為。其中一半數(shù)數(shù)行為涉及小集合（物體數(shù)量為3—5個(gè)），另一半涉及大集合（物體數(shù)量為11—13個(gè)），實(shí)驗(yàn)任務(wù)中玩偶數(shù)數(shù)行為的呈現(xiàn)順序是隨機(jī)的。

在數(shù)數(shù)行為探測(cè)任務(wù)中，被試將看到小狗拿著小木棒數(shù)各種各樣排成一行的物品，如菠蘿等。實(shí)驗(yàn)任務(wù)通過(guò)電腦屏幕呈現(xiàn)，這種任務(wù)呈現(xiàn)方式對(duì)每個(gè)被試來(lái)說(shuō)，玩偶總是以相同的語(yǔ)速和語(yǔ)調(diào)來(lái)數(shù)數(shù)。玩偶的數(shù)數(shù)行為結(jié)束后，主試就問(wèn)：“小狗是數(shù)對(duì)了，還是數(shù)錯(cuò)了？”在兒童回答之后，主試會(huì)問(wèn)一些問(wèn)題來(lái)讓兒童澄清理由，如“你是怎么知道小狗數(shù)的是對(duì)的”或“小狗數(shù)數(shù)的時(shí)候哪里不對(duì)了”等。

在對(duì)不同類型的數(shù)數(shù)行為的判斷計(jì)分上，兒童拒絕違反本質(zhì)規(guī)則的數(shù)數(shù)行為，計(jì)1分;兒童接受違反偽錯(cuò)誤的數(shù)數(shù)行為，計(jì)1分;在對(duì)不同數(shù)數(shù)類型的解釋上，兒童能對(duì)不同數(shù)數(shù)行為背后的邏輯規(guī)則進(jìn)行解釋，計(jì)1分。

（2）唱數(shù)任務(wù)

采用趙振國(guó)編制的幼兒數(shù)感測(cè)查工具中的唱數(shù)部分，共有22個(gè)題目，滿分為69分。[趙振國(guó)：《3～6歲兒童數(shù)感發(fā)展的研究》，《心理發(fā)展與教育》2008年第4期，第8-12頁(yè)。]

（3）數(shù)物體任務(wù)

改編自Lefevre及其合作者采用的數(shù)物體任務(wù)施測(cè)，通過(guò)E-prime編程將一系列隨機(jī)排列的物體呈現(xiàn)在電腦屏幕上，讓兒童盡可能快速且準(zhǔn)確地說(shuō)出屏幕上有多少物體，并按相應(yīng)的數(shù)字鍵，共有21個(gè)試次，其中3個(gè)是練習(xí)，其余為正式施測(cè)項(xiàng)目。在每個(gè)試次中呈現(xiàn)的所有物體外觀都是相同的，這些物體的數(shù)量從1到10不等。[Lefevre J A ， Smith-Chant B L ， Fast L ， et al. What Counts as Knowing？ The Development of Conceptual and Procedural Knowledge of Counting from Kindergarten through Grade 2[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2006， 93（4）：285-303.]

（4）兒童表達(dá)性詞匯測(cè)試（EVT）

采用兒童表達(dá)性詞匯測(cè)試（EVT）評(píng)估兒童的一般語(yǔ)言能力，共有66道題。若兒童在連續(xù)7題中答錯(cuò)任意5題，就停止測(cè)試。最高題項(xiàng)減去錯(cuò)誤題目數(shù)就等于兒童在EVT上的得分。

3.實(shí)驗(yàn)程序

由通過(guò)專業(yè)培訓(xùn)的學(xué)前教育專業(yè)研究生擔(dān)任，所有測(cè)驗(yàn)一對(duì)一進(jìn)行，每位被試測(cè)試兩次，每次測(cè)驗(yàn)的時(shí)間為25分鐘左右。

三、研究結(jié)果

1.5—7歲兒童數(shù)數(shù)概念性知識(shí)的發(fā)展

（1）不同年齡組兒童在數(shù)數(shù)探測(cè)任務(wù)上的整體表現(xiàn)

每個(gè)年齡組的兒童對(duì)正確數(shù)數(shù)行為的判斷的平均正確率達(dá)到了95%以上，這些數(shù)據(jù)不再納入后續(xù)的分析中。各年齡組兒童在數(shù)數(shù)探測(cè)任務(wù)上的表現(xiàn)見(jiàn)表1。

以兒童在EVT上的得分為協(xié)變量，以兒童在數(shù)數(shù)探測(cè)任務(wù)中的正確率進(jìn)行“6（數(shù)數(shù)類型）×2（反應(yīng)類型）×3（年齡）”三因素混合重復(fù)測(cè)量方差分析，結(jié)果表明，數(shù)數(shù)類型主效應(yīng)顯著[F（5， 134）=47.85，p<0.001，η2=0.64]，表明兒童在對(duì)違反不同數(shù)數(shù)規(guī)則的數(shù)數(shù)行為的識(shí)別上存在顯著差異;反應(yīng)類型主效應(yīng)顯著[F（2， 139）=221.32，p<0.001，η2=0.61]，表明兒童對(duì)數(shù)數(shù)行為的判斷和解釋差異顯著;年齡主效應(yīng)顯著[F（2， 138）=19.61，p<0.001，η2=0.22]，說(shuō)明不同年齡的兒童在數(shù)數(shù)探測(cè)任務(wù)中的表現(xiàn)存在顯著差異。數(shù)數(shù)類型和反應(yīng)類型的交互作用顯著[F（5， 134）=24.62，p<0.001，η2=0.48]。

其一，對(duì)數(shù)數(shù)類型的主效應(yīng)進(jìn)行事后分析發(fā)現(xiàn)，兒童對(duì)違反“一一對(duì)應(yīng)”和“標(biāo)準(zhǔn)方向”原則的判別最高，其次是對(duì)違反“抽象原則”和“空間連續(xù)性原則”的數(shù)數(shù)行為的判別，再次是對(duì)違反“時(shí)間連續(xù)性原則”數(shù)數(shù)行為的判別，對(duì)違反“時(shí)空連續(xù)性原則”的判別最低。其二，對(duì)反應(yīng)類型主效應(yīng)進(jìn)行事后分析發(fā)現(xiàn)，兒童在數(shù)數(shù)探測(cè)任務(wù)上的判斷正確率顯著高于解釋正確率。其三，對(duì)年齡主效應(yīng)進(jìn)行事后分析發(fā)現(xiàn)，5歲組和6歲組的兒童在數(shù)數(shù)概念性的理解上差異不顯著，7歲組兒童對(duì)數(shù)數(shù)概念性知識(shí)的理解顯著高于5歲組和6歲組。其四，在數(shù)數(shù)類型和反應(yīng)類型的交互作用進(jìn)行簡(jiǎn)單效應(yīng)分析發(fā)現(xiàn)，兒童對(duì)違反“空間連續(xù)性原則”數(shù)數(shù)行為的判斷和解釋差異不顯著，在其他類型的數(shù)數(shù)行為的判斷和解釋差異均顯著。

此外，數(shù)數(shù)探測(cè)任務(wù)中的集合大小不影響兒童對(duì)數(shù)數(shù)行為的判斷[t（140）=-1.654，p>0.05]和解釋[t（140）=-1.624，p>0.05]。

（2）兒童對(duì)數(shù)數(shù)概念性知識(shí)掌握的聚類分析

數(shù)數(shù)概念性理解要求兒童既能拒絕違反本質(zhì)原則的數(shù)數(shù)行為，又能接受只違反非本質(zhì)原則的數(shù)數(shù)行為?？紤]到兒童在數(shù)數(shù)探測(cè)任務(wù)上的整體反應(yīng)模式，基于Kamawar及其合作者的研究，采用K均值聚類的方法，將兒童在數(shù)數(shù)概念性知識(shí)上對(duì)錯(cuò)誤和偽錯(cuò)誤數(shù)數(shù)行為的判斷和解釋的表現(xiàn)分為三種類型：不穩(wěn)定型（n=52）、僵硬型（n=41）和理解型（n=48）。[Kamawar， D.， Lefevre， J. A.， Bisanz， J.， Fast， L.， Skwarchuk， S. L.， Smith-Chant， B.， et al . Knowledge of Counting Principles： How Relevant is Order Irrelevance？ [J].Journal of Experimental Child Psychology， 2010，105：138-145.]類別檢驗(yàn)的結(jié)果表明，參與聚類分析的四個(gè)指標(biāo)能很好地區(qū)分各類，類間的差異足夠大（p<0.01）。數(shù)數(shù)概念性知識(shí)理解型的兒童在判斷和解釋錯(cuò)誤數(shù)數(shù)行為和偽錯(cuò)誤數(shù)數(shù)行為上完成度比較好;數(shù)數(shù)概念性知識(shí)僵硬型的兒童能夠正確地判斷錯(cuò)誤數(shù)數(shù)行為，但不善于解釋錯(cuò)誤數(shù)數(shù)行為背后的邏輯原則，將偽錯(cuò)誤數(shù)數(shù)行為視為無(wú)效的數(shù)數(shù)。數(shù)數(shù)概念性知識(shí)不穩(wěn)定型的兒童可以判斷和解釋一些偽錯(cuò)誤數(shù)數(shù)行為，能識(shí)別部分錯(cuò)誤數(shù)數(shù)行為，但在解釋錯(cuò)誤數(shù)數(shù)行為時(shí)會(huì)發(fā)生偏差。

如圖1所示，不同年齡組的兒童在數(shù)數(shù)概念性知識(shí)上的反應(yīng)模式存在顯著的差異，Symbol`@@SymbolcA@2（4）=29.89，Cramers V=0.32， p<0.01。5歲組的兒童在數(shù)數(shù)概念性知識(shí)上的表現(xiàn)屬于不穩(wěn)定型的居多，SymbolcA@2（2）=16.25，p<0.01;7歲組的兒童在概念性知識(shí)上屬于理解型的居多SymbolcA@2（4）=16.50，p<0.01。

2.5-7歲兒童程序性知識(shí)的發(fā)展

不同年齡組兒童在數(shù)數(shù)程序性知識(shí)上的表現(xiàn)如表2所示。

為了考察不同年齡組兒童在數(shù)數(shù)程序性知識(shí)任務(wù)上表現(xiàn)的差異，以兒童在這三個(gè)任務(wù)上的表現(xiàn)為因變量，以年齡和性別為自變量，進(jìn)行多元方差分析。結(jié)果顯示，不同年齡組的兒童在數(shù)數(shù)程序性知識(shí)上[F（2，135）=28.25，p<0.001，η2=0.29]，數(shù)物體正確率[F（2，135）=17.35，p<0.001，η2=0.20]和數(shù)物體反應(yīng)時(shí)[F（2，135）=26.25，p<0.001，η2=0.28]上的主效應(yīng)顯著，性別在數(shù)數(shù)程序性知識(shí)上的主效應(yīng)不顯著，年級(jí)和性別交互作用不顯著。進(jìn)一步對(duì)各個(gè)年齡組在不同任務(wù)上的表現(xiàn)的均值做事后檢驗(yàn)，兩兩比較年級(jí)間差異。結(jié)果表明，隨著年齡的增長(zhǎng)，兒童在唱數(shù)任務(wù)上表現(xiàn)更好，數(shù)物體的正確率逐步提高，數(shù)物體的速度更快。

3.數(shù)數(shù)概念性知識(shí)和程序性知識(shí)的相關(guān)分析

采用相關(guān)分析考察兒童數(shù)數(shù)概念性知識(shí)和程序性知識(shí)之間的關(guān)系，結(jié)果如表3所示。兒童在數(shù)數(shù)概念性知識(shí)任務(wù)和程序性知識(shí)任務(wù)上的表現(xiàn)大多存在極其顯著的相關(guān)，只有兒童對(duì)違反非本質(zhì)原則的判斷和數(shù)物體的正確率之間存在顯著相關(guān)，還有兒童對(duì)違反數(shù)數(shù)本質(zhì)原則的數(shù)數(shù)行為的判斷和數(shù)物體反應(yīng)時(shí)之間的相關(guān)性不顯著。

數(shù)數(shù)概念性知識(shí)上的判斷和解釋，與數(shù)數(shù)正確率呈中等程度正相關(guān)（r>0.4）;兒童對(duì)不同數(shù)數(shù)行為的解釋均和唱數(shù)呈中等程度正相關(guān)（r>0.3），和數(shù)物體反應(yīng)時(shí)呈中等程度負(fù)相關(guān)（r<-0.3）。兒童在數(shù)數(shù)概念性知識(shí)上的解釋和程序性知識(shí)的相關(guān)程度要高于對(duì)概念性知識(shí)的判斷，兒童對(duì)違反本質(zhì)原則數(shù)數(shù)行為的解釋和程序性知識(shí)的相關(guān)系數(shù)，均高于其他概念性知識(shí)任務(wù)上的表現(xiàn)和程序性知識(shí)的相關(guān)系數(shù)。

四、討論與分析

1.兒童數(shù)學(xué)概念性知識(shí)和程序性知識(shí)的發(fā)展

本研究表明，隨著年齡的增長(zhǎng)，兒童對(duì)違反本質(zhì)原則和非本質(zhì)原則的數(shù)數(shù)行為的區(qū)分能力日益增強(qiáng)，與Rodríguez等人研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)一致。[Escudero A ， Rodríguez， Purificación， Lago M O ， et al. A 3-Year Longitudinal Study of Childrens Comprehension of Counting： Do They Recognize the Optional Nature of Nonessential Counting Features？[J]. Cognitive Development， 2015， 33（7）：73-83.]然而LeFevre等人的研究發(fā)現(xiàn)，5—8歲的兒童對(duì)違背本質(zhì)原則的數(shù)數(shù)行為的識(shí)別隨著年齡的增長(zhǎng)而增加，然而很多兒童拒絕了那些違反非本質(zhì)原則的數(shù)數(shù)行為，令人感到驚奇的是與5—6歲的兒童相比，7—8歲的兒童更容易拒絕違反非本質(zhì)原則的數(shù)數(shù)行為，也就是說(shuō)他們難以區(qū)分?jǐn)?shù)數(shù)的本質(zhì)原則和非本質(zhì)原則，將兩者視為同等重要[Lefevre J A ， Smith-Chant B L ， Fast L ， et al. What Counts as Knowing？ The Development of Conceptual and Procedural Knowledge of Counting from Kindergarten through Grade 2[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2006， 93（4）：285-303.]，但本研究并沒(méi)有發(fā)現(xiàn)這一U型趨勢(shì)。本研究發(fā)現(xiàn)數(shù)數(shù)探測(cè)任務(wù)中，數(shù)數(shù)集合大小不影響兒童的判斷和解釋，這與Kamawar等人的研究結(jié)果一致。[Kamawar， D.， Lefevre， J. A.， Bisanz， J.， Fast， L.， Skwarchuk， S. L.， Smith-Chant， B.， et al. Knowledge of Counting Principles： How Relevant is Order Irrelevance？[J].Journal of Experimental Child Psychology， 2010，105：138-145.]

盡管兒童的數(shù)數(shù)程序性知識(shí)整體較好，但他們對(duì)數(shù)數(shù)概念性知識(shí)的理解不完整也不靈活。和以往研究有所不同的是，兒童對(duì)違反本質(zhì)原則的識(shí)別并非總是優(yōu)于其他類型，兒童對(duì)違反“一一對(duì)應(yīng)”和“標(biāo)準(zhǔn)方向”原則數(shù)數(shù)行為的判斷和解釋要優(yōu)于其他，其次是對(duì)違反“抽象原則”和“空間連續(xù)性原則”的數(shù)數(shù)行為的判別，對(duì)違反“時(shí)空連續(xù)性原則”數(shù)數(shù)行為的正確判斷和解釋弱于其他類型。主要有兩種可能的原因：一是研究中沒(méi)有系統(tǒng)把違反本質(zhì)原則和非本質(zhì)原則的數(shù)數(shù)行為綜合起來(lái)考察;二是即使在一個(gè)特定的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，概念性知識(shí)也可能有相當(dāng)大的可變性，如Canobi的研究發(fā)現(xiàn)，6—8歲的兒童對(duì)加減運(yùn)算概念性知識(shí)理解中，對(duì)交換律的識(shí)別要優(yōu)于對(duì)補(bǔ)充律的識(shí)別。[Canobi K H . Individual Differences in Childrens Addition and Subtraction Knowledge[J]. Cognitive Development， 2004， 19（1）：81-93.]

兒童對(duì)數(shù)數(shù)概念性知識(shí)的全面掌握是一個(gè)長(zhǎng)期而漸進(jìn)的過(guò)程。[Lago M O ， Rodríguez， Purificación， Escudero A ， et al. Detection of Counting Pseudoerrors： What Helps Children Accept Them？[J]. British Journal of Developmental Psychology， 2015， 34（2）：169-180.]教育者普遍認(rèn)為，能唱數(shù)的兒童知道如何數(shù)數(shù)，并且準(zhǔn)備開(kāi)始學(xué)習(xí)更高層次的算術(shù)技能，比如加減法。然而，真正意義上的學(xué)會(huì)數(shù)數(shù)是一個(gè)漫長(zhǎng)而復(fù)雜的過(guò)程，它并不僅僅是會(huì)背數(shù)和識(shí)數(shù)，還需理解數(shù)數(shù)要實(shí)現(xiàn)一組本質(zhì)原則，同時(shí)忽略不必要的非本質(zhì)原則，即使兒童進(jìn)入小學(xué)一年級(jí)這一發(fā)展過(guò)程仍在繼續(xù)。[Escudero A ， Rodríguez， Purificación， Lago M O ， et al. A 3-Year Longitudinal Study of Childrens Comprehension of Counting： Do They Recognize the Optional Nature of Nonessential Counting Features？[J]. Cognitive Development， 2015， 33（7）：73-83.]為什么即使小學(xué)一年級(jí)兒童也難以協(xié)調(diào)數(shù)數(shù)本質(zhì)特征和非本質(zhì)特征呢？這可能與在學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)規(guī)則的強(qiáng)調(diào)有關(guān)，那些嚴(yán)格遵守規(guī)則的兒童往往能取得更高的分?jǐn)?shù)。在這些

被強(qiáng)調(diào)的規(guī)則中，一些規(guī)則是數(shù)學(xué)中的規(guī)律，而另一些僅僅是常規(guī)。在這種情況下，兒童會(huì)按部就班地、機(jī)械地接受某些特定的步驟來(lái)減少錯(cuò)誤，他們難以接受那些違反非本質(zhì)原則的數(shù)數(shù)行為。

2.兒童數(shù)數(shù)概念性知識(shí)和程序性知識(shí)的關(guān)系

本研究中兒童的數(shù)數(shù)概念性知識(shí)和程序性知識(shí)呈顯著中等程度相關(guān)，說(shuō)明那些在數(shù)數(shù)概念性知識(shí)上表現(xiàn)更好的兒童在唱數(shù)和數(shù)物體上表現(xiàn)也很好，對(duì)數(shù)數(shù)規(guī)則透徹的理解和熟練的程序性技能是密切聯(lián)系的。盡管LeFevre等人的研究發(fā)現(xiàn)兒童數(shù)數(shù)概念性知識(shí)和程序性知識(shí)是呈弱相關(guān)的[Lefevre J A ， Smith-Chant B L ， Fast L ， et al. What Counts as Knowing？ The Development of Conceptual and Procedural Knowledge of Counting from Kindergarten through Grade 2[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2006， 93（4）：285-303.]，但是還有不少研究證實(shí)兒童數(shù)學(xué)概念性知識(shí)和程序性知識(shí)之間有很強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，如Canobi發(fā)現(xiàn)加法概念性知識(shí)高水平兒童在解決加法問(wèn)題時(shí)更快、更準(zhǔn)確，并且比其他兒童能使用更復(fù)雜的解決問(wèn)題的程序。[Canobi K H . Childrens Profiles of Addition and Subtraction Understanding[J]. Journal of Experimental Child Psychology，2005， 92（3）：220-246.]

Rittle-Johnson等人提出數(shù)學(xué)概念性知識(shí)和程序性知識(shí)是相互促進(jìn)、迭代發(fā)展的，一旦兒童發(fā)展了一種知識(shí)，則會(huì)促進(jìn)另一種知識(shí)的發(fā)展，第二種知識(shí)的發(fā)展反過(guò)來(lái)又會(huì)促進(jìn)第一種知識(shí)的發(fā)展。在后續(xù)的研究中，可以通過(guò)干預(yù)某一類知識(shí)來(lái)考察對(duì)另一種知識(shí)的促進(jìn)程度，或者是通過(guò)追蹤研究來(lái)更深入地探討數(shù)數(shù)概念性知識(shí)和程序性知識(shí)之間的關(guān)系。

五、結(jié)論與啟示

1.創(chuàng)設(shè)多種數(shù)數(shù)情境，通過(guò)反省抽象促進(jìn)兒童數(shù)數(shù)概念性知識(shí)的發(fā)展

數(shù)數(shù)概念性知識(shí)包括對(duì)數(shù)數(shù)本質(zhì)原則必然性和對(duì)非本質(zhì)規(guī)則可變性的理解，盡管有的兒童已經(jīng)理解了數(shù)數(shù)本質(zhì)原則，但是無(wú)法在數(shù)數(shù)本質(zhì)原則和非本質(zhì)原則之間進(jìn)行協(xié)調(diào)。在教育實(shí)踐中，教育者常常為兒童提供傳統(tǒng)的數(shù)數(shù)行為規(guī)則，如從左到右連續(xù)數(shù)，很少讓兒童去觀察非傳統(tǒng)數(shù)數(shù)，如從中間數(shù)。這可能會(huì)讓兒童認(rèn)為傳統(tǒng)的數(shù)數(shù)行為才是最合理和正確的，他們能很快去模仿這些傳統(tǒng)數(shù)數(shù)行為，能夠正確數(shù)出集合中物體的數(shù)量，而忽視了其中的邏輯規(guī)則。有研究已經(jīng)表明，小學(xué)低年級(jí)數(shù)學(xué)困難兒童的數(shù)數(shù)概念性知識(shí)并不成熟，與普通兒童相比更弱。[Geary D C ， Hoard M K ， Byrd-Craven J ， et al. Strategy Choices in Simple and Complex Addition： Contributions of Working Memory and Counting Knowledge for Children with Mathematical Disability[J]. Journal of Experimental Child Psychology， 2004， 88（2）：121-151.]