沈義東，沈軍輝，李何偉

（成都理工大學地質(zhì)災(zāi)害防治與地質(zhì)環(huán)境保護國家重點實驗室， 四川成都 610059）

0 引言

受底板承壓水的影響，我國煤層開采底板破壞突水事故頻發(fā)[1～2]。煤層底板突水多為隔水關(guān)鍵層所受的應(yīng)力超過其臨界強度，造成底板破壞所致。有關(guān)底板突水破壞機理的研究，上世紀30年代，前蘇聯(lián)斯列薩列夫結(jié)合力學基礎(chǔ)及強度理論，研究了煤層底板在承壓水作用下的破壞機制，1944年匈牙利學者基于力學理論提出有效隔水層的觀點[3]。孟祥瑞等[4～5]運用彈性力學半無限空間體理論研究確定了煤層底板擾動帶的深度；虎維岳[6]、王連國等[7～9]根據(jù)巖石滲透率與應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系的尖點突變模型，研究了采動下煤層底板破壞的力學機制?；⒕S岳[10]、馮強等[11]運用FLAC3D分析了點狀、帶狀及面狀承壓水作用下煤層底板的力學響應(yīng)及煤層開采后采空區(qū)底板應(yīng)力分布規(guī)律。上述有關(guān)底板破壞機理的研究，多從理論分析和數(shù)值模擬角度開展。本項研究根據(jù)多數(shù)破壞底板的薄板狀特征，將底板隔水層看作彈性薄板模型，運用彈性力學理論推導(dǎo)應(yīng)力解析式，得出了底板隔水層任意一點在縱橫荷載作用下應(yīng)力計算公式，結(jié)合FLAC3D軟件分析巖板受力規(guī)律，基于薄板模型計算隔水層的極限水壓力，分析底板隔水層的突水破壞模式。研究成果對評價底板隔水層突水破壞具有理論與實際意義。

劉天泉、張金才等學者根據(jù)“下三帶”理論，并運用彈塑性力學和相似材料模擬實驗研究底板突水機制，采用半無限體一定長度上受均布豎向載荷的彈性解（式1-1）、結(jié)合庫侖-莫爾強度理論和Griffith強度理論分別求得了底板受采動影響的最大破壞深度和以底板巖層抗剪及抗拉強度為基準的預(yù)測底板極限水壓力的理論公式[12]。

然而，以上運用板梁理論推導(dǎo)出的底板突水的評價方法皆沒有考慮水平地應(yīng)力。隨著采深的加大，水平地應(yīng)力已不能忽略，在底板向上水壓力與水平力的同時作用下，底板巖層發(fā)生向上彎曲變形。將底板隔水層看成一薄板，其力學模型就是一種受縱橫荷載作用下的薄板彎曲問題。

1 底板隔水層彈性薄板模型

煤層底板巖層自上而下形成“下三帶”[12]，即：底板采動裂隙帶ha、完整有效隔水層保護帶hb和承壓水導(dǎo)升帶hc（圖1）。無斷層影響下，底板巖層是否突水破壞，主要取決于底板有效隔水層的厚度和本身的極限承載力[13]。由于采空區(qū)四周均有煤柱支承，因而可將隔水底板看作固支邊界。

前蘇聯(lián)加列爾津認為巖板h/b＜1/5時(h為巖板的厚度，b為巖板短邊長度)，用薄板方法是完全允許的[14～15]；此外，巖板的撓度必然不大于煤層的開采厚度，而巖板的自身厚度又往往大于煤層開采厚度，故巖板撓度必然遠小于自身厚度，這也符合薄板彎曲小撓度理論的前提條件[16～17]。因此，隔水層穩(wěn)定性分析選擇彈性力學中的薄板彎曲模式是可行的。煤層底板有效隔水層除了采動破壞帶的自重和有效隔水層的自重之外,主要還受承壓水的均布荷載p及水平地應(yīng)力N[18～21]。因此，底板隔水層在向上水壓力與水平地應(yīng)力的共同作用下，發(fā)生向上彎曲變形，其力學模型就是一種受縱橫荷載作用下的薄板彎曲問題（圖2）。

圖2隔水層巖板力學模型Figure 2.Mechanical model of water-proof rock plate

1.1彈性薄板的撓度函數(shù)

采場底板破斷前可將其視為四邊固支的矩形薄板，采場覆巖受均布荷載t=p-γaha作用。矩形頂板長為a，寬為b（其中b＜a），板厚為h，彈性模量為E，泊松比為μ，抗彎剛度為D，板的撓度為ω，內(nèi)力彎矩為Mx、My，底板應(yīng)力為σx、σy和τxy。建立四邊固支的矩形頂板力學模型，如圖2所示。對四邊固支矩形薄板滿足式（2-1）所示的邊界條件：

圖1完整底板隔水層分帶圖Figure 1.Zoning of water-proof layer of a complete floor

根據(jù)最小勢能原理求解臨界荷載。對于受圖2（b）所示的均布橫向載荷的四周固支矩形薄板，其撓度表達式為：

由于上式收斂很快，為了方便計算，取式中第一項，即可滿足采礦工程中的要求。即：

（1）隔水底板的形變勢能

將w（x，y）替代矩形薄板的形變勢能表達式（2-4），得：

其中D=Eh3/[12（1-u2）],E為薄板的彈性模量，u為泊松比，D為薄板抗彎剛度。

由式（2-5）變形可得：

依據(jù)格林定理，有：

所以，式（2-7）中右邊第二項的積分可化為：

由于矩形薄板的全部邊界都是固支的，則不論邊界的形狀如何，在邊界上都有?w/?x=0，所以式（2-8）中右邊第二項的積分為零。因此，矩形薄板的形變勢能U可以化簡為：

（2）橫向載荷做功

垂直于底板隔水層的橫向載荷t做的功為：

（3）水平地應(yīng)力做功

對于作用在底板隔水層上的水平縱向載荷N，我們將其看作是沿著底板隔水層x、y方向巖層的內(nèi)力Nx和Ny處理，則縱向載荷做的功為：

（4）隔水層自重做功

考慮有效隔水層自重情況下，則自重G做功，

因此，煤層底板隔水層的總位能Π為

依據(jù)最小勢能原理，對下伏傾角不為零隔水層的總位能Π取變分，則

撓度函數(shù)w能滿足公式(2-1)的四邊固支邊界條件，采用變分法求撓度函數(shù)w系數(shù)A1。所以，縱橫載荷作用下底板隔水層的撓度函數(shù)w的待定系數(shù)A1為：

因此，底板隔水層的撓度函數(shù)w為

1.2薄板內(nèi)力分析

根據(jù)薄板理論，板x和y方向彎矩表達式如下式所示，力偶矩如下式第三式所示：

則應(yīng)力分量為：

2 彈性薄板破壞模型應(yīng)力分析

2.1力學模型應(yīng)力分析

根據(jù)皖北煤電集團某礦采煤工作面底板隔水層力學參數(shù)可繪制出隔水層彎矩分布圖（圖3）。

表1 采煤工作面隔水關(guān)鍵層層力學參數(shù)Table 1.Mechanical parameters of key water-proof layer in a coal face

圖3 隔水層彎矩分布圖Figure 3.Bending moment distribution diagram of waterproof layer

2.2數(shù)值模型應(yīng)力分析

在上述應(yīng)力分析基礎(chǔ)上，結(jié)合FLAC3D軟件分析了底板隔水層在承壓水作用下的應(yīng)力狀態(tài)。如圖4（a）建立長：寬：高=10：5：1彈性薄板模型，四周邊界全約束，忽略底板隔水層自重和水平應(yīng)力，根據(jù)圖4(b)、(c)、(d)可得出隔水層只在承壓水作用下的應(yīng)力σx、σy、τxy的分布規(guī)律。

圖4 薄板模型承壓水壓力作用下隔水層應(yīng)力云圖Figure 4.Stress nephogram of water-proof layer under the action of confined water pressure of thin plate model

由圖3中可知，矩形薄板在x方向上的彎矩值要遠遠超過在y方向的彎矩值，在板中是正彎矩，在板邊形成的是負彎矩，彎矩負值點在薄板短邊的兩端，表明板邊處于受壓、而板中處于受拉狀態(tài)，彎矩最大值點在原點位置。由圖4可知，薄板在受到底部承壓水作用向上彎曲過程中，最大拉應(yīng)力出現(xiàn)在板的上表面中心和板長邊方向下端部，壓應(yīng)力最大出現(xiàn)在板兩短邊上的中點部位。

3 薄板模型的極限水壓力求解

3.1底板有效隔水層破壞形式判斷

依據(jù)式(2-17)、（2-18）分析四周固支薄板內(nèi)的應(yīng)力分量沿其跨度和高度方向的分布。煤層回采時隨工作面的移動，底板巖板內(nèi)某點的正應(yīng)力超過巖板極限抗拉強度，因巖石的抗拉強度較低，巖層易發(fā)生因抗拉能力不足而導(dǎo)致的彎曲破壞。考慮了水平地應(yīng)力后，若當水平地應(yīng)力較大時，則巖層或以壓剪破壞為主。

3.2隔水層彎拉破壞的力學判據(jù)

根據(jù)前面對薄板受縱橫載荷作用下的應(yīng)力分析（式1-1）可知，薄板在長邊方向上的中間部位所受到的y方向的彎矩最大，則其下表面拉應(yīng)力最大。則薄板

若使巖層不發(fā)生斷裂，則應(yīng)使巖石的容許抗拉強度不小于嵌固端巖層下表面(x=±l，y=h/2)處的拉應(yīng)力。嵌固端不被拉裂的條件為：

則巖板不發(fā)生拉斷的極限水壓力為：

3.3隔水層壓剪破壞的力學判斷準則

剪切破壞是圍巖弱結(jié)構(gòu)體中最容易沿優(yōu)勢結(jié)構(gòu)面發(fā)生破壞的形式，但在高水平應(yīng)力作用下，結(jié)構(gòu)面不發(fā)育的巖體也會發(fā)生破壞。

根據(jù)前面對薄板受縱橫載荷作用下的應(yīng)力分析可知，薄板在長邊方向上的中間部位所受到的y方向的彎矩最大，則在其下表面壓應(yīng)力最大。則薄板的最大和最小主壓應(yīng)力為：

當?shù)装甯羲畬釉诳v橫荷載作用下底板巖體的任意一點處于彈性區(qū)向塑性區(qū)過度時，即該點將要發(fā)生塑性變形時，其主應(yīng)力應(yīng)該滿足極限平衡條件。采用巖石力學中通用的莫爾-庫侖屈服準則判斷。

其中，N?b=（1+sin?）b（ 1-sin?）b，式中，cb，φb分別為隔水層粘聚力、內(nèi)摩擦角。

由式（4-4）求得底板隔水層下任一點主應(yīng)力，將其代入式（4-6）后，即可用主應(yīng)力來判別底板受剪切最危險點的破壞狀況。則根據(jù)式（4-6）可知，巖板不發(fā)生剪切破壞的極限水壓力為：

3.4薄板極限水壓力求解問題討論

在上述的研究基礎(chǔ)上，結(jié)合皖北煤電集團某礦采煤工作面隔水層力學特性（表2）來討論當h/b、a/b變化以及不同水平地應(yīng)力N（起始水平應(yīng)力為0）下底板所能承受的極限水壓力變化情況。結(jié)果見表3、4和5所示，計算出不同的極限水壓力值，其結(jié)果如下所示。

圖5 不同h/b值下極限水壓力值曲線圖Figure 5.Curve of limit water pressure under different h/b values

圖6 不同a/b值下極限水壓力值曲線圖Figure 6.Curve of limit water pressure under different a/b values

圖7 不同水平地應(yīng)力下極限水壓力值曲線圖Figure 7.Curve of limit water pressure under different horizontal crustal stresses

由表3、4結(jié)果及其繪制圖5、6可知，壓剪破壞的極限水壓力總小于彎拉破壞的極限水壓力，即隨著隔水層厚度的增加，底板更易在固支邊界發(fā)生壓剪破壞。

由表3及圖7可知，煤層底板隔水層的極限水壓力還受水平地應(yīng)力的影響，隨著水平地應(yīng)力的增大，隔水層固支端處壓剪破壞的極限水壓力逐漸減小，彎拉破壞的極限水壓力基本不變。

表2 采煤工作面隔水關(guān)鍵層層力學參數(shù)Table 2.Mechanical parameters of key water-proof layer at a coal face

表3 不同h/b值下極限水壓力值（a=180m,N=3MPa）Table 3.Water pressure limits under different h/b values(a=180m,N=3MPa)

表4 不同a/b值下極限水壓力值（h=3m，N=3MPa）Table 4.Water pressure limits under different a/b values(h=3m,N=3MPa)

表5 不同水平地應(yīng)力下極限水壓力值（a=180，h=3m）Table 5.Water pressure limits under differenthorizontal crustal stresses(a=180,h=3m)

4 結(jié)論

通過對煤層底板突水破壞薄板模型的研究，結(jié)合數(shù)值模擬結(jié)果，得出以下結(jié)論：

（1）基于彈性力學中的彈性薄板理論，建立了沿煤層斜長方向采動底板受力力學模型，計算了煤層回采過程中底板內(nèi)任一點處的應(yīng)力大小。

（2）由應(yīng)力分析可知，相同的水壓力時，影響底板破壞突水的主要因素是有效隔水層的層厚和水平地應(yīng)力大小。

（3）在不同的a/b和h/b值下壓剪破壞的極限水壓力值小于彎拉破壞的極限水壓力值，說明煤層底板在固支端更容易發(fā)生破壞突水。

（4）水平地應(yīng)力對彎拉破壞影響較小，但對壓剪破壞的影響較大。