張 昆

為了發(fā)揮平面幾何課程資源的教學(xué)價(jià)值，借助于平面幾何課程資源中圖形直觀特征，培養(yǎng)學(xué)生理解平面幾何圖形的性質(zhì).教師在向?qū)W生提供信息、啟發(fā)學(xué)生從信息中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、選擇合適的途徑提出問(wèn)題、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題（探究證明題的思路）的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，進(jìn)而體悟理性精神，這是平面幾何知識(shí)教學(xué)價(jià)值的集中體現(xiàn).為了實(shí)現(xiàn)這種教學(xué)目標(biāo)，在義務(wù)教育初中階段課堂教學(xué)中，如何處理進(jìn)入教科書(shū)上的知識(shí)內(nèi)容，選擇怎樣的技術(shù)手段進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)及其在課堂上的實(shí)施，教師的首要任務(wù)就是需要整理出一個(gè)簡(jiǎn)單的教學(xué)步驟，以此引領(lǐng)自己的教學(xué)行為，才能獲得比較好的教學(xué)效果.這是本研究的主旨.

平面幾何中各種不同知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)步驟，不是依據(jù)時(shí)代優(yōu)勢(shì)教育教學(xué)理論推導(dǎo)出來(lái)的（理論家只能教導(dǎo)你怎樣教，當(dāng)你給他一個(gè)具體的知識(shí)點(diǎn)，要求他按照他自己提出的理論作出一種教學(xué)示范性的課例時(shí)，他往往會(huì)無(wú)能為力），而是必須要適應(yīng)于所選的教科書(shū)呈現(xiàn)平面幾何知識(shí)的內(nèi)容、要實(shí)現(xiàn)的教學(xué)目標(biāo)、具體學(xué)生的心理特點(diǎn)、教學(xué)實(shí)踐中的需要與所能達(dá)到的教學(xué)技術(shù)手段等的不同要求，沒(méi)有固定格式可言，是具體情境具體分析的結(jié)果.雖然如此，還是可以大致地提出以下的課堂教學(xué)具體步驟，如圖1所示.

圖1 課堂教學(xué)的具體步驟

1 提出問(wèn)題

數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)就是數(shù)學(xué)問(wèn)題及其序列的設(shè)計(jì).它的中心任務(wù)是要設(shè)計(jì)出一組問(wèn)題，從而把課堂教學(xué)過(guò)程組織成為提供數(shù)學(xué)化信息，啟發(fā)學(xué)生從信息中（或者教師自己直接向?qū)W生）提出問(wèn)題、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的連續(xù)探究活動(dòng)過(guò)程，以此在課堂上為學(xué)生營(yíng)造出有效思維活動(dòng)的場(chǎng)域.啟發(fā)學(xué)生在提出問(wèn)題、分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的過(guò)程中做數(shù)學(xué)，學(xué)數(shù)學(xué)，從而增長(zhǎng)知識(shí)、發(fā)展能力、提高素質(zhì)、形成經(jīng)驗(yàn)與養(yǎng)成素養(yǎng).［1]平面幾何推理論證入門(mén)教學(xué)也不例外，平面幾何知識(shí)教學(xué)提出初始問(wèn)題的方式之一，可以借助于原有的圖形，將所要探討的結(jié)論向前稍加延伸，如此往往會(huì)形成較好的初始問(wèn)題.

例如，我們以等腰三角形相關(guān)知識(shí)為基礎(chǔ)提出如下問(wèn)題：設(shè)E、F分別為等腰△ABC的兩腰AB、AC邊上的中點(diǎn)，BF、CE交于點(diǎn)D.如圖2 所示，于是，在這個(gè)等腰△ABC中，兩腰上的中線及其交點(diǎn)將它添置了許多線段，請(qǐng)你思考這些線段具有怎樣的相等關(guān)系？

圖2 提出問(wèn)題的基礎(chǔ)圖

這個(gè)問(wèn)題刺激了具有不同“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”［2]的學(xué)生，引起了他們的興趣與思考，他們依據(jù)各自學(xué)習(xí)平面幾何知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)、觀察能力、理解水平與言之有據(jù)、事出有因的思維習(xí)慣，經(jīng)由個(gè)性化地思考，可能做出不同的回答，據(jù)此，可以培養(yǎng)不同學(xué)生的創(chuàng)新能力、觀察能力、選擇能力、探究能力、判斷能力與推理能力等，可以使具有不同個(gè)性差異的學(xué)生得到各自的知識(shí)、能力、觀念、經(jīng)驗(yàn)、處理平面幾何問(wèn)題的方法與養(yǎng)成探究證明思路的素養(yǎng)等，如此，使教師的教學(xué)具有更大范圍的適應(yīng)性，從而產(chǎn)生出適應(yīng)于整個(gè)班級(jí)所有學(xué)生的個(gè)性差異的教學(xué)活動(dòng)過(guò)程.

基于此，筆者在一個(gè)班教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生只能發(fā)現(xiàn)AE=BE，AF=BF；或進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)AE=AF等，這些是直接從已知條件產(chǎn)生的相關(guān)結(jié)論；有些學(xué)生根據(jù)已知條件，通過(guò)猜測(cè)活動(dòng)，間接地得到BE=CF，DE=DF，CD=BD等結(jié)論.于是，可以依據(jù)具有心理差異的不同學(xué)生各自的情況，組織生動(dòng)活潑的課堂教學(xué)過(guò)程，尤其是教師根據(jù)學(xué)生在發(fā)現(xiàn)活動(dòng)過(guò)程中所顯現(xiàn)的“最近發(fā)展區(qū)”［3]，依據(jù)學(xué)生通過(guò)過(guò)去學(xué)習(xí)已經(jīng)掌握了的內(nèi)容與經(jīng)驗(yàn)，選擇具有針對(duì)性的教學(xué)方式，如此，一定會(huì)引起學(xué)生的興趣，增加課堂教學(xué)的有效性.還可以在學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了的這些線段的相等關(guān)系的基礎(chǔ)上，結(jié)合問(wèn)題作圖，這也是深入地理解這些問(wèn)題及其產(chǎn)生原因的具體途徑，由此培養(yǎng)學(xué)生多維的發(fā)現(xiàn)探究平面幾何問(wèn)題的能力.

2 圖形實(shí)驗(yàn)

教師在向?qū)W生提供相關(guān)的信息時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生變動(dòng)圖形的某些要素，探究圖形某些量的變化與不變關(guān)系，從圖形直觀上，啟發(fā)學(xué)生得出新的結(jié)論，進(jìn)而由此誘導(dǎo)學(xué)生針對(duì)自己提出的問(wèn)題而產(chǎn)生的結(jié)論需要加以邏輯證明等要求，以此促進(jìn)學(xué)生“卷入問(wèn)題”［4]，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)平面幾何相關(guān)知識(shí)的主動(dòng)性與積極性，引導(dǎo)學(xué)生想方設(shè)法地探究證明這些結(jié)論的思路，從中生成探究能力、邏輯思維能力與符號(hào)表達(dá)能力.這又可以分為兩個(gè)方面.

（1）對(duì)圖形進(jìn)行具體的實(shí)際操作，對(duì)于提出問(wèn)題環(huán)節(jié)中的那些抽象思維能力較差的學(xué)生，指導(dǎo)他們考慮具體的問(wèn)題較好，對(duì)于那些僅僅發(fā)現(xiàn)結(jié)論AE=BE，AF=BF的同學(xué)，可以指導(dǎo)他們通過(guò)對(duì)這些相關(guān)的線段加以測(cè)量，從測(cè)量結(jié)果的量度上找到得出結(jié)論的依據(jù)，也可以通過(guò)將圖形加以剖分，利用折疊、重合的辦法，經(jīng)由觀察找到線段相等事實(shí)性的依據(jù)，由此逐步上升到邏輯性的（即線段中點(diǎn)的定義）依據(jù)，這是培養(yǎng)學(xué)生言之有據(jù)的證明活動(dòng)的最初的環(huán)節(jié)，由此培養(yǎng)學(xué)生養(yǎng)成正確的判斷事物的態(tài)度與通過(guò)實(shí)際操作的方法，最終啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識(shí)到通過(guò)邏輯證明的需要，由此鼓勵(lì)學(xué)生實(shí)現(xiàn)證明的途徑；對(duì)于那些通過(guò)間接的手段得到某些結(jié)論的同學(xué)，我們將引導(dǎo)他們思考推理證明的途徑（后文詳加說(shuō)明）.

（2）使圖形適應(yīng)于某些條件的變動(dòng)操作，上述具體的實(shí)際操作是靜止的，不變動(dòng)圖形中的某種要素，這樣的操作很難構(gòu)成對(duì)等腰三角形要素（變動(dòng)量與不變量）之間的關(guān)系等深刻的、全面的認(rèn)識(shí).從運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)出發(fā)，例如，通過(guò)改變這個(gè)等腰△ABC的底邊BC的長(zhǎng)度，引導(dǎo)學(xué)生觀察圖3、圖4、圖5中的所有線段相等關(guān)系的變化情況；同樣還可以觀察當(dāng)?shù)妊鰽BC底邊BC不變，而它高變動(dòng)時(shí)的所有相等線段的變化情況，如此，可以得到一般性結(jié)論.最后，從提出問(wèn)題環(huán)節(jié)與圖形實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)的情況進(jìn)行分析、歸納、類比等推理方法的認(rèn)識(shí)中，對(duì)這個(gè)圖形及其變動(dòng)狀況進(jìn)行直觀解釋，進(jìn)行定性分析，進(jìn)行定量研究，可以得出一些有價(jià)值的結(jié)論.

圖3 將圖2等腰三角形 底邊縮短

圖4 將圖3等腰三角形 底邊伸長(zhǎng)

圖5 將圖4等腰三角形底邊伸長(zhǎng)

3 嚴(yán)格證明

平面幾何證明要求學(xué)生具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬆芰Γ瑢I(yè)而嚴(yán)密的符號(hào)語(yǔ)言表述能力和較強(qiáng)的作圖識(shí)圖能力，但這是很多學(xué)生難以逾越的障礙，因此，它是培養(yǎng)學(xué)生探究能力，邏輯思維能力等的重要課程資源，而且這種資源幾乎是不可由其他知識(shí)所替代的.［5]在平面幾何的課堂教學(xué)中，證明能力的培養(yǎng)是重頭戲，因?yàn)?，證明能力要求其他相應(yīng)能力的支持，因此，證明能力其實(shí)是對(duì)學(xué)生的一種綜合性能力的要求，構(gòu)成了本研究的要旨之所在.它要求我們從以下幾個(gè)環(huán)節(jié)展開(kāi)教學(xué)活動(dòng).

3.1 明確平面幾何證明的必要性

一方面，所謂證明就是把不明白的事物弄明白的過(guò)程，證明其實(shí)是探求真理的一種手段.如果學(xué)生覺(jué)得對(duì)本已明確（通過(guò)觀察與猜想）的東西再去證明，就會(huì)使他們對(duì)平面幾何命題的嚴(yán)格證明的必要性產(chǎn)生懷疑，認(rèn)為它沒(méi)有真正的意義與價(jià)值.要啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識(shí)到，通過(guò)感官覺(jué)察到的東西（感性認(rèn)識(shí)）未必靠得住，只有通過(guò)推理證明了的東西（理性認(rèn)識(shí)）才靠得住，只要推理的前提是正確的，經(jīng)由正確的思維邏輯的作用，結(jié)論也就是絕對(duì)可靠的（由此體悟“公理化”思想），如此，才能體現(xiàn)平面幾何證明的價(jià)值與意義.學(xué)生通過(guò)小學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，就以現(xiàn)實(shí)的幾何圖形的實(shí)踐探究為基礎(chǔ)，對(duì)幾何圖形的性質(zhì)有了初步了解與認(rèn)識(shí)，也具備猜測(cè)、歸納、發(fā)現(xiàn)這些性質(zhì)的能力，但這些不是建立在嚴(yán)格的邏輯推理論證的基礎(chǔ)上的.

因此，在義務(wù)教育初中階段平面幾何內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，至關(guān)重要的是抓住那些應(yīng)用觀察、類比推理、對(duì)比推理、歸納推理與猜想等得到了的、不能確定其真實(shí)性的命題，從而引導(dǎo)學(xué)生追問(wèn)在任何情況下，對(duì)于這些命題都必須要具備普遍正確的要求，這就構(gòu)成了邏輯推理論證的意義.因此，首先必須要把證明的意義，即為什么要證明，引導(dǎo)學(xué)生加以深刻地理解，然后才講證明與推理的基本方法.另一方面，教師必須帶領(lǐng)學(xué)生處理好從提出問(wèn)題、圖形實(shí)驗(yàn)中使用類比推理、歸納推理、對(duì)比推理與猜測(cè)等發(fā)現(xiàn)正確的幾何命題與性質(zhì)關(guān)聯(lián)起來(lái)，用以闡述證明的價(jià)值與意義.

3.2 形成探究證明思路的習(xí)慣與方法

弄清楚平面幾何證明的必要性，只是為學(xué)生理解證明的價(jià)值鋪墊了基礎(chǔ)，促進(jìn)學(xué)生產(chǎn)生證明平面幾何的動(dòng)機(jī)，這是平面幾何教學(xué)中必須要解決好的問(wèn)題.那么，對(duì)于具體要求證明的平面幾何命題，證明活動(dòng)的技術(shù)手段是什么？如何探究它的證明思路呢？

筆者多年平面幾何教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明：初中生學(xué)習(xí)定理（公理）及其邏輯推理是必要的，也是完全可能的.一方面，大多數(shù)學(xué)生在定理學(xué)習(xí)及其應(yīng)用中，對(duì)定理的理解很難一次性地達(dá)到準(zhǔn)確地步，對(duì)定理結(jié)構(gòu)層次也難于精確把握，對(duì)幾何定理（公理等命題的形式）中各種元素所處位置與關(guān)系也不能準(zhǔn)確辨別清楚，這些就給它的應(yīng)用造成巨大困難.另一方面，他們?cè)趹?yīng)用定理（公理）解決問(wèn)題時(shí)，對(duì)問(wèn)題的把握也往往是混沌一片：分不清命題題設(shè)條件和結(jié)論，作不出比較準(zhǔn)確的幾何圖形等.有時(shí)，他們雖然可以很好地解決這當(dāng)中的一些外圍問(wèn)題，但卻選擇不出主攻方向，往往只能將條件進(jìn)行無(wú)目的地堆砌和拼湊，即使得到了正確結(jié)果，也實(shí)在是存在著幾分的僥幸，而對(duì)已經(jīng)解決了的問(wèn)題過(guò)程并不是真正理解與正確把握.所有這些都不利于平面幾何學(xué)習(xí)的進(jìn)一步發(fā)展.為此，分析一下證明一個(gè)命題的一般過(guò)程是必要的（見(jiàn)圖6）.［6]

圖6 幾何證明思路的邏輯推理鏈

從圖6 可以看出，所要證明命題結(jié)論，最終都由已知構(gòu)成，但在尋找這些已知時(shí)，對(duì)于稍微復(fù)雜一點(diǎn)的命題，學(xué)生不可能一次性地就成功達(dá)到目的，而是要配合所用定理（或公理）的結(jié)構(gòu)構(gòu)成要素，首先尋找出“需知”，利用這些“需知”來(lái)調(diào)控已知對(duì)結(jié)論的決定性作用.這些“需知”便組成了從“結(jié)論”到要求的“題設(shè)”的“中途點(diǎn)”，它至關(guān)重要，正是這些作為“中途點(diǎn)”使已知和結(jié)論形成了證明環(huán)節(jié)的“接龍”，也就是大數(shù)學(xué)家彭加萊所說(shuō)的“序的安置”.由此把學(xué)生尋找問(wèn)題思路從混沌一片轉(zhuǎn)換成了線性序列，從而為輔助線方法的實(shí)現(xiàn)奠定了現(xiàn)實(shí)的基礎(chǔ)，于是，大大降低了學(xué)生邏輯思維強(qiáng)度，使他們對(duì)邏輯推理論證不再畏之如虎.［7]

上述我們主要強(qiáng)調(diào)的是分析法，從結(jié)論出發(fā)尋找產(chǎn)生結(jié)論的條件（即所謂的“執(zhí)果索因”的方法），當(dāng)作為“中途點(diǎn)”的條件不夠用時(shí)，可以通過(guò)輔助線制造出一些新的條件來(lái)；事實(shí)上，在探究證明思路時(shí)，還有從題設(shè)條件直接導(dǎo)出結(jié)論的綜合法（即所謂的“由因?qū)Ч钡姆椒ǎ划?dāng)單獨(dú)使用“執(zhí)果索因”或“由因?qū)Ч钡姆椒ǘ茧y以為續(xù)的時(shí)候，我們一般可以將這兩種方法結(jié)合使用（從兩頭向中間靠攏，指引著證明者在思維中產(chǎn)生“中途點(diǎn)”），就形成了所謂的“探索性分析法”.［8]在探究稍復(fù)雜一點(diǎn)的平面幾何證明思路時(shí)，“探索性分析法”是一種強(qiáng)有力的手段.

例如，在我們所提供的例子中，如圖2，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)了CD=BD這個(gè)結(jié)論，那么，如何探索這個(gè)結(jié)論的證明思路呢？

（1）由條件AB=AC可以獲得幾種途徑證明∠ABC=∠ACB（由于AB=AC，AC=AB，BC=CB，知△ABC≌△ACB），同時(shí)，在AB=AC與“E、F分別為等腰△ABC的兩腰AB、AC邊上的中點(diǎn)”的條件下，不難證明AE=BE=AF=CF.

（2）由（1）產(chǎn)生了這些新條件之后，可以證明CD=BD這個(gè)結(jié)論嗎？

（3）為了證明CD=BD這個(gè)結(jié)論，我們想到，①證明△DBC是等腰三角形；或者②證明△BDE≌△CDF.

（4）從（1）中所產(chǎn)生的一些新條件出發(fā)，要證明①成立，希望證明③∠DBC=∠DCB.

（5）為了證明③成立，可否為兩個(gè)全等三角形的一組對(duì)應(yīng)角，由圖形的直觀，可知證明了△EBC≌△FCB就達(dá)到目的了；或者由于∠ABC= ∠ACB，只要證明④∠ABF=∠ACE也可以達(dá)到目的.

（6）從條件及其圖2 的直觀中，發(fā)現(xiàn)為了證明③成立，尋找證明它成立的三個(gè)條件，從已知條件及其開(kāi)拓出來(lái)的新已知條件中，可以尋獲EB=FC，∠EBC=∠FCB，還有公共邊相等，即BC=CB.

（7）由（6）可知，在△DBC與△DCB中，滿足判定三角形全等的“兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等”的“邊角邊”判定公理的形式，于是可得△DBC≌△DCB.

如此，在這個(gè)例子中，搜尋結(jié)論CD=BD證明思路的過(guò)程，就是采用的“探索性分析法”，從條件與結(jié)論兩方面入手，搜索到了證明這個(gè)結(jié)論的思路，每一個(gè)“中途點(diǎn)”最終都被搭建了起來(lái).這就是比較好的分析思考平面幾何證明問(wèn)題的課堂教學(xué)方法，教師在課堂教學(xué)活動(dòng)中，一定要重視這種方法的引進(jìn)，并且通過(guò)適當(dāng)?shù)牡湫屠}，促進(jìn)學(xué)生自覺(jué)地使用這種方法探究平面幾何證明題的思路，它是提高學(xué)生索解證明思路能力，提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力與自學(xué)能力的重要課程資源.

3.3 證明過(guò)程的表達(dá)格式與形式

對(duì)于初中學(xué)生而言，即使他們成功地探究得到了證明的思路，但從探究證明思路到嚴(yán)格的證明表達(dá)格式與形式往往會(huì)感到十分困難.產(chǎn)生這種結(jié)果的原因在于：第一，是由在“形成探究證明思路的習(xí)慣與方法”的論述中的綜合與分析兩方面的交叉思考（“探索性分析法”）的特征造成的，分析法是從未知結(jié)論出發(fā)尋找結(jié)論成立的已知條件，而嚴(yán)格的幾何證明過(guò)程是從已知條件抵達(dá)未知結(jié)論，因此，學(xué)生比較容易地在證明的表達(dá)過(guò)程中把已知條件與未知結(jié)論這兩者混為一談；第二，由于學(xué)生接觸平面幾何證明表達(dá)的時(shí)間不長(zhǎng)，而前面學(xué)習(xí)“全等三角形”時(shí)，證明的表達(dá)又都是具有非常固定的格式，不像這道題所需要的如此多的變化與轉(zhuǎn)折，從復(fù)雜的圖形中提取所需要的特征圖形也不是一件容易的事情，同時(shí)，又采用了許多符號(hào)，需要引入長(zhǎng)鏈推理等的新的式，因此，對(duì)平面幾何證明題的書(shū)寫(xiě)格式相應(yīng)地提出了很高要求.這些在學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)都是不穩(wěn)定的，出現(xiàn)了許多不熟悉的新要素，學(xué)生駕馭這些要素必定需要一個(gè)積累經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程.具體證明思路的發(fā)現(xiàn)與證明過(guò)程的表達(dá)如圖7所示.

圖7 探究思路與形成證明表達(dá)關(guān)聯(lián)圖

從探究思路活動(dòng)到探究證明表達(dá)的過(guò)程的實(shí)現(xiàn)中，就是基于從A1，A2出發(fā)，整合A1，A2從而形成了“既考慮已知條件，又考慮要證結(jié)論”，引導(dǎo)學(xué)生形成從圖形中思考條件與結(jié)論兩個(gè)方面的習(xí)慣與觀念（“探索性分析法”），這樣有助于促進(jìn)學(xué)生統(tǒng)整探究證明思路與形成證明表達(dá)的解決問(wèn)題的活動(dòng)，有利于學(xué)生形成整理“從合到分”與“從分到合”的雙向活動(dòng)過(guò)程，從而促使學(xué)生形成整體地把握平面幾何證明時(shí)的探究思路、交流討論、使用符號(hào)嚴(yán)格表達(dá)等能力，為學(xué)生解決較難的平面幾何證明問(wèn)題打下基礎(chǔ).

有了這樣的分析，我們可以獲得前面的關(guān)于圖2 中證明CD=BD這個(gè)結(jié)論的嚴(yán)格的證明表達(dá)過(guò)程：從③出發(fā)加上（1）中的假設(shè)，到達(dá)（6），到達(dá)（7），到達(dá)（4），到達(dá)（3）中的①，最后到達(dá)結(jié)論（2）.這是一個(gè)證明表達(dá)的層次分明的邏輯鏈條.從而，將索解證明思路的分析與綜合過(guò)程形成了序列化，經(jīng)由一定題量的適當(dāng)訓(xùn)練加以鞏固，學(xué)生是可以達(dá)到如此目的的，于是，我們解決了由第一個(gè)原因產(chǎn)生的問(wèn)題.

關(guān)于第二個(gè)原因產(chǎn)生的問(wèn)題，教師在教學(xué)時(shí)，應(yīng)隨著學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的各個(gè)發(fā)展階段與教學(xué)所應(yīng)達(dá)到目標(biāo)的要求，按照B1，B2，B3的次序逐漸提高，其一，充分利用B1中直觀解釋，逐步使用符號(hào)代替直觀解釋中所使用的專有名詞；其二，充分利用B2的文字表達(dá)，注意符號(hào)的逐步準(zhǔn)確運(yùn)用，書(shū)寫(xiě)要求也逐步嚴(yán)格化，促使學(xué)生從探究思路活動(dòng)進(jìn)入到證明表達(dá)活動(dòng)，并且逐步理解既簡(jiǎn)單又明確的證明方法；其三，逐步促進(jìn)學(xué)生靈活運(yùn)用幾何知識(shí)，清晰有力地寫(xiě)出平面幾何證明題的嚴(yán)格證明的純粹的符號(hào)表達(dá)過(guò)程.

例如，（5）中證明△EBC≌△FCB的活動(dòng)，可以在課堂上如此進(jìn)行教學(xué)，“在△EBC與△FCB中，△EBC中的邊EB與△FCB中的邊FC相等，△EBC中的∠EBC與△FCB中的∠FCB相等，△EBC中的邊BC與△FCB中的邊CB相等，于是，這兩個(gè)三角形△EBC與△FCB滿足‘兩邊夾一角對(duì)應(yīng)相等’的條件，從而△EBC與△FCB全等.”這是一種以語(yǔ)言為主，以符號(hào)為輔的解釋活動(dòng)；接下來(lái)可以進(jìn)一步提升為“在△EBC與△FCB中，EB=FC，∠EBC=∠FCB，BC=CB”等這樣比較純粹的符號(hào)表達(dá)，它形成了嚴(yán)格的平面幾何證明方法與途徑.為了有利于學(xué)生的平面幾何證明入門(mén)的學(xué)習(xí)，教師必須與學(xué)生進(jìn)行“心理?yè)Q位”，理解學(xué)生的艱難，不厭其煩地訓(xùn)練學(xué)生從言語(yǔ)的解釋到使用幾何符號(hào)的嚴(yán)格表達(dá)過(guò)程，而不應(yīng)將教師自己的精致的符號(hào)證明表達(dá)過(guò)程強(qiáng)加于學(xué)生.

4 歸納總結(jié)

課后總結(jié)非常重要，它可以序化學(xué)生學(xué)習(xí)了的知識(shí)及其產(chǎn)生的思維活動(dòng)本身，由知識(shí)的外在信息化的自然結(jié)構(gòu)過(guò)渡到學(xué)生心理上以觀念形式存在的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并且從這個(gè)過(guò)程中，形成相關(guān)的處理數(shù)學(xué)化信息的經(jīng)驗(yàn)，這種經(jīng)驗(yàn)以清晰的或不清晰的數(shù)學(xué)觀念形態(tài)存儲(chǔ)于意識(shí)結(jié)構(gòu)之中.在初學(xué)平面幾何證明時(shí)，學(xué)生依靠自己的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)可能難以自覺(jué)地進(jìn)行總結(jié)，特別是總結(jié)中形成相關(guān)有價(jià)值的要素.教師隨著教學(xué)的進(jìn)展，循循善誘地啟發(fā)學(xué)生，幫助他們形成總結(jié)的能力.關(guān)于這道例題總結(jié)歸納應(yīng)該從以下兩點(diǎn)展開(kāi).

（1）通過(guò)總結(jié)歸納促使學(xué)生體會(huì)圖形中的美.數(shù)學(xué)的主觀性與抽象性所具有的特點(diǎn)在于，經(jīng)由數(shù)學(xué)觀念的運(yùn)動(dòng)作用，把復(fù)雜的問(wèn)題變得簡(jiǎn)單化，把含糊的問(wèn)題變得明確化，把凌亂的信息系統(tǒng)化，通過(guò)這種途徑處理了的問(wèn)題，可以將數(shù)量關(guān)系與空間形式的相關(guān)要素進(jìn)行美化的取向，因此，數(shù)學(xué)的思考具有美化的作用，產(chǎn)生審美意向.在歸納階段中，特別是系統(tǒng)歸納方法，促進(jìn)學(xué)生將先后學(xué)習(xí)的內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)，解決問(wèn)題之后，通過(guò)反思進(jìn)行歸納與整理非常有價(jià)值.在圖2 及其條件中，變動(dòng)點(diǎn)E、F在兩腰上的位置，例如，將E、F這個(gè)等腰△ABC兩腰上的中線與兩腰的交點(diǎn)變成為等腰△ABC的兩腰上的高與兩腰的交點(diǎn)，或者是兩底角的平分線與兩腰的交點(diǎn)，再或者更為一般的情形，只要滿足AE=AF這個(gè)條件，DB=DC這個(gè)結(jié)論都是依然成立的.為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的情況呢？這是因?yàn)榈妊切问且皂斀堑钠椒志€為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形，而上述條件的所有出現(xiàn)的兩腰上的點(diǎn)E、F都相應(yīng)地是兩腰上的以頂角平分線為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，而點(diǎn)D是自對(duì)稱點(diǎn)，如此，所有滿足DB=DC的條件的E、F都可以統(tǒng)一起來(lái)了.此時(shí)，我們會(huì)認(rèn)識(shí)到，圖2具有勻稱的美，統(tǒng)一的美，對(duì)稱的美與和諧的美.

（2）通過(guò)總結(jié)歸納促使學(xué)生體會(huì)圖形的妙處.在課堂教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)想方設(shè)法地促使學(xué)生認(rèn)識(shí)到一些平面幾何的基本圖形中的相關(guān)元素的功能，還要促進(jìn)學(xué)生細(xì)心地領(lǐng)悟基本圖形的妙處，如此，教師通過(guò)長(zhǎng)期的引領(lǐng)，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)好平面幾何（特別是探究證明思路）會(huì)產(chǎn)生很大的幫助.因此，應(yīng)當(dāng)帶領(lǐng)學(xué)生逐個(gè)地解決相似的問(wèn)題，要重視培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，也要和探究證明思路與嚴(yán)格證明的符號(hào)表達(dá)結(jié)合起來(lái).把平面幾何圖形的性質(zhì)視作客觀真理，這也是平面幾何學(xué)習(xí)的非常重要的一個(gè)側(cè)面.

5 結(jié)論

總之，筆者通過(guò)三十余年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，這種教學(xué)模型及其環(huán)節(jié)或多或少地在課堂教學(xué)中都得到了不同程度的應(yīng)用.在平面幾何教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力時(shí)，不能忽視教學(xué)技藝與方法的選擇，教師不僅要考慮促進(jìn)學(xué)生理解平面幾何知識(shí)，考慮引領(lǐng)學(xué)生探究證明思路的途徑，而且還要考慮教學(xué)活動(dòng)對(duì)于學(xué)生的心理適應(yīng)性，不了解學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)、學(xué)生面對(duì)幾何問(wèn)題時(shí)的心理活動(dòng)過(guò)程、學(xué)習(xí)的疑難是什么、問(wèn)題在哪里，只是把傳授邏輯推理的思考方法原封不動(dòng)地奉獻(xiàn)于學(xué)生，這種教學(xué)效果是不會(huì)理想的，應(yīng)該糾正這種脫離學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)的教學(xué)方法.本文的研究為此提供了一種有價(jià)值的視野.