楊綠峰，宋沙沙，劉嘉達仁

(1.廣西大學土木建筑工程學院，廣西，南寧 530004；2.廣西大學工程防災與結(jié)構(gòu)安全教育部重點實驗室，廣西，南寧 530004；3.阿爾伯塔大學土木與環(huán)境工程學院，埃德頓，T6G 1H9，加拿大)

桁架具有拆裝運輸方便、能充分利用材料強度等優(yōu)點，且該類結(jié)構(gòu)僅考慮軸力作用，因而相對框架等結(jié)構(gòu)而言，優(yōu)化的設計變量和狀態(tài)變量相對較少，相關(guān)的結(jié)構(gòu)分析較容易實施，因而新提出的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法通常選擇理想桁架結(jié)構(gòu)模型作為驗證方法適用性的結(jié)構(gòu)載體，使得桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化成為結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計的基本問題。

桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計方法主要有優(yōu)化準則法[1]和數(shù)學規(guī)劃法[2]。優(yōu)化準則法基于工程經(jīng)驗、力學概念和數(shù)學原理設定一組準則，據(jù)此建立結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計的迭代公式，簡單實用。而且，由于準則法中設計變量的數(shù)量與優(yōu)化迭代次數(shù)的關(guān)系不大，較數(shù)學規(guī)劃法具有更高的計算效率[1]，因而得到廣泛的應用。當前常用的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計方法[3-5]大多采用結(jié)構(gòu)在設計荷載下根據(jù)彈性理論求得的內(nèi)力分布狀態(tài)確定各構(gòu)件的強度需求，并據(jù)此開展優(yōu)化設計。此類方法能夠有效滿足構(gòu)件層面的強度需求，是當前結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計的主流方法。但由于未考慮結(jié)構(gòu)在罕遇荷載下進入彈塑性狀態(tài)乃至塑性極限狀態(tài)(形成體系失效模式)時內(nèi)力重分布的影響，因而不能滿足結(jié)構(gòu)體系強度需求。為研究結(jié)構(gòu)在罕遇荷載下的體系強度，文獻[6-8]開展了抗震結(jié)構(gòu)失效模式的識別和優(yōu)化研究。進一步地，結(jié)構(gòu)塑性設計理論[9-10]以及在此基礎上發(fā)展起來的直接設計法(也稱為高等分析法)[11-12]按照結(jié)構(gòu)進入塑性極限狀態(tài)(形成體系失效模式)時的內(nèi)力分布狀態(tài)確定結(jié)構(gòu)體系強度需求，由此建立的設計方案能夠阻止體系失效模式的形成，滿足結(jié)構(gòu)體系層面的強度需求。在塑性設計基礎上文獻[9]嘗試開展桁架結(jié)構(gòu)體系強度的優(yōu)化設計。目前，直接設計法(或稱為高等分析法)也陸續(xù)引入歐美國家以及我國最新的鋼結(jié)構(gòu)設計規(guī)范[13-14]中。然而，基于塑性設計和直接設計法理論發(fā)展而來的結(jié)構(gòu)體系強度優(yōu)化設計方法不能阻止部分高承載構(gòu)件中出現(xiàn)塑性鉸[15-16]，因而難以保證滿足構(gòu)件層面的強度需求。

合理的結(jié)構(gòu)設計方案既要滿足設計荷載下構(gòu)件層面的強度需求，也要滿足罕遇荷載下體系層面的強度需求[17]。Wang等[18]基于常規(guī)塑性鉸法確定桁架結(jié)構(gòu)體系強度需求，并利用遺傳算法搜索確定能夠同時滿足構(gòu)件和體系強度需求的優(yōu)化設計方案，計算格式復雜且耗時，究其原因在于該方法不能給出結(jié)構(gòu)體系強度與構(gòu)件強度之間的顯式關(guān)系，因而難以通過正常的構(gòu)件設計滿足結(jié)構(gòu)在構(gòu)件和體系兩個層面的強度要求。為此，文獻[19-20]采用彈性模量縮減法(elastic modulus reduction method，簡記為EMRM)分析工程結(jié)構(gòu)體系層面的承載力，據(jù)此確定結(jié)構(gòu)在構(gòu)件和體系兩層面強度需求之間的顯性關(guān)系式。在此基礎上，文獻[21-22]研究建立了結(jié)構(gòu)兩層面強度優(yōu)化設計的均勻承載準則法，由此建立的結(jié)構(gòu)設計和優(yōu)化方案能夠同時滿足結(jié)構(gòu)在構(gòu)件和體系兩個層面的強度需求，從而解決了傳統(tǒng)優(yōu)化設計理論的難題。但是該方法依據(jù)基準承載比[19-20]確定構(gòu)件強度的調(diào)整量，導致低承載構(gòu)件和部分高承載構(gòu)件的強度富余量較大，優(yōu)化效果得不到保障，而且文獻[21-22]沒有考慮穩(wěn)定性對桿件強度的影響，導致優(yōu)化設計方案不滿足安全性要求。

鑒于此，本文考慮細長桿穩(wěn)定性對桁架結(jié)構(gòu)兩層面強度的影響，研究建立鋼桁架結(jié)構(gòu)兩層面強度優(yōu)化設計的改進均勻承載準則法。首先在單元承載比中引入軸壓桿穩(wěn)定性影響，然后利用EMRM的迭代首步和末步的單元承載比建立了桁架在構(gòu)件強度與體系強度之間的顯性關(guān)系式，并按照兩層面強度系數(shù)的目標值調(diào)整各構(gòu)件強度，據(jù)此建立桁架結(jié)構(gòu)兩層面強度優(yōu)化設計的改進均勻承載準則法。

1 桁架結(jié)構(gòu)兩層面強度需求

單元承載比(EBR)是EMRM的控制參數(shù)，用于綜合評估單元在荷載作用下接近于全截面塑性屈服狀態(tài)的程度，取值區(qū)間為[0,1]，用表示，其中k表示迭代步，e表示單元編號。對于桁架結(jié)構(gòu)，由于各桿件僅受軸力Ne作用，可據(jù)此定義：

式中，表示單元e全截面塑性抗拉/壓強度，當忽略材料受拉、受壓屈服強度σs的區(qū)別時，有：

式中，A為桿件橫截面面積。中長桿受壓時，需要考慮穩(wěn)定性對抗壓強度的影響：

式中，φ為軸心受壓構(gòu)件的穩(wěn)定系數(shù)，由《鋼結(jié)構(gòu)設計規(guī)范》(GB 50017―2017)[14]附錄G確定，且與構(gòu)件長細比(或換算長細比)等因素密切相關(guān)，其中的長細比取決于軸壓桿的計算長度，且需要考慮平面內(nèi)和平面外兩種不同的受力狀態(tài)，具體按《鋼結(jié)構(gòu)設計規(guī)范》(GB 50017―2017)表5.3.1確定。

單元承載比隨著迭代的進展而在結(jié)構(gòu)空間的分布越來越均勻。為便于描述在結(jié)構(gòu)空間分布的狀態(tài)，定義承載比均勻度dk：

式中：下標k表示EMRM迭代步；分別表示結(jié)構(gòu)中單元承載比的平均值、最大值和最小值。據(jù)此，可進一步定義基準承載比：

根據(jù)可以建立判別高承載單元的動態(tài)準則：滿足的單元，屬于高承載單元，否則稱為低承載單元。

通過縮減高承載單元的彈性模量可以模擬加載過程中結(jié)構(gòu)的剛度損傷和衰減：

由式(1)可見，結(jié)構(gòu)加載中單元承載比隨著外荷載呈比例增大，當增大到1時，所在單元達到全截面塑性屈服，此時對應的外荷載為第k迭代步的極限荷載

式中，P0為外荷載初始值，在兩層面強度設計中取荷載設計值。

重復以上迭代計算，直至第M迭代步的計算結(jié)果滿足收斂條件：

式中，ε表示容許誤差，取值范圍為10-5～10-2。

第M步是迭代末步，根據(jù)該步的計算結(jié)果可以得到結(jié)構(gòu)極限強度PLim：

式中，PLim是塑性極限荷載的下限，對應于結(jié)構(gòu)體系能夠承受的罕遇荷載。大型工程結(jié)構(gòu)的極限承載力難以精確計算，通?？衫盟苄詷O限荷載的下限近似表達。結(jié)構(gòu)極限承載力也稱為結(jié)構(gòu)體系強度。

上述計算結(jié)構(gòu)體系強度的方法稱為彈性模量縮減法[19-20]，簡記為EMRM。文獻[19-20]研究表明，EMRM通過線彈性迭代分析確定結(jié)構(gòu)體系強度，與常見的彈塑性方法相比能夠取得更高的計算效率。

EMRM首步迭代(k=1)分析得到的單元承載比對應于桁架結(jié)構(gòu)在設計荷載下的彈性內(nèi)力Ne，據(jù)此可確定桁架在構(gòu)件層面的強度需求同時EMRM迭代末步(k=M)得到的單元承載比對應于桁架結(jié)構(gòu)在罕遇荷載下進入塑性極限狀態(tài)時的內(nèi)力，利用此時的最大單元承載比可以確定桁架在體系層面的強度需求PLim。

2 桁架結(jié)構(gòu)兩層面強度設計

結(jié)構(gòu)設計方案既要保證結(jié)構(gòu)在設計荷載下處于彈性狀態(tài)，避免結(jié)構(gòu)在重復荷載下發(fā)生塑性積累；而且為了節(jié)省材料、控制造價，應允許結(jié)構(gòu)在預定的罕遇荷載作用下進入彈塑性狀態(tài)，甚至逼近塑性極限狀態(tài)，但不能發(fā)生倒塌破壞，從而保證結(jié)構(gòu)的安全性。這兩個“保證”可以通過兩層面強度設計來實現(xiàn)：首先通過結(jié)構(gòu)在設計荷載下的彈性分析確定構(gòu)件層面的強度需求，然后通過罕遇荷載下的塑性極限分析確定結(jié)構(gòu)在體系層面的強度需求，據(jù)此開展結(jié)構(gòu)兩層面強度設計。由于EMRM迭代分析的首步和末步分別對應結(jié)構(gòu)彈性分析和塑性極限分析狀態(tài)[19-20]，因而，這里選擇EMRM作為兩層面設計的工具。

2.1 構(gòu)件層面的強度設計

由于桁架結(jié)構(gòu)模型中同一構(gòu)件c的軸力通常不發(fā)生變化，因此桁架結(jié)構(gòu)分析的有限元模型中每個等截面構(gòu)件通常為一個單元e，此時的單元承載比等同于構(gòu)件承載比。特殊地，當同一構(gòu)件上需要劃分為多個單元時，取其中最大的作為該構(gòu)件的，即有：其中，Nc表示構(gòu)件c上離散單元的數(shù)量。

桁架結(jié)構(gòu)開展EMRM迭代首步時，各單元的彈性模量都取其初始值，由此可確定結(jié)構(gòu)在設計荷載下的線彈性內(nèi)力，進而利用式(1)確定EMRM首步迭代中各構(gòu)件的，并據(jù)此確定設計荷載下各構(gòu)件的強度系數(shù)：

構(gòu)件強度系數(shù)不同于傳統(tǒng)的安全系數(shù)，在計算中已經(jīng)考慮了荷載系數(shù)、材料系數(shù)以及結(jié)構(gòu)重要性系數(shù)等三個分項系數(shù)的取值，因而的目標值通常取[K0]=1.0。當≥[K0]時，表明構(gòu)件c的原有強度能夠滿足需求，處于安全狀態(tài)。反之，當＜[K0]時，表明該構(gòu)件的強度儲備不足，存在失效風險，需按照下式調(diào)整該構(gòu)件的截面強度：

2.2 體系層面的強度設計

罕遇荷載是指能夠使結(jié)構(gòu)進入塑性極限狀態(tài)，甚至發(fā)生坍塌破壞的罕遇工況下的極限荷載，在美國荷載設計規(guī)范ASCE/SEI 7-10[23]中稱為罕遇工況下的荷載組合(load combinations for extraordinary events)。EMRM迭代末步結(jié)構(gòu)在罕遇荷載下進入塑性極限狀態(tài)。根據(jù)該迭代步的構(gòu)件承載比可以確定各構(gòu)件在迭代末步的強度系數(shù)：

進一步地，根據(jù)式(1)和式(8)，利用EMRM迭代末步的最大構(gòu)件承載比確定桁架的體系強度需求：

式(13)給出了體系強度PLim與構(gòu)件強度之間的定量關(guān)系，在此基礎上可建立結(jié)構(gòu)優(yōu)化調(diào)整方法，為此需根據(jù)定義結(jié)構(gòu)體系強度系數(shù)Ks：

結(jié)構(gòu)體系強度系數(shù)Ks反映了結(jié)構(gòu)體系強度的富余狀況。通常在結(jié)構(gòu)設計之初可根據(jù)預定的荷載設計水平P0和罕遇水平PL確定體系強度系數(shù)的目標值[Ks]：

當前的結(jié)構(gòu)設計規(guī)范通常沒有給出荷載罕遇水平PL，因而在設計之初難以預先確定[Ks]。為此，可根據(jù)目前國內(nèi)外對既有工程結(jié)構(gòu)極限承載力PLim的研究結(jié)果[12,24-25]并結(jié)合式(15)確定結(jié)構(gòu)體系強度系數(shù)目標值的取值。Zhang等[24]通過對9個鋼框架結(jié)構(gòu)進行承載力試驗，得到不同可靠度水平下的結(jié)構(gòu)體系強度系數(shù)取值。Albermani等[25]在對大型鋼輸電塔架進行承載力試驗的基礎上指出，新建輸電塔結(jié)構(gòu)的體系強度系數(shù)處于1.10～1.78之間。本文取[Ks]=1.4。

當?shù)┎礁鳂?gòu)件的強度系數(shù)大于體系強度系數(shù)目標值[Ks]時，有Ks≥[Ks]，表明結(jié)構(gòu)滿足體系強度需求，在遭遇罕遇荷載時能夠避免坍塌破壞。反之若任一構(gòu)件在迭代末步的強度系數(shù)則有Ks＜[Ks]，表明桁架結(jié)構(gòu)不能滿足體系強度需求，難以抵御罕遇荷載的襲擊。另一方面，為了減少耗材，節(jié)省工程造價，各構(gòu)件的強度系數(shù)也不能太大，應盡可能接近[Ks]。因此，可按下式調(diào)整構(gòu)件截面強度：

式中：αs為體系強度系數(shù)比；η為加速因子，大于1時可加快優(yōu)化迭代的收斂速度，本文取η=1.001。

在桁架結(jié)構(gòu)兩層面強度設計中，每次調(diào)整構(gòu)件c截面強度之后，要根據(jù)調(diào)整后的強度確定其截面面積Ac：

式中：σs表示構(gòu)件c的材料設計強度；Ac表示構(gòu)件c的截面面積。

進一步地，根據(jù)Ac更新構(gòu)件的截面幾何尺寸。本文算例均采用圓管構(gòu)件，圓管截面外徑R1的調(diào)整公式為：

其中，ζ為圓管截面內(nèi)外徑之比，可根據(jù)構(gòu)造要求確定[26]。

2.3 結(jié)構(gòu)兩層面強度優(yōu)化設計

罕遇荷載作用下桁架結(jié)構(gòu)一旦形成失效模式，將不能繼續(xù)承載。如果此時仍有較多桿件的單元承載比較低，將造成過多的材料浪費。為此，需要開展結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計，力圖使每根構(gòu)件都能充分發(fā)揮其承載能力，理想狀態(tài)是桁架結(jié)構(gòu)進入塑性極限狀態(tài)時，全部構(gòu)件都同時進入失效臨界狀態(tài)，即全部構(gòu)件的相等，此時承載比均勻度dM達到最大值。因此，兩層面優(yōu)化設計的迭代過程應滿足收斂條件：

式中：和分別為當前(即第i次)和上一次(即第i-1次)兩層面優(yōu)化設計循環(huán)計算中EMRM迭代末步的構(gòu)件承載比均勻度；εd為收斂容差，取值范圍為0.001～0.05。

需要注意的是，最終的優(yōu)化方案需根據(jù)模數(shù)要求確定各構(gòu)件的截面幾何尺寸。

經(jīng)過上述優(yōu)化循環(huán)分析，不僅能夠充分發(fā)揮各構(gòu)件的承載能力，節(jié)省材料，而且能夠滿足桁架在構(gòu)件和體系兩個層面的強度需求，從而得到承載性能和經(jīng)濟性能均優(yōu)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計方案，稱之為桁架結(jié)構(gòu)兩層面優(yōu)化設計的改進均勻承載準則法，其流程如圖1所示。

3 算例分析

本節(jié)結(jié)合3個桁架算例，對本文建立的改進均勻承載準則法、原均勻承載準則法、滿應力準則法等優(yōu)化設計方法進行對比分析，其中：算例1是承受集中荷載作用的10桿平面桁架，文獻[27]利用數(shù)學規(guī)劃法建立了該桁架的優(yōu)化方案；算例2為承受分布荷載作用的平面桁架橋；算例3為空間桁架結(jié)構(gòu)。這里采用ANSYS有限元軟件進行建模和計算分析，其中平面桁架結(jié)構(gòu)采用平面2節(jié)點桿單元Link1單元建模，空間桁架結(jié)構(gòu)采用空間2節(jié)點桿單元Link8單元建模。使用的PC機基本配置為：Intel (R) Pentium (R) G630 2.70GHz, 4G內(nèi)存。

圖1 改進均勻承載準則法流程圖Fig.1 Flow chart for improved uniform bearing criterion

3.1 算例1∶10桿平面桁架

由10根桿件組成的平面桁架結(jié)構(gòu)承受2個大小相等的集中荷載F=444.8 kN，如圖2所示。材料容許應力[σ]=170MPa ，彈性模量為200 GPa。構(gòu)件均采用圓管型截面形式，桁架的計算模型及桿件編號如圖2所示。初始設計方案中，弦桿和直腹桿(編號為1～6)的截面外徑為20 cm，斜腹桿(編號為7～10)的截面外徑為10 cm，各桿內(nèi)外徑之比均為0.9。文獻[27]利用數(shù)學規(guī)劃法確定了該桁架的優(yōu)化設計方案。這兩個設計方案中各構(gòu)件的截面積Ac分別見表1。這里分別取構(gòu)件強度系數(shù)和體系強度系數(shù)的目標值[K0]=1.0、[Ks]=1.4。同時構(gòu)件橫截面積最小限值為1 cm2。

圖2 十桿桁架Fig.2 Ten-bar truss

3.1.1 不考慮穩(wěn)定性影響

考慮到文獻[27]中的數(shù)學規(guī)劃法沒有考慮壓桿穩(wěn)定性影響，本節(jié)采用式(2a)定義單元承載比，然后分別利用原均勻承載法[21-22]和本文改進均勻承載法建立十桿桁架兩層面優(yōu)化設計方案，求得各桿的截面面積Ac、構(gòu)件強度系數(shù)、及桁架體系強度系數(shù)Ks，結(jié)果分別見表1中“原均勻承載法”和“本文改進方法”下面的數(shù)據(jù)。為了便于對比分析各設計方案，這里利用EMRM計算初始設計方案和數(shù)學規(guī)劃法優(yōu)化設計方案迭代首步和末步的單元承載比，并代入式(9)和式(14)求得這兩個方案的構(gòu)件強度系數(shù)、和體系強度系數(shù)Ks，結(jié)果如表1所示。從表1可以看出，在不考慮壓桿穩(wěn)定影響時，桁架初始設計方案、原均勻承載法和本文改進方法的優(yōu)化設計方案中，構(gòu)件強度系數(shù)和體系強度系數(shù)分別滿足表明這三個設計方案均能夠滿足桁架在構(gòu)件層面和體系層面的強度需求，符合安全性要求。但是數(shù)學規(guī)劃法的優(yōu)化設計方案盡管迭代首步的構(gòu)件強度系數(shù)滿足但體系強度系數(shù)Ks＜[Ks](其原因在于構(gòu)件1、3、4、7～10在迭代末步的強度系數(shù)由此可見，傳統(tǒng)的數(shù)學規(guī)劃法優(yōu)化設計方案能夠滿足構(gòu)件層面強度需求，但不能保證體系層面強度也滿足要求。

同時，從表1的初始設計方案中可以看出大多數(shù)構(gòu)件的強度系數(shù)遠大于其目標值[Ks]，導致材料浪費。原均勻承載法方案降低了大部分桿件的截面積Ac，從而節(jié)省了材料，耗材量從原方案的1.62 m3減少到0.5 m3。而本文改進方法進一步將十桿桁架結(jié)構(gòu)用材量減少到0.40m3，與原均勻承載法相比不僅減少了20%的耗材，而且計算用時降低了86%。表明本文提出的改進均勻承載準則法在優(yōu)化效果和計算效率方面都優(yōu)越于原均勻承載準則法。并且，本文改進方法的優(yōu)化方案中各構(gòu)件在迭代末步具有相同的強度系數(shù)，且都等于[Ks]，滿足均勻承載的目標，從而能夠最大限度節(jié)省耗材。

3.1.2 壓桿穩(wěn)定性影響

為了反映穩(wěn)定性對結(jié)構(gòu)設計方案的影響，這里利用式(2b)代替式(2a)計算單元承載比，在此基礎上利用本文改進均勻承載法研究建立該十桿桁架的系數(shù)、及桁架體系強度系數(shù)Ks，結(jié)果見表2。為了便于對比分析，這里利用基于式(2b)的兩個層面的強度需求，其原因在于這三個設計方案都沒有考慮穩(wěn)定性影響。由此可知，穩(wěn)定性對桁架結(jié)構(gòu)在構(gòu)件和體系兩個層面的強度都有顯著影響，不考慮穩(wěn)定性將高估桁架的承載力，導致設計方案存在安全性不足的問題。

表1 優(yōu)化設計方案對比Table 1 Results from four design and optimization methods

表2 考慮穩(wěn)定性的優(yōu)化設計方案對比Table 2 Comparison of different optimal design based on stability

同時從表2可見，本文改進方法的優(yōu)化設計方案中所有構(gòu)件強度系數(shù)、和體系強度系數(shù)Ks都不小于各自的目標值[K0]和[Ks]，使桁架兩層面滿足強度的需求，從而克服了初始設計方案、數(shù)學規(guī)劃法和原均勻承載法優(yōu)化設計方案的缺陷。

3.1.3 優(yōu)化設計方案的校核

進一步地，利用彈塑性增量分析法(EPIA) 檢驗數(shù)學規(guī)劃法、原均勻承載準則法以及本文改進方法的優(yōu)化設計方案能否滿足桁架結(jié)構(gòu)的體系強度需求。此時，計算模型中壓桿的容許應力仍需利用式(2b)中的穩(wěn)定系數(shù)φ進行折減[28]。首先利用EPIA求得上述三種優(yōu)化設計方法分別確定的桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計方案的極限承載力，然后將代替式(14)中的PLim可以求得上述三種優(yōu)化設計方案的體系強度系數(shù)Ks，結(jié)果見表3。從表3可以看出，數(shù)學規(guī)劃法和原均勻承載準則法由于沒有考慮穩(wěn)定性的影響，因此，所得優(yōu)化設計方案的結(jié)構(gòu)體系強度系數(shù)均小于目標值[Ks]=1.40，無法滿足桁架結(jié)構(gòu)體系強度需求，相比之下本文改進方法在考慮穩(wěn)定性影響時所得優(yōu)化設計方案的體系強度系數(shù)等于目標值1.40，且其迭代末步的構(gòu)件強度系數(shù)均接近于1.40，表明本文提出的設計方法不僅滿足了體系強度需求，而且不浪費材料，與3.1.2節(jié)得出結(jié)論基本一致。綜上所述，通過與EPIA進行對比，再次驗證了本文改進方法的合理性。

表3 塑性極限荷載及體系安全系數(shù)Table 3 Plastic ultimate load and system safety factor

3.2 算例2：平面桁架結(jié)構(gòu)

圖4所示為一平面桁架，荷載施加于桁架上弦的6個節(jié)點上，兩端的節(jié)點荷載為450 kN，其余節(jié)點荷載為900 kN。構(gòu)件材料為Q235，其容許應力[σ]=215MPa ，彈性模量為200 GPa，構(gòu)件均采用圓管型截面。初始設計方案已考慮了穩(wěn)定性影響，所有桿件的截面外徑均為30 cm，各桿內(nèi)外徑之比均為0.8，各桿截面Ac見表4。這里分別取構(gòu)件和體系強度系數(shù)目標值[K0]=1.0、[Ks]=1.4。同時構(gòu)件橫截面積最小限值為56 cm2。

圖4 平面桁架Fig.4 Plane truss

3.2.1 優(yōu)化設計方案及其比較

根據(jù)算例1可知，穩(wěn)定性對桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計有顯著影響，為此采用式(2b)定義單元承載比，在此基礎上利用原均勻承載準則法和本文改進方法分別建立該桁架的優(yōu)化設計方案，確定各構(gòu)件的截面積Ac、構(gòu)件強度系數(shù)和及體系強度系數(shù)Ks，結(jié)果見表4。為便于對比分析，表中還列出了滿應力準則法建立的設計方案，確定各構(gòu)件的截面積Ac。對于滿應力準則法而言，當考慮壓桿穩(wěn)定性影響時，需要根據(jù)式(2b)中的穩(wěn)定系數(shù)φ折減容許應力[σ]，即用φ[σ]代替[σ]作為容許應力[28]。進一步地，利用EMRM迭代首步和末步的單元承載比求得初始設計方案和滿應力法優(yōu)化設計方案的構(gòu)件強度系數(shù)、及體系強度系數(shù)Ks，結(jié)果見表4。從表4可以看出，結(jié)構(gòu)初始設計方案滿足≥[K0]和Ks≥[Ks]，表明該方案滿足結(jié)構(gòu)兩層面強度需求。但是，該方案中大多數(shù)構(gòu)件的均遠大于目標值[Ks]，說明初始設計方案的體系強度富裕量較大，有必要優(yōu)化。同時可見，表4中滿應力法優(yōu)化設計方案各構(gòu)件的截面積Ac明顯減少，大幅降低了桁架的耗材量。但是，該優(yōu)化設計方案中Ks＜[Ks]，表明其不滿足桁架體系層面強度需求。

進一步地從表4可見，原均勻承載法和本文改進方法的優(yōu)化設計方案均滿足和表明這兩個優(yōu)化設計方案均能滿足桁架兩層面的強度需求，從而克服了初始方案和滿應力法優(yōu)化方案不能滿足體系層面強度需求的缺陷。同時由表4可知，原均勻承載法設計方案耗材量為15.12 m3，相對初始設計方案耗材量減少38.36%；而本文改進方法設計方案的耗材量僅為7.54 m3，相比原均勻承載法設計方案進一步降低耗材50.13%，而且計算耗時間也明顯減少，證明本文改進方法相比原均勻承載法在優(yōu)化效果和效率方面的優(yōu)越性。

由上述分析結(jié)果可以看出，滿應力法優(yōu)化方案不能保證桁架在體系層面的強度需求，因此不滿足結(jié)構(gòu)安全性要求，其原因在于該優(yōu)化方法沒有考慮結(jié)構(gòu)加載過程中應力再分布的影響；原均勻承載法盡管能夠保證桁架兩層面強度需求，克服滿應力法的缺陷，但是由于該方法采用EMRM迭代末步的基準承載比作為低承載構(gòu)件截面強度的調(diào)整目標，導致低承載構(gòu)件強度富余量大，部分高承載構(gòu)件強度有富余，但得不到調(diào)整，從而造成其優(yōu)化設計方案仍具有較大的強度富裕量；本文建立的改進均勻承載法采用[Ks]作為構(gòu)件截面強度的調(diào)整目標，不僅能夠滿足桁架結(jié)構(gòu)在構(gòu)件和體系兩個層面的強度需求，而且各構(gòu)件的基本接近體系強度系數(shù)的目標值1.40，能夠充分發(fā)揮各構(gòu)件的材料強度，從而得到更經(jīng)濟的優(yōu)化設計方案。

表4 考慮穩(wěn)定性的不同優(yōu)化方案對比Table 4 Comparison different optimal design based on stability

3.2.2 優(yōu)化設計方案的校核

進一步地，利用EPIA檢驗滿應力法、原均勻承載準則法以及本文改進方法的優(yōu)化設計方案能否滿足桁架結(jié)構(gòu)的體系強度需求。首先利用EPIA求得上述三種優(yōu)化設計方案的極限承載力，然后利用代替式(14)中的PLim求得上述三種方案的體系強度系數(shù)Ks，結(jié)果見表5。從表5可以看出：滿應力法優(yōu)化設計方案的體系強度系數(shù)小于目標值1.40，無法滿足桁架結(jié)構(gòu)體系強度要求；原均勻承載準則法優(yōu)化設計方案的體系強度系數(shù)遠大于目標值1.40，表明此時設計方案富裕量過大；相比之下本文改進方法優(yōu)化設計方案的體系強度系數(shù)與其目標值大體相等，不僅滿足了桁架結(jié)構(gòu)體系強度的需求，而且基本沒有浪費材料，具有較好的經(jīng)濟性，再次驗證了本文改進方法的合理性。

表5 塑性極限荷載及體系安全系數(shù)Table 5 Plastic ultimate load and system safety factor

3.3 算例3：空間桁架結(jié)構(gòu)

圖5所示承受分布荷載P的空間桁架，荷載均勻作用于桁架上弦的6個節(jié)點上，且P=1500 kN。構(gòu)件材料為Q235，容許應力為215 MPa，彈性模量為200 GPa。為便于清楚表示各構(gòu)件及節(jié)點編號，將該結(jié)構(gòu)展開為如圖6所示。

圖5 空間桁架Fig.5 Space truss

圖6 構(gòu)件編號Fig.6 The serial number of components

構(gòu)件均采用圓管型截面，初始設計方案已經(jīng)考慮穩(wěn)定性影響，上弦桿和交叉系桿(編號為1～8、13～32和51～54)的截面外徑為10 cm，下弦桿和豎桿(編號為9～12和33～50)的截面外徑為20 cm，各桿內(nèi)外徑之比均為0.9。該方案中各桿的截面積Ac見表6。這里分別取構(gòu)件和體系強度系數(shù)目標值[K0]=1.0、[Ks]=1.4。同時構(gòu)件橫截面積最小限值為12 cm2。

3.3.1 優(yōu)化設計方案及其對比

首先利用式(2b)計算單元承載比，在此基礎上通過原均勻承載法和本文改進方法建立該空間桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設計方案，確定各構(gòu)件的Ac、、及桁架的Ks，結(jié)果見表6。表6還列出了滿應力準則法建立的該桁架優(yōu)化設計方案的Ac，并利用EMRM迭代首步和末步的單元承載比求得初始設計方案和滿應力法優(yōu)化設計方案中各構(gòu)件的、及桁架的Ks。從表6可以看出，該空間桁架結(jié)構(gòu)初始設計方案滿足表明該方案滿足桁架兩層面強度需求。但是，初始設計方案中大多數(shù)構(gòu)件的遠大于其目標值[Ks]，說明該方案的強度富裕量較大，需要進行優(yōu)化。進一步地，由表6滿應力法優(yōu)化設計方案中各構(gòu)件的截面積Ac可以看出，該優(yōu)化方案能夠大大減少桁架的耗材量，滿應力法不能滿足體系層面強度需求的缺陷。同時由表6可知，原均勻承載法設計方案耗材量為1.96 m3，相對初始設計方案耗材量減少25.76%；而本文改進方法設計方案的耗材量僅為1.31 m3，相比原均勻承載法設計方案進一步降低耗材33.16%，計算時間也有所減少，再次證明了本文改進方法在空間桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計效果和計算效率方面具有顯著優(yōu)越性。

表6 考慮穩(wěn)定性的不同優(yōu)化設計方案法對比Table 6 Comparison different optimal design based on stability

3.3.2 優(yōu)化設計方案的校核

這里利用EPIA檢驗滿應力法、原均勻承載準則法以及本文改進方法的優(yōu)化設計方案的合理性。首先利用EPIA計算各優(yōu)化設計方案的極限承載力，然后利用代替式(14)中的PLim可得上述三種優(yōu)化方案的體系強度系數(shù)Ks，結(jié)果見表7。從表7結(jié)果可以看出：滿應力法優(yōu)化設計方案的體系強度系數(shù)小于目標值1.40，無法滿足桁架結(jié)構(gòu)體系強度要求；原均勻承載準則法優(yōu)化設計方案的體系強度系數(shù)明顯大于目標值1.40，表明該設計方案富裕量過大；相比之下本文改進方法優(yōu)化設計方案的體系強度系數(shù)恰好等于目標值，從而不僅滿足了桁架結(jié)構(gòu)體系強度的需求，還充分發(fā)揮了材料強度，具有較好的經(jīng)濟性，再次驗證了本文改進方法在空間桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計中的合理性。

需要說明的是，本文限于篇幅尚未討論工程應用的細節(jié)問題。但從圖1的計算流程圖可以看出，對于不同的工程對象，正確建立單元承載比和構(gòu)件承載比的表達式是利用EMRM開展結(jié)構(gòu)兩層面強度分析和優(yōu)化設計的關(guān)鍵。

表7 塑性極限荷載及體系安全系數(shù)Table 7 Plastic ultimate load and system safety factor

4 結(jié)論

為克服現(xiàn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設計方法的缺陷，提出了考慮壓桿穩(wěn)定性影響的改進均勻承載準則法。通過與現(xiàn)行多種優(yōu)化設計方法對比分析得到如下結(jié)論：

(1) 本文建立的均勻承載準則以體系強度系數(shù)為目標調(diào)整各構(gòu)件強度，克服了原均勻承載準則法利用基準承載比建立構(gòu)件強度調(diào)整公式導致的缺陷，優(yōu)化效果更佳，且提高了計算效率。

(2) 不考慮穩(wěn)定性將高估桁架的承載力，導致設計方案安全性不足。本文改進方法通過在單元承載比表達式中引入穩(wěn)定系數(shù)合理考慮壓桿穩(wěn)定性對桁架結(jié)構(gòu)兩層面強度的影響，并利用彈塑性方法驗證了本文優(yōu)化設計方案的合理性。

(3) 傳統(tǒng)的滿應力準則法和數(shù)學規(guī)劃法難以保證桁架結(jié)構(gòu)在體系層面的強度需求。原均勻承載準則法的優(yōu)化設計方案具有較大的強度富裕量。本文建立的改進方法不僅滿足桁架結(jié)構(gòu)在構(gòu)件和體系兩個層面的強度需求，而且大大降低耗材，達到優(yōu)化經(jīng)濟性能的效果。