潘昌昌 Baronio Fabio 陳世華?

1) (東南大學物理學院, 南京 211189)

2) (Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione, Università di Brescia, Via Branze 38, 25123 Brescia, Italy)

從微觀角度上講, 單個極端異常波事件可視為可積模型方程的時空局域有理函數(shù)解.本文主要討論了三類典型的可積諧振相互作用模型(即長波短波諧振方程, 三波諧振相互作用方程, 非線性薛定諤和麥克斯韋-布洛赫方程)的基階Peregrine異常波解及其相關(guān)研究進展; 明確指出了這些基階異常波解形式具有普適性,可推廣應用到多分量或更高階的可積模型中; 借助數(shù)值模擬, 還展示了共存異常波、互補異常波、以及自感應透明Peregrine孤子等新穎動力學.

專題：非線性物理

1 引 言

瘋狗浪 (rogue wave, RW), 又稱畸波 (freak wave)、怪波 (monster wave)、極端波 (extreme wave)、異常波 (abnormal wave)、殺人波 (killer wave)、水墻 (walls of water)等, 最初專指海洋上發(fā)生的一類稀有的且破壞力極大的暫態(tài)巨浪事件[1?3].它不期而至出現(xiàn)在某個地方, 掀起滔天巨浪, 然后消失得無影無蹤, 因此獲得了“深海怪獸”的綽號 (the real monsters of the deep)[4].二三十年前, 這種神秘的瘋狗浪事件還只是老水手之間的傳說.現(xiàn)在, 實時的衛(wèi)星觀測, 輔以先進的理論和實驗研究, 已經(jīng)確切證實了這種怪浪真的存在, 而且經(jīng)常發(fā)生.最為典型的例子是1995年元旦在北海德勞普納(Draupner)海上平臺檢測到的時稱“萬年一遇”巨浪, 后來稱之為“新年浪”, 其掀起的水墻就有26 m之高[1].

學術(shù)界對瘋狗浪的研究是落后的, 到今天, 連各方都能接受的嚴格定義都還沒有[3,5?7], 即使在稱呼上, 也是五花八門.鑒于此類極端波事件研究已擴展至多個學科, 如非線性光學[8]、流體動力學[9]、等離子體物理[10,11]、聲學[12]、玻色-愛因斯坦凝聚[13?16]、甚至金融學[17], 再沿用“瘋狗浪”的稱呼將變得不合時宜.因此, 本文將采用更中性的術(shù)語“異常波”(RW)來統(tǒng)稱這類極端波事件.

在自然界, 哪些事件可以稱之為異常波呢? 經(jīng)過半個世紀特別是近十年的研究, 科學家們概括出了異常波所普遍具有的基本特征[5], 其中包括:1)具有巨大的峰振幅, 通常是有效波高的2倍以上(在海洋學里面, 有效波高是指某片海域內(nèi)最高的三分之一海浪的平均高度)[9,18]; 2)不可預測性, 從某種意義講, 異常波似乎來無影去無蹤[19];3)具有L型的波振幅統(tǒng)計規(guī)律, 即異常波的出現(xiàn)概率比常規(guī)高斯或瑞利統(tǒng)計所預測的要更頻繁[20,21].上述三個基本特征目前已廣泛用于異常波現(xiàn)象的學術(shù)定義、分析和討論.這也決定了異常波的科學研究存在“微觀”和“宏觀”兩種方式.

從微觀角度來看, 異常波可視為可積非線性偏微分方程的確定有理函數(shù)解, 其形式上表現(xiàn)為一類時間和空間雙局域的波包, 以反映其不可預測特性[9,22,23].特別地, 一個偏微分方程的解具有如下特征時可以視為基階(或一階)異常波[23,24]: 1)該解的?？捎糜欣砗瘮?shù)來表示, 且在時間和空間上都是局域的; 2)該解在時空上通常表現(xiàn)為一個3倍背景振幅的波峰, 并伴有兩個側(cè)洞形成.典型的例子就是 Peregrine孤子, 其由 Peregrine教授[25]于1983年首次提出, 當時作為標準非線性薛定諤(nonlinear Schr?dinger, NLS)方程的基階有理函數(shù)解.由于該概念能很好地解釋實驗上觀測到的單個極端波事件, 因此Peregrine孤子被普遍認為是最簡單的異常波原型[26], 并相繼在非線性光纖[27]、水波池[18]、等離子體[28]以及不規(guī)則的海洋波態(tài)[29]中觀測到.但另一方面, 在很多情形下, 各種色散波會相互作用, 產(chǎn)生極端復雜的湍流行為, 繼而產(chǎn)生異常波[30,31].很自然, 由于湍流背景涉及大量的自由度, 這時人們需要用統(tǒng)計(即宏觀)的方法來研究其中的異常波行為[32].在探索極端波事件本質(zhì)特征上, 這兩種研究方式相輔相成, 相得益彰[8,9].

本文將關(guān)注前者, 從可積模型視角上審視異常波事件的產(chǎn)生和演化動力學.事實上, 在非線性科學中, 現(xiàn)實的實驗設置和傳播介質(zhì)的多樣性需要形式更廣的可積模型[23], 而不僅僅是簡單的NLS方程.下面列舉幾個光學方面的理由.首先, 在很多光學晶體中, 主導非線性效應的是二次非線性系數(shù), 而不是三次 (或 Kerr)非線性項[33,34].其次, 對于飛秒激光脈沖, 基本方程模型還必須考慮進高階色散和高階非線性項, 以便能更準確地描述其傳播動力學[35].對于色散管理或非線性管理光學系統(tǒng)(如色散漸減光纖), 人們還需要考慮變系數(shù)非線性模型[36,37].此外, 相互作用光場的矢量特性與傳播介質(zhì)的多維度特性也要求我們考慮一些耦合的或者高維的數(shù)學模型, 例如, 當考慮雙折射光纖的脈沖傳播[38,39]或者光學晶體的光波相互作用[40]時.最后, 對于一些耗散系統(tǒng)如鎖模光纖激光器[41,42],還需要額外考慮進耗散項(如增益[43]), 盡管此時該模型方程 (通常為復數(shù) Ginzburg-Landau方程[44,45])將不再可積.所有這些現(xiàn)實要求造就了眾多的可積(或近可積)數(shù)學模型, 并持續(xù)推動理論工作者從事此類模型的求解工作[46?49].

據(jù)我們所知, 絕大多數(shù)可積模型都允許有理數(shù)式的異常波解存在, 除了少數(shù)實場的波方程(例如經(jīng)典Korteweg-de Vries (KdV) 方程[23], Kadomtsev-Petviashvili II 方程[50]等) 外.這其中比較著名的可積模型包含有 NLS方程[51]、Hirota方程[52]、Sasa-Satsuma 方程[53,54]、Chen-Lee-Liu 方程[55,56]、Fokas-Lenells方程[57?59]、復數(shù) modified KdV 方程[60?62]、廣義 NLS 方程[63?66]等, 它們的基階和高階異常波解均已獲得.相應地, 耦合或矢量可積模型也得到了廣泛的關(guān)注, 如Manakov系統(tǒng)[67?69]及其推廣[70?72]、Davey-Stewartson 方程[73,74]等.數(shù)學上, 對于可積模型而言, 這些異常波解可以借助逆散射變換[75]、達布 (Darboux)變換[76]、Hirota 雙線性方法[77]、Riemann-Hilbert方法[78,79]、或同宿波嘗試法 (homoclinic test method)[80]來求解得到.至于非可積模型, 人們可以用微擾論[81,82]或者變分法[83]來近似求解.

異常波是一個快速發(fā)展的領域, 其話題的多樣性可參看最新的綜述論文[84,85].特別是最近幾年,各種異常波新現(xiàn)象、新特性被預測或觀測到.例如,繼2016年觀測到光學暗異常波后[86], Baronio等[87]又成功在通信光纖上觀測到了暗三姊妹異常波, 其演化動力學與Chen等[38]在2014年所做的解析預測完全一致.2017年, Peregrine孤子的普適性得到了實驗驗證[88], 次年, 周期背景Peregrine孤子[89]以及反常Peregrine孤子[90]等概念又相繼提出.此外, 在異常波機制闡釋上, 調(diào)制不穩(wěn)定性(modulation instability, MI)和可積湍流是兩個長期存在的話題, 得到了持續(xù)的關(guān)注[8,91].值得一提的是, 2016年Soto-Crespo等[32]揭示了孤子湍流在異常波產(chǎn)生上扮演了一個常被忽視的重要角色.所有這些新發(fā)現(xiàn)均加深了人們對異常波本質(zhì)的理解.

本文將綜述幾類典型的可積諧振相互作用模型的異常波求解及相關(guān)研究進展.它們分別是長波短 波 (long-wave short-wave, LWSW)諧 振 方程[92], 三波諧振相互作用 (three-wave resonant interaction, TWRI)方程[40,93], 和非線性薛定諤和麥克斯韋-布洛赫 (NLS and Maxwell-Bloch, NLSMB)方程[94,95].前兩個可積模型可描述光波之間的諧振相互作用, 后一個模型則描述光波與諧振介質(zhì)之間的相互作用.對于每一個可積諧振系統(tǒng), 文中將給出其Lax對、達布變換、基階Peregrine RW解, 以及數(shù)值模擬驗證, 并展示其新穎的異常波動力學.當然, 還有其他可積諧振方程, 如 AB 模型[96]、MTM(massive Thirring model)方程[97,98]等, 它們也存在異常波解, 但由于篇幅關(guān)系, 這里不一一敘述.

本文的結(jié)構(gòu)組織如下.第1節(jié)為引言部分, 給出了異常波的背景知識和最新研究動態(tài).第2節(jié)討論了LWSW方程的基階異常波解, 數(shù)值展示了共存異常波概念.第3節(jié)討論了TWRI方程的基階異常波解, 分析了互補型異常波的動力學.第4節(jié)討論了NLS-MB方程的基階異常波解, 演示了自感應透明的光學Peregrine孤子和時空互補的物質(zhì)波異常波動力學.第5節(jié)為全文總結(jié).

2 長波短波諧振系統(tǒng)

在耦合波動力學中, 長波短波(LWSW)諧振是一個典型的參量諧振過程, 通常發(fā)生于高頻短波的群速度與低頻長波的相速度匹配之時.早在1972年, Zakharov[99]在研究等離子體物理中的非線性朗繆爾波坍縮時就引入了LWSW諧振機制 ,五年后, Benney[100]給出了LWSW相互作用方程.作為一個重要的物理機制, LWSW諧振現(xiàn)象迅速在物理的各個分支得到了廣泛的研究, 如流體動力學中重力波與毛細波之間的相互作用[101], 負折射率光學介質(zhì)中的簡并基頻波與差頻波的三波混頻過程[102]等.特別地, 2010年, Shats等[103]在實驗上直接觀測到了毛細波異常波事件, 這一事實推動了人們對LWSW諧振介質(zhì)中各類異常波事件的研究[104,105].

LWSW諧振方程是一個基本的可積模型, 其歸一化形式可寫為[102]

式 中u(z,t) 和?(z,t) 分別表示短波和長波分量,z和t為空間和時間變量, 下標則表示偏導數(shù).該可積方程可等價轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€ 3 ×3 線性本征值問題:

式中λ為任意譜參數(shù),U0=diag(2i,0,?2i) ,V0=diag(?2i/3,4i/3,?2i/3),

為簡潔起見, 這里所有函數(shù)的 (z,t) 變量已省略掉.據(jù)此可以構(gòu)造出正確的達布變換式[106]:

式中 (u0,?0) 和 (u,?) 分別表示方程(1)的種子解和新解, Im 表示取虛部,

在上述公式中,λ為某個給定的譜參數(shù)值,σ1為第一個泡利算符的 3 ×3 版形式, 星號*表示復共軛,劍 號 ? 表示復共軛轉(zhuǎn)置.這里已經(jīng)假設s(?λ)=s(λ)和w(?λ)=w(λ) , 但r(?λ)=r(λ)+2λw(λ).因此, 容易發(fā)現(xiàn),α,β和γ滿 足α+β=γ+β?和λ(α?β?)+λ?(α+β)=0[106].

利用Lax對(2)式以及達布變換(3)式和(4)式,人們可以求出LWSW方程(1)的各類RW解.具體推導過程可參看文獻[92,106,107].這里僅提供其基階RW解, 如下:

式中u0(z,t)=aexp(iωt? ikz)為初始的平面波解,k=ω2/2?b為其色散關(guān)系式, 實數(shù)b為長波分量的背景高度(通?？稍O其值為0).這里實數(shù)m和n由下面兩個代數(shù)方程確定:

異常波解(5)式和(6)式展示了豐富的異常波動力學, 如黑異常波[92,107](注: 所謂“黑異常波”是指振幅中心下陷至零的一類有限背景雙局域波包結(jié)構(gòu)).特別地, 在文獻 [92]中, 作者借助解析預測和數(shù)值模擬, 分析了LWSW模型背景場的調(diào)制不穩(wěn)定性(MI), 指出了上述基階RW波的參數(shù)存在區(qū) 間 , 即ω3ωn/2=3(2a2)1/3/2 , 其 恰 好 位 于MI圖的基帶 (baseband)區(qū), 參看文獻 [92]圖5.此后, Baronio等[68,108]明確提出了MI的基帶理論,即異常波只能存在于MI的基帶區(qū), 而不是通頻帶(passband)區(qū).現(xiàn)在已證明, 這一理論可用于解析確定可積甚至非可積非線性系統(tǒng)的異常波解參數(shù)存在區(qū)間[23].

值得注意的是, 基階RW解(5)式和(6)式是可以推廣到多分量LWSW方程中去的.例如, 對于兩短波分量LWSW方程[109]:

其基階RW解中的u和?分量依然用(5)式和(6)式來表示,v短波分量可類似表示為

式中v0(z,t)=Aexp(i?t? iKz)表示v分量的初始平面波解 (相應色散關(guān)系為K=?2/2?b).同時,確定實數(shù)m和n的兩個代數(shù)方程變?yōu)?

很顯然, 當v場消失時 (即A=0 ), 兩短波分量LWSW方程(9)約化為基本LWSW方程(1).相應地, 其基階解將變回(5)式和(6)式的形式, 同時代數(shù)方程(11)和(12)也變回方程(7)和(8)的形式.

相比簡單的LWSW諧振系統(tǒng), 多分量LWSW可積系統(tǒng)將存在有趣的共存異常波現(xiàn)象.所謂共存異常波指的是在相同的背景場中同時發(fā)生兩類不同結(jié)構(gòu)的確定性異常波事件, 且它們均是可積模型的有理函數(shù)解.例如, 對于給定的a=A=1 ,ω=0 ,和?=?1.2469 時, 方程(11)和(12)將給出兩組有效值 (m,n)=(?1.3514,0.7803) 和 (–0.4287,0.6442).很 顯 然 , 把 每 組 (m,n) 值 代 入 (5)式 , (6)式 和(10)式中將得到基于相同背景參數(shù)的兩種基階RW解.圖1左列和中列給出了這兩類RW解在初始白噪聲微擾情況下的數(shù)值模擬結(jié)果.很顯然,在足夠的距離里, 它們各自均能完美展開, 盡管這時候MI已然發(fā)揮作用.

另一方面, 人們也許會問, 這兩類RW解能否在現(xiàn)實條件下共存呢? 為此, Chen等[109]做了廣泛的數(shù)值激發(fā)實驗.具體上, 選取z=0 的平面波解作為u和v的初始條件, 并令?=0.4cos(2πt/40)×sech[(t?2)/8], 然后利用分步傅里葉算法數(shù)值積分模型方程(9), 計算結(jié)果如圖1右列所示(圖中已去掉前五個單位距離的波演化輪廓圖, 因為初始階段MI引起的波結(jié)構(gòu)不是很明顯).可以清晰地看到, 在z=10 附近, 同一背景中同時出現(xiàn)了兩種明顯不同的異常波結(jié)構(gòu), 它們均和方程(9)的解析解完全一致.隨后, 由于 MI不斷增強, 背景場中將出現(xiàn)多異常波動力學, 但所有這些動力學都是上述兩種異常波類型的組合.

3 三波諧振相互作用系統(tǒng)

圖1 數(shù)值模擬驗證初始白噪聲微擾下的基階RW解(5)式, (6)式和 (10)式的穩(wěn)定性, 左列圖對應(m,n)=(?1.3514,0.7803),中列圖對應 ( m,n)=(?0.4287,0.6442) .右列圖顯示這兩類RW結(jié)構(gòu)在同一背景場中的數(shù)值激發(fā).圖改編自文獻[109]Fig.1.Simulations confirm the stability of the fundamental RW solutions (5), (6), and (10) against initial white noise perturbations.Left column: ( m,n)=(?1.3514,0.7803) ; Middle column: ( m,n)=(?0.4287,0.6442) .The right column shows the numerical excitation of such two rogue wave families from the same background field.Figure adapted from Ref.[109].

眾所周知, 三波諧振相互作用(TWRI)在非線性科學中扮演著重要的角色[110].例如, 在非線性光學中, TWRI可描述不同的光學過程, 如參量放大[111]、頻率轉(zhuǎn)換[112]、受激拉曼散射[113]、受激發(fā)布里淵散射[114]等.此外, TWRI還可用來實現(xiàn)光脈沖的群速度控制[115]、超短脈沖列產(chǎn)生[116]、參量三波孤子產(chǎn)生[117]以及激光-等離子體相互作用[118]等.早在20世紀70年代, 人們就建立了TWRI控制方程的可積性, 并給出了其孤子解[110].不同于大家所熟悉的二次孤子情形[119], 此類相干孤子主要產(chǎn)生于由非線性效應引起的能量交換與由群速度不匹配所引起的對流之間的平衡[40].它們最終能以一個共同的(鎖定的)速度傳播, 盡管其三個波分量在相互捕獲之前的群速度可以互不相同[120].這種特性使得這類TWRI孤子在應用中相當誘人,這是因為由群速度不匹配而引起的走散效應(walk-off)此時能被非線性耦合抵消掉.

在弱色散近似下, TWRI方程的基本形式可表示為[110]:

式中u1,2,3(z,t) 是三個光場的慢變復包絡函數(shù),V1,2,3為其相應的群速度常數(shù).下面不妨假定V3=0, 此即意味著模型(13)是建立在隨u3場運動的參照系上.一般地, 當V1>V2時, 該 TWRI模型將允許孤子交換(soliton exchange)動力學(在非線性光學語境中, 又稱為參量三波混頻過程)得以存在, 但當V1

該方程具備完全可積性[110], 因此具有下面的Lax對形式:

式 中λ為任意譜參數(shù) ,U0=diag(?2i,i,i) ,V0=

相應地, 其達布變換式可以表示為[121]:

式中un0和un(n=1,2,3) 分別表示方程(13)的種子解和新解,λ為某個任意給定的譜參數(shù)值,σ3=diag(1,Γ1,Γ2),Γj=Vj/(V1?V2)(j=1,2) .

考慮到三波諧振相互作用條件(即動量和能量守恒), 初始的平面波種子解可以表示為:

利用上面的Lax對(14)式和達布變換(15)式,很容易得到TWRI方程的基階RW解[93](借助達布變換求解基階或高階異常波解的詳細過程可參看我們近期發(fā)表的論文[64,67,72]):

毫無疑問, 人們會問, TWRI方程的簡并情形(此時V1=V2=V)是否存在RW解呢? 這似乎很難從上面的達布變換式尋求答案, 因為在這種情形下, Lax 對 (14)式將變得無意義.但顯然, 簡并TWRI方程依然是可積的, 因此其RW解是可能存在的.最近, 文獻[122]采用另一個策略來回答這個問題, 也就是, 對廣義解(17)式取如下極限:V2→V1=V, 成功得到了簡并TWRI方程的基階RW解:

此意味著u1分量和u2分量的強度和總是不變的,不管它們各自的時空結(jié)構(gòu)如何變化.換句話說, 它們是時空互補的, 因此稱為互補異常波[122].

文獻[122]給出了互補型異常波的數(shù)值模擬結(jié)果, 見圖2.具體來說, 作者將三個場分量的實部和虛部分別乘以因子 [ 1+εri(z)] (這里,i=1,···,6 ,ri為均值為0、方差為1的隨機分布函數(shù),ε為噪聲強度參數(shù)), 然后采用分步Fourier算法對TWRI模型進行數(shù)值積分.圖2左列為未添加白噪聲(ε=0 )的模擬結(jié)果, 右列為添加了白噪聲(ε=10–8) 的模擬結(jié)果.可以看到, 在微小的擾動下, 所有三個異常波分量依然可以在相當長的時間內(nèi)穩(wěn)定傳播, 直到連續(xù)波背景的MI顯著增長為止.

實驗上, 我們預期這類亮-暗型的雙色互補型異常波有可能在雙模光纖上得以實現(xiàn).這是因為,光波在雙模光纖里傳播時, 很容易發(fā)生前向受激布里淵散射過程[123]; 在這種情況下, 泵浦光和斯托克斯(Stokes)光的群速度幾乎相同, 而相比之下, 聲波的速度可近似為零, 三者滿足簡并TWRI方程所需要的模間耦合條件, 從而出現(xiàn)上面提到的雙色互補型異常波動力學[122].

圖2 互補型基階 RW 解 (18) 式的數(shù)值模擬結(jié)果.左列圖: 未微擾情形; 右列圖: 白噪聲微擾情形.圖摘自文獻 [122]Fig.2.Simulation results of the complementary fundamental rogue wave solutions (18).Left column: unperturbed; Right column:perturbed by initial white noises.Figure adapted from Ref.[122].

4 非線性薛定諤-麥克斯韋布洛赫方程

另一方面, 光波與非線性諧振介質(zhì)的相互作用也是一個經(jīng)久不衰的光學研究話題(注意區(qū)分上面講的LWSW, TWRI過程, 其通常發(fā)生在非諧振介質(zhì)的兩波或三波諧振相互作用)[124].而這其中最有名的莫過于光脈沖與兩能級原子或離子的相互作用, 即所謂的麥克斯韋-布拉赫(MB)耦合[125].正是由于這種諧振相互作用, 原本不透明(或吸收)的介質(zhì)在超短激光脈沖照射下將變得完全透明, 此即大家所熟知的自感應透明現(xiàn)象[126].除了自感應透明現(xiàn)象外, MB方程還可以產(chǎn)生面積為 2π 的基本sech型孤子[124].后來, 一些學者對MB系統(tǒng)做了推廣, 研究了摻鉺光纖中的脈沖傳播動力學[127].在慢變包絡近似和旋波近似下, 該系統(tǒng)可用非線性薛定諤-麥克斯韋布洛赫(NLS-MB)方程來描述.下面就來討論這一有趣的可積模型及其基階RW解.

為方便討論, 把NLS-MB方程寫成如下無量綱形式[94,95]:

式中u(z,t) 表示光波復振幅,M和F表示物質(zhì)波的特征函數(shù)(具體講,M由諧振介質(zhì)密度矩陣的離對角元ρ12來確定, 為復函數(shù);F表示上下能級的布居差, 為實函數(shù), 二者滿足 |M|2+F2=1[95]),?為去諧頻率常數(shù).

同樣, 該可積方程可等價轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€ 2 ×2 線性本征值問題(Lax對):

式中各矩陣形式表示如下:

據(jù)此, 可以構(gòu)造正確的達布變換式[128]:

式中?=(2λ??)|r|2+(2λ???)|s|2,λ為某個給定 的 譜 參 數(shù) 值 , (u0,M0,F0) 和 (u,M,F) 分 別 表 示NLS-MB方程(20)的舊解和新解.

利用上面的Lax對和達布變換式, 并參照文獻[64,67,72]的做法, 可以很容易推得 NLS-MB方程(20)的基階RW解[95]:

式中κ=ω??,?=4iηz+1 ,θ=t?χz, 以及

這里初始的平面波解u0(z,t) ,M0(z,t) 和F0(z,t) 可定義為

另外, 很容易證明,F和M的時空分布滿足這表明物質(zhì)波組分具有與簡并TWRI系統(tǒng)相似的互補異常波特性[122].盡管上述RW解適用于任意b值, 但考慮 到 概 率 守 恒 條 件F2+|M|2=1 , 可 令b=其值取決于參數(shù)a和κ的取值.

圖3(a)展示了這些解析解的時空分布圖, 其初始參數(shù)為a=1.5 ,?=1/2 ,ω=0 .可以看出,光場分量顯示為一個標準的Peregrine孤子結(jié)構(gòu);比較而言, 物質(zhì)波分量M和F展示出更復雜的時空結(jié)構(gòu), 但二者滿足F2+|M|2=1 , 即時空互補性.此外, 為了評估異常波動力學及其穩(wěn)定性,Chen等[95]采用指數(shù)時間差分 Crank-Nicolson(ETDCN)算法對模型方程(20)執(zhí)行了數(shù)值模擬,結(jié)果如圖3(b)所示.這里使用u(z=?1,t) 作為光場分量的初始條件, 而讓物質(zhì)波分量M和F分別取M0(z=?1,t) 和F0作為其初始值.這些初始條件對應于對解析解(23)式的強烈擾動.結(jié)果表明,盡管自發(fā)性MI的發(fā)生呈指數(shù)增長, 并且傾向于干擾局域解的尾部部分, 但是異常波結(jié)構(gòu), 特別是對于光場分量, 均可以在相當長的距離上展開而不失真.進一步地, 為了驗證這類RW結(jié)構(gòu)能否在真實條件下產(chǎn)生, 他們把光場的初始條件也換成平面波輸入, 考察此類RW解的數(shù)值激發(fā)情況.圖3(c)為其數(shù)值模擬結(jié)果, 清晰顯示了這些典型的RW結(jié)構(gòu)是可以激發(fā)產(chǎn)生的, 見圖中黑圈標出部分.這些數(shù)值結(jié)果充分預示了實驗觀測的可行性, 具體實驗方案可參看文獻[95].

最后指出, 這里給出的基階RW解(23)式具有普適性, 可以推廣應用到高階NLS-MB方程中去.例如, 對于下面的 Hirota-MB 方程[129]:

(23)式依然可以作為其基階RW解, 只需要把(24)式和 (26)式定義的k,η, 和χ參數(shù)換成如下形式即可:

圖3 NLS–MB方程的基階RW解(23)的時空演化, 其中(a)列圖對應解析解的3D曲面和輪廓圖; (b)列圖為數(shù)值模擬結(jié)果,初始條件已文中給出; (c)列圖顯示這類異常波結(jié)構(gòu)在背景場中的數(shù)值激發(fā)產(chǎn)生, 已黑線圈出.圖改編自文獻[95]Fig.3.Spatiotemporal evolution of the fundamental rogue wave solutions (23) of the NLS–MB equation.Column (a): Analytical solutions, given by 3D surface and contour plots; Column (b) the numerical results, with initial conditions being specified in the text; The column (c) shows the numerical excitation of the rogue waves, indicated by the black circles, from the background field.Figure adapted from Ref.[95].

這里g和h為任意實常數(shù).不難看出, 當h=0 和g=1時, 上述 Hirota-MB方程及其RW解就回到了NLS-MB情形.

5 結(jié) 論

本文系統(tǒng)綜述了LWSW諧振方程, TWRI方程和NLS-MB方程這三類典型可積諧振模型的新穎異常波動力學及其研究進展.首先, 對于LWSW諧振系統(tǒng), 提供了其基階RW解的一般形式, 指出長波和短波之間的諧振相互作用能導致黑異常波的產(chǎn)生.特別地, 該基階RW解推廣到多分量LWSW系統(tǒng)時, 可以產(chǎn)生有趣的共存異常波現(xiàn)象, 并得到了數(shù)值模擬驗證.其次, 在 TWRI系統(tǒng)中, 給出了該可積模型的基階RW解, 指出該解可以適用三波混頻(V1>V2)和受激背散射(V1

這里附帶提一下.本文討論的簡并TWRI模型在一定條件下可以轉(zhuǎn)換成著名的sine-Gordon方程[130], 而后者與其他可積諧振模型如AB模型、MTM方程也有類似的轉(zhuǎn)換關(guān)系[131,132].因此可以預測, 本文呈現(xiàn)的基階Peregrine RW解對其他可積諧振系統(tǒng)的異常波動力學研究也將有參考借鑒作用.

感 謝 Philippe Grelu 教 授 、Jose M.Soto-Crespo 教授、Dumitru Mihalache教授、Stefan Wabnitz教授、上海理工大學劉一教授富有成效的合作和深入的討論.