段亮 劉沖 趙立臣 楊戰(zhàn)營?

1) (西北大學(xué)物理學(xué)院, 西安 710127)

2) (陜西省理論物理前沿重點實驗室, 西安 710069)

非線性波作為非線性動力學(xué)研究中的重要課題之一, 普遍存在于各種復(fù)雜物理系統(tǒng)中.理解非線性波的產(chǎn)生機(jī)制、確定它們的激發(fā)條件對于非線性波的實驗實現(xiàn)、動力學(xué)特征的探測和應(yīng)用是至關(guān)重要的.本文簡要綜述了近年來非線性波的實驗和理論研究進(jìn)展, 回顧了非線性波的產(chǎn)生機(jī)制.基于非線性可積模型中的嚴(yán)格解和線性穩(wěn)定分析結(jié)果, 系統(tǒng)討論了如何建立基本非線性波與調(diào)制不穩(wěn)定性的精確對應(yīng)關(guān)系.詳細(xì)介紹了近來發(fā)現(xiàn)的擾動能量和相對相位在確定非線性波激發(fā)條件中的重要作用, 并提議了一組能夠確定非線性波激發(fā)條件的完備參數(shù).基于完備的激發(fā)參數(shù), 給出了多種基本非線性波的激發(fā)條件和相圖.這些結(jié)果有望用于實現(xiàn)多種局域波的可控激發(fā), 并可以推廣到更多非線性系統(tǒng)中的激發(fā)相圖研究.

專題：非線性物理

1 引 言

非線性波是出現(xiàn)在非線性系統(tǒng)中的一類典型的激發(fā)結(jié)構(gòu)[1,2], 它們廣泛存在于許多物理系統(tǒng)中,如水流體[3?5]、非線性光學(xué)[6?21]、等離子體[22,23]、原子束[24,25]、玻色- 愛因斯坦凝聚體[26?38]、毛細(xì)管[39]、鐵磁鏈[40?44]、金融系統(tǒng)[45?47]、超材料[48,49]、光力學(xué)[50]、PT 對稱系統(tǒng)[51,52]等.并且, 這些非線性波在很多領(lǐng)域都具有潛在的應(yīng)用價值, 例如孤子干涉儀[53?56]、超連續(xù)譜的產(chǎn)生[57]、光頻梳的產(chǎn)生[58]、介觀貝爾態(tài)的制備[59]、高功率脈沖的制備[60,61]、利用孤子的抖動效應(yīng)測量量子阱本征值[62]等.目前, 非線性波動力學(xué)的研究已經(jīng)成為非線性物理科學(xué)中的一個重要的課題.

對于1+1維的可積系統(tǒng)而言, 目前已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的非線性波主要有四類, 分別是孤子、怪波、呼吸子和周期波.孤子是一種在演化過程中保持形狀不變的穩(wěn)定局域化結(jié)構(gòu), 除了最早由Russell發(fā)現(xiàn)的亮孤子之外, 后來人們也得到了許多不同結(jié)構(gòu)孤子激發(fā), 包括暗孤子[63?65]、反暗孤子[66,67]、W 形孤子[68?71]和多峰孤子[72,73].此外也發(fā)現(xiàn)了一些呈周期分布并穩(wěn)定演化的非線性波, 包括周期波和W形孤子鏈[72?74].除了穩(wěn)定演化的結(jié)構(gòu)之外還有幾類振幅隨著演化變化的非線性波包括怪波[75]、Akhmediev呼吸子[76]、Kuznetsov-Ma呼吸子[77,78]和Tajiri-Watanabe呼吸子[79](也被稱為一般呼吸子[80,81]或動態(tài)呼吸子[82]).最近的研究表明呼吸子碰撞也表現(xiàn)出諸多有趣的性質(zhì), 例如 superregular呼吸子[83?89]、呼吸子分子[90]、類棋盤干涉班圖[91]等.近期, 怪波的激發(fā)結(jié)構(gòu)和產(chǎn)生機(jī)制也被廣泛討論[92?108], 常見的怪波激發(fā)結(jié)構(gòu)有眼狀、反眼狀、四花瓣、以及扭曲的雙峰怪波等.不同結(jié)構(gòu)的怪波之間還可以通過調(diào)節(jié)背景頻率或矢量場之間的相對振幅實現(xiàn)相互轉(zhuǎn)換[98].調(diào)制不穩(wěn)定性可以用來定性理解怪波、呼吸子激發(fā)的產(chǎn)生, 近期人們進(jìn)一步提議了一些更具體的激發(fā)機(jī)制來解釋怪波的產(chǎn)生機(jī)制, 如調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)的共振激發(fā)[109]或基帶調(diào)制不穩(wěn)定性[110].這些更具體的激發(fā)機(jī)制理解可以用來基于線性穩(wěn)定性分析初步判斷非線性系統(tǒng)中是否存在怪波激發(fā).高階效應(yīng)對怪波激發(fā)的影響也被廣泛討論[111?115].人們還進(jìn)一步提議了基于呼吸子的碰撞可以激發(fā)高階怪波[116?118].

這些非線性波中亮孤子和暗孤子已經(jīng)有了大量的實驗和理論研究并且已經(jīng)有了廣泛的應(yīng)用.然而怪波、呼吸子、平面波背景上的孤子和周期波等平面波背景上的非線性波從上個世紀(jì)70年代開始就陸續(xù)被給出.但是這些非線性波長期以來一直沒有被實驗上精確地觀測到, 相應(yīng)的激發(fā)條件也不清楚.直到近年來, Kibler等[11,14]和 Dudley 等[12]分析了非線性薛定諤方程的Akhmediev呼吸子解、怪波解和Kuznetsov-Ma呼吸子解, 發(fā)現(xiàn)這幾種非線性波的激發(fā)由擾動頻率和擾動強(qiáng)度決定, 并給出了它們的激發(fā)條件.根據(jù)理論分析給出的激發(fā)條件, 他們通過輸入滿足相應(yīng)條件的初態(tài)在實驗上分別實現(xiàn)了這幾種非線性波的激發(fā).實驗結(jié)果與這幾種非線性波解析解所描述的結(jié)構(gòu)符合得非常好.目前平面波背景上的基本非線性波除了幾種呼吸子和怪波, 其他非線性波例如反暗孤子、W形孤子、多峰孤子、周期波和W孤子鏈等都沒有被實驗實現(xiàn), 并且決定它們激發(fā)的物理參數(shù)以及相應(yīng)激發(fā)條件仍然不清楚.怪波和呼吸子的相關(guān)實驗結(jié)果說明非線性方程的解析解描述了非線性系統(tǒng)中一類基本的動力學(xué)過程.通過分析不同的非線性波解可以得到?jīng)Q定不同非線性激發(fā)的參數(shù)和相應(yīng)激發(fā)條件,從而用滿足相應(yīng)條件的非理想簡單形式的初態(tài)分布進(jìn)行演化, 就可以得到對應(yīng)的非線性波結(jié)構(gòu).非線性波的實驗實現(xiàn)對非線性波現(xiàn)象的深入理解、非線性波動力學(xué)性質(zhì)的探測和應(yīng)用是非常重要的.除了通過分析非線性波解析解得到非線性波的激發(fā)調(diào)制之外, 還可以分析非線性波的產(chǎn)生機(jī)制, 即分析不同非線性波的產(chǎn)生原因, 理解了非線性波的產(chǎn)生機(jī)制后自然就可以知道決定非線性波激發(fā)的參數(shù)以及相應(yīng)的激發(fā)條件.因此本文主要介紹關(guān)于基本非線性波的產(chǎn)生機(jī)制及其與調(diào)制不穩(wěn)定性的對應(yīng)關(guān)系的相關(guān)研究, 并重點討論能夠確定非線性波激發(fā)條件的完備物理參數(shù)并給出基本非線性波的激發(fā)條件及相圖.這些結(jié)果將在很大程度上促進(jìn)對多種非線性波的實驗觀測.

2 非線性波的產(chǎn)生機(jī)制及其在背景頻率和擾動頻率空間的相圖

目前普遍認(rèn)為平面波背景上的非線性波的激發(fā)依賴于系統(tǒng)的調(diào)制不穩(wěn)定性[12,76].調(diào)制不穩(wěn)定性反應(yīng)的是連續(xù)波背景上的擾動隨著演化的增長特征[119].在非線性光學(xué)中, 調(diào)制不穩(wěn)定性在時域上表現(xiàn)的是弱擾動的增長與放大, 在頻域中調(diào)制不穩(wěn)定性演化的初始階段反應(yīng)的是頻譜旁帶的產(chǎn)生并經(jīng)歷指數(shù)形式的增長, 能量從泵浦轉(zhuǎn)移到旁帶, 而隨后呈現(xiàn)出泵浦和多個旁帶之間的循環(huán)能量交換等復(fù)雜行為[120,121].最近的研究也已經(jīng)證實調(diào)制不穩(wěn)定性可以用來理解連續(xù)波背景上的非線性波的動力學(xué), 如 Peregrine怪波、Akhmediev呼吸子、Kuznetsov-Ma呼吸子甚至是高階怪波的動力學(xué)特征.分析系統(tǒng)的調(diào)制不穩(wěn)定性特征通常采用線性穩(wěn)定性分析的方法.下面以非線性薛定諤方程為例簡單介紹線性穩(wěn)定性分析的主要步驟.首先標(biāo)準(zhǔn)非線性薛定諤方程形式如下

參數(shù)z和t分別表示歸一化的距離和時間, |ψ|2表示光強(qiáng).方程(1)存在如下的平面波解ψ0(t,z)=aeiθ(t,z), 其中θ(t,z)=kz+ωt, 這里a和ω分別表示平面波的振幅和頻率,k=a2?1/2ω2是平面波的波數(shù).考慮對平面波解增加一個小擾動p(t,z) ,即ψ(t,z)=[a+p(t,z)]eiθ(t,z).將該式代入非線性薛定諤方程(1), 略去關(guān)于p(t,z) 的高次項, 并取擾動p(t,z)的最低階傅里葉模式,p(t,z)=f+ei(Kz+?t)+f?e?i(Kz+?t).這里K和?分別表示擾動的波數(shù)和頻率, 值得注意的是擾動后的波函數(shù)ψ(t,z) 中因子eiθ(t,z)已經(jīng)提取出來, 實際的擾動形式應(yīng)該是p(t,z)eiθ=p(t,z)ei(kz+ωt), 因此實際的擾動波數(shù)和擾動頻率分別是k±K和ω±?, 為了方便我們?nèi)匀粚和?稱為擾動波數(shù)和擾動頻率.f+和f?是傅里葉模式的振幅, 并且f+和f?遠(yuǎn)小于背景振幅a.經(jīng)過簡單計算可以得到擾動p(t,z) 的波數(shù)K和頻率?之間的色散關(guān)系:從色散關(guān)系可以看出, 對于 |?|? 2a, 波數(shù)K都是實數(shù), 此時平面波在微擾下是穩(wěn)定的.而K在|?|<2a時變?yōu)閺?fù)數(shù), 此時擾動p(t,z) 隨著演化指數(shù)增長, 也就是說平面波在擾動頻率?2a

值得注意的是, 在色散關(guān)系中, 波數(shù)K的虛部來自于根式當(dāng)擾動頻率?=0 時, 根式仍然是個虛數(shù), 只是在根式前的系數(shù)|?|=0導(dǎo)致波數(shù)K的虛部為零.此時K的虛部并不能真實反應(yīng)系統(tǒng)的調(diào)制不穩(wěn)定性特征.?=0 時,調(diào)制不穩(wěn)定特征需要單獨(dú)求解.對于?=0 , 其擾動可以寫為[122]:這里?為實常數(shù)并且??1 .由于擾動頻率為零, 因此(z)不含有變量t.將該擾動形式代入到非線性薛定諤方程(1)中, 并略去?的二次及二次以上項, 然后求解方程可以得到=1+2ia2z.此時調(diào)制不穩(wěn)定性增益可以定義為

另外需要注意的是, 分析系統(tǒng)調(diào)制不穩(wěn)定性的方法—線性穩(wěn)定性分析中為了能夠?qū)_動滿足的方程線性化要求擾動的振幅遠(yuǎn)小于平面波背景的振幅, 因此該方法不適用于大振幅擾動的演化特征分析.對于小擾動, 初始擾動振幅較小, 隨著演化呈現(xiàn)指數(shù)形式的增長.當(dāng)擾動振幅和背景振幅大小相當(dāng)?shù)臅r候, 擾動將進(jìn)入非線性演化階段, 此時線性穩(wěn)定性分析方法不再適用.系統(tǒng)非線性將對擾動演化起到主導(dǎo)作用使得擾動不能持續(xù)增長.雖然線性穩(wěn)定性分析方法只能反應(yīng)弱擾動的增長特征,但是其很好地反應(yīng)系統(tǒng)中連續(xù)波背景上擾動演化的穩(wěn)定性特征, 可以很好地揭示怪波和呼吸子的動力學(xué)行為.

最近Baronio等[100]基于兩組分耦合非線性薛定諤方程討論了怪波激發(fā)與調(diào)制不穩(wěn)定性之間的對應(yīng)關(guān)系.通過標(biāo)準(zhǔn)的線性穩(wěn)定性分析方法, 得到系統(tǒng)調(diào)制不穩(wěn)定增益分布如圖1所示.圖中彩色區(qū)域?qū)?yīng)于調(diào)制不穩(wěn)定區(qū), 白色區(qū)域是調(diào)制不穩(wěn)定性增益為零的區(qū)域, 即調(diào)制穩(wěn)定區(qū).圖1(a)和圖1(b)分別是調(diào)制不穩(wěn)定性在擾動頻率?和相對背景頻率ω空間以及擾動頻率?和背景振幅a1空間的分布圖.Baronio等[100]將調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)域分為基頻帶調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)和通頻帶調(diào)制不穩(wěn)定區(qū), 其中基頻帶調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)定義為從擾動頻率?=0 處開始的調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)(圖1(a)和圖1(b)中黑色虛線以下的彩色區(qū)域), 而通頻帶定義為起始于非零擾動頻率處的調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)域(圖1(a)和圖1(b)中黑色虛線以上的彩色區(qū)域).通過分析耦合非線性薛定諤方程的怪波解的激發(fā)特征, 發(fā)現(xiàn)調(diào)制不穩(wěn)定性只是怪波激發(fā)的必要不充分條件.也就是說, 有調(diào)制不穩(wěn)定性不一定能夠激發(fā)怪波, 而有怪波激發(fā)系統(tǒng)一定有調(diào)制不穩(wěn)定性.進(jìn)一步他們證實怪波激發(fā)的充要條件是系統(tǒng)調(diào)制不穩(wěn)定性有基頻帶, 并且怪波激發(fā)在基頻帶中擾動頻率?趨于零的位置.隨后該小組將相關(guān)的結(jié)果推廣到Fokas-Lenells系統(tǒng)和長短波共振系統(tǒng)都證實了同樣的結(jié)論[110,111,112].這些結(jié)果是關(guān)于怪波激發(fā)與調(diào)制不穩(wěn)定性關(guān)系研究的一個重要突破, 然而這些結(jié)果中仍然存在一些問題沒有被解決, 例如: 1)他們僅僅給出了怪波激發(fā)與基頻帶調(diào)制不穩(wěn)定性的關(guān)系, 而怪波產(chǎn)生的根本原因沒有給出解釋; 2)他們得到的基帶調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)中零頻擾動的增益為零, 而相關(guān)研究結(jié)果展示怪波激發(fā)在基帶調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)擾動頻率趨于零的位置, 這個結(jié)果似乎與調(diào)制不穩(wěn)定性增益特征相矛盾; 3)如果一個系統(tǒng)中僅僅在擾動頻率?=0 處有調(diào)制不穩(wěn)定性, 而在?=0 的兩側(cè)區(qū)域都是調(diào)制穩(wěn)定區(qū)時, 則不能定義基頻帶, 那么此時是否能夠激發(fā)怪波, 也是不能回答的; 4)這些工作中都只分析了怪波與調(diào)制不穩(wěn)定性的關(guān)系, 而呼吸子等其他非線性波與調(diào)制不穩(wěn)定性的對應(yīng)關(guān)系仍然不清楚.

圖1 自散焦的兩組分耦合非線性薛定諤系統(tǒng)的調(diào)制不穩(wěn)定增益的分布 (a)調(diào)制不穩(wěn)定增益在 ( ?,ω) 平面的分布, 綠色點狀曲線表示調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)的邊界; (b)調(diào)制不穩(wěn)定性在 ( ?,a1) 平面的分布Fig.1.Modulation instability distributions of the defocusing two component coupled nonlinear Schr?dinger system:(a) Modulation instability distribution in the ( ?,ω) plane,green dot curves are the boundary of the modulation instability regime; (b) modulation instability distribution in the ( ?,a1) plane.

最近, 我們通過系統(tǒng)分析標(biāo)準(zhǔn)非線性薛定諤系統(tǒng)中調(diào)制不穩(wěn)定性的分布與平面波背景上的基本非線性波(Peregrine怪波、Akhmediev呼吸子和Kuznetsov-Ma呼吸子)的對應(yīng)關(guān)系, 建立了基本非線性激發(fā)與調(diào)制不穩(wěn)定性增益分布之間的定量對應(yīng)關(guān)系[109].特別地, 證實了怪波來自于平面波背景上調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)的共振擾動[109].非線性薛定諤方程平面波背景上各種類型的非線性波解已經(jīng)被廣泛研究.所有的這些平面波上的解都可以寫為平面波和擾動部分線性疊加的形式, 即ψ=ψ0+ψp.ψ0和ψp分別為平面波解和描述擾動演化動力學(xué)的部分.做線性穩(wěn)定性分析時, 平面波背景上加上擾動之后的形式ψ(t,z)=[a+p(t,z)]eiθ(t,z)也是一個平面波aeiθ和擾動peiθ的線性疊加.調(diào)制不穩(wěn)定性反應(yīng)的就是擾動peiθ演化的穩(wěn)定性特征.因此可以通過調(diào)制不穩(wěn)定性來理解平面波背景上非線性波的動力學(xué)特征.

在(3)式和(2)式中分別給出了擾動頻率0<|?|<2a和?=0 (共振擾動)時調(diào)制不穩(wěn)定性增益G的表達(dá)式.從G的表達(dá)式可以看出, 標(biāo)準(zhǔn)非線性薛定諤系統(tǒng)的調(diào)制不穩(wěn)定性依賴于平面波背景振幅a和擾動頻率?.由于非線性薛定諤系統(tǒng)滿足伽利略協(xié)變性, 因此其增益不依賴于背景頻率ω.但是在其他的非線性系統(tǒng)中例如Hirota系統(tǒng)[71,123]、Sasa-Satsuma系統(tǒng)[74,124]、四階非線性薛定諤系統(tǒng)[125]和五階非線性薛定諤系統(tǒng)[126]等廣義非線性薛定諤系統(tǒng)中, 由于伽利略協(xié)變性被破壞, 其調(diào)制不穩(wěn)定性也依賴于背景頻率ω.文獻(xiàn)[109]是在背景振幅a和擾動頻率?參數(shù)空間討論非線性波與調(diào)制不穩(wěn)定性對應(yīng)關(guān)系的.然而考慮到非線性薛定諤方程(1)是無量綱化的模型, 其背景振幅a只是一個相對值,a的大小并不具有實際意義, 并且為了和在其他模型中討論非線性波與調(diào)制不穩(wěn)定的形式一致, 這里分別在 (a,?) 空間和 (ω,?) 空間討論了兩者的對應(yīng)關(guān)系.

圖2(a1)和圖2(b1)中分別給出調(diào)制不穩(wěn)定性增益G在背景頻率ω和擾動頻率?參數(shù)平面的分布(背景振幅取a=1 )以及在背景振幅a和擾動頻率?參數(shù)平面的分布(背景頻率取ω=0 ).從圖中可以看出在 (ω,?) 平面, 調(diào)制不穩(wěn)定性增益分布為帶狀結(jié)構(gòu), 其范圍為 ? 2a

從上面討論我們知道, 與系統(tǒng)調(diào)制不穩(wěn)定性有關(guān)的三個參數(shù)分別是背景頻率ω、擾動頻率?和背景振幅a.因此要建立非線性波激發(fā)與調(diào)制不穩(wěn)定性之間的關(guān)系, 需要分析不同類型非線性波解的這三個參數(shù)的范圍.背景頻率ω和背景振幅a在解中都有直接體現(xiàn).對于呼吸子和怪波等非線性波, 其擾動部分的頻譜都不是單頻譜, 其擾動頻率定義為擾動部分在頻譜中強(qiáng)度最大值處所對應(yīng)的頻率[109].然后根據(jù)不同非線性波解的背景頻率ω、擾動頻率?和背景振幅a的范圍即可建立其與調(diào)制不穩(wěn)定性增益的對應(yīng)關(guān)系.

非線性薛定諤方程中怪波、Akhmediev呼吸子和Kuznetsov-Ma呼吸子在調(diào)制不穩(wěn)定增益平面分布的相圖見圖2.從圖中可以看出, Kuznetsov-Ma呼吸子激發(fā)在調(diào)制不穩(wěn)定增益分布平面的共振線上 (?=0 )a=0 以外的區(qū)域.Akhmediev 呼吸子位于共振線兩側(cè)的調(diào)制不穩(wěn)定區(qū).另外, Akhmediev呼吸子在分布方向t的周期Tt=2π/|?| , 也就是說Akhmediev呼吸子的周期由初始的擾動頻率決定, 并且演化過程中擾動頻率保持不變.最近在一些數(shù)值和實驗工作中通過在平面波背景上加周期擾動的方法得到了Akhmediev呼吸子的激發(fā), 并且Akhmediev呼吸子的周期就等于初始擾動信號的周期[12], 這些結(jié)果說明我們對非線性波擾動頻率的分析方法是合理的.對于不同擾動頻率, 調(diào)制不穩(wěn)定性增益不同, 因此對于同樣的初始擾動振幅, 不同頻率的周期擾動激發(fā)出Akhmediev呼吸子的位置不同[12,127].并且我們注意到, 當(dāng)擾動頻率?趨于調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)的邊界 ± 2a時, Akhmediev呼吸子的振幅趨于背景振幅.隨著擾動頻率從 ± 2a趨于 0 時, Akhmediev呼吸子的最大振幅逐漸增大,當(dāng)擾動頻率等于零時, Akhmediev呼吸子將轉(zhuǎn)變?yōu)镻eregrine怪波[11], 此時振幅達(dá)到最大, 為背景振幅的三倍.也就是說最大峰值和增益出現(xiàn)在共振線上.因此, 怪波是一種共振激發(fā)模式[109].

圖2 標(biāo)準(zhǔn)非線性薛定諤系統(tǒng)的調(diào)制不穩(wěn)定增益分布和基本非線性波激發(fā)的相圖 (a1)和(b1)分別為調(diào)制不穩(wěn)定增益在(ω,?)平面和 ( a,?) 平面的分布.“MI”和“MS”分別表示調(diào)制不穩(wěn)定性和調(diào)制穩(wěn)定性, 紅色虛線是共振線; (a2)和(b2)分別為基本非線性波在(a1)和(b1)中調(diào)制不穩(wěn)定增益分布平面的相圖.“AB”,“RW”和“KM”分別為Akhmediev呼吸子、怪波和Kuznetsov-Ma呼吸子Fig.2.Modulation instability distributions and phase diagrams of fundamental nonlinear waves in standard nonlinear Schr?dinger system: (a1) and (b1) are the distributions of the modulation instability gain in the ( ω,?) plane and the ( a,?) , respectively.“MI”and “MS” denote modulation instability and modulation stability, respectively.the red dotted line is the resonance line; (a2) and(b2) are the phase diagrams of fundamental nonlinear waves on the modulation instability gain distribution planes correspond to(a1) and (b1), respectively."AB", "RW" and "KM" denote Akhmediev breather, rogue wave and Kuznetsov-Ma breather, respectively.

雖然線性穩(wěn)定性分析方法本身具有一定局限性, 使得它并不能完全預(yù)測平面波背景上所有非線性激發(fā)類型的動力學(xué)特征.但是其對于Peregrine怪波和Akhmediev呼吸子動力學(xué)預(yù)測是非常準(zhǔn)確的, 而且線性穩(wěn)定性方法相比于求解方程解析解來說是非常簡單的, 因此通過線性穩(wěn)定性分析方法可以很方便地預(yù)測不同系統(tǒng)中是否可以激發(fā)Peregrine怪波和Akhmediev呼吸子并可以給出對應(yīng)的激發(fā)條件.此外, 線性穩(wěn)定性分析方法也不依賴于方程的可積性, 因此在可積系統(tǒng)中建立呼吸子和怪波激發(fā)與調(diào)制不穩(wěn)定性之間的對應(yīng)關(guān)系也可以用來預(yù)測不可積系統(tǒng)中Peregrine怪波和Akhmediev呼吸子激發(fā), 這對Peregrine怪波和Akhmediev呼吸子激發(fā)機(jī)制和在各個物理系統(tǒng)中實驗實現(xiàn)、可控激發(fā)和潛在應(yīng)用是非常重要的.

目前研究發(fā)現(xiàn)基本怪波除了Peregrine怪波一峰兩谷的眼狀結(jié)構(gòu)外, 還存在兩峰一谷的反眼狀結(jié)構(gòu)以及具有兩峰兩谷的四花瓣結(jié)構(gòu)[70,97,99,102].上面討論中已經(jīng)證實了怪波來自于調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)的共振擾動, 這就意味著這三種怪波結(jié)構(gòu)都激發(fā)在共振線上, 那么是什么參數(shù)決定了怪波結(jié)構(gòu)的不同呢？之前研究已經(jīng)證實反眼狀怪波和四花瓣怪波都只存在于耦合非線性系統(tǒng)中[70,97,99,102], 因此為了回答這個問題, Ling等[103]基于自聚焦任意N組分耦合非線性薛定諤系統(tǒng)分析了怪波時空結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生機(jī)制.N組分耦合非線性薛定諤方程如下:

其中Ψ=(ψ1,ψ2,...,ψN)T, T 和 ? 分別表示矩陣的轉(zhuǎn)置和厄米共軛.這個模型可以用來描述多模非線性光纖中光脈沖的傳輸[128]、多組分玻色-愛因斯坦凝聚體的演化[104,129,130]以及其他非線性耦合系統(tǒng).在N=1 時, 這個模型將約化為標(biāo)準(zhǔn)非線性薛定諤方程 (1), 此時只存在眼狀 Peregrine怪波.在N>1的耦合系統(tǒng)中, 眼狀、反眼狀和四花瓣三種結(jié)構(gòu)的怪波都可以存在, 并且不同結(jié)構(gòu)之間可以相互轉(zhuǎn)換.最近N組分耦合非線性薛定諤系統(tǒng)中基本怪波解的一般求解方法已經(jīng)被給出, 通過這個方法可以構(gòu)造出不同結(jié)構(gòu)基本怪波共存甚至是高階怪波共存的解[106].

為了理解基本怪波時空結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生機(jī)制, 首先分析N組分耦合非線性薛定諤系統(tǒng)(4)的調(diào)制不穩(wěn)定性特征.該方程的平面波解如下N.aj和ωj是分別是第j組分平面波背景的振幅和頻率.在平面波背景上加上擾動后形式為ψj=ajeiθj[1+pj(t,z)], 這里pj(t,z) 表示第j個組分 的 小 擾 動, 其 形 式 為pj=fj+ei(Kz+?t)+fj?ei(Kz+?t)(fj+和fj?遠(yuǎn)小于 1),K和?分別為擾動波數(shù)和頻率.利用線性穩(wěn)定性分析方法, 可以很容易得到K和?之間的色散關(guān)系.前面已經(jīng)證實, 怪波來自于共振擾動即?=0 .通過分析共振擾動的調(diào)制不穩(wěn)定, 可以得到對于共振擾動的色散關(guān)系為然后通過分析方程(4)得到一般形式的基本怪波解在不同參數(shù)下的結(jié)構(gòu)特征.通過與線性穩(wěn)定性分析的結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)基本怪波的結(jié)構(gòu)由如下的判別式?jīng)Q定

這里KR和KI分別為擾動波數(shù)K的實部和虛部.當(dāng)?13 時, 基本怪波為眼狀結(jié)構(gòu); 13

通過線性穩(wěn)定性分析和解析解, 已經(jīng)建立了呼吸子和怪波激發(fā)與調(diào)制不穩(wěn)定性的對應(yīng)關(guān)系, 并且解釋了怪波時空結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生機(jī)制[109].怪波和呼吸子都是背景上弱擾動調(diào)制不穩(wěn)定放大的結(jié)果, 它們都激發(fā)在調(diào)制不穩(wěn)定區(qū).而在一個物理系統(tǒng)不僅有調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)也存在著調(diào)制穩(wěn)定的區(qū)域.調(diào)制穩(wěn)定區(qū)意味著在這些參數(shù)區(qū)域的弱擾動隨著演化并不會被放大而是穩(wěn)定傳播, 這說明在調(diào)制穩(wěn)定區(qū)應(yīng)該存在穩(wěn)定演化的孤子或周期波.那么在調(diào)制穩(wěn)定區(qū)域是否一定有穩(wěn)定演化的孤子或周期波激發(fā)呢？我們分析了用來描述飛秒量級光脈沖傳輸?shù)木哂懈唠A效應(yīng)的Sasa-Satsuma系統(tǒng), 發(fā)現(xiàn)其調(diào)制不穩(wěn)定帶中存在一小塊調(diào)制穩(wěn)定區(qū)域(見圖3(a)), 并在這個調(diào)制穩(wěn)定區(qū)域的共振線上得到了有理形式W形孤子激發(fā), 這個W形孤子在弱噪聲下仍然可以保持穩(wěn)定演化.特別地, 這個孤子的頻譜對應(yīng)于超連續(xù)光譜[70].隨后在共振線上調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)與調(diào)制穩(wěn)定區(qū)的臨界點(見圖3(a)中共振線上紫色圓點)處得到了一個小信號產(chǎn)生兩個W形孤子的獨(dú)特動力學(xué)[74,131].在初始階段一個小信號被調(diào)制不穩(wěn)定放大, 隨著演化峰值逐漸增大, 達(dá)到最大峰值后劈裂為兩個穩(wěn)定的W形孤子, 在W形孤子演化過程中呈現(xiàn)出調(diào)制穩(wěn)定的特征.這個動力學(xué)過程顯著區(qū)別于怪波的不穩(wěn)定特征和W形孤子的穩(wěn)定特征, 同時包含了調(diào)制不穩(wěn)定特征和調(diào)制穩(wěn)定性特征.由于臨界點處于調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)和調(diào)制穩(wěn)定區(qū)的交界位置, 其既不屬于調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)又不屬于調(diào)制穩(wěn)定區(qū), 但是又同時包含調(diào)制不穩(wěn)定特征和調(diào)制穩(wěn)定特征, 因此可以出現(xiàn)從弱信號放大然后劈裂出W形孤子的獨(dú)特動力學(xué)行為.隨后在標(biāo)準(zhǔn)非線性薛定諤系統(tǒng)和耦合非線性薛定諤系統(tǒng)中通過對系統(tǒng)的色散和非線性進(jìn)行調(diào)制, 使得隨著演化調(diào)制不穩(wěn)定性增益逐漸減小并過渡到調(diào)制穩(wěn)定區(qū), 也得到了弱信號放大后產(chǎn)生的孤子結(jié)構(gòu)[132,133].但是兩者從弱信號產(chǎn)生穩(wěn)定孤子的本質(zhì)是不同的.

圖3 Sasa-Satsuma系統(tǒng)的調(diào)制不穩(wěn)定增益分布和基本非線性波激發(fā)的相圖 (a) Sasa-Satsuma系統(tǒng)中調(diào)制不穩(wěn)定增益在背景頻率 ω 和擾動頻率 ? 平面的分布.“MI”和“MS”分別表示調(diào)制不穩(wěn)定和調(diào)制穩(wěn)定, 黃顏色圓點為共振線上臨界點; (b)非線性波在調(diào)制不穩(wěn)定增益分布平面的相圖.“AB”, “RW” 和“KM” 分別為 Akhmediev 呼吸子、怪波和 Kuznetsov-Ma 呼吸子; “WS”,“WST”, “AD”和Periodic wave分別表示W(wǎng)形孤子、W形孤子鏈、反暗孤子和周期波Fig.3.Modulation instability distributions and phase diagrams of fundamental nonlinear waves in Sasa-Satsuma system: (a) Distributions of the modulation instability gain in the background frequency ω and perturbation frequency ? plane.“MI” and “MS” denote modulation instability and modulation stability, respectively.The yellow dots are the critical points on the resonance line;(b) phase diagrams of nonlinear waves in the modulation instability gain distribution planes.“AB”, “RW” and “KM” denote Akhmediev breather, rogue wave and Kuznetsov-Ma breather, respectively; “WS”, “WST” and “AD” denote the W-shaped soliton,W-shaped soliton train and anti-dark soliton, respectively.

進(jìn)一步, 我們在Sasa-Satsuma系統(tǒng)中也得到了反暗孤子、周期波、W形孤子鏈等非線性激發(fā),并建立了這些非線性激發(fā)與調(diào)制不穩(wěn)定性之間的對應(yīng)關(guān)系[74], 其對應(yīng)的相圖展示在圖3(b).從圖中可以看出, 怪波仍然來自于調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)的共振擾動, Kuznetsov-Ma呼吸子和Akhmediev呼吸子也都激發(fā)在調(diào)制不穩(wěn)定區(qū), Kuznetsov-Ma也激發(fā)在共振線上, 而Akhmediev呼吸子激發(fā)在共振線兩側(cè)的調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)(見圖3中紅色虛線和橙色虛線之間的區(qū)域).這些結(jié)果與標(biāo)準(zhǔn)非線性薛定諤系統(tǒng)中這幾種非線性波在調(diào)制不穩(wěn)定增益分布平面的激發(fā)位置是類似的.然而, 與標(biāo)準(zhǔn)非線性薛定諤系統(tǒng)不同的是, 在Sasa-Satsuma系統(tǒng)中其調(diào)制不穩(wěn)定帶中存在一個調(diào)制穩(wěn)定區(qū), 這也帶來了一些新的非線性激發(fā).調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)與調(diào)制穩(wěn)定區(qū)的邊界為形孤子和反暗孤子激發(fā)在共振線上的調(diào)制穩(wěn)定區(qū)(圖3(b)中兩個黃顏色臨界點之間的紅色虛線).W形孤子鏈存在于共振線和調(diào)制不穩(wěn)定帶邊界(?=±2a)之間的區(qū)域, 見圖3(b)中水平灰色虛線標(biāo)記的調(diào)制穩(wěn)定區(qū).周期波位于直線?= ±2ω(見圖中灰色實線)之間的調(diào)制穩(wěn)定區(qū),見圖中豎直的灰色虛線標(biāo)記區(qū)域.從圖中可以看出W形孤子、反暗孤子、W形孤子鏈和周期波都位于調(diào)制穩(wěn)定區(qū), 它們的動力學(xué)也證實它們的演化是穩(wěn)定的.顯然線性穩(wěn)定性分析也可以用來預(yù)測平面波背景上穩(wěn)定演化的孤子和周期波激發(fā).需要特別注意的是, 與標(biāo)準(zhǔn)非線性薛定諤系統(tǒng)類似, Sasa-Satsuma系統(tǒng)中Kuznetsov-Ma呼吸子和怪波也激發(fā)在同樣的位置.此外W形孤子和反暗孤子也存在于相同區(qū)域, 周期波與W形孤子鏈的激發(fā)區(qū)域有部分重合.這些結(jié)果說明決定系統(tǒng)調(diào)制不穩(wěn)定特征的兩個參數(shù)背景頻率ω和擾動頻率?并不能完全決定非線性波的激發(fā).

在另一種描述飛秒光脈沖傳輸模型—Hirota模型中[123], 我們也分析了其調(diào)制不穩(wěn)定性,發(fā)現(xiàn)在調(diào)制不穩(wěn)定帶中存在一條調(diào)制穩(wěn)定線(見圖4(a)).并且發(fā)現(xiàn)當(dāng)怪波從不穩(wěn)定區(qū)趨于調(diào)制穩(wěn)定線時, 怪波逐漸被拉長, 其演化方向局域性逐漸降低, 當(dāng)達(dá)到穩(wěn)定線位置時, 怪波完全轉(zhuǎn)換為有理W形孤子.并且怪波的局域性與調(diào)制不穩(wěn)定增益G的倒數(shù)成正比[71].這個結(jié)果進(jìn)一步加深了人們對調(diào)制不穩(wěn)定性與非線性激發(fā)關(guān)系的理解, 隨后怪波與孤子之間的態(tài)轉(zhuǎn)化在其他系統(tǒng)中也被廣泛討論[134?136].隨后, 我們也在 Hirota 系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)了對稱和不對稱形式多峰孤子激發(fā)和反暗孤子、周期波等非線性激發(fā), 并且給出了Akhmediev呼吸子和周期波, Kuznetsov-Ma呼吸子和反暗孤子與非有理W形孤子之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系, 也系統(tǒng)給出了Hirota系統(tǒng)中非線性波激發(fā)在調(diào)制不穩(wěn)定性增益平面的相圖[73](見圖4(b)).與標(biāo)準(zhǔn)非線性薛定諤系統(tǒng)[109]和 Sasa-Satsuma系 統(tǒng)[74]類 似, 怪 波 和Kuznetsov-Ma呼吸子激發(fā)在共振線上的不穩(wěn)定區(qū), Akhmediev呼吸子存在于共振線兩側(cè)調(diào)制不穩(wěn)定區(qū), 有理W形孤子、非有理W形孤子和反暗孤子都激發(fā)在共振線上的調(diào)制穩(wěn)定區(qū), 周期波位于共振線兩側(cè)調(diào)制穩(wěn)定線上.特別地, 多峰孤子存在于圖中橙色“X”形區(qū)域, 這個區(qū)域既有調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)又有調(diào)制穩(wěn)定區(qū), 該結(jié)果與線性穩(wěn)定性分析預(yù)測結(jié)果是矛盾的, 這是由線性穩(wěn)定性分析自身局限性導(dǎo)致的.此外, 我們注意到在Hirota系統(tǒng)中非線性激發(fā)在 (ω,?) 空間的相圖中, 怪波和Kuznetsov-Ma呼吸子存在于同一位置, 有理W形孤子、非有理W形孤子和反暗孤子激發(fā)在同一區(qū)域, 多峰孤子和Akhmediev呼吸子的激發(fā)區(qū)域有部分重合.這些結(jié)果進(jìn)一步證實了線性穩(wěn)定性分析的局限性,也說明了僅僅通過背景頻率ω和擾動頻率?兩個參數(shù)并不能完全確定非線性波的激發(fā)條件.因此仍然需要引入新的物理參數(shù)來區(qū)分在背景頻率和擾動頻率空間共存的非線性波激發(fā).

圖4 Hirota系統(tǒng)中的調(diào)制不穩(wěn)定增益分布和基本非線性波激發(fā)的相圖 (a) Hirota系統(tǒng)中調(diào)制不穩(wěn)定增益在背景頻率 ω 和擾動頻率 ? 平面的分布.“MI”和“MS”分別表示調(diào)制不穩(wěn)定和調(diào)制穩(wěn)定; (b)非線性波在調(diào)制不穩(wěn)定增益分布平面的相圖.“AB”,“RW” 和“KM” 分別為 Akhmediev 呼吸子、怪波和 Kuznetsov-Ma 呼吸子; “WS”, “AD”, “PW”和“MPS”分別表示 W 形孤子、反暗孤子、周期波和多峰孤子Fig.4.Modulation instability distributions and phase diagrams of fundamental nonlinear waves in Hirota system; (a) Distributions of the modulation instability gain in the background frequency ω and perturbation frequency ? plane.“MI” and “MS” denote modulation instability and modulation stability, respectively; (b) phase diagrams of nonlinear waves in the modulation instability gain distribution planes.“AB”, “RW” and “KM” denote Akhmediev breather, rogue wave and Kuznetsov-Ma breather, respectively; “WS”, “AD”, “PW” and “MPS” denote the W-shaped soliton, anti-dark soliton, periodic wave and multi-peak soliton, respectively.

3 擾動能量在確定非線性波激發(fā)中的作用

在描述超短光脈沖在光纖中傳輸時, 需要考慮一些高階效應(yīng)的影響.例如在描述飛秒脈沖在光纖中傳輸模型中需要考慮三階色散、自陡峭和延遲非線性效應(yīng)等三階效應(yīng)(Sasa-Satsuma系統(tǒng)[124]和Hirota系統(tǒng)[123]).最近一些實驗和理論研究顯示描述小于飛秒量級光脈沖在光纖中傳輸需要考慮一些四階效應(yīng)[137].此外, 四階效應(yīng)在各向異性海森堡鐵磁自旋鏈系統(tǒng)中也起到了重要作用[40,41,138].考慮一個同時具有三階和四階效應(yīng)的非線性薛定諤模型[139?146]

通過線性穩(wěn)定性分析方法可以得到四階非線性薛定諤系統(tǒng)的調(diào)制不穩(wěn)定性增益為

共振擾動的調(diào)制不穩(wěn)定性增益為

這里a和ω分別表示平面波解的振幅和頻率.調(diào)制不穩(wěn)定增益的分布展示在圖5(a).顯然四階非線性薛定諤系統(tǒng)中調(diào)制不穩(wěn)定性增益的分布特征與標(biāo)準(zhǔn)非線性薛定諤系統(tǒng)、Hirota系統(tǒng)和Sasa-Satsuma中分布都是不同的.在標(biāo)準(zhǔn)非線性薛定諤系統(tǒng)中調(diào)制不穩(wěn)定帶中不存在調(diào)制穩(wěn)定區(qū), Hirota系統(tǒng)中調(diào)制不穩(wěn)定帶內(nèi)包含了一條調(diào)制穩(wěn)定線, 在Sasa-Satsuma系統(tǒng)中, 調(diào)制不穩(wěn)定帶中有一個調(diào)制穩(wěn)定區(qū)域, 而在四階非線性薛定諤系統(tǒng)中, 在調(diào)制不穩(wěn)定帶中存在一個調(diào)制穩(wěn)定環(huán)[71,73,74,109].通常不同的調(diào)制不穩(wěn)定增益分布會帶來不同的非線性激發(fā)結(jié)構(gòu), 因此自然可以期望在四階非線性系統(tǒng)中能夠得到與標(biāo)準(zhǔn)非線性薛定諤系統(tǒng)、Hirota系統(tǒng)和Sasa-Satsuma系統(tǒng)中不同的激發(fā)特征.

圖5 四階非線性薛定諤系統(tǒng)調(diào)制不穩(wěn)定增益分布和基本非線性波激發(fā)的相圖 (a) 調(diào)制不穩(wěn)定增益在背景頻率 ω 和擾動頻率? 平面的分布, “MI”和“MS” 分別表示調(diào)制不穩(wěn)定性和調(diào)制穩(wěn)定性; (b),(c) 基本非線性波在背景頻率 ω 和擾動頻率 ? 平面的相圖, “AB”, “RW”, “KM”、“PW”, “WST”, “WSr ”, “ W Snr ” 和“AD”分別為 Akhmediev 呼吸子、怪波、Kuznetsov-Ma 呼吸子、周期波、W形孤子鏈、有理的W形孤子、非有理的W形孤子和反暗孤子Fig.5.Modulation instability distributions and phase diagrams of fundamental nonlinear waves in fourth-order nonlinear Schr?dinger system: (a) Distributions of the modulation instability gain in the background frequency ω and perturbation frequency? plane.“MI” and “MS” denote modulation instability and modulation stability, respectively; (b), (c) phase diagrams of nonlinear waves in the background frequency ω and perturbation frequency ? plane.“AB”, “RW”, “KM”, “PW”, “WST”, “WSr ”, “WS W Snr ”and “AD” denote Akhmediev breather, rogue wave, Kuznetsov-Ma breather, periodic wave, W-shaped soliton train, rational W-shaped soliton, nonrational W-shaped soliton and anti-dark soliton, respectively.

通過Darboux變換方法可以求得方程(6)平面波背景上的非線性波解, 其中包括Kuznetsov-Ma呼吸子、非有理W形孤子、反暗孤子、Akhmediev呼吸子、W形孤子鏈、周期波、怪波和有理W形孤子八種基本非線性波.進(jìn)一步通過分析各個非線性波背景頻率和擾動頻率的關(guān)系, 我們建立了其與調(diào)制不穩(wěn)定性的對應(yīng)關(guān)系[125], 這幾種非線性波在調(diào)制不穩(wěn)定性增益分布平面的相圖見圖5(b)和圖5(c).從圖中可以看出, 與標(biāo)準(zhǔn)非線性薛定諤系統(tǒng)、Hirota系統(tǒng)和Sasa-Satsuma系統(tǒng)類似, 怪波仍然存在于共振線上的調(diào)制不穩(wěn)定區(qū), 有理W形孤子存在于共振線上的調(diào)制穩(wěn)定區(qū), Akhmediev呼吸子位于共振線兩側(cè)的調(diào)制不穩(wěn)定區(qū), W形孤子鏈和周期波激發(fā)在共振線兩側(cè)調(diào)制穩(wěn)定環(huán)上, 并且它們的擾動頻率分別滿足|?|<2a(見圖5(b)中環(huán)形區(qū)域的紫色虛線部分和綠色實線部分).值得注意的是, 在四階非線性薛定諤系統(tǒng)中Kuznetsov-Ma呼吸子可以存在于共振線上所有區(qū)域, 非有理W形孤子和反暗孤子存在于共振線上兩個調(diào)制穩(wěn)定點之外的調(diào)制不穩(wěn)定區(qū).這個結(jié)果與線性穩(wěn)定性分析的預(yù)測相違背.需要注意的是, 這兩種孤子可以存在于調(diào)制穩(wěn)定點兩側(cè)的調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)而不能存在于兩個調(diào)制穩(wěn)定點之間的不穩(wěn)定區(qū)域.特別地, 當(dāng)四階非線性薛定諤系統(tǒng)(6) 中四階效應(yīng)為零, 即γ=0 時, 四階非線性薛定諤系統(tǒng)變?yōu)镠irota系統(tǒng), 此時這兩種孤子都存在于調(diào)制穩(wěn)定區(qū), 顯然四階效應(yīng)對這兩種孤子存在于調(diào)制穩(wěn)定區(qū)起到了重要作用.并且已經(jīng)證實存在于調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)的反暗孤子和非有理W形孤子演化是穩(wěn)定的.

為了進(jìn)一步理解調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)反暗孤子和非有理W形孤子的激發(fā)特征, 引入有效擾動能量ε[125], 其定義為

這里有效擾動能量反應(yīng)的是平面波背景加上擾動后能量相比于未加擾動時平面波背景aeiθ能量多出的部分.有效擾動能量ε>0 則說明加上擾動后有額外能量輸入;ε=0 則說明擾動并不帶來額外能量, 此時擾動演化過程中的能量完全由平面波背景轉(zhuǎn)化而來;ε<0 則意味著擾動時從背景提取出了一部分能量, 例如平面波背景上的暗孤子就可以看作是從平面波背景上除去了一部分能量.為了方便, 下面討論中將有效擾動能量簡稱為擾動能量.通過分析發(fā)現(xiàn), 調(diào)制不穩(wěn)定增益G0和孤子擾動能量平方滿足

這意味著反暗孤子和非有理W形孤子可以在調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)激發(fā)確實是擾動能量和調(diào)制不穩(wěn)定增益平衡的結(jié)果.并且兩者平衡依賴于背景振幅a和四階效應(yīng)系數(shù)γ.這也進(jìn)一步解釋了在低于四階效應(yīng)的非線性薛定諤系統(tǒng), 例如標(biāo)準(zhǔn)非線性薛定諤系統(tǒng)和包含三階效應(yīng)的非線性薛定諤系統(tǒng)中為什么沒有發(fā)現(xiàn)反暗孤子和非有理W形孤子存在于調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)的情況.

除了反暗孤子和非有理W形孤子存在于調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)這個與線性穩(wěn)定性分析預(yù)測相違背的情況外, 還存在另外一種與線性穩(wěn)定性分析預(yù)測不一致的情況, 即不穩(wěn)定的Kuznetsov-Ma呼吸子可以在共振線上調(diào)制穩(wěn)定點激發(fā)(見圖5(c)).這個結(jié)果在標(biāo)準(zhǔn)非線性薛定諤系統(tǒng)和具有三階效應(yīng)的非線性薛定諤系統(tǒng)中并沒有發(fā)現(xiàn), 因此這個現(xiàn)象也可能是由四階效應(yīng)引起的.Kuznetsov-Ma呼吸子擾動能量不等于零.我們注意到Kuznetsov-Ma呼吸子擾動能量值與反暗孤子和非有理W形孤子的擾動能量的表達(dá)式相同, 但是Kuznetsov-Ma呼吸子需要滿足條件而反暗孤子和非有理W形孤子激發(fā)條件為上一節(jié)分析已經(jīng)證明反暗孤子和非有理W形孤子激發(fā)條件意味著擾動能量和調(diào)制不穩(wěn)定增益的平衡, 因此Kuznetsov-Ma呼吸子激發(fā)是擾動能量和調(diào)制不穩(wěn)定增益沒有達(dá)到平衡的結(jié)果.最近, 我們進(jìn)一步分析了Kuznetsov-Ma呼吸子的產(chǎn)生機(jī)制,發(fā)現(xiàn)Kuznetsov-Ma呼吸子是孤子和平面波之間的干涉和調(diào)制不穩(wěn)定性共同作用的結(jié)果[147].

特別地, 通過計算發(fā)現(xiàn)在四階非線性薛定諤系統(tǒng)中, 除了反暗孤子、非有理 W形孤子和Kuznetsov-Ma呼吸子, 其他非線性波(怪波、有理W形孤子、Akhmediev呼吸子、周期波和W形孤子鏈)擾動能量都為零.另外, 盡管這些非線性波中有理W形孤子、周期波和W形孤子鏈都可以具有很大的擾動振幅, 但是這些擾動能量為零的非線性激發(fā)特征都與線性穩(wěn)定性分析預(yù)期一致.例如怪波和Akhmediev呼吸子位于調(diào)制不穩(wěn)定區(qū), 有理W形孤子、周期波和W形孤子鏈激發(fā)在調(diào)制穩(wěn)定區(qū), 并且這些結(jié)論在其他系統(tǒng)中(非線性薛定諤系統(tǒng)、Hirota系統(tǒng)和Sasa-Satsuma系統(tǒng)等)依然成立.這些結(jié)果顯示線性穩(wěn)定性分析不僅能夠適用于弱擾動演化動力學(xué)特征分析, 也適用于擾動能量為零的強(qiáng)擾動演化特征預(yù)測, 只是對具有非零擾動能量強(qiáng)擾動的演化特征預(yù)測失效.這個結(jié)果擴(kuò)大了線性穩(wěn)定性分析方法可能的適用范圍, 因此對于分析很大一類平面波背景上零擾動能量擾動的演化特征都有很大幫助.

通過引入擾動能量, 四階非線性系統(tǒng)中在背景頻率和擾動頻率空間共存的許多非線性波都可以被區(qū)分.例如在共振線上調(diào)制穩(wěn)定點處共存的Kuznetsov-Ma呼吸子和有理W形孤子中,Kuznetsov-Ma呼吸子具有非零擾動能量, 而有理W形孤子擾動能量為零; 在共振線上調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)共存的四種非線性波: 怪波、Kuznetsov-Ma呼吸子、反暗孤子和非有理W形孤子中, 怪波擾動能量為零, Kuznetsov-Ma呼吸子、反暗孤子和非有理的W形孤子的擾動能量非零, 并且反暗孤子和非有理的W形孤子的擾動能量滿足條件

而Kuznetsov-Ma呼吸子擾動能量滿足條件

顯然擾動能量可以用來區(qū)分怪波、Kuznetsov-Ma呼吸子和反暗孤子與非有理W形孤子.然而由于反暗孤子和非有理W形孤子擾動能量相等,這兩種非線性波在背景頻率、擾動頻率和擾動能量參數(shù)空間仍然共存.此外, 通過擾動能量, 在標(biāo)準(zhǔn)非線性薛定諤系統(tǒng)、Hirota系統(tǒng)和Sasa-Satsuma系統(tǒng)中共存的許多非線性波也可以被區(qū)分.然而,與四階非線性薛定諤系統(tǒng)類似, 在Hirota系統(tǒng)和Sasa-Satsuma系統(tǒng)中共存的反暗孤子和非有理W形孤子通過擾動能量仍然不能區(qū)分; 并且在Sasa-Satsuma系統(tǒng)中出現(xiàn)共存的周期波和W形孤子鏈也不能通過擾動能量區(qū)分, 因為這兩者擾動能量都為零.顯然, 引入擾動能量后, 原來在背景頻率和擾動頻率共存在的許多非線性波都可以被區(qū)分, 但是仍然有個別非線性波在背景頻率、擾動頻率和擾動能量三個參數(shù)的空間共存.因此還需尋找其他物理參數(shù)來區(qū)分反暗孤子和非有理W形孤子以及周期波和W形孤子鏈.

4 相對相位在確定非線性波激發(fā)中的作用

為了尋找能夠區(qū)分反暗孤子和非有理W形孤子以及周期波和W形孤子鏈的物理參數(shù), 通過Darboux變換方法重新構(gòu)造了四階非線性薛定諤方程平面波背景上的解析解(見文獻(xiàn)[148]附錄).引入自由參數(shù)?后, 反暗孤子或非有理W形孤子解析表達(dá)式可以寫為

參數(shù)b為實常數(shù)并且滿足 |b|>a,εs為孤子擾動能量.這 里ψ+和ψ?以及φ+和φ?分別 對 應(yīng) 于b>0和b<0 兩種情形, 由于 |b|>0 , 這里ψp±是一個正的實函數(shù).因此參數(shù)φ±是一個相位因子, 它表示擾動部分和平面波背景之間的相對相位.顯然孤子解(11)式是平面波背景aeiθ和相對相位為φ±的擾動信號ψp±eiφ±eiθ的疊加.孤子解(11)式特征依賴于背景振幅a、背景頻率ω、擾動能量εs和相對相位φ±.因此為了分析不同相對相位值時孤子解(11)式所對應(yīng)的孤子類型, 只需分析孤子強(qiáng)度分布|ψs|2極值點個數(shù)即可.經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn), 當(dāng)相對相位時, 解(11)式為反暗孤子;當(dāng) 相 對 相 位時 , 解(11)式對應(yīng)于非有理W形孤子.

引入相對相位后, 非有理W形孤子和反暗孤子的激發(fā)可以被區(qū)分.接下來討論相對相位對周期波和W形孤子鏈激發(fā)條件的影響.周期波和W形孤子鏈表達(dá)式可以寫為

這里γ0=?(t?vwpz) , 擾動頻率∈ (?2a,0)∪(0,2a)(|b|

另 外 , 當(dāng) 擾 動 頻 率?趨 于 零 時 , 周 期 波 和W形孤子鏈周期趨于無窮大, 此時解(12)式轉(zhuǎn)化為有理W形孤子, 有理W形孤子峰值和谷值都依賴于相對相位.之前一些工作中得到的有理W形孤子峰值都是背景振幅的三倍, 而谷值恒等于零[71,72,73,125], 事實上這都是有理W形孤子相對相位為 π 時的特殊情形.此外, 有理W形孤子與相對相位的依賴關(guān)系與周期波和W形孤子鏈擾動頻率趨于零時的結(jié)果一致.顯然這三種激發(fā)在調(diào)制穩(wěn)定區(qū)的非線性波激發(fā)特征依賴于擾動頻率和相對相位.

這些結(jié)果顯示，除了背景頻率、擾動頻率和擾動能量外, 相對相位在非線性波激發(fā)中也起著至關(guān)重要的作用.而對于隨著演化振幅變化的幾種非線性波, 例如 Kuznetsov-Ma 呼吸子、Akhmediev 呼吸子和怪波, 由于其在演化過程中相對相位隨著演化距離在不斷變化, 因此初始相對相位值并不會影響它們的激發(fā)特征.而對于反暗孤子、非有理W形孤子、周期波、W形孤子鏈和有理W形孤子等幾種穩(wěn)定傳輸?shù)姆蔷€性波, 在演化過程中它們的相對相位不隨演化距離變化, 其在任意位置的相對相位都等于初始相對相位, 因此相對相位會改變它們的激發(fā)結(jié)構(gòu).

通過引入相對相位, 在四階非線性薛定諤系統(tǒng)背景頻率、擾動頻率和擾動能量三個參數(shù)空間中共存的反暗孤子和非有理W形孤子的激發(fā)條件可以被區(qū)分.此時在標(biāo)準(zhǔn)非線性薛定諤系統(tǒng)、Hirota系統(tǒng)、Sasa-Satsuma系統(tǒng)和四階非線性薛定諤系統(tǒng)中平面波背景上常見的非線性波(Kuznetsov-Ma呼吸子、Akhmediev呼吸子、怪波、反暗孤子、非有理W形孤子、有理W形孤子、周期波和W形孤子鏈)在背景頻率、擾動頻率、擾動能量和相對相位四個參數(shù)空間中可以被完全區(qū)分開, 不再有共存情況.也就是說背景頻率、擾動頻率、擾動能量和相對相位這四個參數(shù)是一組能夠確定平面波背景上基本非線性波激發(fā)類型的完備參數(shù).

5 基本非線性波的激發(fā)條件和相圖

從前兩節(jié)的討論可以看到, 背景頻率、擾動頻率、擾動能量和相對相位四個參數(shù)可以用來確定平面波背景上基本非線性波的激發(fā)條件.然而這四個參數(shù)對平面波背景上的Tajiri-Watanabe呼吸子和多峰孤子激發(fā)條件的影響仍未被討論.為了能夠完整地給出平面波背景上基本非線性波的激發(fā)條件, 需要分析這四個物理參數(shù)對Tajiri-Watanabe呼吸子和多峰孤子激發(fā)條件的影響.通過前幾節(jié)的分析方法可以很容易給出Tajiri-Watanabe呼吸子和多峰孤子與背景頻率、擾動頻率、擾動能量和相對相位這四個參數(shù)之間的依賴關(guān)系.通過分析我們發(fā)現(xiàn)在這四個參數(shù)空間Tajiri-Watanabe呼吸子和多峰孤子和平面波背景上其他所有非線性波都不存在共存情況.因此背景頻率、擾動頻率、擾動能量和相對相位是一組能夠決定平面波背景上基本非線性波激發(fā)的完備參數(shù), 基于這組參數(shù)我們給出平面波背景上基本非線性波(Tajiri-Watanabe呼吸子、多峰孤子、Kuznetsov-Ma呼吸子、反暗孤子、非有理W形孤子、怪波、有理W形孤子、Akhmediev呼吸子、周期波和W形孤子鏈)的激發(fā)條件，如表1所列.從表中可以看到, 一組確定的參數(shù)值可以完全決定一種非線性波激發(fā).因此,平面波背景加上滿足不同條件的初態(tài)就可以確定不同的非線性波激發(fā)結(jié)構(gòu).文獻(xiàn) 通過滿足不同條件的非理想初態(tài)的數(shù)值模擬已經(jīng)證實滿足不同激發(fā)條件的非理想初態(tài)可以演化出對應(yīng)的非線性波結(jié)構(gòu).這進(jìn)一步證實了背景頻率、擾動頻率、擾動能量和相對相位這組參數(shù)確實可以確定平面波背景上基本非線性波的激發(fā)特征.

表1 基本非線性波的激發(fā)條件Table 1.Excitation conditions of fundamental nonlinear waves.

為了清晰地看出這些基本非線性波與這四個物理參數(shù)之間的關(guān)系, 以及這些非線性波之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系, 我們進(jìn)一步給出基本非線性激發(fā)在這四個參數(shù)空間的相圖.決定非線性波激發(fā)條件的參數(shù)有四個, 但是四維參數(shù)空間的相圖并不能直接呈現(xiàn)出來, 而我們注意到相對相位只影響平面波背景上反暗孤子和非有理W形孤子以及周期波和W形孤子鏈的激發(fā)條件, 并且相對相位對這幾個非線性波激發(fā)條件的影響是由波包和平面波的疊加特征本身決定的, 不依賴于物理系統(tǒng).因此我們基于背景頻率、擾動頻率和擾動能量三個參數(shù)給出基本非線性波激發(fā)的相圖, 然后再單獨(dú)給出反暗孤子和非有理W形孤子以及周期波和W形孤子鏈在相對相位空間的相圖.這樣就可以給出平面波背景上基本非線性波激發(fā)的整體相圖.因為四階非線性薛定諤 系 統(tǒng) (6), 在γ=0 時 約 化 為 Hirota 系 統(tǒng), 在β=γ=0時約化為標(biāo)準(zhǔn)非線性薛定諤系統(tǒng).因此在圖6(a)—圖6(c)中分別給出四階非線性薛定諤系統(tǒng)、Hirota系統(tǒng)和非線性薛定諤系統(tǒng)中平面波背景上基本非線性波在背景頻率、擾動頻率和擾動能量空間的相圖.在圖6(d)和圖6(e)中分別給出了反暗孤子和非有理的W孤子以及周期波和W形孤子鏈在相對相位空間的相圖.

非線性波激發(fā)的相圖清晰反映了各個非線性波激發(fā)是所對應(yīng)的參數(shù)區(qū)域以及各個非線性波之間的關(guān)系.從相圖中可以看到孤子和周期波結(jié)構(gòu)是相應(yīng)呼吸子和怪波在特定條件的結(jié)果.隨著擾動能量和擾動頻率的變化, 不同的呼吸子和怪波之間可以相互轉(zhuǎn)換, 孤子和周期波結(jié)構(gòu)之間也可以相互轉(zhuǎn)換, 特別地, 這個轉(zhuǎn)換關(guān)系具有普適應(yīng).圖7(a)和圖7(b)中, 分別給出了呼吸子和怪波之間以及孤子和周期波結(jié)構(gòu)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系.這些轉(zhuǎn)換關(guān)系清晰地展示了不同基本非線性波之間的區(qū)別與聯(lián)系.

6 總結(jié)與討論

圖6 不同系統(tǒng)中平面波背景上基本非線性波在背景頻率 ω , 擾動頻率 ? , 擾動能量 ε 和相對相位 φ 空間的相圖 (a) 四階非線性薛定諤系統(tǒng), 參數(shù)取 β =1/12 , γ =?1/36 , a =1 ; (b) Hirota 系統(tǒng), 參數(shù)取 β =1/12 , γ =0 , a =1 ; (c) 非線性薛定諤系統(tǒng),參數(shù)取 β =1/12 , γ =0 , a =1 ; (d)反暗孤子和非有理W形孤子依賴于相對相位的相圖; (e)周期波, W形孤子鏈和有理W形孤子在 ( φ,?) 平面的相圖.圖中“TW”, “KM”, “AB”, “RW”, “MPS”, “AD”, “WSnr ”, “PW”, “WST”和“WS r ”分別表示 Tajiri-Watanabe呼吸子、Kuznetsov-Ma呼吸子、Akhmediev呼吸子、怪波、多峰孤子、反暗孤子、非有理W形孤子、周期波、W形孤子鏈和有理W形孤子Fig.6.Phase diagrams of nonlinear waves in the background frequency ω , perturbation frequency ? , perturbation energy ε and relative phase φ space for different systems: (a) Fourth-order nonlinear Schr?dinger system.Parameters are β =1/12 , γ =?1/36 ,a=1; (b) hirota system.Parameters are β =1/12 , γ =0 , a =1 ; (c) nonlinear Schr?dinger system.Parameters are β =γ=0 ,a=1; (d) phase diagram of anti-dark soliton and nonrational W-shaped soliton in relative phase space; (e) phase diagram of periodic wave, W-shaped soliton train and rational W-shaped soliton in the ( φ,?) plane.“TW”, “KM”, “AB”, “RW”, “MPS”, “AD”,“WSnr ”, “PW”, “WST” and “WS r ” denote Tajiri-Watanabe breather, Kuznetsov-Ma breather, Akhmediev breather, rogue wave,multi-peak soliton, anti-dark soliton, nonrational W-shaped soliton, periodic wave, W-shaped soliton train and rational W-shaped soliton.

圖7 不同非線性波的轉(zhuǎn)換關(guān)系 (a) 呼吸子和怪波之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系； (b) 孤子和周期波之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系.圖中“TW”, “KM”,“AB”, “RW”分別為 Tajiri-Watanabe 呼吸子、Kuznetsov-Ma 呼吸子、Akhmediev 呼吸子和怪波, “MPS”, “AD”, “WSnr ”, “PW”,“WST”和“WSr ” 分別表示多峰孤子、反暗孤子、非有理W形孤子、周期波、W形孤子鏈和有理W形孤子Fig.7.Conversion relationship of different nonlinear waves: (a) Conversion relationship between breathers and rogue wave; (b) conversion relationship between the solitons and periodic waves.“TW”, “KM”, “AB”, “RW”, “MPS”, “AD”, “WSnr ”, “PW”, “WST”and “WS r ” denote Tajiri-Watanabe breather, Kuznetsov-Ma breather, Akhmediev breather, rogue wave, multi-peak soliton, antidark soliton, nonrational W-shaped soliton, periodic wave, W-shaped soliton train and rational W-shaped soliton.

本文分析了平面波背景上基本非線性波的產(chǎn)生機(jī)制, 提議了一種建立基本非線性波與調(diào)制不穩(wěn)定性對應(yīng)關(guān)系的方法.基于簡單的對應(yīng)關(guān)系建立方法, 給出了常見的幾個系統(tǒng)中基本非線性波在背景頻率和擾動頻率空間的相圖.此外, 揭示了擾動能量和相對相位在確定非線性波激發(fā)中的重要作用.特別地, 我們發(fā)現(xiàn)平面波背景上基本非線性波的激發(fā)完全由背景頻率、擾動頻率、擾動能量和相對相位四個參數(shù)決定.根據(jù)非線性波的激發(fā)條件, 實驗上可以通過很簡單形式的初態(tài)得到對應(yīng)的非線性波結(jié)構(gòu).實驗上只要構(gòu)造出基本符合激發(fā)條件的初態(tài)(可以偏離嚴(yán)格解的初態(tài)), 就可以激發(fā)出相關(guān)的局域波動力學(xué).這些結(jié)果為非線性波的實驗實現(xiàn)、可控激發(fā)和應(yīng)用提供了堅實的理論基礎(chǔ).當(dāng)然, 這些結(jié)果在實際應(yīng)用中仍然面臨著一些問題.例如用簡單初態(tài)在演化時, 雖然基本的激發(fā)結(jié)構(gòu)還是可以被觀測到的.但是由于其與解析初態(tài)有一定偏差,在調(diào)制不穩(wěn)定區(qū)中這些偏差隨著演化會被放大, 從而形成一些非線性振蕩結(jié)構(gòu).這些結(jié)構(gòu)會影響非線性波本身形態(tài), 甚至形成更為復(fù)雜的動力學(xué)行為.目前系統(tǒng)討論了平面波背景上基本激發(fā)元的激發(fā)條件和機(jī)制, 而高階激發(fā)的機(jī)制還需要進(jìn)一步探究.這些結(jié)果還有望推廣到離散系統(tǒng)[149,150]、1+2 維流體系統(tǒng)[151]、Davey-Stewartson系統(tǒng)[152,153]、非局域光學(xué)系統(tǒng)[154,155]等.另外, 非線性波的激發(fā)條件都是在可積系統(tǒng)中給出的.對于不可積系統(tǒng),還需要進(jìn)行更深入的理論分析和實驗探索.高維情形下的激發(fā)動力學(xué)[156?166]最近成為學(xué)界的研究熱點之一.我們近期將努力探究高維情形下激發(fā)元的激發(fā)條件和激發(fā)機(jī)制.