樓森岳

(寧波大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院, 寧波 315211)

多孤子解是非線性數(shù)學(xué)物理系統(tǒng)的基本激發(fā)模式.文獻(xiàn)中存在各種類型的表達(dá)式, 如廣田(Hirota)形式,朗斯基(Wronskian)或雙朗斯基形式和法夫(Phaffian)形式.最近在多地系統(tǒng)的研究中, 我們發(fā)現(xiàn)使用一種全新但等價(jià)的形式具有極為簡(jiǎn)潔和方便的優(yōu)點(diǎn).本文主要綜述多種類型可積非線性系統(tǒng)的多孤子解的新型表達(dá)式, 同時(shí)對(duì)SK方程、非對(duì)稱NNV系統(tǒng)、修正KdV型、sG型、AKNS模型和全離散H1系統(tǒng)也給出一些文獻(xiàn)中還沒(méi)出現(xiàn)過(guò)的新的更為簡(jiǎn)便的表達(dá)式.新的孤子表達(dá)式通常具有顯然的時(shí)空全反演(包括時(shí)間反演、空間反演、孤子初始位置反演及電荷共軛反演(正反粒子反演))對(duì)稱性.這種具有顯式全反演對(duì)稱性的表達(dá)式在研究多地非局域系統(tǒng)和局域和非局域可積系統(tǒng)的各種共振結(jié)構(gòu)時(shí)具有很大的優(yōu)越性.

專題：非線性物理

1 引 言

自從孤立波的發(fā)現(xiàn)[1]、孤立子(孤子)概念的提出[2]和反散射方法的建立[3]以來(lái), 孤子在物理學(xué)的各個(gè)分支如流體物理[4]、等離子體物理[5]、光纖物理[6]、光學(xué)[7?10]、復(fù)雜系統(tǒng)和復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)[11]、量子場(chǎng)論和粒子物理[12]、引力理論[13]、玻色愛(ài)恩斯坦凝聚[14]、大氣和海洋物理[15]等等起著非常重要的作用.

求解可積系統(tǒng)的多孤子解有很多方法, 如廣田 (Hirota)法[16]、達(dá)布 (Darboux)變換法[17]、反散射方法[3]、對(duì)稱性方法[18]等等.通常使用不同的方法得到的多孤子解表面上可以是很不一樣的.如Hirota方法得到的指數(shù)函數(shù)形式的組合求和解和Phaffian解及達(dá)布變換方法得到的朗斯基或雙朗斯基解等等.而要證明這些看起來(lái)不同的表達(dá)式的等價(jià)性也往往不是顯然的, 也因此經(jīng)常誤導(dǎo)一些作者聲稱得到了“新”的孤子解.對(duì)于眾所周知的可積系統(tǒng), 要聲稱得到新解必須非常慎重.對(duì)于單孤子解, 各種非線性模型的單孤子解絕大多數(shù)的文獻(xiàn)都采用緊致簡(jiǎn)潔的雙曲函數(shù)形式, 因此很多著名專家如Hirota和Toda及我國(guó)的陳登遠(yuǎn)[19]等都期望能用雙曲函數(shù)來(lái)簡(jiǎn)潔地表達(dá)多孤子解, 但是這一期望直到我們的工作[15,20]發(fā)表前一直沒(méi)有被實(shí)現(xiàn).

自然界隱含著各種各樣的對(duì)稱性, 如時(shí)空平移不變性、標(biāo)度不變性、空間轉(zhuǎn)動(dòng)不變性、宇稱反演(空間反演)不變性等等.因此, 描述物理基本規(guī)律的方程都自然地包含了這些反映自然規(guī)律的不變性質(zhì).然而, 作為非線性可積系統(tǒng)的最基本的非線性激發(fā), 現(xiàn)有的多孤子解卻往往沒(méi)有把它們具有的對(duì)稱性反映出來(lái).最近, 在文獻(xiàn)[20]中我們把多孤子解的全反演(包括時(shí)空反演、所有孤子的初始位置反演、電荷共軛反演、位相反演和場(chǎng)反演等)對(duì)稱性明顯地體現(xiàn)在了新的表達(dá)式中.

本文第2節(jié)我們首先綜述給出Korteweg de-Vries(KdV)型方程的多孤子解的Hirota形式并將它改寫(xiě)成具有明顯的全反演對(duì)稱表達(dá)式.在相應(yīng)的子節(jié)中我們給出KdV方程、Toda方程、Kadomtsev-Petviashvilli (KP)方 程 (包 括 KdV 方 程 和Boussinesq 方程)、(1 + 1 維和 2 + 1 維) Sawada-Kotera (SK)方 程 、非 對(duì) 稱 Nizhnik-Novikov-Veselov (NNV)等對(duì)應(yīng)方程的具有明顯的全反演對(duì)稱性的多孤子解.在第3節(jié)我們綜述給出修正KdV (MKdV)和 sine-Gordon (sG)型方程的多孤子解的Hirota形式以及具有明顯的全反演對(duì)稱表達(dá)式.特別給出MKdV方程和sG方程的一個(gè)新的具有明顯全反演對(duì)稱性的多孤子解.第4節(jié)中,我們給出散焦型非線性薛定諤(NLS)方程多孤子解的具有明顯全反演對(duì)稱(包括電荷共軛對(duì)稱)的表達(dá)式.對(duì)于聚焦型NLS方程, 具有顯式的時(shí)空反演對(duì)稱性和電荷共軛對(duì)稱性的表達(dá)式比Hirota形式更為復(fù)雜.因此, 本文不作直接討論.在第 5節(jié)中, 我們直接給出 Ablowitz-Kaup-Newell-Segur(AKNS)系統(tǒng)多孤子解的一種新表達(dá)式: 范德蒙-朗斯基行列式形式.同時(shí)指出該新形式包含的全反演對(duì)稱性.本文第6節(jié), 我們?cè)谥匦露x全離散的雙曲函數(shù)后, 寫(xiě)下全離散勢(shì)KdV系統(tǒng)(H1)的具有明顯的全反演對(duì)稱多孤子解.最后一節(jié)是總結(jié)和討論.

2 KdV-KP-Toda型多孤子解的新型表達(dá)式

KdV-KP-Toda型方程文獻(xiàn)中簡(jiǎn)單地稱之為KdV型方程[21].其一般的多孤子解(N-孤子解)的Hirota形式可以統(tǒng)一地寫(xiě)為

其中關(guān)于μ的求和是關(guān)于μi=0,1,i=1,2,...,N的各種可能組合的求和,ξj為

xi,i=1,2,···,d,可以是連續(xù)的或離散的空間和時(shí)間變量.x0j代表第j個(gè)孤子的任意初始位置向量.對(duì)于給定的模型kji要滿足相應(yīng)的色散關(guān)系,exp(θjl)要滿足三孤子存在條件.(1)中的F滿足所謂的Hirota雙線性方程

文獻(xiàn)[21]對(duì)各種可能存在三孤子的P(Dx) 作了完整的分類.

從(1)和(2), 我們可以看到時(shí)空平移不變性(任意初始位置向量)外, 我們并不能看到其它對(duì)稱性.為了找到明顯的全反演不變的多孤子解表達(dá)式,我們可以利用(1)和(2)的下述的顯然的對(duì)稱性,

其中β,K,?和X0為任意常數(shù).利用對(duì)稱性 (6),重新定義任意的孤子初始位置向量, 將ξj重寫(xiě)為

則(1)和(2)可以重新改寫(xiě)為

其中關(guān)于ν={ν1,ν2,···,νN}的求和必須對(duì)所有νi=1,?1,i=1,2···,N的非對(duì)偶組合求和.由于(9)中的雙曲函數(shù)是偶函數(shù), 所以n和 ?ν產(chǎn)生的是一樣的貢獻(xiàn), 所以我們稱n和 ?ν是互為對(duì)偶的.在(9)中的與組合n相關(guān)的常數(shù)Kν與模型的多孤子存在條件相關(guān).下面各子節(jié)我們列出具體的KdV-KP-Toda型多孤子解的具有全反演對(duì)稱性的具體表達(dá)式.

2.1 KdV方程的多孤子解

對(duì)于KdV方程

多孤子解為

其中

從(11)可以看出, KdV方程的多孤子解(11)具有顯然的全反演(時(shí)空反演 {x,t}→ {?x,?t} 和孤子初始位置反演 {x0j,t0j}→ {?x0j,?t0j} )變換下的不變性.換句話說(shuō)KdV方程的多孤子解(11)是在全反演變換

下不變的.

兩地非局域KdV系統(tǒng)(也稱作是Alice-Bob KdV(ABKdV)系統(tǒng))

具有如下性質(zhì)

其中KdV由 (10) 定義.許多具體的 ? (A,B) 可在文獻(xiàn)(如[20])中找到.由于(11)的全反演變換不變性, 因此

是任意ABKdV系統(tǒng)(14)的PT(P宇稱, T時(shí)間反演)不變解.

2.2 KP方程的多孤子解

對(duì) 于 KP方 程 (包 括 KdV方 程uy=0 和Boussinesq方程ut=0 )

多孤子解為

從(18)可知, KP方程的多孤子解(18)是在全反演變換(13)下不變的.

兩地非局域KP系統(tǒng)(Alice-Bob KP(ABKP)系統(tǒng))

是具有如下性質(zhì)

的非局域系統(tǒng), 其中KP由(17)定義.一些具體的?(A,B)可在文獻(xiàn)(如[20])中找到.由于(18)的全反演變換不變性, 因此

是任意ABKP系統(tǒng)(20)的PT (P宇稱, T時(shí)間反演)不變解.

2.3 Toda方程的多孤子解

為了將多孤子解寫(xiě)成統(tǒng)一的形式, 對(duì)于Toda系統(tǒng)我們采用下述等價(jià)形式

其中差分算子E定義為

Toda方程(23)的全反演對(duì)稱多孤子解為

從(25)可知, Toda方程的多孤子解(25)是在全反演變換(13)下不變的.

兩地非局域Toda系統(tǒng)(Alice-Bob Toda(ABT)系統(tǒng))

是具有如下性質(zhì)

的非局域系統(tǒng), 其中Toda由(23)定義.具體的?(A,B)的例子可在文獻(xiàn)(如文獻(xiàn)[20])中找到.由于(25)的全反演變換不變性, 因此

是任意 ABToda 系統(tǒng) (27)的 PPn(P 宇稱, Pn離散變量n的反演)不變解.

2.4 SK方程的多孤子解

關(guān)于 (2 + 1)-維的 SK 方程

的全反演對(duì)稱多孤子解為

從(31)可知, SK方程的多孤子解(31)是在全反演變換(13)下不變的.

(1 + 1)-維的SK系統(tǒng)的多孤子解可以簡(jiǎn)單地在 (2 + 1)-維的結(jié)果中取lj=0 使得uy=0,v=0即可.

兩地非局域SK系統(tǒng)(Alice-Bob SK(ABSK)系統(tǒng))

是具有如下性質(zhì)

的非局域系統(tǒng), 其中SK由(30)定義.由于(31)的全反演變換不變性, 因此

是任意ABSK系統(tǒng)(33)的PT不變解.

2.5 非對(duì)稱NNV方程的多孤子解

非對(duì)稱的NNV方程

的全反演對(duì)稱多孤子解為

從 (37)可知, 非對(duì)稱 NNV方程的多孤子解(37)是在全反演變換(13)下不變的.

兩地非局域非對(duì)稱NNV系統(tǒng)(Alice-Bob ANNV(ABANNV)系統(tǒng))

是具有如下性質(zhì)

的非局域系統(tǒng), 其中ANNV由 (36)定義.由于(37)的全反演變換不變性, 因此

是任意ABANNV系統(tǒng)(39)的PT不變解.

3 MKdV-sG型多孤子解的新型表達(dá)式

MKdV-sG型方程在傳統(tǒng)文獻(xiàn)中通常分為MKdV型和sG型兩種類型的方程[21].其實(shí)從多孤子解的表達(dá)式可知, 這兩種類型可以歸結(jié)為同一種類型.實(shí)際上人們都知道, MKdV方程的勢(shì)形式和sG方程是屬于同一個(gè)可積梯隊(duì)的.MKdV-sG型方程的多孤子解的Hirota形式可以統(tǒng)一地寫(xiě)為[19]

其中關(guān)于μ的求和是關(guān)于μi=0,1,i=1,2···,N的各種可能組合的求和,ξj為

xi,i=1,2,···,d,可以是連續(xù)的或離散的空間和時(shí)間變量.x0j代表第j個(gè)孤子的任意初始位置向量.對(duì)于給定的模型kji要滿足相應(yīng)的色散關(guān)系,exp(θjl)要滿足三孤子存在條件.(42)式中的F±滿足所謂的Hirota雙線性方程[21]

其中Q是偶函數(shù),P可以是偶函數(shù)(sG)也可以是奇 函 數(shù) (MKdV).如 果P是 奇 函 數(shù) , (45)和(46)式通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)變換可以等價(jià)地寫(xiě)為

在文獻(xiàn)[21]中, Hietarinta對(duì)各種可能的三孤子存在條件對(duì)P和Q作了完整的分類.

為了找到MKdV-sG系統(tǒng)的明顯的全反演不變的多孤子解表達(dá)式, 可以利用(42)和(43)式的下述顯然的對(duì)稱性,

其中β,K,?和X0為任意常數(shù),M為任意整數(shù).利用對(duì)稱性(49), 類似于KdV型的情況, 重新定義任意的孤子初始位置向量, 解(42)和(43)可以等階地改寫(xiě)為

其中關(guān)于ν={ν1,ν2,...,νN} 的求和必須對(duì)所有νi=1,?1,i=1,2...,N的非對(duì)偶組合求和.在(50)中的與組合n相關(guān)的常數(shù)Kν與模型的多孤子存在條件相關(guān).在表達(dá)式(50)中顯然的全反演對(duì)稱變換包含了時(shí)空反演x→?x, 孤子初始位置反演x0j→ ?x0j, 電荷共軛反演i→ ?i以及場(chǎng)反演u→ ?u.實(shí)際上, 波向量kj為實(shí)的話, 解 (50) 也是實(shí)的.所以對(duì)于實(shí)的kj, 解(50)可以進(jìn)一步改寫(xiě)成實(shí)形式,

其中關(guān)于νo和νe的求和分別是關(guān)于n的非對(duì)偶的奇排列和偶排列求和.奇(偶)排列定義為排列νi=1,?1,i=1,2...,N中具有奇 (偶)數(shù)個(gè)νi=1.

下面各子節(jié)我們列出一些具體的MKdV-sG型多孤子解的具有全反演對(duì)稱性的具體表達(dá)式.

3.1 MKdV方程多孤子解

對(duì)于修正KdV方程

的多孤子解由(50)或(51)給出, 其中第j個(gè)孤子的行波變量ηj和分布系數(shù)(相互作用常數(shù))Kν為

任意的具有性質(zhì) ? (A,A)=MKdV的兩地MKdV系統(tǒng)

的PT群不變多孤子解具有與(50)或(51)相同的形式, 但 (53) 中的x0j和t0j都必須為零.

3.2 sG方程的多孤子解

對(duì)于sG方程

的多孤子解由(50)或(51)給出, 其中第j個(gè)孤子的行波變量ηj和分布系數(shù)(相互作用常數(shù))Kν為

任意的具有性質(zhì) ? (A,A)=sG的兩地sG系統(tǒng)

的PT群不變多孤子解具有與(50)或(51)相同的形式, 但 (56) 中的x0j和t0j都應(yīng)取為零.

4 NLS方程多孤子解的新型表達(dá)式

對(duì)應(yīng)于非線性薛定諤(NLS)方程

存在散焦(σ=?1 )和聚焦(σ=1 )兩種完全不同的情況, 需要區(qū)別對(duì)待.由于聚焦NLS方程的雙曲函數(shù)表達(dá)式過(guò)于復(fù)雜, 我們不在本文討論這種形式, 而僅僅處理散焦NLS方程的新型孤子解.

散焦(σ=?1 ) NLS系統(tǒng)(58)的多孤子解的Hirota形式為[19]

其中孤子行波變量為

相互作用常數(shù)為

而α,ξ0j,θj,j=1,2,...,N和?0為 任 意 常 數(shù).(59)中的關(guān)于μ的求和是對(duì)所有可能組合μj=0,1,j=1,2,...,N的求和.

類似于KdV-KP-Toda型方程的情況, 多孤子解(59)可以重新改寫(xiě)成全反演對(duì)稱形式,

其中關(guān)于n的求和是對(duì)所有可能的非對(duì)偶組合νj=1,?1,j=1,2,···,N求和.表達(dá)式 (62)中的孤子行波變量ηj及相互作用常數(shù)Kν為

θj,x0j,t0j,αand為任意實(shí)常數(shù).

由于解(62)的全反演(時(shí)空反演, 孤子初始位置和初始位相反演, 電荷共軛反演)不變性, 任意的具有性質(zhì) ? (A,A)=NLS(σ= ?1) 的兩地NLS系統(tǒng)

的PTC (C為電荷共軛, 即復(fù)共軛)群不變多孤子解具有與 (62)相同的形式, 但 (63)中的x0j、t0j和初始位相都應(yīng)取為零.

聚焦NLS系統(tǒng)多孤子解的Hirota形式雖然沒(méi)有顯式的簡(jiǎn)單的全反演對(duì)稱形式, 但是這一對(duì)稱性還是隱含著的[15].

5 AKNS系統(tǒng)多孤子解的新型表達(dá)式

AKNS系統(tǒng)

是最重要的數(shù)學(xué)物理模型之一, 除了著名的局域的NLS方程是其最基本的約化(v=u?)外, 很多非局域NLS方程也是其對(duì)稱性約化[15,22,23].AKNS的嚴(yán)格解已經(jīng)為很多研究者用很多方法研究過(guò)[24,22].其多孤子解可以用雙朗斯基行列式表示[22].為了較為明顯地顯示多孤子解的全反演對(duì)稱性, 我們可以將AKNS系統(tǒng)(65)的雙朗斯基行列式解等價(jià)地改寫(xiě)成下述范德蒙-朗斯基行列式形式({u,v}→{uM,N,vM,N}):

矩陣(67)的前n行是范德蒙矩陣形式, 后m行是朗斯基矩陣形式, 因此我們稱解為范德蒙-朗斯基行列式解.

可以證明AKNS的范德蒙-朗斯基行列式解(66)具有下述全反演變換下的不變性:

為了明顯看出不變性(68), 這里我們列出一些小的M,N解的具體形式

解(69)—(74)在全反演變換(68)下的不變性是顯然的.

6 全離散系統(tǒng)多孤子解的新型表達(dá)式

前面幾節(jié)討論的全反演對(duì)稱形式的結(jié)果也可以在全離散形式下實(shí)現(xiàn).本文我們僅僅討論全離散勢(shì)KdV系統(tǒng)(H1)的

全反演對(duì)稱形式.H1方程 (75)中,

p,q為任意常數(shù).

H1方程的多孤子解可以用Phaffian來(lái)表示[25]

為了看出明顯的全反演變換不變性, 我們引入全離散雙曲函數(shù),

這樣定義的雙曲函數(shù)滿足連續(xù)雙曲函數(shù)的加法公式:

可以證明在上述雙曲函數(shù)定義下,H1方程(75)的多孤子解可以重寫(xiě)為

顯然(81)是全反演變換

下不變的.這一不變性很容易用來(lái)求解非局域H1系統(tǒng)的多孤子解.

7 結(jié)論和討論

本文既綜述了最近我們?cè)谘芯糠蔷钟蛳到y(tǒng)的P-T-C群不變的多孤子解時(shí)新發(fā)現(xiàn)的很多局域可積系統(tǒng) (KdV、KP、Toda、MKdV、sG、Boussinesq和NLS系統(tǒng)等等)的具有全反演對(duì)稱性的多孤子表達(dá)式, 也給出了一些公開(kāi)發(fā)表的文獻(xiàn)中尚未出現(xiàn)過(guò)的局域可積系統(tǒng)新的全反演對(duì)稱性的表達(dá)式.如, (2 + 1)維和 (1 + 1)維 SK 方程的解 (31), 非對(duì)稱NNV方程的解(37), 修正KdV和sG方程多孤子解 (50), AKNS 的范德蒙-朗斯基解 (66), 全離散勢(shì)KdV系統(tǒng)(H1系統(tǒng))的多孤子解(81)都是文獻(xiàn)中尚未出現(xiàn)過(guò)的新結(jié)果.

當(dāng)前在非線性系統(tǒng)求解方向有一些重要的熱門(mén)課題, 如各種共振解(呼吸子、怪波(瞬子)、團(tuán)塊解(lump)、帳篷解(Dromion)、網(wǎng)格解和孤子分子等等)的尋求和分類及多地非局域系統(tǒng)的求解等等.多孤子解的不同形式在尋求各種共振孤子時(shí)可以體現(xiàn)出不同的優(yōu)點(diǎn)[28], 初步的研究表明本文提出的新的形式會(huì)提供極大的方便甚至給出新的共振激發(fā)模式.在多地非局域系統(tǒng)的求解研究中, 對(duì)很多非局域系統(tǒng), 全反演對(duì)稱形式的多孤子解會(huì)自然地得到這些系統(tǒng)群不變多孤子解, 對(duì)于對(duì)稱性破缺解的求解也非常有用并可揭示非局域系統(tǒng)的很多新的物理, 如經(jīng)典禁戒、非線性激發(fā)結(jié)構(gòu)改變和相變等等[26,27].與本文相關(guān)的還有很多沒(méi)有得到解決的問(wèn)題, 有的僅僅只是一個(gè)開(kāi)始, 值得在以后的研究中進(jìn)一步深入和擴(kuò)展.

感謝李玉奇老師的各種有益討論, 特別是在AKNS系統(tǒng)的范德蒙-朗斯基解表達(dá)式中的建設(shè)性意見(jiàn).