(浙江省金華第一中學(xué)，浙江 金華 321015)

近年來(lái)以霍爾效應(yīng)為背景的物理試題深受命題者青睞，筆者從霍爾效應(yīng)原理出發(fā)，分類剖析高中物理試題中與霍爾效應(yīng)相關(guān)的試題。

1 霍爾效應(yīng)簡(jiǎn)述

圖1

如圖2所示，處在勻強(qiáng)磁場(chǎng)內(nèi)導(dǎo)體中的載流子(正電荷、負(fù)電荷)在導(dǎo)體內(nèi)部運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)受到洛倫茲力的作用而發(fā)生偏轉(zhuǎn)。由于載流子的偏轉(zhuǎn)而在導(dǎo)體上下表面堆積，形成一個(gè)新的靜電場(chǎng)，同時(shí)載流子會(huì)受到新形成電場(chǎng)的靜電力作用。隨著上、下表面電荷逐漸增加，靜電場(chǎng)不斷增強(qiáng)，當(dāng)載流子受到的靜電力與洛倫茲力相等時(shí)，載流子不再發(fā)生偏轉(zhuǎn)，于是在導(dǎo)體的上、下表面就形成了一個(gè)穩(wěn)定的電勢(shì)差，即霍爾電壓。

圖2

2 以霍爾效應(yīng)為背景試題的常見模型

分析以霍爾效應(yīng)為背景的高中物理試題，按載流子導(dǎo)電類型不同，可分為兩種常見模型：?jiǎn)畏N載流子導(dǎo)電模型和正、負(fù)載流子同向運(yùn)動(dòng)導(dǎo)電模型。

2．1 單種載流子導(dǎo)電

有一段長(zhǎng)方體導(dǎo)電材料，左右兩端面的邊長(zhǎng)為a和b，內(nèi)有帶電荷量為q的某種自由運(yùn)動(dòng)電荷。如圖3所示，導(dǎo)電材料置于方向垂直于其前表面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，當(dāng)通以從左向右的穩(wěn)恒電流I時(shí)，測(cè)得導(dǎo)電材料上、下表面之間的電壓為U。

圖3

分析：當(dāng)載流子帶正電(q>0)時(shí)，載流子往上極板偏轉(zhuǎn)，上極板帶正電，下極板帶負(fù)電；當(dāng)載流子帶負(fù)電(q<0)時(shí)，載流子往上極板偏轉(zhuǎn)，上極板帶負(fù)電，下極板帶正電。經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)：上、下極板所帶電荷電性與載流子正負(fù)有關(guān)。

2．2 正、負(fù)載流子同向運(yùn)動(dòng)導(dǎo)電

在上、下間距為d的金屬極板間加上垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B。如圖4所示，讓等離子體(含等量的正、負(fù)電荷)以某一速度v垂直進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。

圖4

分析：等離子體向右運(yùn)動(dòng)進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，正、負(fù)離子分別受到相反的洛倫茲力作用而向相反方向偏轉(zhuǎn)。正離子受到洛倫茲力向上偏轉(zhuǎn)，上極板帶正電；負(fù)離子受到洛倫茲力向下偏轉(zhuǎn)，下極板帶負(fù)電。

變式：正、負(fù)載流子反向運(yùn)動(dòng)導(dǎo)電

如圖5所示，長(zhǎng)方體金屬槽中盛有NaCl的水溶液，在溶液中通入沿x軸正向的電流I，沿y軸正方向加恒定的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B。

圖5

分析：溶液中有Na+和Cl-兩種離子，Na+向右運(yùn)動(dòng)，受到洛倫茲力作用垂直紙面向a(外側(cè))極板偏轉(zhuǎn)；Cl-向左運(yùn)動(dòng)，受到洛倫茲力垂直紙面向a(外側(cè))極板偏轉(zhuǎn)。靠近a極板一側(cè)Na+和Cl-離子濃度增加，但極板所帶凈電荷量為零，a、b極板間無(wú)電勢(shì)差。

通過(guò)對(duì)以上模型和變式的分析發(fā)現(xiàn)：正、負(fù)離子導(dǎo)電要能產(chǎn)生霍爾電壓，一定是正、負(fù)離子同向運(yùn)動(dòng)。如果正、負(fù)離子反向運(yùn)動(dòng)，正、負(fù)離子在洛倫茲力的作用下向同一側(cè)運(yùn)動(dòng)，極板所帶凈電荷量仍為零，無(wú)霍爾電壓，但靠近極板側(cè)離子濃度將發(fā)生變化。

3 以霍爾效應(yīng)為背景的試題分類剖析

3.1 計(jì)算霍爾電壓

圖6

對(duì)霍爾效應(yīng)解釋如下：外部磁場(chǎng)的洛倫茲力使運(yùn)動(dòng)的電子聚集在導(dǎo)體板的一側(cè)，在導(dǎo)體板的另一側(cè)出現(xiàn)多余的正電荷，從而形成橫向電場(chǎng)，橫向電場(chǎng)對(duì)電子施加與洛倫茲力方向相反的靜電力，當(dāng)靜電力與洛倫茲力達(dá)到平衡時(shí)，導(dǎo)體板上下兩側(cè)之間就會(huì)形成穩(wěn)定的電勢(shì)差。

設(shè)電流I由電子定向流動(dòng)形成，電子平均定向速度為v，電荷量為e，回答下列問(wèn)題：

(1) 達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，導(dǎo)體板上側(cè)面A的電勢(shì)下側(cè)面A的電勢(shì)(填高于、低于或等于)。

(2) 電子所受的洛倫茲力的大小為。

(3) 當(dāng)導(dǎo)體板上、下兩側(cè)之間的電勢(shì)差為U時(shí)，電子所受的靜電力的大小為。

解析：(1) 由于載流子為電子(負(fù)電荷)，受洛倫茲力作用向A板聚集，故A板電勢(shì)低于A＇板電勢(shì)。

(2) 洛倫茲力f=evB。

3.2 計(jì)算載流子濃度

例2：如圖7所示，一塊半導(dǎo)體樣品的體積為a×b×c，電流為I，勻強(qiáng)磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。經(jīng)實(shí)驗(yàn)測(cè)量已知a=0.10cm，b=0.35cm，c=1.00cm，q=1.6×10-9C，I=1.0mA，B=0.3T，A和A′兩側(cè)的電勢(shì)差U=6.25mV。問(wèn)：(1) 這個(gè)半導(dǎo)體是正電荷導(dǎo)電(P型)還是負(fù)電荷導(dǎo)電(N型)？(2) 載流子濃度是多少？

圖7

解析：(1) 由于A側(cè)的電勢(shì)比A′側(cè)的電勢(shì)高，所以A′側(cè)帶負(fù)電，而電流方向水平向右，磁場(chǎng)方向豎直向上，利用左手定則易得載流子為負(fù)電荷，即為負(fù)電荷導(dǎo)電(N型)。

3.3 計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度

例3：將導(dǎo)體放在沿x方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，并通有沿y方向的電流時(shí)，在導(dǎo)體的上下兩側(cè)面間會(huì)出現(xiàn)電勢(shì)差，此現(xiàn)象稱為霍爾效應(yīng)。利用霍爾效應(yīng)的原理可以制造磁強(qiáng)計(jì)，測(cè)量磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。磁強(qiáng)計(jì)的原理如圖8所示，電路中有一段金屬導(dǎo)體，它的橫截面為邊長(zhǎng)等于a的正方形，放在沿x正方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，導(dǎo)體中通有沿y方向、電流強(qiáng)度為I的電流。已知金屬導(dǎo)體單位體積中的自由電子數(shù)為n，電子電荷量為e，金屬導(dǎo)體導(dǎo)電過(guò)程中，自由電子所做的定向移動(dòng)可認(rèn)為是勻速運(yùn)動(dòng)，測(cè)出導(dǎo)體上、下兩側(cè)面間的電勢(shì)差為U。求：(1) 導(dǎo)體上、下側(cè)面那個(gè)面電勢(shì)較高？(2) 磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度是多少？

圖8

解析：(1) 應(yīng)用左手定則知電子所受洛倫茲力沿Z軸負(fù)方向，電子向?qū)w下表面偏轉(zhuǎn)，導(dǎo)體下側(cè)面電勢(shì)低，上側(cè)面電勢(shì)高。

3.4 計(jì)算載流子速度

例4：一種半導(dǎo)體材料稱為“霍爾材料”，用它制成的元件稱為“霍爾元件”。這種材料有可定向移動(dòng)的電荷，稱為“載流子”，每個(gè)載流子的電荷量大小為元電荷電荷量，即q=1.6×10-19C。霍爾元件在自動(dòng)檢測(cè)、控制領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，如錄像機(jī)中用來(lái)測(cè)量磁鼓的轉(zhuǎn)速、電梯中用來(lái)檢測(cè)電梯門是否關(guān)閉以控制升降電動(dòng)機(jī)的電源通斷等。如圖9所示，在一次實(shí)驗(yàn)中，一塊霍爾材料制成的薄片寬ab=1.0×10-2m、長(zhǎng)bc=4.0×10-2m、厚h=1.0×10-3m，水平放置在豎直向上的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1.5T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，bc方向通有I=3.0A的電流，沿寬度產(chǎn)生U=1.0×10-5V的橫向電壓。(1) 假定載流子是電子，a、b兩端中哪端電勢(shì)較高？(2) 薄板中形成電流I的載流子定向運(yùn)動(dòng)的速率多大？

圖9

解析：(1) 由于載流子為電子，電子受洛倫茲力作用而向b端偏轉(zhuǎn)，所以b端電勢(shì)較低，a端電勢(shì)較高。

霍爾效應(yīng)原理應(yīng)用廣泛，高中物理中的磁流體發(fā)電機(jī)、電磁流量計(jì)、磁強(qiáng)計(jì)及霍爾元件等的工作原理都是基于霍爾效應(yīng)中洛倫茲力和電場(chǎng)力相平衡。