郭永峰，婁曉娟，董 強，王琳杰

(天津工業(yè)大學 數(shù)學科學學院，天津 300387)

近些年，對噪聲激勵的線性或非線性系統(tǒng)動力學行為的研究得到了學者們的廣泛關(guān)注[1-8]，其中研究噪聲誘導產(chǎn)生相變及其相關(guān)問題已拓展到多個學科領(lǐng)域[9-16].人們通常采用穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)來表征系統(tǒng)中噪聲誘導產(chǎn)生的相變現(xiàn)象.文獻[9]用穩(wěn)態(tài)概率密度分布圖像分析雙穩(wěn)態(tài)動力學模型的穩(wěn)態(tài)特性；文獻[10]分析噪聲誘導產(chǎn)生相變現(xiàn)象的相關(guān)理論及其在物理、化學和生物學中的應用；文獻[11-14]研究乘性噪聲對非平衡相變過程的影響；文獻[15]對二維空間模型進行了模擬，并給出有限尺寸標度分析，表明相變的臨界性質(zhì)與動態(tài)Landau-Ginzburg模型或Ising模型的臨界性質(zhì)是一致的；文獻[16]通過運用統(tǒng)一色噪聲近似，研究一維FitzHugh-Nagumo神經(jīng)網(wǎng)絡系統(tǒng)在兩種不同色噪聲激勵下的穩(wěn)態(tài)特性.這些研究大多集中在經(jīng)典的雙穩(wěn)系統(tǒng)，而雙穩(wěn)系統(tǒng)中的穩(wěn)態(tài)分析已經(jīng)相當成熟.因此，眾多研究者開始把研究對象擴展到多穩(wěn)系統(tǒng)，其中周期勢系統(tǒng)就是一類典型的多穩(wěn)系統(tǒng)，在很多研究領(lǐng)域都有著重要的應用，如生物馬達中的棘齒模型、物理領(lǐng)域的約瑟夫森結(jié)、工程力學中的阻尼擺模型等[17-25].文獻[17]研究不關(guān)聯(lián)的乘性二值噪聲和加性白噪聲激勵下周期勢系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性質(zhì)和隨機共振；文獻[18]利用隨機能量法分析了二值噪聲激勵下欠阻尼周期勢系統(tǒng)的隨機共振；文獻[19]研究非高斯噪聲激勵下分段非線性系統(tǒng)的平均首次穿越時間相關(guān)問題；文獻[20-21]采用一種新的方法對欠阻尼情況下周期勢場中粒子的擴散運動進行了數(shù)值模擬；文獻[22]研究非均勻介質(zhì)中質(zhì)點在過阻尼周期勢系統(tǒng)中的運動及噪聲強度的變化引起的隨機共振現(xiàn)象等；文獻[23]運用線形響應理論發(fā)現(xiàn)了周期勢系統(tǒng)中頻率相關(guān)遷移率存在共振行為；文獻[24-25]研究附加一個傾斜的周期勢場中的隨機共振現(xiàn)象及噪聲驅(qū)動下的粒子傳輸情況.

實際問題中，大多情況下乘性噪聲和加性噪聲是具有關(guān)聯(lián)性的.關(guān)聯(lián)噪聲的引入拓廣了非線性系統(tǒng)動力學行為的研究范圍，在眾多領(lǐng)域如生物系統(tǒng)、激光系統(tǒng)、雙穩(wěn)系統(tǒng)等均考慮了噪聲及其關(guān)聯(lián)性的影響，并得出了一些重要的研究結(jié)論[26-31].近年來，關(guān)聯(lián)噪聲驅(qū)動的非線性系統(tǒng)引起了人們的廣泛關(guān)注.文獻[26]運用統(tǒng)一色噪聲近似分析噪聲的關(guān)聯(lián)性對雙穩(wěn)系統(tǒng)的影響；文獻[27]研究發(fā)現(xiàn)關(guān)聯(lián)噪聲能夠誘導空間擴展模型出現(xiàn)非平衡相變現(xiàn)象，并分析加性噪聲的影響；文獻[28]研究色關(guān)聯(lián)的乘性色噪聲和加性噪聲激勵的單模激光系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性質(zhì)；文獻[29]研究關(guān)聯(lián)非高斯噪聲和高斯噪聲作用下雙穩(wěn)系統(tǒng)的統(tǒng)計性質(zhì)；文獻[30]研究在乘性噪聲和加性噪聲驅(qū)動的非對稱雙穩(wěn)系統(tǒng)中，勢阱的不對稱性對相反方向的平均首穿時間的影響；文獻[31-32]研究單模激光系統(tǒng)在具有色關(guān)聯(lián)的乘性色噪聲和加性色噪聲驅(qū)動下的穩(wěn)態(tài)強度分布，并討論不同參數(shù)對激光穩(wěn)態(tài)強度分布的影響.

以上研究大多集中于雙穩(wěn)系統(tǒng)或單模激光系統(tǒng)，但對具有關(guān)聯(lián)噪聲和周期信號共同激勵的周期勢系統(tǒng)的動力學特性的研究尚未見到.論文將進一步對帶有外加周期信號的周期勢系統(tǒng)在相互關(guān)聯(lián)的色噪聲和白噪聲激勵下的相變情況進行探討，通過統(tǒng)一色噪聲近似和FPK(Fokker-Planck)方程推導出準穩(wěn)態(tài)概率密度的表達式，并利用4階龍格庫塔算法進行數(shù)值模擬，進而分析噪聲及系統(tǒng)各個參數(shù)對該周期勢系統(tǒng)準穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)(quasi-steady-state probability density，簡稱QSPD)的影響作用.

1 周期勢系統(tǒng)

外加周期信號、關(guān)聯(lián)乘性色噪聲與高斯白噪聲共同激勵的周期勢系統(tǒng)的郎之萬方程為

(1)

其中：確定性方程的勢函數(shù)為U(x)=-asinx+a-F0xcos(ω0t)，且a是系統(tǒng)參數(shù)，F(xiàn)0xcos(ω0t)是周期信號，F(xiàn)0和ω0分別是周期信號的振幅和頻率.勢函數(shù)隨a，F(xiàn)0，ω0與t的變化如圖1所示.

(1)式中ξ(t)是乘性色噪聲，η(t)是高斯白噪聲，其統(tǒng)計性質(zhì)可以由其均值和方差來表示為

〈ξ(t)〉=〈η(t)〉=0，

(2)

(3)

〈η(t)η(s)〉=2Qδ(t-s)，

(4)

其中：D和τ分別為乘性噪聲ξ(t)的噪聲強度和自相關(guān)時間，Q為高斯白噪聲η(t)的噪聲強度.

(a)F0=0.2,t=0.5,ω0=0.25π；(b)a=1,t=0.5,ω0=0.25π ；(c)a=1,F0=0.2,ω0=0.25π；(d)a=1,F0=0.2,t=0.5.圖1 勢函數(shù)U(x)圖像

由色噪聲和白噪聲的統(tǒng)計性質(zhì)，方程(1)可隨機等價于下面的二維馬爾可夫過程

(5)

(6)

其中：ε(t)是高斯白噪聲，其統(tǒng)計性質(zhì)如下

〈ε(t)〉=0，

(7)

〈ε(t)ε(s)〉=2Dδ(t-s)，

(8)

其中：η(t)和ε(t)是相關(guān)的高斯白噪聲，有

(9)

其中：λ為噪聲互關(guān)聯(lián)系數(shù).

由統(tǒng)一色噪聲近似[26,33]，二維馬爾可夫過程(5)，(6)可改寫為

(10)

其中：C(τ,x)=1-τF0cos(ω0t)sinx/cosx.

方程(10)可進一步寫成

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

于是得到方程(1)的FPK方程為

(16)

其中

A(x)=h(x)+g(x)g′(x)=

(17)

由方程(16),(17)得到系統(tǒng)(1)的QSPD的表達式為

(18)

(19)

2 噪聲及系統(tǒng)參數(shù)對QSPD的影響

為更好地研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，利用4階龍格庫塔算法對系統(tǒng)的QSPD進行數(shù)值模擬，并進一步分析噪聲及系統(tǒng)各參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)的影響.

圖2給出的是QSPD在系統(tǒng)參數(shù)a取不同值時的變化曲線，其中F0=0.2,ω0=0.25π,Q=0.1,D=0.1,λ=0.1,τ=0.2.由圖2可以看出：在給定的這組參數(shù)下，隨著a的變化，QSPD分布曲線出現(xiàn)了單峰和雙峰兩種結(jié)構(gòu)；當a=1時，QSPD分布曲線為單峰結(jié)構(gòu)，隨著a的減小，單峰峰值逐漸降低，當a減小為0.5時，QSPD分布曲線出現(xiàn)雙峰結(jié)構(gòu)；若a的取值不斷減小或不斷增大時，QSPD分布曲線會出現(xiàn)多峰結(jié)構(gòu)，甚至會破壞QSPD分布曲線的穩(wěn)定性；系統(tǒng)參數(shù)a的改變對QSPD分布曲線產(chǎn)生了較大影響，能引起QSPD曲線峰值個數(shù)的變化，即系統(tǒng)參數(shù)a能夠誘導產(chǎn)生相變現(xiàn)象.

圖3給出的是QSPD在乘性噪聲強度D取不同值時的變化曲線，其中a=1,F0=0.2,ω0=0.25π,Q=0.1,λ=0.1,τ=0.2.由圖3可以看出：在給定的這組參數(shù)下，隨著D的變化，QSPD分布曲線出現(xiàn)了單峰和雙峰兩種結(jié)構(gòu)；當D=0.1時，QSPD分布曲線呈現(xiàn)出單峰結(jié)構(gòu)，隨著D的增大，單峰峰值逐漸降低，當D增加至0.3時，QSPD分布曲線出現(xiàn)雙峰結(jié)構(gòu)；若噪聲強度D繼續(xù)增大，QSPD分布曲線會出現(xiàn)多峰結(jié)構(gòu)，甚至會破壞QSPD分布曲線的穩(wěn)定性；乘性噪聲強度D的改變能對QSPD分布曲線產(chǎn)生影響，也能引起QSPD分布曲線峰值個數(shù)的變化，即乘性噪聲強度D能夠誘導相變現(xiàn)象的產(chǎn)生.

圖2 QSPD隨系統(tǒng)參數(shù)a變化的曲線圖3 QSPD隨乘性噪聲強度D變化的曲線

圖4給出的是QSPD在加性噪聲強度Q取不同值時的變化曲線，其中a=1,F0=0.2,ω0=0.25π,D=0.1,λ=0.1,τ=0.2.由圖4可以看出：在給定的這組參數(shù)下，隨著Q的變化，QSPD分布曲線同樣出現(xiàn)了單峰和雙峰結(jié)構(gòu)；當Q=0.1時，QSPD分布曲線呈現(xiàn)單峰結(jié)構(gòu)，隨著Q的增大，單峰結(jié)構(gòu)的峰值降低，當Q增加至0.25時，QSPD分布曲線出現(xiàn)雙峰結(jié)構(gòu)；若加性噪聲強度Q繼續(xù)增大，QSPD分布曲線會出現(xiàn)多峰結(jié)構(gòu)，甚至會破壞QSPD分布曲線的穩(wěn)定性；加性噪聲強度Q對QSPD分布曲線影響較大，能引起QSPD曲線峰值個數(shù)的變化，即加性噪聲強度Q能夠誘導相變現(xiàn)象的產(chǎn)生.結(jié)合圖3,4的分析可知，加性噪聲強度和乘性噪聲強度對QSPD分布曲線的影響是一致的.

圖5給出的是QSPD在周期信號振幅F0取不同值時的變化曲線,其中a=1,ω0=0.25π,Q=0.1,D=0.1,λ=0.1,τ=0.2.由圖5可以看出：在給定的這組參數(shù)下，隨著F0的變化，QSPD分布曲線出現(xiàn)了單峰結(jié)構(gòu)和雙峰結(jié)構(gòu)；當F0=0.2時，QSPD分布曲線呈現(xiàn)單峰結(jié)構(gòu)，隨著F0的增大，單峰結(jié)構(gòu)的峰值降低，當F0的值增加至0.8時，QSPD分布曲線出現(xiàn)雙峰結(jié)構(gòu)；若周期信號振幅F0的值持續(xù)增大，QSPD分布曲線會出現(xiàn)多峰結(jié)構(gòu)，甚至會破壞QSPD分布曲線的穩(wěn)定性；周期信號振幅F0對QSPD分布函數(shù)也有較大影響，F(xiàn)0的變化能引起QSPD曲線峰值個數(shù)的變化，即周期信號振幅F0能夠誘導相變現(xiàn)象產(chǎn)生.結(jié)合圖2～4的分析，a，D，Q與F0的變化都可以引起QSPD分布曲線峰結(jié)構(gòu)的變化，即這些參數(shù)都可以誘導系統(tǒng)相變現(xiàn)象的產(chǎn)生.

圖4 QSPD隨加性噪聲強度Q變化的曲線圖5 QSPD隨周期信號振幅F0變化的曲線

圖6給出的是QSPD在噪聲互關(guān)聯(lián)系數(shù)λ取不同值時的變化曲線,其中a=1,F0=0.2,ω0=0.25π,Q=0.1,D=0.1,τ=0.2.由圖6可以看出：在給定的這組參數(shù)下，隨著λ的變化，QSPD分布曲線一直保持單峰結(jié)構(gòu)，隨著λ的增大，峰值逐漸下降；噪聲互關(guān)聯(lián)系數(shù)λ對QSPD分布曲線影響不大，只能引起峰值位置的變化，不能引起峰值個數(shù)的變化，即噪聲關(guān)聯(lián)系數(shù)λ不能誘導系統(tǒng)產(chǎn)生相變現(xiàn)象.

圖6 QSPD隨噪聲互關(guān)聯(lián)系數(shù)λ變化的曲線

圖7為QSPD隨色噪聲自相關(guān)時間τ變化的曲線，其中a=1,F0=0.2,ω0=0.25π,Q=0.1,D=0.1,λ=0.1.圖8為QSPD隨周期信號頻率ω0變化的曲線，其中a=1,F0=0.2,Q=0.1,D=0.1,λ=0.1,τ=0.2.由圖7，8可以看出：τ和ω0的變化沒有使QSPD分布曲線出現(xiàn)雙峰結(jié)構(gòu)，只改變了峰值的位置；噪聲自相關(guān)時間τ與周期信號頻率ω0只能引起峰值位置的變化，不能引起QSPD曲線峰值個數(shù)的變化，即噪聲自相關(guān)時間τ與周期信號頻率ω0不能夠誘導系統(tǒng)相變現(xiàn)象的產(chǎn)生.

圖7 QSPD隨色噪聲自相關(guān)時間τ變化的曲線圖8 QSPD隨周期信號頻率ω0變化的曲線

通過上述分析可以得到，對于由關(guān)聯(lián)噪聲和周期信號共同激勵的周期勢系統(tǒng)，系統(tǒng)參數(shù)a、周期信號振幅F0、乘性噪聲強度D和加性噪聲強度Q均能使得QSPD分布曲線的峰結(jié)構(gòu)發(fā)生改變，這說明通過調(diào)節(jié)以上參數(shù)，都可以使系統(tǒng)出現(xiàn)相變現(xiàn)象.

3 結(jié)束語

論文運用統(tǒng)一色噪聲近似的方法，得到關(guān)聯(lián)噪聲與周期信號共同激勵下的周期勢系統(tǒng)的QSPD的表達式，并運用4階龍格庫塔算法進行數(shù)值模擬繪制了QSPD隨乘性噪聲強度、加性高斯白噪聲強度、系統(tǒng)參數(shù)、噪聲相關(guān)時間、噪聲關(guān)聯(lián)系數(shù)、周期信號的振幅和頻率變化的圖像，通過分析，得到以下結(jié)論：系統(tǒng)參數(shù)a、乘性噪聲強度D、加性噪聲強度Q和周期信號振幅F0的變化對QSPD的影響較顯著，不僅能夠使QSPD分布曲線的峰值位置發(fā)生變化，還能夠使QSPD分布曲線峰值的個數(shù)發(fā)生變化，即系統(tǒng)參數(shù)、乘性噪聲強度、加性噪聲強度和周期信號振幅能夠誘導系統(tǒng)產(chǎn)生相變現(xiàn)象；噪聲互關(guān)聯(lián)系數(shù)λ、噪聲自相關(guān)時間τ和周期信號頻率ω0的變化對QSPD的影響較小，只能引起穩(wěn)態(tài)概率密度分布曲線峰值的位置發(fā)生變化，沒有改變穩(wěn)態(tài)概率密度分布曲線的峰值的個數(shù)，這說明噪聲關(guān)聯(lián)系數(shù)、噪聲相關(guān)時間和周期信號頻率不能誘導系統(tǒng)產(chǎn)生相變現(xiàn)象.