覃桂茳,楊甲山,劉玉周

(1. 梧州學院 大數(shù)據(jù)與軟件工程學院,廣西 梧州 543002; 2. 梧州學院 廣西高校行業(yè)軟件技術(shù)重點實驗室,廣西 梧州 543002; 3. 梧州學院 廣西高校圖像處理與智能信息系統(tǒng)重點實驗室,廣西 梧州 543002; 4.梧州學院 機械與材料工程學院,廣西 梧州 543002)

近年來，對微分方程的振動性等定性理論的研究引起了國內(nèi)外學者的廣泛興趣[1-19].筆者考慮如下一類形式非常廣泛的具有一個擬線性中立項的二階Emden-Fowler型微分方程

{a(t)|[x(t)+p(t)xα(τ(t))]′|β-1[x(t)+p(t)xα(τ(t))]′}′+

q(t)|x(δ(t))|γ-1x(δ(t))=0，t≥t0

(1)

的振動性，總假設：

方程(1)的解及其振動性的定義可參見文獻[1，9].對于非線性中立項的微分方程振動性的研究是很困難的，所以學者們或者是回避這類方程的研究，或者是增加條件將非線性中立項轉(zhuǎn)化為線性的來討論[1-4,6-17]，只有文獻[5]直接研究了如下一類具有一個擬線性中立項的一階微分方程

得到了其解振動的一些判別準則.

最近，黃記洲等[15]研究了方程(1)的特殊情形(即α=1)的振動性，在β≥γ且a′(t)≥0時得到了方程

{a(t)|z′(t)|β-1z′(t)}′+q(t)|x(δ(t))|γ-1x(δ(t))=0

振動的一些結(jié)果，但當β<γ時沒有得到方程的振動準則，且有較嚴格的條件“a′(t)≥0”.受到以上研究的啟發(fā)，筆者將利用Riccati變換和有關不等式(如Bernoulli不等式及Yang不等式等)來研究方程(1)的振動性，得到該方程振動的兩個新準則.作為方程(1)的特殊情形即當α=β=γ=1或者α=1且β=γ時的情形，所得到的這些振動準則改進了現(xiàn)有文獻中的一系列結(jié)果.

1 方程振動的充分條件

先給出3個引理，其中引理1由函數(shù)f(x)=xλ(0<λ≤1)凹凸性的定義就能得到，而引理2，3是眾所周知的，故其證明省略.

引理1設X，Y為非負實數(shù)，則當0<λ≤1時，Xλ+Yλ≤21-λ(X+Y)λ.

引理2(Bernoulli不等式) 對任意實數(shù)x>-1，當0≤r≤1時，(1+x)r≤1+rx，當r≤0或r≥1時，(1+x)r≥1+rx.

記

定理1設條件(H1)，(H2)成立，如果存在函數(shù)ξ∈C1([t0,+∞),(0,+∞))，使得

(2)

其中：常數(shù)t2≥t0，有

(3)

其中：k>0和m>0均為常數(shù)，則方程(1)是振動的.

證明反證法.設方程(1)有一個非振動解x(t)，不妨設x(t)最終為正(當x(t)最終為負時類似可證)，則?t1≥t0，使得x(t)>0，x(τ(t))>0，x(δ(t))>0(t≥t1).由z(t)的定義和方程(1)，可得z(t)≥x(t)>0，t≥t1，且有

[a(t)|z′(t)|β-1z′(t)]′=-q(t)xγ(δ(t))<0，

(4)

利用條件(H1)，由(4)式不難推出z′(t)>0，t≥t1.注意到引理1，2，則有

x(t)=z(t)-p(t)xα(τ(t))=z(t)-p(t)[1+xα(τ(t))]+p(t)≥

z(t)-21-αp(t)[1+x(τ(t))]α+p(t)≥z(t)-21-αp(t)[1+αx(τ(t))]+p(t)=

z(t)-α21-αp(t)x(τ(t))+(1-21-α)p(t)≥z(t)-α21-αp(t)z(τ(t))+(1-21-α)p(t)≥

[1-α21-αp(t)]z(t)-(21-α-1)p(t).

(5)

作廣義的Riccati變換w(t)如下

(6)

顯然w(t)>0(t≥t1).對(6)式求導，并利用(4),(5)式及a(t)(z′(t))β≤a(δ(t))(z′(δ(t)))β，可得

(7)

由于z(t)>0,z′(t)>0，t≥t1，因此

z(δ(t))≥z(δ(t1))=k，t≥t1，

(8)

其中：k>0為常數(shù).

將(8)式代入(7)式，并注意到(6)式和函數(shù)Q(t)的定義，可得

(9)

有

(i) 若β=γ，則z(γ-β)/β(δ(t))=1；

(ii) 若β<γ，由(8)式知，z(γ-β)/β(δ(t))≥k(γ-β)/β；

所以存在常數(shù)m>0，當t2≥t1充分大時，有

因此

z(γ-β)/β(δ(t))≥[mΘ(δ(t))](γ-β)/β.

綜合上述3種情形，并利用θ(t)的定義，由(9)式，當t≥t2時，有

(10)

有

代入(10)式，得

兩邊從t2到t積分，t≥t2，得

這與(2)式矛盾.定理證畢.

推論設條件(H1)，(H2)成立，如果

則方程

[a(t)|x′(t)|β-1x′(t)]′+q(t)|x(δ(t))|β-1x(δ(t))=0，t≥t0

(11)

是振動的.

證明在方程(1)中令p(t)≡0且β=γ，并在定理1中取ξ(t)=Θβ(δ(t))即得.

注1推論就是Sun等[16]得到的方程(11)振動的主要判別定理.

定理2設條件(H1)，(H2)成立，如果存在函數(shù)ξ∈C1([t0,+∞),(0,+∞))及常數(shù)ω≥1，使得

(12)

其中：常數(shù)t2,k,m及函數(shù)Q(t),θ(t)均如定理1，則方程(1)是振動的.

證明同定理1的證明，可得(10)式.將(10)式中的t改成s，再兩邊同乘以(t-s)ω，然后從t2到t積分，t≥t2，應用引理3即Yang不等式，類似地，可得

所以

這與(12)式矛盾.定理證畢.

注2當α=1(即中立項是線性的情形)且β≥γ時，由定理1可得文獻[15]中的定理2.2，但這里去掉了文獻[15]中的限制條件“a'(t)≥0”.此外，從下面例1還可看出，即使是中立項是線性的，即當α=1且β=γ時的情形，論文的振動準則也是較“精準”的，幾乎是方程(1)振動的“sharp”條件.因此論文定理推廣、改進并豐富了現(xiàn)有文獻中的結(jié)果.

例1對常數(shù)q0>0，考慮二階時滯微分方程

(E1)

其中：a(t)≡1，p(t)=1/5，q(t)=q0/t2，τ(t)=t/5，δ(t)=t，α=1，β=1，γ=1.

容易驗證條件(H1)和(H2)都是滿足的.取ξ(t)=t，則當q0>5/16=0.312 5時，有

因此，由定理1知，當q0>0.312 5時方程(E1)是振動的.

注3也可以用文獻[7]中的定理3.4來判定方程(E1)的振動性：由于當q0>2.5時，有

因此當q0>2.5時方程(E1)是振動的.顯然，論文定理1的特殊情形，即當α=1(相當于方程(1)的中立項是線性的)時的振動準則比文獻[7]中的有關結(jié)論要“精細”得多.

例2對常數(shù)q0>0，考慮下列具非線性中立項的二階微分方程

(E2)

其中：α=1/3,β=5/3,γ=7/5,a(t)=t,p(t)=1/5,q(t)=q0/t,τ(t)=t/2,δ(t)=t/3.

顯然條件(H1)和(H2)均滿足.為了計算簡單，取ξ(t)=1，用定理1(這是β>γ的情形)，則

所以由定理1知，方程(E2)是振動的.

注4由于方程(E2)是具有非線性中立項的微分方程，并且β≠γ，所以文獻[1-4,6-19]中的定理均不能用于方程(E2).