易富，杜常博，李軍，張利陽(yáng)，張晉

(1.遼寧工程技術(shù)大學(xué) a.建筑與交通學(xué)院；b.土木工程學(xué)院, 遼寧 阜新 123000；2.沈陽(yáng)建筑大學(xué) 土木工程學(xué)院, 沈陽(yáng) 110000；3.西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院 成都 610031)

最初常用彈塑性理論研究土工合成材料的本構(gòu)關(guān)系，不考慮土工合成材料變形的時(shí)間效應(yīng)，如線性、雙曲線、多項(xiàng)式[2-5]等經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停欢陙?lái)，考慮到土工合成材料的流變性能，一些學(xué)者提出了經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀⒃Ｐ秃蛢?nèi)時(shí)模型等流變模型[6-9]，表征加筋材料的粘彈塑性變形特征，并把筋材和土體看成宏觀均勻的復(fù)合材料，認(rèn)為筋土的相互作用表現(xiàn)為內(nèi)力[10-11]；在此基礎(chǔ)上，研究土工格柵加筋土的本構(gòu)模型也考慮了加筋材料的流變特性，如Sawicki等[12]、肖成志等[13]、李麗華等[14]、周志剛等[15]均采用土工格柵三參數(shù)粘彈性模型，提出了考慮筋材蠕變性能的加筋土流變模型，但現(xiàn)有的三參數(shù)粘彈性模型沒(méi)有考慮土工格柵的塑性特征，無(wú)法全面準(zhǔn)確地反映加筋結(jié)構(gòu)中土工格柵長(zhǎng)期荷載作用下的力學(xué)特性。

在考慮土工格柵長(zhǎng)期荷載作用下塑性特征的基礎(chǔ)上，建立了適用于加筋尾礦的流變模型，假設(shè)土工格柵是粘彈塑性體，尾礦是彈塑性體，把加筋尾礦復(fù)合體看成一個(gè)整體，整個(gè)復(fù)合體受力分為尾礦處于彈性或塑性狀態(tài)兩個(gè)階段，分別建立兩個(gè)階段的模型方程，推導(dǎo)出了這兩個(gè)階段加筋尾礦復(fù)合體的本構(gòu)關(guān)系表達(dá)式。

1 加筋尾礦復(fù)合體流變模型推導(dǎo)

1.1 基本假定

假定加筋尾礦復(fù)合體是宏觀均勻各項(xiàng)異性的復(fù)合材料，其中，土工格柵為粘彈塑性材料，尾礦是彈塑性材料，滿足Mohr-Coulomb強(qiáng)度準(zhǔn)則；假設(shè)土工格柵與尾礦之間完全粘結(jié)，沒(méi)有相對(duì)滑動(dòng)，格柵只是處于受拉狀態(tài)，加筋復(fù)合體的剪應(yīng)力、剪應(yīng)變均由尾礦承擔(dān)；把加筋尾礦復(fù)合體變形分成兩個(gè)階段進(jìn)行分析，第1階段尾礦表現(xiàn)為彈性，尾礦開(kāi)始進(jìn)入塑性狀態(tài)為第2階段；整個(gè)階段加筋尾礦復(fù)合體均為粘彈塑性。

1.2 土工格柵粘彈塑性模型

目前，許多學(xué)者在研究土工格柵元件模型時(shí)大多采用三參數(shù)粘彈性模型，該模型由彈簧和Kelvin體兩部分串聯(lián)而成，能夠反映土工格柵低應(yīng)力下的蠕變規(guī)律。但是，大量土工合成材料的蠕變?cè)囼?yàn)結(jié)果顯示，三參數(shù)粘彈性模不能準(zhǔn)確計(jì)算出土工格柵的起始蠕變點(diǎn)，也無(wú)法反映塑性變形規(guī)律，所以，此模型無(wú)法很好的應(yīng)用于理論計(jì)算。文獻(xiàn)[12]提出在三參數(shù)粘彈性模型的基礎(chǔ)上增加一個(gè)線性塑性滑塊，改進(jìn)成四參數(shù)粘彈塑性模型(如圖1a所示)，定義這個(gè)塑性元件的單位寬度拉力與塑性應(yīng)變呈線性關(guān)系，且塑性變形不可恢復(fù)，這樣就能調(diào)整土工格柵蠕變的起始應(yīng)變準(zhǔn)確模擬蠕變情況，并能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)格柵的應(yīng)力松弛變化規(guī)律。

圖1 土工格柵四參數(shù)粘彈塑性模型及其蠕變、應(yīng)力松弛曲線Fig.1 Four-parameter viscoelasto plastic model of geogrids and its creep and stress relaxation

經(jīng)過(guò)受力與變形分析，在加載過(guò)程中，土工格柵的微分本構(gòu)關(guān)系為

(1a)

(1b)

式中：E1為彈性元件的剛度系數(shù)，kN/m；R為線性塑性元件的塑性模量，kN/m；E2為Kelvin體彈簧的剛度系數(shù)，kN/m；η為Kelvin體粘壺的粘滯系數(shù)，kN·h/m；T為筋材單位寬度上的拉力，kN/m；ε為對(duì)應(yīng)應(yīng)變，%；t為蠕變時(shí)間，h。

1.2.1 蠕變 令式(1)中荷載T為常數(shù)，可得到土工格柵的蠕變方程(見(jiàn)圖1(b))為

(2)

在t=0時(shí)，土工格柵的初始蠕變?yōu)?/p>

(3)

在t→∞時(shí)，格柵的蠕變達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)

(4a)

(4b)

1.2.2 應(yīng)力松弛 在t=0時(shí)，尚未發(fā)生流變變形，筋材保持彈塑性應(yīng)變不變，即

ε(t=0)=ε1+ε2=常數(shù)

(5)

隨著應(yīng)力松弛的開(kāi)始，流變逐漸產(chǎn)生，因塑性應(yīng)變不可恢復(fù)，那么彈性應(yīng)變減少，粘性應(yīng)變?cè)黾?，二者之和依然為常?shù)。

ε′(t>0)=ε1+ε3=ε-ε2=常數(shù)

(6)

式中：ε′為部分應(yīng)變的組合，%。

(7a)

(7b)

在t=0時(shí)，對(duì)土工格柵應(yīng)力松弛方程進(jìn)行了瞬時(shí)響應(yīng)計(jì)算，從公式(7)中可表示為

T(t=0)=E1ε′

(8)

由方程(7)可得出土工格柵在恒定應(yīng)變下漸進(jìn)行為(即t→∞)的應(yīng)力松弛情況為

T(t→∞)=E12ε′

(9)

1.3 加筋尾礦復(fù)合體模型的建立

ns+nr=1

(10)

(11)

式中：nr=e/Δh，其中，e為格柵厚度，m；Δh為格柵層間距，m。

本文研究平面應(yīng)變狀態(tài)下的加筋尾礦結(jié)構(gòu)，假定筋材只在x方向上工作，圖2所示為加筋復(fù)合體在平面應(yīng)變狀態(tài)下宏觀應(yīng)力與微觀應(yīng)力關(guān)系示意圖，假定格柵只處于受拉狀態(tài)，不考慮格柵在厚度方向的壓縮和彎曲變形，則式(11)可簡(jiǎn)化為

(12)

(13)

圖2 加筋尾礦宏微觀應(yīng)力的關(guān)系示意圖Fig.2 Sketch of relationship between macro- and micro stress of reinforced

1.3.1 第1階段：尾礦處于彈性狀態(tài) 當(dāng)尾礦處于彈性狀態(tài)而土工格柵為粘彈塑性材料時(shí)，由平面應(yīng)變條件下廣義Hooke定律得

(14)

(15)

式中：Es為尾礦變形模量，MPa；vs為泊松比。

將式(10)～式(13)代入式(14)，整理得

(16)

(17)

結(jié)合式(16)和式(17)，并考慮筋材在加筋復(fù)合體中所占的體積比很小(ns?1)，可得

(18)

將式(18)代入式(1)，得

(19a)

式中：

(19b)

假定土工格柵的初始應(yīng)力為T0，求解方程式(19)可得

(20a)

(20b)。

式中：tp為塑性到達(dá)時(shí)間(加筋復(fù)合體達(dá)到第2階段所需要的時(shí)間)，h。

根據(jù)式(10)和式(17)可得尾礦水平應(yīng)力為

(21)

為求得加筋尾礦復(fù)合體的塑性到達(dá)時(shí)間tp，假定尾礦為彈塑性材料，滿足Mohr-Coulomb準(zhǔn)則，所以有[14]

(22)

(23)

(24)

(25)

1.3.2 第2階段：尾礦進(jìn)入塑性狀態(tài) 當(dāng)尾礦進(jìn)入塑性狀態(tài)時(shí)，尾礦符合屈服條件式(23)。根據(jù)與破壞條件相關(guān)聯(lián)的流動(dòng)法則，塑性應(yīng)變的表達(dá)式為[14]

(26)

式中：λ為塑性階段的變形。

此時(shí)，尾礦處于塑性狀態(tài)，應(yīng)滿足條件

(27)

將式(23)代入上述流動(dòng)法則得

(28)

假定加筋復(fù)合體的宏觀應(yīng)力不變，即dσz=dσx=dτ=0，由式(21)得

(29)

再將式(29)代入到式(28)，得

(30)

因此，當(dāng)尾礦進(jìn)入塑性狀態(tài)后，加筋復(fù)合體的應(yīng)力保持不變，尾礦的塑性流動(dòng)由加筋復(fù)合體粘彈塑性變形決定，此時(shí)土工格柵加筋尾礦的流變模型為

(31)

求解式(31)微分方程，得到尾礦塑性狀態(tài)時(shí)加筋復(fù)合體的水平變形方程為

(32)

式中：εp為加筋復(fù)合體在彈性結(jié)束時(shí)、塑性開(kāi)始時(shí)的應(yīng)變，%。

(33)

通過(guò)上述推導(dǎo)可得尾礦處于彈性和塑性狀態(tài)兩個(gè)階段的加筋尾礦復(fù)合體的本構(gòu)關(guān)系：第1階段尾礦處于彈性狀態(tài)時(shí)，式(20)描述了筋材應(yīng)力的降低，導(dǎo)致在尾礦中的微觀應(yīng)力重新組合，直到尾礦達(dá)到屈服條件，方程式(18)給出了此階段加筋復(fù)合體的應(yīng)變關(guān)系式，式(17)和式(21)分別給出了加筋復(fù)合體中筋材和尾礦的應(yīng)力關(guān)系式；第2階段尾礦達(dá)到屈服條件進(jìn)入塑性狀態(tài)時(shí)，塑性到達(dá)時(shí)間可由式(25)確定，此階段加筋復(fù)合體的應(yīng)力恒定，整個(gè)加筋尾礦復(fù)合體應(yīng)變由于筋材的蠕變而增大，第2階段的變形函數(shù)可由式(33)給出，再結(jié)合式(26)和式(32)可得出第2階段的水平和豎向變形方程。

以上分析可知，加筋復(fù)合體的受力不僅與土工格柵和尾礦的應(yīng)力有關(guān)，還與土工格柵材料特性、尾礦物理特性、加筋層間距及時(shí)間有關(guān)。

2 模型參數(shù)求解

2.1 土工格柵模型參數(shù)求解

采用欒茂田[6]的試驗(yàn)，他對(duì)不同規(guī)格的單向土工格柵進(jìn)行了蠕變?cè)囼?yàn)，選取型號(hào)EG65R的土工格柵的試驗(yàn)數(shù)據(jù)。EG65R土工格柵的極限荷載為65 kN/m，蠕變數(shù)據(jù)選取荷載作用為31.2、33.4、35.5 kN/m，而應(yīng)力松弛選取應(yīng)變?yōu)?%、5%、6%，具體數(shù)據(jù)如圖3所示。

圖3 試驗(yàn)數(shù)據(jù)與本文模型對(duì)比Fig.3 Comparison between experimental data and the model of this

表1 土工格柵粘彈塑性模型的四參數(shù)值Table 1 Four parameter values of viscoelasto plastic model of geogrids

2.2 加筋復(fù)合體模型參數(shù)求解

假定有一座采用本文土工格柵加筋的尾礦壩，壩體中土工格柵處于3.25 kN/m的應(yīng)力狀態(tài)下(即應(yīng)力水平為5%)[15]，取尾礦堆積壩深度z方向3 m的某加筋尾礦單元為研究對(duì)象，尾礦具有的物理性質(zhì)指標(biāo)見(jiàn)表2。

表2 尾礦物理參數(shù)取值Table 2 The physical parameter value of tailings

EG65R土工格柵處于5%應(yīng)力水平時(shí)，塑性元件的模量為R=0.78×103kN/m，再將表1中土工格柵的彈簧的剛度系數(shù)E1、E2、粘滯系數(shù)η及格柵層間距Δh和尾礦參數(shù)代入式(25)，得到加筋尾礦復(fù)合體的塑性到達(dá)時(shí)間tp=16.8 h。第1階段加筋尾礦復(fù)合體的宏觀與微觀狀態(tài)如圖4所示。

圖4 加筋尾礦復(fù)合體第1階段宏微觀狀態(tài)(單位：kPa)Fig.4 Macro-and micro stress state of reinforced tailings complex in the first

2.2.1 第1階段 由式(20)得出尾礦中格柵處于3.25 kN/m應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力松弛表達(dá)式為

T=(-3.176 8e-0.026 3t-0.073 2)×103

(0

(34)

將式(34)代入式(18)得到加筋復(fù)合體的彈性應(yīng)變?yōu)?/p>

εx=0.198 6×10-3×(e-0.026 3t-1)

(0

(35)

此時(shí)，當(dāng)尾礦處于彈性狀態(tài)下，土工格柵和尾礦的應(yīng)力分別為

(36)

(37)

如圖5所示，根據(jù)式(36)和式(37)計(jì)算可得到加筋復(fù)合體中尾礦達(dá)到塑性狀態(tài)前格柵和尾礦單元的應(yīng)力隨時(shí)間變化情況。由圖5可知，當(dāng)尾礦處于彈性狀態(tài)時(shí)，由于應(yīng)力松弛，土工格柵和尾礦的應(yīng)力都隨時(shí)間逐漸減小，當(dāng)接近臨界時(shí)間tp，二者的應(yīng)力開(kāi)始趨于平緩。

圖5 第1階段筋材和尾礦的微觀應(yīng)力變化Fig.5 Variation of micro stress of geogrids and tailings in the first

2.2.2 第2階段 將tp=16.8 h代入式(35)，得到加筋復(fù)合體第1階段結(jié)束第2階段開(kāi)始時(shí)的應(yīng)變?chǔ)舙。

εp=0.198 6×10-3×(e-0.026 3t-1)=

-0.070 9×10-3

(38)

再將εp和得到的格柵模型參數(shù)代入式(33)，得到尾礦在塑性狀態(tài)時(shí)加筋復(fù)合體水平變形方程為

εx=5.325 5×10-3e-0.02t-5.396 4×10-3

(t>16.8 h)

(39)

綜上所述，可知土工格柵處于5%應(yīng)力水平時(shí)，塑性到達(dá)時(shí)間很小，即加筋尾礦復(fù)合體受力很快進(jìn)入第2階段，且第1階段變形比較小，可以忽略不計(jì)，整個(gè)加筋階段復(fù)合體的應(yīng)變主要由第2階段導(dǎo)致，故在進(jìn)行變形計(jì)算時(shí)，以第2階段的變形為主。

由式(26)、式(32)和式(33)結(jié)合式(39)可得第2階段的塑性變形方程式為

(40)

圖6所示為第2階段的塑性應(yīng)變發(fā)展情況，時(shí)間t是加筋復(fù)合體在第2階段開(kāi)始時(shí)開(kāi)始計(jì)量的，第2階段塑性應(yīng)變?cè)陂_(kāi)始時(shí)迅速增加，在t=300 h后趨于穩(wěn)定。

圖6 由筋材蠕變引起的塑性應(yīng)變變化Fig.6 Variation of plastic strains due to creep of

2.2.3 空氣和尾礦中格柵應(yīng)力松弛的對(duì)比情況 由式(7)可得格柵處于3.25 kN/m應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力松弛表達(dá)式為(此時(shí)格柵保持應(yīng)變0.25%不變)

T=(1.280 3e-0.033t+1.969 7)×103

(41)

由式(34)可得尾礦中格柵處于3.25 kN/m應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)力松弛表達(dá)式為

T=(3.176 8e-0.026 3t+0.073 2)×103

(0

(42)

圖7所示為置于空氣和尾礦中土工格柵應(yīng)力松弛的對(duì)比情況。置于空氣中土工格柵應(yīng)力松弛在時(shí)間為200 h左右時(shí)，應(yīng)力將穩(wěn)定在1.9 kN/m狀態(tài)下；而置于尾礦中的格柵應(yīng)力松弛在塑性到達(dá)時(shí)間時(shí)處于2.2 kN/m狀態(tài)下，之后，尾礦進(jìn)入塑性狀態(tài)，格柵應(yīng)力松弛完成，應(yīng)力將保持不變；同時(shí)，對(duì)比空氣和尾礦中的格柵應(yīng)力松弛可知，室內(nèi)條件下的應(yīng)力松弛比實(shí)際條件下的要大，但實(shí)際條件下的應(yīng)力松弛要比室內(nèi)條件下的快。當(dāng)格柵置于尾礦中，由于格柵與尾礦的相互作用，土工格柵應(yīng)力松弛將快速完成，進(jìn)而隨著尾礦進(jìn)入塑性狀態(tài)，加筋復(fù)合體的應(yīng)力保持不變。

圖7 空氣和尾礦中格柵應(yīng)力松弛的對(duì)比Fig.7 Comparison of stress relaxation of geogrid in air and

2.3 流變模型參數(shù)對(duì)塑性到達(dá)時(shí)間tp的影響分析

為了探討土工格柵粘彈塑性模型參數(shù)和尾礦強(qiáng)度參數(shù)對(duì)加筋復(fù)合體塑性到達(dá)時(shí)間tp的影響規(guī)律，結(jié)合以上分析給定各參數(shù)基準(zhǔn)值見(jiàn)表3。

表3 各參數(shù)的基準(zhǔn)值Table 3 Baseline values of each parameter

如圖8所示，根據(jù)式(25)計(jì)算得到加筋尾礦復(fù)合體塑性到達(dá)時(shí)間tp隨土工格柵粘彈塑性模型參數(shù)E1、E2、R、η和尾礦變形模量Es及內(nèi)摩擦角φ的變化規(guī)律。由圖8可知：tp與E1和tp與R都呈負(fù)指數(shù)關(guān)系減小，變化不大，在10～20 h之間變化，最后都趨于穩(wěn)定；tp與E2也呈負(fù)指數(shù)關(guān)系減小，變化相對(duì)較大，在0～60 h之間變化；tp與粘滯系數(shù)η呈線性正相關(guān)，變化較大；tp與Es呈負(fù)指數(shù)關(guān)系增大，變化幅度不大，當(dāng)量Es超過(guò)30 MPa，tp達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)；tp與φ呈指數(shù)關(guān)系增大，增大幅度較大。

進(jìn)一步分析可知，加筋尾礦復(fù)合體塑性到達(dá)時(shí)間tp受土工格柵粘彈塑性模型中Kelvin系數(shù)E2、η和尾礦內(nèi)摩擦角φ的影響顯著，受格柵模型內(nèi)彈性元件系數(shù)E1和塑性元件系數(shù)R及尾礦變形模量Es影響不明顯。

圖8 塑性到達(dá)時(shí)間tp隨不同參數(shù)的關(guān)系Fig.8 The relationship between the plastic arrival time

3 結(jié)論

1)土工格柵四參數(shù)粘彈塑性模型能夠準(zhǔn)確反映土工格柵在低應(yīng)力水平下的兩階段衰減型蠕變和應(yīng)力松弛變化規(guī)律。

2)提出了粘彈塑性土工格柵加筋彈塑性尾礦的簡(jiǎn)化模型，將加筋復(fù)合體受力分析分為兩個(gè)階段，分別對(duì)應(yīng)尾礦處于彈性狀態(tài)和塑性狀態(tài)，第1階段，對(duì)于承受恒定應(yīng)力的加筋尾礦復(fù)合體，筋材中的應(yīng)力隨時(shí)間減小，導(dǎo)致尾礦中的微觀應(yīng)力重新組合，直到尾礦達(dá)到屈服條件進(jìn)入第2階段，筋材的應(yīng)力開(kāi)始保持不變，整個(gè)加筋復(fù)合體的應(yīng)變會(huì)隨著筋材的蠕變而增加。

3)加筋尾礦結(jié)構(gòu)中格柵處在低應(yīng)水平力時(shí)，加筋尾礦復(fù)合體受力會(huì)很快進(jìn)入第2階段，且第1階段變形較小，整個(gè)加筋階段復(fù)合體的應(yīng)變主要由第2性階段導(dǎo)致。

4)加筋尾礦復(fù)合體的塑性到達(dá)時(shí)間tp，受土工格柵粘彈塑性模型中Kelvin元件系數(shù)E2、η和尾礦內(nèi)摩擦角φ的影響顯著，受模型內(nèi)其他參數(shù)E1、R和尾礦變形模量Es影響較小。