劉紅衛(wèi),肖彩波

(1.西藏大學(xué)理學(xué)院,西藏 拉薩850000; 2.河北經(jīng)貿(mào)大學(xué)公共管理學(xué)院,河北 石家莊050061)

1.引言

經(jīng)典的風(fēng)險度量模型VaR由于不滿足分散投資能減少風(fēng)險這一市場基本要求,因此,文[1]利用公理化的方法提出了一致風(fēng)險度量的概念,奠定了公理化方法研究風(fēng)險度量的基礎(chǔ).由于貨幣流動性特征,一致風(fēng)險度量中的正齊次性在實際金融市場中并不能滿足.文[2-3]分別獨立的推廣了一致風(fēng)險度量,在弱化一致風(fēng)險度量中正齊次性和次可加性的基礎(chǔ)上,提出了凸風(fēng)險度量.

風(fēng)險度量公理化體系中單調(diào)性和凸性已得到廣泛的認可和使用,但從金融的角度來看,現(xiàn)金可加性(即平移不變性)存在一些爭議.一個最根本的原因在于金融投資機構(gòu)要用當(dāng)前的準(zhǔn)備金來覆蓋未來的風(fēng)險,存在貨幣度量不在同一時間點上的問題.由于貨幣具有時間價值,這樣會產(chǎn)生準(zhǔn)備金與金融頭寸度量單位不一致的問題,導(dǎo)致現(xiàn)金可加性與實際金融市場不相符.為了克服這種缺陷,文[4]提出把風(fēng)險度量定義在折現(xiàn)頭寸集合上,一定程度上解決了風(fēng)險頭寸與風(fēng)險度量測量時間點不同的問題.事實上,當(dāng)折現(xiàn)因子是常數(shù)時,采用這種折現(xiàn)的方法避免了準(zhǔn)備金與金融頭寸取值不在同一時間點上問題,但當(dāng)折現(xiàn)因子是隨機時,折現(xiàn)因子本身也會攜帶風(fēng)險,也就是說,對未來金融頭寸的折現(xiàn)會有新的風(fēng)險進入,這就違背了風(fēng)險度量僅對未來風(fēng)險頭寸進行度量的初衷.考慮到風(fēng)險資產(chǎn)和折現(xiàn)因子的隨機性,文[5]依據(jù)貨幣的時間價值,把靜態(tài)風(fēng)險度量中的平移不變性(現(xiàn)金可加性)條件弱化為現(xiàn)金次可加性,用ρ(X+m)≥ρ(X)?m,m ≥0來表示,建立了現(xiàn)金次可加風(fēng)險度量的研究框架,并利用擴大空間的方法給出了相應(yīng)的表示定理,文[6]把文[5]的結(jié)論推廣到投資組合的情況,建立了投資組合現(xiàn)金次可加風(fēng)險度量研究框架,并給出了相應(yīng)的表示定理.

以上關(guān)于風(fēng)險度量的文獻僅對未來風(fēng)險頭寸的當(dāng)前風(fēng)險進行了研究,這類風(fēng)險稱為靜態(tài)風(fēng)險度量.事實上,隨著時間的不斷推移,信息的不斷累積,風(fēng)險評估可以得到不斷的更新,這種動態(tài)評估風(fēng)險的方法稱為動態(tài)風(fēng)險度量.表現(xiàn)在理論上就是一列條件風(fēng)險度量(ρt)t∈[0,T].文[7-8]提出了條件風(fēng)險度量的研究框架,并給出了動態(tài)凸風(fēng)險度量的表示定理.時間相容性是動態(tài)風(fēng)險度量最重要的性質(zhì)之一,它刻畫了不同時刻風(fēng)險度量之間的關(guān)系.動態(tài)風(fēng)險的時間相容性可通過可接受集、懲罰函數(shù)、測度等來等價刻畫,其中文[7]通過懲罰函數(shù)、粘合測度等方法研究了時間相容性的性質(zhì).文[9-10]通過可接受集分解,研究了動態(tài)凸風(fēng)險度量中強時間相容性的性質(zhì).關(guān)于動態(tài)風(fēng)險度量時間相容性的研究還可以參閱文[11-12].

目前,動態(tài)風(fēng)險度量的研究主要集中在單個金融頭寸的情況,雖然集合值的動態(tài)風(fēng)險度量在文[13-14]進行了研究,但基于數(shù)量值角度對動態(tài)投資組合風(fēng)險度量進行研究的文獻較少.本文主要把文[15-16]中的靜態(tài)投資組合凸風(fēng)險度量推廣到動態(tài)現(xiàn)金次可加情形進行研究,建立條件投資組合現(xiàn)金次可加風(fēng)險度量的研究框架,給出相應(yīng)的表示定理.進一步研究了動態(tài)投資組合現(xiàn)金次可加風(fēng)險度量在滿足一些假定條件下的時間相容性問題.

2.準(zhǔn)備知識

文[5]把金融風(fēng)險公理化中的現(xiàn)金可加性條件弱化到了現(xiàn)金次可加性,建立了現(xiàn)金次可加風(fēng)險度量的框架,并給出了相應(yīng)的表示定理.文[15-16]從數(shù)量值角度出發(fā),提出了投資組合現(xiàn)金可加風(fēng)險度量的研究框架,并給出了相應(yīng)的表示定理,以下結(jié)果主要來自文[5,8,16].

定義2.1[5]若映射R:X→R滿足下列三條公理：

1)單調(diào)性:對所有滿足X ≤Y的X,Y ∈X,有R(X)≥R(Y).

2)現(xiàn)金次可加性:對所有的X ∈X和任意的m ∈R+,有R(X+m)≥R(X)?m.

3)凸性:對所有的X,Y ∈X和任意的0≤λ ≤1,,有R(λX+(1?λ)Y)≤λR(X)+(1?λ)R(Y).

則稱映射R為現(xiàn)金次可加風(fēng)險度量.

現(xiàn)金次可加性充分考慮到了貨幣的時間價值,是現(xiàn)金可加性的推廣.其中X是將來某一時刻金融頭寸的集合.對任意的X ∈X和m ∈R+,現(xiàn)金次可加性等價形式還可表示為：R(X+m)+m是m的非減函數(shù).

若現(xiàn)金次可加風(fēng)險度量R滿足正齊次性,即對任意的λ ≥0,有R(λX)=λR(X),則稱R是一致現(xiàn)金次可加風(fēng)險度量.稱有限可加測度μ為次概率測度,若μ ∈M1,f(X),且μ(?)≤1,其中M1,f表示有限可加概率測度的全體,用Ms,f(X)來表示次概率測度的全體.

引理2.1[5]設(shè)R:X→R是現(xiàn)金次可加風(fēng)險度量,則R具有下列的表示形式：

其中αR稱為現(xiàn)金次可加風(fēng)險度量R的懲罰函數(shù).

定義2.2[16]若映射ρ:Xd→R滿足如下性質(zhì)：

1)單調(diào)性:對所有滿足X1≤X2的X1,X2∈Xd,有ρ(X1)≥ρ(X2);

2)現(xiàn)金可加性:對所有的X∈Xd和任意的實數(shù)m,有

3)凸性:對所有的X1,X2∈Xd和任意的λ ∈[0,1],有

則稱映射ρ為投資組合凸風(fēng)險度量.

引理2.2[16]設(shè)映射ρ:Xd→R為投資組合凸風(fēng)險度量,則ρ有如下的表示形式：

其中αmin(Q)為

并且αmin是ρ的最小懲罰函數(shù),即對ρ的任意懲罰函數(shù)α和滿足(2.1)式的αmin,有

進一步,ρ滿足從下連續(xù)性時,投資組合凸風(fēng)險度量ρ還有如下的表示形式：

引理2.3[8]設(shè)(?,F,P)是概率空間,記L0(){X| X:?→,σ(X)?F},其中[?∞,+∞],H ?L0().集合D(H){Z ∈L0()|Z ≥X,?X ∈H} 是非空的,則存在唯一的隨機變量X?∈D(H),對任意的Z ∈D(H),有X?≤Z.此外,若H是定性向上的,即對于任何X1,X2∈H,存在X ∈H使得X ≥max {X1,X2},有

1)存在遞增的序列(Xn)n∈N ∈H,使得Xn ↗X?;

2)如果ess supH的期望存在,則有EP(ess supH)=

設(shè)T >0是一固定的時間,(?,F,Ft,P)是完備的域流空間.Lp(Fi)Lp(?,Fi,Ft,P),當(dāng)1≤p < ∞時,Lp(Fi)表示在域流空間(?,Fi,Ft,P)上關(guān)于Ft可測的p階矩存在的隨機向量全體.當(dāng)p=∞時,L∞(Fi)表示在域流空間(?,Fi,Ft,P)上所有的關(guān)于Ft可測的本性有界隨機向量的全體.用正的隨機向量X來表示收益,負隨機向量?X來表示損失.F0={Φ,?},FT=F.D{Dt|Dt ∈Ft,0≤Dt ≤1,t ∈[0,T]}.L(Fs)L(?,Fi,Fs,P)來表示所有定義在(?,Fi,Fs,P)上關(guān)于Fs可測隨機變量的集合.定義如下的概率測度集

用符號Q來表示Qp ∪Q∞.

3.主要結(jié)論

本小節(jié)主要從貨幣的時間價值出發(fā),首先提出了動態(tài)投資組合現(xiàn)金次可加風(fēng)險度量的研究框架,并給出相應(yīng)的表示定理.進一步,研究動態(tài)投資組合現(xiàn)金次可加風(fēng)險度量在滿足一定條件下的時間相容性問題.把文[15-16]的靜態(tài)投資組合風(fēng)險度量的研究框架推廣到動態(tài)現(xiàn)金次可加框架下進行研究,彌補了在投資組合風(fēng)險度量中貨幣度量單位不在同一時間點上的不足.

定義3.1對任意的X∈Lpd(Ft),s,t ∈[0,T],且s ≤t,映射ρs,t:Lpd(Ft)→L(Fs)滿足下列性質(zhì)：

1)ρ0,t是一個靜態(tài)投資組合風(fēng)險度量;

2)ρt,t(mei)=?m,對于任意的m ∈L(Ft).

則稱ρs,t為條件投資組合風(fēng)險度量.

定義3.1中的性質(zhì)1)的金融含義為,當(dāng)在起始時刻s=0計算風(fēng)險時,條件投資組合風(fēng)險度量就退化到了ρ0,t:Lpd→R靜態(tài)投資組合風(fēng)險度量的情形.性質(zhì)2)的金融含義為,在到期日t時,所有的信息均已被披露,金融頭寸的收益可以視為一個“常數(shù)”.

定義3.2若條件風(fēng)險度量ρs,t:Lpd(Ft)→L(Fs)對s,t ∈[0,T],且s ≤t,滿足如下性質(zhì)

1)單調(diào)性:對所有滿足X1≤X2的X1,X2∈Lpd(Ft),有

2)現(xiàn)金次可加性:對所有的X∈Lpd(Ft)和任意的m ∈L+(Fs),有

集合L+(Fs)表示在L(Fs)上非負的,且關(guān)于Fs可測的隨機變量的全體;

3)凸性:對所有的X1,X2∈Lpd(Ft)和任意的Λ∈L(Fs),且0≤Λ≤1,有

(4)正則性:ρs,t(0)=0.

則稱條件風(fēng)險度量ρs,t為條件投資組合現(xiàn)金次可加風(fēng)險度量.

條件投資組合現(xiàn)金次可加風(fēng)險度量有如下的金融解釋:單調(diào)性表示收益越大,相應(yīng)的風(fēng)險越小; 現(xiàn)金次可加性表示在X某個頭寸上追加m單位的現(xiàn)金,相應(yīng)的風(fēng)險減少的并沒有m那么多; 凸性表示分散投資能較少風(fēng)險; 正則性在某種意義下指無損失就無風(fēng)險.

性質(zhì)3.1設(shè)映射ρt:Lpd(F)→R,且定義

則ρt是條件投資組合現(xiàn)金次可加風(fēng)險度量.

證單調(diào)性:設(shè)X1,X2∈Lpd(F),X1≥X2,兩邊取期望

從而有

在(D,Q)∈D × Qt上,對上式兩邊取本性上確界,不等式仍然是成立的.因此就有ρt(X1)≤ρt(X2).

凸性:假設(shè)λ是Ft可測的隨機變量,且滿足0≤λ ≤1,對于任意的X1,X2∈Lpd(F),有

現(xiàn)金次可加性:設(shè)m是Ft可測非負的隨機變量.對任意的X∈Lpd(F),有

于是就有ρt(X+mei)≥ρt(X)?m.

因此,根據(jù)定義3.2可知,滿足(3.1)式的ρt是條件投資組合現(xiàn)金次可加風(fēng)險度量.命題得證.

定義3.3如果條件投資組合風(fēng)險度量ρt:L∞d(F)→R對于任意的A ∈Ft,X,Y∈L∞d(F),滿足

則稱條件投資組合風(fēng)險度量ρt是規(guī)范的.

定理3.1設(shè)ρt:Lpd(F)→L(Ft)是條件投資組合現(xiàn)金次可加風(fēng)險度量,是有限的,且則下列性質(zhì)是等價的.

1)ρt是從上連續(xù)的:(Xn)n∈N?Lpd(F),Xn ↘X,有ρt(Xn)↗ρt(X).

2)ρt有如下的表示形式

其中

并且是ρt的最小懲罰函數(shù),即對ρt的任意懲罰函數(shù)βt,均有

證2)?1),ρt可通過(3.2)式來表示.設(shè)Xn ↘X,有單調(diào)收斂定理可得

其中Q∈Qt.于是就有

另一方面,ρt的單調(diào)性暗含了

1)?2),ρt是從上連續(xù)的,要證

由的定義(3.3)式可得

在上式右邊取本性上確界不等式關(guān)系仍然保持,即有

下證相反的不等式.對任意的X∈Lpd(F),等價于證明如下不等式成立

由投資組合現(xiàn)金可加風(fēng)險度量的表示引理2.2 可知,ρ0,t可表示為如下形式

接下來證明,存在隨機折現(xiàn)因子Dt ∈Dt使得

次概率測度可以分解為μ=cQ,c ∈[0,1]為常數(shù)折現(xiàn)因子,Q∈Md1,Q?P.ρ0,t的表示定理中Q是σ可加的,暗含了相應(yīng)的懲罰函數(shù)β0,t(μ)< ∞.下證,存在Dt ∈D,∈Q滿足,

且由于IN0,tZT ≥0,于是可得IN0,tZT ≡0是幾乎處處成立的.

定義

因此Dt ≥0,且在N0,t上有Dt=0,而且是一個概率測度.下證在Ft上有=P.對于任意的B ∈Ft,由(3.4)式可得

由于BN0,t ∈Ft,根據(jù)條件期望的性質(zhì),就有

由于IN0,tZT ≡0,在域流Ft上=P可得

因此就有μ=.

接下來證明Dt ≤1.采用反證方法,設(shè)P(Dt >1)>0,A={ω:Dt(ω)>1}.由于Dt是Ft可測的,于是就有A ∈Ft.

由于ρt具有凸性,易知ρt是規(guī)范的.由ρt的規(guī)范性可得

這與β0,t <∞是相互矛盾的,因此,0≤Dt ≤1.

于是就有下式

因此,懲罰函數(shù)β0,t可記為

接下來證明EP(βmint(DtQ))=β0,t(DtQ),對于(D,Q)∈D×Qt是成立的.定義CD,Q{DtEQ(?X| Ft)?ρt(X)|X∈Lpd},則有CD,Q是定性向上的.事實上,如果X1,X2∈Lpd.定義ZX1IA+X2IAc ∈Lpd,其中A有下式給出

顯然A ∈Ft.由ρt具有規(guī)范性可知

于是就有

因此,CD,Q是定向向上的.由引理2.3可知,對任意的(D,Q)∈D×Qt,有

于是就有

對于為ρt的最小懲罰函數(shù)易得.命題得證.

當(dāng)僅研究期初和期末兩個時間點的投資組合風(fēng)險度量問題時,定理3.1就退化為文[6]的定理4.10.當(dāng)研究對象由投資組合變?yōu)閱蝹€資產(chǎn)時，定理3.1就退化為引理2.1.

時間相容性是動態(tài)風(fēng)險度量中一個很重要的性質(zhì),它描述了不同時刻間風(fēng)險度量的關(guān)系.在動態(tài)投資組合現(xiàn)金可加風(fēng)險度量中,只要其可接受集、懲罰函數(shù)或在不同域流空間上的測度滿足一定條件下,動態(tài)投資組合現(xiàn)金可加風(fēng)險度量就具有時間相容性.但對于動態(tài)投資組合現(xiàn)金次可加風(fēng)險度量,還需要附加一些條件,自身才具有時間相容性.

定義3.4設(shè)ρt:Lpd(F)→L(Ft)是條件投資組合現(xiàn)金次可加風(fēng)險度量,則序列(ρt)t∈[0,T]稱為動態(tài)投資組合現(xiàn)金次可加風(fēng)險度量.

記Ds,t{Ds,t| Ds,t ∈[0,1],Ds,t ∈Fs,s,t ∈[0,T],s ≤t},Qs,t{Q|Q?P,Q|Fs=P}.(ρs,t)s,t∈[0,T]是動態(tài)投資組合現(xiàn)金次可加風(fēng)險度量,根據(jù)定理3.4其表示定理有如下形式：

其中X∈Lpd(Ft),Ds,t視為隨機折現(xiàn)因子,是ρs,t的最小懲罰函數(shù),且關(guān)于Fs是可測的.單位向量ei的下標(biāo)i是任意固定值.

對不同域流空間上的概率測度Qs,t,懲罰函數(shù)βs,t和隨機折現(xiàn)因子Ds,t等做如下假設(shè).

(a)概率測度集Qs,t滿足:

(a1)設(shè)r,s,t ∈[0,T],且r ≤s ≤t,任意的Q1∈Qr,s,Q2∈Qs,t,存在粘合測度Q∈Qr,t,使得

即對任意的X∈Lpd(Ft),有EQ(X|Fr)=EQ1[(EQ2(X|Fs)|Fr)ei];

(a2)對任意的Q1∈Qr,s,Q2∈Qs,t和A ∈Fr,存在Q∈Qr,t,使得

(b)對任意的Q1∈Qr,s,Q2∈Qs,t,D1∈Dr,s,D2∈Ds,t,r,s,t ∈[0,T],且r ≤s ≤t,存在Q∈Q,D ∈D,使得

(c)對任意的D1s,t ∈Ds,t,D2s,t ∈Ds,t,A ∈Fs,s,t ∈[0,T]且s ≤t.隨機折現(xiàn)因子Ds,t ∈D滿足

(d)對懲罰函數(shù)β滿足:

(d1)對任意的Q∈Q,D ∈D,r,s,t ∈[0,T],且r ≤s ≤t,有

(d2)對任意的Q1,Q2∈Qs,t,D1s,t,D2s,t ∈Ds,t,A ∈Fs,s,t ∈[0,T],且s ≤t,有

定理3.2當(dāng)Q,D和懲罰函數(shù)βt滿足(a),(b),(c)和(d)假設(shè)時,動態(tài)投資組合現(xiàn)金次可加風(fēng)險度量(ρt)t∈[0,T]滿足時間相容性.

證令s ≤t ∈[0,T],X∈Lpd(Ft).首先證明集合

是定向向上的,定義

其中

顯然A ∈Fs.根據(jù)(a),(c)和(d)的假定,于是有

因此集合CX是定向向上的.所以,存在一個遞增序列CX,使得

對任意的r,s,t ∈[0,T],且r ≤s ≤t.由ρr,t的表示定理以及假設(shè)(b)和(d)可得

下證反向不等式ρr,s(?ρs,t(X))≥ρr,t(X),由ρr,t的表示定理及假設(shè)(a),(b),(d)和Fatou引理可得

于是就有ρr,t(X)=ρr,s(?ρs,t(M)).命題得證.

性質(zhì)3.2設(shè)(ρt)t∈[0,T]是動態(tài)投資組合現(xiàn)金次可加的風(fēng)險度量,若ρt滿足弱時齊性,對任意的s,t ∈[0,T],且s ≤t,X∈Lpd(F)有

1)如果ρt(X)≤0,則ρs(X)≤ρs(?ρt(X)ei);

2)如果ρt(X)≥0,則ρs(X)≥ρs((?ρt(X)ei).

證1)對任意的s,t ∈[0,T],s ≤t,X∈Lpd(F),ρt(X)≤0.由ρt的正則性可知ρt(0)=0.由ρt的現(xiàn)金次可加性得

ρt滿足弱時齊性,于是就有

2)利用1)類似的方法,結(jié)論易證.

4.結(jié)語

本文基于貨幣具有時間價值這一金融市場實際,在一般空間LPd(Ft)上建立了動態(tài)投資組合現(xiàn)金次可加風(fēng)險度量的研究框架,利用風(fēng)險度量公理化定理給出了動態(tài)資產(chǎn)組合現(xiàn)金次可加風(fēng)險度量的概念,并給出了相應(yīng)的表示定理,推廣了文[5,15-16]關(guān)于靜態(tài)投資組合風(fēng)險度量和現(xiàn)金次可加風(fēng)險度量的結(jié)論.并討論了概率測度、懲罰函數(shù)和隨機折現(xiàn)因子在滿足假定條件下動態(tài)投資組合現(xiàn)金次可加風(fēng)險度量的時間相容性問題.