蔡文華, 王慶武

(四川大學(xué)物理學(xué)院, 成都 610065)

1 引 言

眾所周知,作為描述夸克—膠子相互作用的有效理論,量子色動(dòng)力學(xué)(QCD)是粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型中相當(dāng)重要的一部分. QCD理論是研究自然界四大基本相互作用之一—強(qiáng)相互作用的理論. 而動(dòng)力學(xué)手征對(duì)稱殘缺(DCSB)和夸克顏色禁閉是QCD的兩個(gè)基本特征. 研究QCD相圖的學(xué)者可能會(huì)對(duì)有限體積和非零夸克化學(xué)勢(shì)條件下的手征非禁閉相變感興趣. 因?yàn)橥ㄟ^這些研究,我們希望可以得到對(duì)自然和早期宇宙更加深刻的見解. 由于QCD復(fù)雜的非阿貝爾特征,人們現(xiàn)在很難對(duì)DCSB和夸克禁閉有一個(gè)全面的理解. 在QCD微擾領(lǐng)域中,即有大量動(dòng)量傳遞的過程,由于其有效耦合常數(shù)很小,因此可以直接以微擾的方法去研究. 然而,在只有少量動(dòng)量傳遞的過程,耦合常數(shù)變得很大并且開始波動(dòng). 在這些強(qiáng)耦合的非微擾領(lǐng)域,我們傾向于使用非微擾的有效理論來研究相關(guān)問題,例如格點(diǎn)QCD模型[1],DSE模型[2]等. 本文使用的NJL模型[3]便是研究非微擾問題比較成功的一個(gè)理論.

NIL模型作為一個(gè)成功的理論模型,被廣泛用于研究在QCD臨界點(diǎn)附近的保守電荷漲落. 在NJL模型中,夸克和膠子是基本的自由度,其所有的作用項(xiàng)都被簡化為了四體相互作用. 并且,它的拉格朗日方程是建立在自然界中已經(jīng)被觀測(cè)到QCD的基本對(duì)稱現(xiàn)象之上. 盡管在NJL模型中沒有夸克禁閉實(shí)現(xiàn)的機(jī)制,但它現(xiàn)在仍是研究非微擾QCD簡單有效的方法.文獻(xiàn)[4-7]介紹了NJL模型最新的一些應(yīng)用.

基于熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理的建立和大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的積累,目前對(duì)一些宏觀物質(zhì)的相變研究已經(jīng)非常熟練[8],但對(duì)于核物質(zhì)的相變來講還處于摸索前進(jìn)狀態(tài). 這是由于對(duì)核物質(zhì)的認(rèn)識(shí)還有許多不確定的地方,其中就包括核物質(zhì)的QCD相結(jié)構(gòu)和其高溫非零重子化學(xué)勢(shì)下QCD相圖上相變點(diǎn)的存在性. 盡管對(duì)于一些保守量,例如重子、電荷量和奇異數(shù)等的起伏在相對(duì)論重子碰撞中能相對(duì)比較容易地被檢測(cè)到,但仍需構(gòu)建模型來對(duì)實(shí)驗(yàn)獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行解釋,并進(jìn)一步檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?

在零溫條件下,Gell-Mann-Oakes-Renner(GMOR)關(guān)系[9]在低階近似下嚴(yán)格成立. 由于夸克真空不能被直接觀測(cè),它常被用來定義零溫下的夸克凝聚值. 但當(dāng)使用各種模型并將其推廣到有限溫條件下時(shí),GMOR是否仍然成立并可被利用？如果不成立,又由什么原因引起？這些都是值得研究的問題. 本文內(nèi)容做如下安排:第二部分根據(jù)NJL模型和PTR方案推導(dǎo)出有限溫度下夸克有效質(zhì)量隨溫度變化的關(guān)系[10];第三部分會(huì)導(dǎo)出NJL模型下π介子衰變常數(shù)和π介子質(zhì)量隨溫度的變化, 從而研究GMOR關(guān)系在該方案下的成立曲線. 結(jié)論在第四部分.

2 NJL模型和PTR方案

由于本文使用NJL模型,故使用以下拉格朗日密度(本文的所有計(jì)算都將在歐式空間進(jìn)行,并且取味Nf=2,取色Nc=3).

LNJL=LO+LI=

(1)

盡管NJL模型的成功表明在某種程度上如此簡單的一個(gè)模型也能抓住QCD的某些關(guān)鍵要素,但是,由于該模型不涉及重整化,因此需要引入一些表征相互作用截?cái)嗟膭?dòng)量標(biāo)度來避免可能的紫外發(fā)散以及紅外發(fā)散. 下面的工作將把正時(shí)正規(guī)化(proper time regularization)方案的雙截?cái)喟姹?PTR-2)運(yùn)用于雙味NJL模型,并使用傳統(tǒng)的方法來修正參數(shù). PTR-2的關(guān)鍵方程為:

(2)

在方程(1)的平均場近似中,有效夸克質(zhì)量M通常能通過自洽能隙方程決定:

(3)

而該式中雙夸克凝聚被定義為:

(4)

其中G(p)為帶色夸克的傳播介質(zhì),它的跡與味、色和狄拉克空間有關(guān).根據(jù)洛倫茲結(jié)構(gòu)解析,在這種情況下溫度和化學(xué)勢(shì)都為0, 即T=μ=0,因此,G(p)應(yīng)為以下形式:

G-1(p)=ipA(p2)+B(p2)

(5)

其中,A(p2)和B(p2)是p2的標(biāo)量函數(shù). 易得兩式的解分別為A(p2)≡1和B(p2)≡M.代入PTR-2,推導(dǎo)得出:

(6)

把(6)代入能隙方程(3)

(7)

由(7)可以得到這個(gè)模型的4個(gè)參數(shù):裸夸克質(zhì)量m,耦合強(qiáng)度常數(shù)G,以及兩個(gè)截?cái)鄥⒘緼UV和AIR. 因?yàn)锳IR是為了模擬禁閉而被引入的,它的值應(yīng)該根據(jù)核子半徑的實(shí)驗(yàn)值進(jìn)行修正. 本文采用AIR=235 MeV,以與半徑實(shí)驗(yàn)數(shù)值0.84 fm相匹配[11].

(8)

將其代入能隙方程,得到M(T)

(9)

根據(jù)獲得的M(T)關(guān)系,可以對(duì)不同的T給出數(shù)值解. 圖1是根據(jù)表1所給出的3組參數(shù)而繪制的M(T)圖像.

表1 文中所用的3組參數(shù)

圖1 有效夸克質(zhì)量隨溫度的變化關(guān)系M(T)Fig.1 Effective quark mass M as a function of temperature T

從圖1可以看出,曲線很明顯地分為3段:低溫段(0～50 MeV)、中溫段(50～225 MeV)、高溫段(>225 MeV),其分別代表不同的相,這與用格點(diǎn)QCD模型和其他模型方案所得的結(jié)果相一致[12-13]. 在低溫段,夸克發(fā)生手征對(duì)稱自發(fā)破缺,夸克獲得有效質(zhì)量,但沒有發(fā)生相變;中溫段是從夸克凝聚手征自發(fā)破缺到手征恢復(fù)的過渡,發(fā)生熱核相變,有效質(zhì)量急劇減小;在高溫段,手征對(duì)稱性恢復(fù),相變完成,有效質(zhì)量不再變化,根據(jù)Nambu-Goldstone 理論,如果此時(shí)m=0,則夸克有效質(zhì)量M=0. 在非零化學(xué)勢(shì)下,可以在中溫段定義相變點(diǎn)(CEP),而在實(shí)驗(yàn)中如何找到這個(gè)點(diǎn)成為如今高能物理實(shí)驗(yàn)中十分重要的一個(gè)課題.

3 GMOR關(guān)系

在NJL模型中,π介子衰變常數(shù)可以通過真空到單π和軸向矢量電流矩陣元的Feynman圖導(dǎo)出,如圖2所示.

圖2 真空到單π躍遷和軸向矢量流矩陣元的Feynman圖Fig.2 Vacuum to one-pion and axial-vector current matrix element, as a Feynman diagram

對(duì)圖2中的過程使用獨(dú)立正則化方案,可以推出:

(10)

很多有效模型可以計(jì)算介子質(zhì)量,比如手征夸克模型,Dyson-Schwinger 方法[14]以及弦模型[15]等. 在NJL模型,計(jì)算π介子質(zhì)量有以下方程

(11)

其中

(12)

接下來討論在該方案下的GMOR關(guān)系隨溫度的變化. 1968年,Gell-Mann, Oakes和Renner根據(jù)獨(dú)立正則化方案的流代數(shù)結(jié)果導(dǎo)出關(guān)系式:

(13)

該等式的低階近似在零溫條件下成立,根據(jù)在NJL模型中運(yùn)用正時(shí)正則化方案可以導(dǎo)出,在有限溫下,該關(guān)系式各項(xiàng)都是T的函數(shù). 對(duì)該關(guān)系式進(jìn)行合理變形:

(14)

為了消除絕對(duì)誤差對(duì)研究上帶來的不便,根據(jù)百分偏差的定義,令:

(15)

為了方便對(duì)比,將M(T)進(jìn)行歸一化處理,定義相對(duì)有效夸克質(zhì)量M1(T)

M1(T)=M(T)/M(T=0)

(16)

依據(jù)以上的推導(dǎo)及結(jié)果作出B(T)和M1(T)圖像,見圖3. 其中圖像上部為3組M1(T)的關(guān)系,圖像下部為3組B(T)的關(guān)系.

圖3 GMOR關(guān)系式的百分偏差B和相對(duì)有效夸克質(zhì)量M1隨溫度T的變化關(guān)系Fig.3 The percentage deviation of GMOR relation B and the relative effective quark mass M1 as a function of temperature T

對(duì)于GMOR關(guān)系式,低溫條件下,在誤差允許范圍內(nèi),等式成立,但隨著溫度升高,在大于某一個(gè)閾值(50 MeV附近)時(shí),曲線向上彎曲,說明此時(shí)凝聚值相對(duì)介子和衰變常數(shù)值乘積降低,等式不再成立. 通過對(duì)比B(T)和M1(T),可以看出,B(T)和M1(T)開始出現(xiàn)變化的起始溫度幾乎相同,說明GMOR等式的失效與凝聚變化有關(guān),即與手征破缺恢復(fù)有關(guān).

4 結(jié) 論

本文基于雙味NJL模型,采用了正時(shí)正規(guī)化方案(PTR),推導(dǎo)了有限溫下夸克凝聚隨溫度的變化,以及夸克凝聚時(shí)夸克質(zhì)量隨溫度的變化,并研究了GMOR關(guān)系式在此條件下隨溫度變化的成立情況. 結(jié)果表明,在零溫附近,GMOR等式在誤差允許范圍內(nèi)成立,但隨著溫度的升高,超過某一界限(50 MeV附近)后,等式不再成立,且等式兩邊的偏差值越來越大.這是因?yàn)槲覀儗㈥P(guān)系式中涉及的有效耦合強(qiáng)度G視為常量,但更加深入的研究表明,我們似乎沒有足夠的證據(jù)這么做. 因此有足夠的理由懷疑,在有限溫條件下繼續(xù)把有效耦合強(qiáng)度G視為常數(shù)并不合理,但至于G與什么因素有關(guān)且關(guān)系如何,還需要進(jìn)一步研究和討論.一些學(xué)者的最新研究表示G可能與溫度有關(guān),并試圖探究兩者之間的關(guān)系. 另外,在有限溫有限密下可能存在多解,即南部解和維格納解共存. 本文研究的只是南部解. 研究多解情況下GMOR關(guān)系的成立情況,也非常有意義,這對(duì)在高能實(shí)驗(yàn)中尋找相變點(diǎn)具有重要的指導(dǎo)作用.