呂田碧, 嚴(yán) 蔚, 李俊華, 王浩杰, 李春陽(yáng)

裝配式框架結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)特性分析

呂田碧, 嚴(yán) 蔚*, 李俊華, 王浩杰, 李春陽(yáng)

（寧波大學(xué) 土木與環(huán)境工程學(xué)院, 浙江 寧波 315211）

針對(duì)裝配式框架結(jié)構(gòu)中梁柱節(jié)點(diǎn)呈半剛性的特點(diǎn), 采用回傳射線矩陣法研究了結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)特性. 對(duì)每個(gè)裝配式框架結(jié)構(gòu)中梁、柱分別采用2種不同的局部坐標(biāo)系, 并考慮力的平衡條件、位移協(xié)調(diào)條件及框架邊界條件, 建立了含半剛性節(jié)點(diǎn)的三層框架結(jié)構(gòu)的回傳射線矩陣方程. 采用MATLAB軟件編程得到了框架結(jié)構(gòu)的前18階固有頻率, 并與有限元模擬作對(duì)比分析, 驗(yàn)證了回傳射線矩陣法在處理半剛性節(jié)點(diǎn)問(wèn)題的有效性與正確性. 計(jì)算分析表明, 結(jié)構(gòu)的固有頻率對(duì)節(jié)點(diǎn)的半剛性特性非常敏感. 研究結(jié)果將為半剛性節(jié)點(diǎn)的裝配式結(jié)構(gòu)的動(dòng)力設(shè)計(jì)提供參考.

裝配式結(jié)構(gòu); 半剛性節(jié)點(diǎn); 回傳射線矩陣; 自由振動(dòng)

近年來(lái), 裝配式混凝土結(jié)構(gòu)越來(lái)越多地應(yīng)用在高層建筑和大跨橋梁等重要工程中, 隨之而來(lái)的就是設(shè)計(jì)上的種種難題和應(yīng)用時(shí)的健康監(jiān)測(cè), 其中引起廣泛關(guān)注的就是結(jié)構(gòu)中梁柱之間的連接. 大量研究表明, 梁柱節(jié)點(diǎn)并不是傳統(tǒng)上為簡(jiǎn)化計(jì)算而采用的剛接或鉸接理想方式[1-2]. 實(shí)際工程中, 由于混凝土澆筑不均等原因造成的節(jié)點(diǎn)連接與原設(shè)計(jì)不符, 剛接或鉸接連接方式的設(shè)計(jì)方法顯然已不能滿足要求. 研究還表明, 裝配式混凝土節(jié)點(diǎn)梁柱采用半剛性節(jié)點(diǎn)連接, 既具有剛節(jié)點(diǎn)可以傳遞彎矩特性, 又有在梁柱之間產(chǎn)生一定轉(zhuǎn)角的鉸性優(yōu)勢(shì), 這恰恰是最接近實(shí)際的節(jié)點(diǎn)連接方式[3-5]. 所以, 對(duì)裝配式鋼筋混凝土節(jié)點(diǎn)梁柱連接節(jié)點(diǎn)的正確認(rèn)識(shí), 定能為今后裝配式鋼筋混凝土節(jié)點(diǎn)的設(shè)計(jì)提供更安全可行的保障. 此外, 對(duì)于半剛性連接框架, 如果簡(jiǎn)單按照剛性框架來(lái)進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力的計(jì)算, 必然會(huì)產(chǎn)生較大的誤差, 節(jié)點(diǎn)柔度對(duì)結(jié)構(gòu)的自振頻率有很大影響. 半剛性節(jié)點(diǎn)剛度的降低必然將降低結(jié)構(gòu)的自振頻率, 特別是對(duì)結(jié)構(gòu)的基本頻率影響較大. 由于結(jié)構(gòu)振動(dòng)性能主要取決于結(jié)構(gòu)的基本振型, 所以節(jié)點(diǎn)的半剛性程度將對(duì)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力性能產(chǎn)生較大影響, 設(shè)計(jì)時(shí)也應(yīng)考慮連接半剛性對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力性能的影響.

對(duì)于框架結(jié)構(gòu)等此類桿系系統(tǒng), 常用的動(dòng)力分析方法有有限元法、傳遞矩陣法和回傳射線矩陣法等. 其中, 回傳射線矩陣法具有明確的物理意義、避免矩陣中大指數(shù)項(xiàng)的出現(xiàn)等特點(diǎn), 避免了傳遞矩陣法中常出現(xiàn)數(shù)值運(yùn)算困難的問(wèn)題[6-7], 該方法已廣泛應(yīng)用于框架、樁等結(jié)構(gòu)分析中. 嚴(yán)蔚等[8]結(jié)合壓電阻抗技術(shù)對(duì)含裂縫智能梁的振動(dòng)特性進(jìn)行了研究, 陳進(jìn)浩等[9]也采用回傳射線矩陣法考察了框架結(jié)構(gòu)瞬態(tài)波動(dòng)響應(yīng)及自振頻率等, 余云燕等[10]基于回傳射線矩陣法研究了成層土中部分埋入黏彈性樁頂處速度導(dǎo)納及反射波.

本文采用Timoshenko梁理論來(lái)描述框架結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性, 將半剛性節(jié)點(diǎn)模擬成無(wú)質(zhì)量但有一定剛度的轉(zhuǎn)動(dòng)彈簧, 利用回傳射線矩陣法得到結(jié)構(gòu)的固有頻率, 并與有限元法模態(tài)分析得到的固有頻率做對(duì)比, 來(lái)驗(yàn)證回傳射線矩陣法應(yīng)用于含半剛性節(jié)點(diǎn)的框架結(jié)構(gòu)的可行性和有效性. 最后的計(jì)算結(jié)果將為裝配式框架結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)尤其是動(dòng)力設(shè)計(jì)提供一定的理論依據(jù).

1 框架結(jié)構(gòu)的動(dòng)力分析

考察一個(gè)含半剛性節(jié)點(diǎn)的裝配式框架結(jié)構(gòu), 如圖1所示, 圖中節(jié)點(diǎn)呈現(xiàn)半剛性特點(diǎn),柱底部考慮固結(jié).

主體結(jié)構(gòu)控制方程為:

在簡(jiǎn)諧力作用下, 考慮穩(wěn)態(tài)響應(yīng), 可假設(shè):

由式(1)和式(2)可得:

式中:

,

2 回傳射線矩陣法求解步驟

在節(jié)點(diǎn), 需同時(shí)滿足以下平衡條件和位移協(xié)調(diào)條件:

考慮到節(jié)點(diǎn)的半剛性特點(diǎn), 有

其中,是半剛性節(jié)點(diǎn)的剛度. 根據(jù)式(8)和式(9)可得節(jié)點(diǎn)的局部散射矩陣如下:

把各節(jié)點(diǎn)以及2個(gè)支座的所有局部散射關(guān)系結(jié)合起來(lái), 可得整個(gè)框架結(jié)構(gòu)體系的散射關(guān)系:

分別是結(jié)構(gòu)整體的出射波向量和入射波向量. 整體的散射矩陣為:

由此可得:

寫成矩陣形式:

同樣, 所有的梁、柱段都可類似得到相位關(guān)系. 值得注意的是, 所有相位關(guān)系的指數(shù)函數(shù)都不含有正的指數(shù)項(xiàng), 這也是回傳射線矩陣法能夠避免數(shù)值不穩(wěn)定、精準(zhǔn)實(shí)現(xiàn)解析解的關(guān)鍵所在.

分別所有的節(jié)點(diǎn)及固定端中引入新的局部坐標(biāo)向量如下:

式中,為3×3的單位矩陣.

這樣一來(lái), 框架整體結(jié)構(gòu)的相位關(guān)系可隨之獲得:

由式(12)、式(20)和式(22)聯(lián)立可得:

其中,被稱為回傳射線矩陣;為出射波波幅向量;為入射波波幅向量; 它們是與結(jié)構(gòu)振動(dòng)的圓頻率有關(guān). 本文采用動(dòng)力特性分析中的自由振動(dòng)來(lái)求解固有特性:

3 算例分析

首先考察如圖1所示三層框架結(jié)構(gòu), 梁、柱尺寸及慣性矩等數(shù)據(jù)見(jiàn)表1, 泊松比=0.3[11], 剪切因子取=5/6[12]. 梁長(zhǎng)度為4m, 柱長(zhǎng)3.6m, 其中~為半剛性節(jié)點(diǎn). 選用BEAM3單元來(lái)構(gòu)建裝配式框架結(jié)構(gòu)模型中梁柱單元, BEAM3單元是一種可承受拉、壓、彎作用的單軸單元, 單元中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)有3個(gè)自由度, 即沿和方向的線位移及繞軸的角位移[13-14]. COMBIN14單元用于半剛性模擬, 相當(dāng)于彈簧作用在梁柱的節(jié)點(diǎn)處. 此單元具有一維、二維或三維應(yīng)用中的軸向或扭轉(zhuǎn)的性能, 軸向的彈簧-阻尼器選項(xiàng)是一維的拉伸或壓縮單元, 它的每個(gè)節(jié)點(diǎn)都具有3個(gè)自由度—–,,的軸向移動(dòng).

本文中, 半剛性節(jié)點(diǎn)模擬的實(shí)現(xiàn)是定義一個(gè)固定的彈簧剛度, 在梁柱節(jié)點(diǎn)相同的位置定義2個(gè)不同的節(jié)點(diǎn)—–耦合橫向和縱向位移, 最后將彈簧單元設(shè)置在相同節(jié)點(diǎn)處, 定義好模型后, 采用有限元模態(tài)分析功能, 來(lái)得到模型的固有頻率.

有限元ANSYS模擬三層框架結(jié)構(gòu), 其中, 除底部固定節(jié)點(diǎn)處, 其他節(jié)點(diǎn)采用同個(gè)坐標(biāo)的2個(gè)或3個(gè)節(jié)點(diǎn), 在同個(gè)坐標(biāo)的2個(gè)節(jié)點(diǎn)之間建立無(wú)長(zhǎng)度的彈簧單元來(lái)實(shí)現(xiàn)半剛性特性.

采用回傳射線矩陣法求解含半剛性節(jié)點(diǎn)的固有頻率時(shí), 取半剛性節(jié)點(diǎn)的初始轉(zhuǎn)動(dòng)剛度為,取5×103~1×105kN·m·rad-1[15-16], 將值代入式(10)中,即可求出點(diǎn)的散射矩陣, 其余節(jié)點(diǎn)同理可得. 改變框架中半剛性節(jié)點(diǎn)的剛度, 將所有公式編程輸入MATLAB軟件中, 采用二分法原理求行列式實(shí)部或虛部零點(diǎn)的求解方法[17], 分別求得各階固有頻率值(表2).

表2 三層結(jié)構(gòu)不同節(jié)點(diǎn)剛度的固有頻率數(shù)據(jù)

表3 六層結(jié)構(gòu)不同節(jié)點(diǎn)剛度的固有頻率數(shù)據(jù)

此外, 本文還進(jìn)一步考察了一個(gè)六層裝配式框架結(jié)構(gòu). 除底部固結(jié)外, 其余節(jié)點(diǎn)與裝配式結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)呈現(xiàn)半剛性一致, 框架結(jié)構(gòu)系數(shù)參照以上三層框架數(shù)據(jù). 求得節(jié)點(diǎn)半剛性不同的結(jié)構(gòu)固有頻率值與全部為剛性節(jié)點(diǎn)的自由頻率見(jiàn)表3.

由表2和表3可見(jiàn), 總體而言, 采用回傳射線矩陣法得到的結(jié)構(gòu)前18階固有頻率與有限元結(jié)果基本符合. 同時(shí), 與節(jié)點(diǎn)剛性連接時(shí), 比較可以發(fā)現(xiàn), 由于框架節(jié)點(diǎn)的半剛性特點(diǎn), 對(duì)應(yīng)的模態(tài)頻率都有明顯的降低, 而且, 隨著節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的降低, 對(duì)應(yīng)的固有頻率也進(jìn)一步降低. 表明對(duì)于裝配式框架結(jié)構(gòu)而言, 在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中, 尤其當(dāng)考慮動(dòng)力因素時(shí), 應(yīng)審慎考察節(jié)點(diǎn)的半剛性特點(diǎn).

最后, 還與框架試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果作對(duì)比分析, 將文獻(xiàn)[18]中七層節(jié)點(diǎn)剛性連接的鋼框架試驗(yàn)結(jié)果與本文回傳射線矩陣法得到的固有頻率結(jié)果進(jìn)行對(duì)比. 從表4可見(jiàn), 兩者結(jié)果吻合非常好, 進(jìn)一步驗(yàn)證了本文方法的可行性和精確性.

表4 對(duì)比試驗(yàn)結(jié)果數(shù)據(jù)及偏差

4 結(jié)語(yǔ)

將回傳射線矩陣法應(yīng)用到含半剛性節(jié)點(diǎn)框架結(jié)構(gòu)的動(dòng)力分析中. 為了驗(yàn)證回傳射線矩陣法對(duì)含半剛性節(jié)點(diǎn)的框架結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析的正確性和有效性, 與有限元方法構(gòu)建的含半剛性節(jié)點(diǎn)的框架結(jié)構(gòu)模型得到的固有頻率進(jìn)行對(duì)比研究. 同時(shí), 回傳射線矩陣法是通過(guò)經(jīng)典的Timoshenko梁理論, 經(jīng)過(guò)動(dòng)力學(xué)分析求解出的顯式解析解, 各參數(shù)具有更明確的物理意義. 而有限元模擬的結(jié)構(gòu)模型受到單元及劃分網(wǎng)格不同等原因的影響較大.

研究結(jié)果還表明, 隨著節(jié)點(diǎn)半剛性特性的出現(xiàn), 結(jié)構(gòu)的固有頻率顯著降低, 并且隨著節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的降低, 結(jié)構(gòu)固有頻率也有所降低. 所以, 在裝配式結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)中, 尤其是動(dòng)力設(shè)計(jì)中, 應(yīng)該審慎考慮節(jié)點(diǎn)的半剛性特性. 同時(shí), 本文編程程序的統(tǒng)一化也為工程實(shí)踐中含半剛性節(jié)點(diǎn)的其他桿系結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)研究提供了一種有效、便捷的計(jì)算途徑. 所以, 雖然本文只研究了三層、六層的裝配式框架結(jié)構(gòu), 但是該方法很容易擴(kuò)展應(yīng)用到更復(fù)雜, 層數(shù)更多的框架中.

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Free vibration analysis of prefabricated frame structures with semi-rigid joints

Lü Tianbi, YAN Wei*, LI Junhua, WANG Haojie, LI Chunyang

( School of Civil and Environmental Engineering, Ningbo University, Ningbo 315211, China )

Due to the semi-rigid properties of beam-column joints, a method of reverberation-ray matrix is employed to investigate the free vibration of the prefabricated frame structures. Two different local coordinate systems are used for the beams and columns in the prefabricated frame structure. Considering the conditions of the force balance, the coordination conditions of the displacement and the boundary conditions of the frame, the reverberation-ray matrix formulations are established for a three-storey prefabricated frame structure with semi-rigid joints. The first 18-order natural frequencies of the frame structure are calculated in MATLAB. The results are compared with those from finite element simulation, which verifies the effectiveness and correctness of the present method in dealing with the dynamics of a framed structure with semi-rigid nodes. The numerical analysis shows that the natural frequencies are very sensitive to the semi-rigid properties of the prefabricated frame structures. Furthermore, the results of this study will provide theoretical ground for the future dynamical design of the prefabricated structures.

prefabricated structure; semi-rigid joins; reverberation-ray matrix; free vibration

TU323.5

A

1001-5132（2020）01-0088-07

2018?12?18.

寧波大學(xué)學(xué)報(bào)（理工版）網(wǎng)址: http://journallg.nbu.edu.cn/

國(guó)家重點(diǎn)研發(fā)計(jì)劃項(xiàng)目（2016YFC0701804）; 寧波市自然科學(xué)基金（2017A610315, 2018A610353）.

呂田碧（1992－）, 女, 河北廊坊人, 在讀碩士研究生, 主要研究方向: 防災(zāi)減災(zāi)及防護(hù)工程. E-mail: 1050392916@qq.com

嚴(yán)蔚（1968－）, 男, 浙江寧波人, 博士/教授, 主要研究方向: 智能材料與結(jié)構(gòu)力學(xué). E-mail: yanwei@nbu.edu.cn

（責(zé)任編輯 章踐立）