何 昕 蘆傳洋 崔文慶 曹雪梅

（1. 黃河水利職業(yè)技術學院機械工程學院 河南 開封475000；2. 河南科技大學機電工程學院，河南 洛陽471003）

直齒錐齒輪的齒廓實際上為一球面曲線，微小的加工誤差即會對齒輪副的嚙合性能產(chǎn)生影響[1-2]。 因此，對直齒錐齒輪建立精確的數(shù)學三維模型是分析其承載能力和嚙合性能的前提。

文獻[3]提出了直齒錐齒輪三維參數(shù)化掃描成形建模方法， 通過參數(shù)建立球面漸開線和齒根曲線，再由此作出片體，但存在不穩(wěn)定性誤差。 文獻[4]在Plo/E 中建立直錐數(shù)學模型， 在MSC.Marc 中進行三維彈性有限元模擬，考慮了輪轂下齒輪剛性變化情況，但其所建模型轉(zhuǎn)換過程存在較為明顯的誤差。文獻[5]根據(jù)球面漸開線的生成原理，使用Pro/E 軟件，采用由線到面再到實體的方式，實現(xiàn)了直齒錐齒輪系建模的精確化與參數(shù)化，但整體依托建模軟件，缺乏直齒錐齒輪成形原理依據(jù)。

本文以刨齒機上刨削直齒錐齒輪為基礎，建立直齒錐齒輪齒面方程?；诖?，編寫齒面點求解程序，利用MATLAB 導出精確齒面點數(shù)據(jù)，在UG 中生成直錐單側(cè)齒面片， 通過直錐幾何原理， 對其單側(cè)齒面片在分度圓上分錐線鏡像生成輪齒齒槽， 進而完成直齒錐齒輪精確數(shù)學建模。

1.刨齒展成法直錐齒面方程

圖1 切齒坐標系

直齒錐齒輪的齒形切齒加工一般在刨齒機上通過刨削實現(xiàn)，本文選取一對輪位修正量和床位均為零的直錐齒輪進行實驗。 在刨齒機上加工直錐輪坯時，刨刀安裝在搖臺處刀架上，隨搖臺做旋轉(zhuǎn)運動產(chǎn)生范成齒形，同時往復直線運動切削輪坯。 刀具刀刃是一條直線，刀具沿著xc方向運動，此時xcoczc為產(chǎn)形面坐標平面。

建立直齒錐齒輪切齒坐標系如圖1 示。 圖中：α—被加工齒輪的壓力角；Φg—搖臺轉(zhuǎn)角；δf—被加工齒輪根錐角；Φ1—被加工齒輪轉(zhuǎn)角。

通過求解產(chǎn)形面和被加工齒面之間的嚙合方程，可得直齒錐齒輪齒面方程。

2.直齒錐齒輪精確數(shù)學建模

表1 齒輪基本幾何參數(shù)

在MATLAB 中通過直齒錐齒輪齒面方程導出單側(cè)齒面片齒面點族DAT 文件。 以表1 齒輪副參數(shù)進行精確數(shù)學建模， 在UG 中生成精確直錐單側(cè)齒面片模型[6-9]，如圖2 所示。

圖2 齒面片體

為了建立精確的直齒錐齒輪三維模型， 本文提出了一種基于直錐幾何原理的建模方法：根據(jù)分度圓上分錐線轉(zhuǎn)動每一度所對應的弧長即分度圓齒厚，求解出兩個齒面片之間分錐線所轉(zhuǎn)動角度，由此計算出鏡像基準線位置。

式 (1) 中，L 為兩齒面片之間分度圓齒厚；N為齒厚所對應圓心角度；S 為每度所對應弧長。

通過選取分度圓上鏡像基準分錐線， 對單側(cè)齒面片進行鏡像，得到等基圓錐齒輪兩側(cè)齒面片。通過MATLAB 可求出另一側(cè)齒面片齒面點族，導入UG 中和鏡像齒面完全吻合， 進一步驗證了程序和所選鏡像基準線的正確性，如圖3 所示。

圖3 對稱齒面片體

此時， 在UG 的建模模塊通過對齒面片進行縫合等一系列操作，生成直齒錐齒輪小輪模型，同時對直錐大輪進行三維模型。 對直錐齒輪副進行裝配和運動仿真，得到齒輪副虛擬接觸區(qū)域，如圖4 所示建模裝配和運動仿真過程。

圖4 齒輪副的裝配圖

在UG 的運動仿真模塊， 通過主動輪帶動從動輪嚙合滾動，調(diào)制齒輪顯示顏色，可以清晰看出兩齒輪齒面間接觸印痕，如圖5 所示齒輪副虛擬滾檢印痕圖。

圖5 齒輪副虛擬滾檢印痕圖

3.齒面接觸分析

齒面接觸分析（TCA）可以模擬滾檢時齒面的接觸印痕和傳動誤差，也是分析齒輪實際工況下承載能力、振動噪聲的前提。 通過編寫直齒錐齒輪齒面接觸分析程序，分析其幾何傳動誤差曲線以及齒面接觸印痕圖形。 通過和虛擬滾檢得到的接觸印痕相對比進行相互佐證以驗證分析結(jié)論的正確性[10-13]。

圖6 傳動誤差和齒面接觸印痕

從圖6 中觀察可得：直齒錐齒輪傳動誤差曲線為開口向下的拋物線，兩側(cè)拋物線平滑略不對稱；接觸跡線上所選取的接觸點接觸的橢圓長軸近似無窮大，方向沿著其所在的接觸線且通過節(jié)錐頂點。

直錐齒面為一直紋面，母線通過節(jié)錐，在錐齒輪傳動時大小輪直紋面的母線相接觸，此時接觸橢圓長軸應為無窮大，方向沿主、被動輪齒面上接觸線方向， 即實驗結(jié)果滿足理論依據(jù)。

4.結(jié)論

（1）根據(jù)刨齒機刨削直錐過程，建立錐齒輪齒面方程，提取齒面點族數(shù)據(jù)。 基于齒輪幾何原理，提出以分度圓上弧齒厚控制理論依據(jù)來精確建模，實驗表明模型精確無誤，理論依據(jù)滿足建模要求。

（2）對精確建立的齒輪副模型進行虛擬運動仿真，以其虛擬滾檢得到的接觸印痕和齒面接觸分析程序所得接觸印痕相對比基本吻合，進一步驗證了模型的精確性和本文所提出建立直錐理論方法的正確性。