殷婷婷，賈方秀，于紀言，王曉鳴

(南京理工大學 智能彈藥技術國防重點學科實驗室,江蘇 南京 210094)

0 引言

固定鴨舵式雙旋彈道修正彈具有性價比高、結構簡單及平臺適應性強等優(yōu)點，已成為當前軍事裝備領域的研究熱點[1]。當舵翼在隔轉(zhuǎn)摩擦力矩、控制力矩和差動舵提供的反向氣動力矩作用下到達指定位置時，同向舵為彈丸提供側向操縱力和力矩，實現(xiàn)二維彈道修正，因此舵翼滾轉(zhuǎn)位置控制是實現(xiàn)彈道修正的重要研究方向[2-3]。雙旋彈道修正彈具有非線性時變特性，因此基于該平臺的舵翼滾轉(zhuǎn)位置控制系統(tǒng)也是一個非線性系統(tǒng)，主要包含參數(shù)不確定性(如隨溫度及磨損變化的摩擦特性參數(shù)、電氣增益等)和不確定性非線性(如橫風等未建模外干擾、非線性摩擦等)，這些模型不確定性成為限制控制性能的重要因素[4]。

為了提高非線性時變控制系統(tǒng)的跟蹤性能，許多學者提出了不同的解決方案。為了降低系統(tǒng)參數(shù)不確定性的影響，自適應控制器已被廣泛應用，但這些控制器無法處理不確定非線性[5]。然而，橫風和非線性摩擦等不確定非線性是雙旋彈丸舵翼滾轉(zhuǎn)位置控制中的主要障礙，Alyaqout等[6]提出以魯棒控制器消除上述不確定非線性的影響，但忽略了參數(shù)不確定性的影響。為了同時處理參數(shù)不確定性和不確定非線性，Yao等[7]提出了一種適用于非線性系統(tǒng)的自適應魯棒控制策略，但該方法始終存在控制誤差，容易造成彈道修正偏差；Chang[8]提出了一種自適應滑?？刂品椒?，控制誤差趨近于0，但由于存在不連續(xù)函數(shù)，容易造成系統(tǒng)抖振；Patre等[9]提出一種基于誤差符號的積分魯棒與自適應相結合的控制方法，保證了控制精度和控制輸入的連續(xù)性，但該方法無法處理舵翼滾轉(zhuǎn)系統(tǒng)中的時變外部擾動等不匹配誤差。舵翼滾轉(zhuǎn)系統(tǒng)固有的非線性特性以及各種時變不確定性，迫切需要設計更先進可靠的非線性控制策略。

雙旋彈丸舵翼與彈體之間隔轉(zhuǎn)機構的非線性時變摩擦特性也是影響控制性能的重要因素。前期試驗結果證明，隔轉(zhuǎn)機構摩擦阻尼與鴨舵軸向壓力和相對滾轉(zhuǎn)速率有關[10]。為了同時考慮摩擦中的靜摩擦、庫侖效應和動態(tài)轉(zhuǎn)速效應[11-12]，LuGre摩擦模型得到了廣泛應用[13]；然而LuGre模型中的符號項不連續(xù)，不利于控制器設計。Yao等[14]提出以雙曲正切函數(shù)近似不連續(xù)的符號函數(shù)，保證了摩擦模型的連續(xù)性。建立雙旋通道的連續(xù)可微LuGre摩擦模型，是實現(xiàn)舵翼滾轉(zhuǎn)位置控制器設計和分析的重要環(huán)節(jié)。

基于以上分析，本文針對舵翼滾轉(zhuǎn)位置控制系統(tǒng)，建立包含連續(xù)可微摩擦模型的系統(tǒng)數(shù)學模型?；贚yapunov分析法設計了一種將改進的連續(xù)LuGre摩擦模型與魯棒自適應控制相結合的控制策略。該控制方法在在線自適應估計系統(tǒng)參數(shù)、摩擦狀態(tài)及外干擾基礎上引入擾動補償反饋項，以盡可能降低系統(tǒng)對參數(shù)不確定性以及時變擾動的敏感度，并通過仿真驗證了控制器的有效性。

1 舵翼滾轉(zhuǎn)位置控制系統(tǒng)描述及數(shù)學模型

舵翼滾轉(zhuǎn)位置控制系統(tǒng)以基于永磁同步發(fā)電機(PMSG)的雙旋電磁執(zhí)行機構為執(zhí)行器，輸出舵翼滾轉(zhuǎn)控制所需的電磁控制力矩。舵翼在電磁控制力矩Mc、氣動力矩Ma和隔轉(zhuǎn)摩擦力矩Md的共同作用下到達指令位置，如圖1所示。圖1中：fd為系統(tǒng)其他未建模干擾，如模型誤差、外部橫風氣流擾動和未建模動態(tài)等；u為系統(tǒng)控制輸入。

圖1 雙旋彈丸舵翼滾轉(zhuǎn)位置控制系統(tǒng)原理圖Fig.1 Schematic diagram of rudder roll control system in dual-spin projectile

在舵翼滾轉(zhuǎn)位置閉環(huán)控制系統(tǒng)中，系統(tǒng)采用高頻響應的電磁執(zhí)行機構，考慮到電氣響應速度遠遠高于機械部分，本文建模時忽略電流環(huán)動態(tài)，將電流環(huán)近似簡化為比例環(huán)節(jié)[15]，根據(jù)牛頓第二定律，系統(tǒng)動力學模型為

(1)

式中：J為舵翼轉(zhuǎn)動慣量；θf為舵翼滾轉(zhuǎn)位置；Kn為最大電磁控制力矩相對于轉(zhuǎn)速n的系數(shù)；θp為彈體滾轉(zhuǎn)位置；t為彈丸出炮口的時間。

(1)式中的氣動力矩Ma由舵翼的舵面尺寸、斜置角和滾轉(zhuǎn)狀態(tài)共同決定[16]，如(2)式所示：

(2)

為同時兼顧摩擦特征和控制器設計要求，基于雙旋彈丸隔轉(zhuǎn)機構的滾轉(zhuǎn)特征，以雙旋隔轉(zhuǎn)機構滾轉(zhuǎn)模型代替原模型中的滾轉(zhuǎn)角速度變量，連續(xù)可微LuGre摩擦模型可改寫為

(3)

式中：ωr為雙旋隔轉(zhuǎn)機構滾轉(zhuǎn)角速度；σ0、σ1、σ2為表征摩擦特征的權重因子；z為模型引入的鬃毛平均變形狀態(tài)量；Fs為靜摩擦力；Fc為庫侖摩擦力，與雙旋彈丸前后級之間的軸向壓力有關[16]；a1、a2、a3為表征摩擦特性的形狀系數(shù)。

為了在實驗中優(yōu)化離散的控制器，定義正定函數(shù)N(ωr)=ωr/g(ωr)，則摩擦模型可改寫為如(4)式所示的形式。函數(shù)N(ωr)的正定性可作為后續(xù)控制器穩(wěn)定性證明的依據(jù)，

(4)

(5)

式中：d(t)為未建模擾動。

(6)

系統(tǒng)控制器的設計目標如下：給定系統(tǒng)參考信號x1d(t)，基于所建立的舵翼滾轉(zhuǎn)系統(tǒng)非線性模型，設計一個有界的控制輸入u，使系統(tǒng)在存在摩擦、非線性以及時變參數(shù)和擾動不確定性問題的情況下，系統(tǒng)的輸出x1盡可能快速準確地跟蹤x1d(t)。為便于控制器設計，作以下假設：

假設2定義未知參數(shù)集θ以及不確定非線性項d(t)均有界，即

θ∈{θ:θmin≤θ≤θmax}，|d(t)|≤D，

(7)

式中：θmin和θmax已知，θmin=[θ1min,…,θ6min]T，θmax=[θ1max,…,θ6max]T；D為未知常數(shù)。

2 魯棒自適應控制器設計

2.1 參數(shù)自適應設計

2.1.1 模型不確定性參數(shù)集自適應率設計

由于彈藥發(fā)射條件不完全一致，修正組件也存在個體差異，基于地面和靶場試驗的模型辨識參數(shù)與實際值間必然存在偏差，即為控制系統(tǒng)的參數(shù)不確定性?？刂破骼脤嶒灥玫降哪Ｐ蛥?shù)為初始值，采用在線自適應估計的方法，實現(xiàn)對每發(fā)實驗彈丸參數(shù)的準確估計。將對參數(shù)集θ的估計記作，將估計誤差記作即定義如下參數(shù)自適應不連續(xù)投影映射函數(shù)[17]：

(8)

式中：τi為參數(shù)θi自適應函數(shù)，i=1,…,6.

采用以下參數(shù)自適應律：

(9)

式中：Γ為正定對角自適應矩陣；τ為參數(shù)集θ的自適應函數(shù)，具體形式將在控制器設計中給出。不連續(xù)的參數(shù)映射具有如下特性[17]：

∈{:θmin≤≤θmax}，

(10)

(11)

2.1.2 時變非線性摩擦狀態(tài)量自適應率設計

摩擦力矩與雙旋轉(zhuǎn)速和軸向風阻力相關，由于氣流擾動，軸向風阻力具有不可預測性。除此之外，摩擦力矩受軸承的各向異性、裝配影響嚴重。因此，摩擦是系統(tǒng)中不確定性非線性問題之一。在LuGre摩擦模型中，狀態(tài)量z為不可測的非線性變量。該狀態(tài)量與狀態(tài)空間方程中的兩項有關，需要對兩項中的z值分別進行自適應估計，自適應律表示[18]為

(12)

(13)

z的上下界可以根據(jù)LuGre摩擦模型推導得出，即zmax=Fs，zmin=-Fs.1和2滿足如下性質(zhì)[18]：

zmin≤j≤zmax，

(14)

(15)

2.1.3 非線性時變擾動上界自適應率設計

彈丸飛行過程中，氣流不穩(wěn)定造成的舵翼滾轉(zhuǎn)位置抖動和未建模的電磁執(zhí)行機構電氣動態(tài)特性等均為系統(tǒng)擾動因素。由于擾動上界是未知狀態(tài)，需要對擾動上界進行估計，自適應律可以表示[19]為

(16)

(17)

式中：D的上下界可根據(jù)前期試驗數(shù)據(jù)推導得出；滿足如下性質(zhì)[19]：

Dmin≤≤Dmax，

(18)

(19)

2.2 基于改進摩擦模型的魯棒自適應控制器設計

定義舵翼滾轉(zhuǎn)控制系統(tǒng)位置跟蹤誤差e1、輔助誤差量e2以及正定反饋增益k1分別為

(20)

傳遞函數(shù)H(s)=e1(s)/e2(s)=1/(s+k1)是穩(wěn)定的，即e2與e1同步趨近于0，s為復變量?；趀1與e2的同步性，系統(tǒng)控制器的設計目標可由使得輸出x1盡可能快速準確地跟蹤x1d(t)，轉(zhuǎn)化為使得e2盡可能地小。

結合(6)式和(20)式，可得

(21)

設計魯棒自適應控制器u為

(22)

式中：k2為正定反饋增益；ua為具有在線參數(shù)自適應功能的可調(diào)整模型補償項；us1為線性負定反饋項，用來穩(wěn)定系統(tǒng)的名義模型；us2為用于處理建模不確定性的非線性魯棒反饋項。

將(22)式中的控制參數(shù)u代入動態(tài)方程(21)式，可得

(23)

式中：φ[f1ua,f2,f3x2,-1,N(x3)2,-x3]T；設計魯棒項

(24)

在呈現(xiàn)所設計控制器的主要性能之前，先給出本文中將要用到的控制器參數(shù)的數(shù)學特性。

2.3 控制器的穩(wěn)定性證明

在給出控制器的穩(wěn)定性證明之前，先確定參數(shù)自適應律中的自適應函數(shù)τ、η1、η2和ψ如下：

τ=φe2，
η1=x3-N(x3)1-γ1e2，
η2=x3-N(x3)2-γ2N(x3)e2，
ψ=γ3e2，

(25)

式中：γ1、γ2、γ3分別為正定的自適應學習增益。

選取如下Lyapunov函數(shù)：

(26)

求(26)式函數(shù)V對時間微分，并結合(20)式、(22)式和(24)式，可得

(27)

由θ1≥θ1min、|d(t)|≤D和投影函數(shù)特性，可得

(28)

根據(jù)引理2，可得

(29)

由引理3，可得

(30)

結合自適應函數(shù)τ的特性及θ的投影特性，可得

(31)

根據(jù)LuGre摩擦模型中z的動態(tài)特性，可得

(32)

結合自適應函數(shù)η1和η2及z的投影特性可知，

(33)

整理(33)式可得

(34)

將(34)式對時間進行積分，結合引理1，可得

(35)

3 仿真實驗結果及分析

為了驗證控制器的有效性，結合前期實驗數(shù)據(jù)建立舵翼滾轉(zhuǎn)位置控制系統(tǒng)仿真模型。模型以155 mm炮射高旋彈丸外彈道特性為輸入，給定階躍形式的位置指令x1d(t)=1，t>20，對舵翼滾轉(zhuǎn)位置控制系統(tǒng)進行仿真。為了評估控制器的穩(wěn)態(tài)跟蹤性能，以前期靶場試驗數(shù)據(jù)為參考，外部干擾和反饋測量噪聲分別選取幅值為0.03和5×10-4的隨機噪聲。分別選取以下5種控制器進行雙旋彈丸固定鴨舵滾轉(zhuǎn)位置控制的對比仿真。

1)本文所提基于改進LuGre的魯棒自適應摩擦補償控制器(RALuGre)。舵翼滾轉(zhuǎn)系統(tǒng)參數(shù)如下：J=2.757×10-4kg·m2，S=0.018 9 m2，d=0.155 0 m，H(0)=0，δ=4°.控制器增益k1=200，k2=15，選定與系統(tǒng)仿真模型存在偏差的參數(shù)作為參數(shù)集自適應的初始值：(0)=[0.3,-1×104,4×10-5,1,0,8×10-5]，1(0)=2(0)=0，(0)=0.01;界限：θmax=[1,-1×102,4×10-4,10,10,1×10-4]T，zmax=-zmin=0.1，θmin=[0.1,-1×105,4×10-6,0,-10,1×10-5]T，Dmax=0.1，Dmin=0；對角自適應律矩陣選為Γ=diag{0.01,1,1,1×104,1×102,10}；γ1=γ2=1×10-5，γ3=100.

2)基于摩擦補償?shù)聂敯艨刂破?RLuGre)。在RALuGre控制器的基礎上去除參數(shù)自適應，對比驗證參數(shù)自適應對于非線性時變系統(tǒng)的重要性。

3)基于摩擦補償?shù)淖赃m應控制器(ALuGre)。在RALuGre控制器的基礎上去除基于擾動估計的非線性魯棒補償項，對比驗證魯棒補償項的重要性。

4)魯棒自適應控制器(RAC)。RAC控制器參數(shù)值與RALuGre參數(shù)值相同，對比驗證連續(xù)可微摩擦模型的可靠性以及摩擦補償?shù)谋匾浴?/p>

5)基于速度前饋補償?shù)谋壤? 積分- 微分(PID)控制器(PIDVF)。將舵翼滾轉(zhuǎn)位置誤差項轉(zhuǎn)化為速度誤差，并基于速度閉環(huán)進行前饋補償。

為了評估控制算法的性能，將控制響應時間Tc、最大跟蹤誤差M、平均跟蹤誤差μ以及跟蹤誤差標準差σ作為性能指標，結果如圖2、圖3和表1所示。

圖2 舵翼滾轉(zhuǎn)位置動態(tài)響應曲線Fig.2 Response curves of rudder roll position control

圖3 舵翼滾轉(zhuǎn)位置控制跟蹤誤差曲線Fig.3 Error curves of rudder roll position control

從圖2和圖3中的曲線以及表1中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以看出，經(jīng)典PIDVF對于高度非線性時變擾動系統(tǒng)控制響應較為緩慢且跳動較大，而RALuGre、RLuGre、ALuGre和RAC均優(yōu)于PIDVF.RALuGre的跟蹤誤差小于RAC，證明了基于改進LuGre摩擦模型的參數(shù)估計和補償方法更精確；RALuGre和RLuGre曲線證明了時變參數(shù)自適應估計對于穩(wěn)定控制的必要性；對比ALuGre和RALuGre可知，在控制器中加入擾動補償魯棒性，系統(tǒng)跟蹤誤差可進一步減小。

表1 不同控制器的控制性能指標參數(shù)Tab.1 Performance indexes of rudder roll position controllers

由5組仿真實驗結果可知，RALuGre控制器的優(yōu)越性如下：RALuGre控制器采用在線自適應方法對不確定性參數(shù)進行估計，同時結合LuGre摩擦模型對摩擦特征量進行估計，繼而在對外部擾動上界進行估計的基礎上利用魯棒反饋項進行補償。

綜上所述，本文仿真結果驗證了所設計基于改進LuGre摩擦模型魯棒自適應控制器的有效性，控制器能夠很快收斂并趨于穩(wěn)定，驗證了本文設計方法的穩(wěn)定性和可靠性。

4 結論

本文以基于PMSG為電磁執(zhí)行機構的舵翼滾轉(zhuǎn)位置控制系統(tǒng)為研究對象，建立了包含改進連續(xù)可微LuGre摩擦模型的系統(tǒng)狀態(tài)方程，推導得出了魯棒自適應控制器。設計自適應律估計不確定性參數(shù)、摩擦特征量以及時變擾動的上界，根據(jù)估計結果設計魯棒反饋項和模型補償項。最后基于Lyapunov穩(wěn)定性理論證明了系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性；通過5種典型控制器的仿真實驗結果對比驗證了本文所設計控制器的有效性和可靠性。得出以下主要結論：

1)基于魯棒自適應控制方法所設計的魯棒補償項和模型補償項，能夠有效削弱參數(shù)不確定性和包含摩擦和外部擾動的不確定性非線性對系統(tǒng)控制性能的影響。

2)基于改進連續(xù)可微LuGre摩擦模型的魯棒自適應控制方法實現(xiàn)了對非線性摩擦狀態(tài)量的較好估計，對比實驗結果表明該方法能夠大幅度降低跟蹤誤差的幅值。

本文旨在為雙旋彈道修正彈固定舵翼滾轉(zhuǎn)位置控制系統(tǒng)提供控制策略和方法，考慮到電磁執(zhí)行機構的動態(tài)特征會對舵翼位置控制系統(tǒng)高頻動態(tài)產(chǎn)生影響，后續(xù)將針對該影響因素開展更深入的研究。