顧穎 程軍

近日在初三數(shù)學(xué)解題研討活動中，備課組成員在做常州2020中考數(shù)學(xué)第27（2）時，對于市場上提供的參考答案出現(xiàn)了激烈爭論，并提出了不同的見解和解法，到底哪種方法更適合學(xué)生？現(xiàn)將研討主要過程摘錄如下，以饗讀者.

1 原題呈現(xiàn)

首先連接MN，根據(jù)兩點間距離公式求出MN=25，作NE⊥MF，根據(jù)特征數(shù)含義，求出NE=10，設(shè)E（a，b），再根據(jù)兩點間距離公式，把NE用a，b表示出來，在Rt△MNE，運用勾股定理結(jié)合兩點間距離公式，列出方程組，下面的問題交給解方程組即可，有2組解，正好求得兩個點，從而解決問題.這種方法避開了構(gòu)造基本圖形的難點，解題思路簡潔，主要精力集中在解二元二次方程組上.

3 究竟哪種方法更適合學(xué)生

上述四種解法，其中前三種都涉及到了構(gòu)建基本相似圖形，說明初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，建立模型十分重要，建模能力也是數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，教師應(yīng)努力向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)建模意識，培養(yǎng)構(gòu)建基本圖形的能力，模型思想有利于促進(jìn)學(xué)生思維定式的正遷移.

解法四比較特別，一看就是高中的解析幾何法，沒有模型的影子，就是利用兩點間距離公式，結(jié)合勾股定理，理解沒有難點，但真正算起來，超出了初中階段教學(xué)要求（二元二次方程組，目前初中不作要求）.兩點間距離公式是高中內(nèi)容，其實質(zhì)是勾股定理的拓展，在平面直角坐標(biāo)系涉及到點點距離經(jīng)常碰到，建議有條件的話可以補充.

3.1 若學(xué)生有確定性思想引導(dǎo)，則解法二最適合學(xué)生

解法二運用數(shù)學(xué)確定思想，知道Rt△MNH是確定的，即它的三邊都已知，它的形狀大小唯一確定，可求.通過構(gòu)造的△MSN和△HTN全等（或相似，且相似比已知），從而可以表示兩三角形對應(yīng)邊之間的關(guān)系，結(jié)合幾何圖形性質(zhì)，設(shè)其中一條線段長為a，找到數(shù)量關(guān)系，列出方程，此時方程往往比較簡單，運算量小，基本秒解.有了確定性思想，學(xué)生往往解題方向明了，思路清晰，直入主題.這種做法直觀操作性強，有一定思維量，運算簡單，但容易漏解.要多畫圖形，綜合考慮各種情況.

3.2 從不遺漏解答情況的角度看，則解法三更適合學(xué)生

解法三與解法二最大的不同是，不漏解，雖然只研究一個圖形但包含了兩種情況.先設(shè)坐標(biāo)F（a，0），用橫坐標(biāo)表示線段長，通過勾股定理和基本圖形，列出方程（出現(xiàn)平方），這里平方包含了兩種情況，避免了漏解情況，這是解法三的優(yōu)勢.但列出的方程3a2+26a-77=0解起來有點難.

3.3 從思維力度輕重看，解法四顯得更“短平快”

解法四則完全拋開了模型構(gòu)圖，先設(shè)坐標(biāo)，用兩點間距離公式表示線段NE和運用勾股定理列出方程MN2=ME2+NE2，思維量小，重點在解方程組上，解題效果很好，不易漏解，應(yīng)試效率高，在考試爭分中也有一席之地.

顯然解法一學(xué)生容易想到的，但最難實現(xiàn)，主要是涉及到分式運算繁雜，運算量大，教學(xué)時可以研究但不值得向?qū)W生推薦.解法二和三是目前課堂教學(xué)解題的主要方向，滲透了建模思想，考察了學(xué)生構(gòu)建基本圖形的能力，確定性思想和方程思想都是核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容.

4 對今后解題教學(xué)的啟示

4.1 注重構(gòu)建基本圖形的解題模型，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺和數(shù)學(xué)建模能力

“一線三等角”（“即K字型”）、“母子型”相似等是相似中的非常重要的基本圖形;、“直角三角形（等腰直角三角形）”等圖形都是解題常見的基本圖形.基本圖形具有強大生命力，經(jīng)得起實踐檢驗，往往蘊含著基本知識和基本方法，在復(fù)雜圖形中，能找到或構(gòu)造基本圖形，可以直接獲取基本圖形所蘊含的結(jié)論和方法，實現(xiàn)思維跳躍.平時教學(xué)時引導(dǎo)學(xué)生熟悉圖形，熟記結(jié)論，多多積累經(jīng)驗，培養(yǎng)學(xué)生觀察力、聯(lián)想力.心中儲藏的基本圖形多了，熟悉了，解題時數(shù)學(xué)直覺自然而然就產(chǎn)生了.解法二、三都構(gòu)造了基本相似模型，圖形簡單，結(jié)論有用，威力無窮.

4.2 注重滲透數(shù)學(xué)確定性思想，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力

要帶著確定性思想分析，樹立“確定的必可求解”的意識，特別是三角形的確定性特征.在學(xué)習(xí)全等三角形時，出現(xiàn)了“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”等方法，滿足上述三條件，三角形形狀大小就唯一確定，這就是三角形的確定性思想的體現(xiàn).又如銳角α的正切值為13，盡管α不知道確切值，但要明確α角度已知.這種確定思想十分重要，如上述解法二中的直角△MNH，兩邊已知，它就是一個形狀大小唯一確定的圖形，“K字型”Rt△MSH和Rt△NHT的邊之間有必然的數(shù)量關(guān)系，為下一步列出方程指明了方向.確定性思想有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力，優(yōu)化解題策略，提高解題能力.

4.3 注重必備的運算技能，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算能力

運算能力一直是初中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的硬傷.學(xué)生普遍計算能力弱，一算就錯.數(shù)學(xué)運算是初中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，可見基本的數(shù)學(xué)運算是學(xué)生必備素養(yǎng)，教學(xué)時注重提升學(xué)生的計算能力.法一涉及到分式運算和解分式方程;法三涉及到解一元二次方程（十字相乘法），法四涉及到求兩點間距離，解二元二次方程組，都要運算，可以說，沒有運算就沒有真正的數(shù)學(xué).運算技能越早抓越有利，并且應(yīng)螺旋上升，不斷提高，如基本的口算能力，有理數(shù)的運算能力，分式的運算能力等等在不同學(xué)段有不同體現(xiàn).