陶 強(qiáng)

(重慶市潼南中學(xué)校 重慶 402660)

著名數(shù)學(xué)家波利亞曾說(shuō)，“要成為一個(gè)好的數(shù)學(xué)家，……你必須首先是一個(gè)好的猜想家”“數(shù)學(xué)也許往往像猜想游戲，在你證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前，你先得猜測(cè)到這個(gè)定理的內(nèi)容，在你完全作出詳細(xì)證明之前，你先得推測(cè)證明的思路”“在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，猜想是合理的，值得尊重的，是負(fù)責(zé)任的態(tài)度”。高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)明確指出，要組織、引導(dǎo)學(xué)生“經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明等數(shù)學(xué)過(guò)程”。通過(guò)有目的的假設(shè)與猜想，從而進(jìn)行檢驗(yàn)與論證、歸納，可以解決很多數(shù)學(xué)問(wèn)題。

一、明確直覺(jué)思維能力與猜想能力培養(yǎng)之間的關(guān)系

（一）猜想為直覺(jué)思維的發(fā)生創(chuàng)造有利條件

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，給學(xué)生留一定的空間與時(shí)間讓他們有思考的余地，巧妙設(shè)置問(wèn)題與提示，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有的知識(shí)、原理，對(duì)知識(shí)的內(nèi)在、外在進(jìn)行聯(lián)系，歸納、類比及整合。對(duì)問(wèn)題進(jìn)行合理探究，大膽對(duì)問(wèn)題進(jìn)行假設(shè)與猜想，再通過(guò)反復(fù)推理、檢驗(yàn)、研究、論證得出正確的結(jié)論，把課堂真正地交給學(xué)生，發(fā)揮學(xué)生的主體性地位，時(shí)時(shí)給予肯定、點(diǎn)撥，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造力，激發(fā)學(xué)生的直覺(jué)思維[1]。

（二）直覺(jué)思維能力的培養(yǎng)可加強(qiáng)猜想能力的培養(yǎng)

數(shù)學(xué)猜想是根據(jù)已知數(shù)學(xué)條件和數(shù)學(xué)原理對(duì)未知量及其關(guān)系做出的假設(shè)與推斷，是一種探索性思維。猜想與數(shù)學(xué)直覺(jué)有密切關(guān)系。物理學(xué)家牛頓認(rèn)為“沒(méi)有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”“預(yù)見(jiàn)結(jié)論，途徑便可以有的放矢”。解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，教師可以將自己的思維切入點(diǎn)及猜想角度剖析給學(xué)生，從而激發(fā)學(xué)生利用直覺(jué)及對(duì)問(wèn)題獨(dú)特的觀察力進(jìn)行大膽猜測(cè)。

二、數(shù)學(xué)猜想和直覺(jué)思維能力培養(yǎng)應(yīng)具備的基本條件

（一）教師首先要會(huì)猜想

一位既不懂猜想也不會(huì)猜想的教師不能培養(yǎng)出具有高水平猜想能力的學(xué)生。教猜想必須懂猜想、會(huì)猜想。數(shù)學(xué)教師具備較高的猜想能力，懂得現(xiàn)代教育心理理論，大膽地猜想和教猜想，同時(shí)密切關(guān)注學(xué)生的思維發(fā)展?fàn)顩r，摸索猜想規(guī)律，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，并在理論上加以探索、論證。

（二）探索適合猜想的數(shù)學(xué)教學(xué)模式

數(shù)學(xué)教學(xué)必須注重知識(shí)的發(fā)生過(guò)程，但真正能做到展示知識(shí)的生動(dòng)發(fā)生過(guò)程的，惟有讓學(xué)生參與猜想。要真正體現(xiàn)學(xué)生的主體性，就必須使學(xué)生的認(rèn)知過(guò)程是一個(gè)再創(chuàng)造的過(guò)程。數(shù)學(xué)教師必須發(fā)揮自己的聰明才智，總結(jié)當(dāng)前好的教學(xué)模式，探索出符合培養(yǎng)猜想能力的教學(xué)模式。

（三）做好猜想的學(xué)法指導(dǎo)

拉卡托斯指出：樸素的猜想構(gòu)成了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的邏輯實(shí)際出發(fā)點(diǎn)。從某種意義上可以斷言，沒(méi)有猜想和證明就沒(méi)有數(shù)學(xué)。因此，應(yīng)教會(huì)學(xué)生怎樣猜想，如引導(dǎo)他們?cè)鯓诱喜牧?、提出疑?wèn)，如何猜想結(jié)果或問(wèn)題解決的途徑；介紹各種實(shí)現(xiàn)猜想的途徑、步驟、規(guī)律、方法；共同研究猜想途徑的合理性和有效性等。

三、數(shù)學(xué)猜想和直覺(jué)思維能力的培養(yǎng)基本方法

（一）歸納性方法猜想

歸納法是先提出猜想之后再證明的。數(shù)學(xué)教師要選擇具有可猜因素的材料，讓學(xué)生在問(wèn)題情境中去思考，根據(jù)一定數(shù)量的特例進(jìn)行觀察、分析，應(yīng)用不完全歸納法得出有關(guān)命題的形式、結(jié)論或方法的猜想，叫歸納猜想。歸納猜想是數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維的一種基本方法，而且，在解題中由歸納猜想可以發(fā)現(xiàn)解題思路，發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，從而獲得超越原有知識(shí)的認(rèn)識(shí)水平[2]。

例：求前n個(gè)自然數(shù)的立方和。

分析：先用幾個(gè)具體的數(shù)字試試看：

13=12

13+23=9=(1+2)2

13+23+33=36=62=(1+2+3)2

歸納猜想：13+23+…+n3=(1+2+…+n)2

這個(gè)猜想的正確性可由數(shù)學(xué)歸納法加以證明。

（二）運(yùn)用類比方法猜想

通過(guò)比較兩個(gè)對(duì)象或問(wèn)題的相似性——部分相同或整體類似，得出數(shù)學(xué)新命題或新方法的猜想叫類比猜想。它是一種從特殊到特殊的推理方法，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，無(wú)論是對(duì)命題本身或解題思路方法，類比都是產(chǎn)生猜測(cè)、獲得命題的推廣和引伸的原動(dòng)力。比如，學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)后，根據(jù)對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，可讓學(xué)生對(duì)照指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)“猜想”對(duì)數(shù)是否也有運(yùn)算性質(zhì)，并通過(guò)對(duì)一些特殊的對(duì)數(shù)值（如lg1，lg2，…lg9，lg10）之間的關(guān)系歸納對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，讓學(xué)生在類比、歸納中得出運(yùn)算性質(zhì)，這樣有利于提高學(xué)生的創(chuàng)造性思維和創(chuàng)新意識(shí)[3]。

（三）直觀性方法猜想

直觀猜想是指在整體觀察和細(xì)部考察的結(jié)合中發(fā)現(xiàn)事物的內(nèi)在規(guī)律，作出直覺(jué)判斷和猜想。例如，三角形的內(nèi)角和是180度。這是一個(gè)十分重要的概念。在教學(xué)中我讓學(xué)生自己動(dòng)手操作，自己尋求三角形內(nèi)角和的答案。這時(shí)，有的學(xué)生將三角形的三個(gè)角分別剪下來(lái)，拼在一起是一個(gè)平角；有的學(xué)生剪下三角形的兩個(gè)角后，再與第三個(gè)角拼在一起同樣可以得出結(jié)論；還有的學(xué)生則用量角器分別量出每個(gè)角的度數(shù)，把三個(gè)角度數(shù)相加。

教師要給學(xué)生營(yíng)造一種寬松、和諧的猜想氛圍，并鼓勵(lì)學(xué)生積極尋找猜想的依據(jù)，探索猜想的合理性和準(zhǔn)確性，通過(guò)自己的實(shí)踐操作檢驗(yàn)猜想的真?zhèn)?。在?shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，猜想的功能是強(qiáng)大的，它可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使他們不斷探索、收獲。它能增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，使他們更為透徹地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)；它又能開(kāi)拓學(xué)生的思維，有利于學(xué)生更快捷地尋找解題思路。有利于更為透徹地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)。

讓我們點(diǎn)燃學(xué)生主動(dòng)探索之火，讓學(xué)生去猜、去想，猜想問(wèn)題的結(jié)論，猜想解題的方向，猜想由特殊到一般的可能，猜想知識(shí)間的有機(jī)聯(lián)系，讓學(xué)生把各種各樣的想法都講出來(lái)，真正成為學(xué)習(xí)的主人。