魏 堯, 張 珊, 尤朋飛

(1.燕山大學 電氣工程學院, 河北 秦皇島 066004;2.國網北京市電力公司, 北京 100089)

0 引 言

分數階(fractional order, FO)控制器近年來在各種過程控制領域中得到了廣泛應用，比如分數階伺服控制系統(tǒng)、智能PID溫度控制算法等。但在控制系統(tǒng)中，積分環(huán)節(jié)、數字系統(tǒng)的采樣和計算等因素都會引發(fā)較大的時滯，致使系統(tǒng)控制部分無法對擾動做出及時響應，進而影響系統(tǒng)的性能，不能滿足工業(yè)中日益提高的產品加工工藝要求和設備精度要求。預測控制等方案為解決時滯問題提供了方法，但實現復雜[1]。因此，引入預估控制器仍不失為解決這類問題的一種較為簡單有效的方案。

最經典的分數階控制器為PIλDμ控制器，相較于整數階PID控制器，其引入了積分階次λ和微分階次μ，擴展了參數選擇范圍[3]；文獻[4]將Smith預估控制器與模糊自整定PID算法相結合，實現了PID參數的自調節(jié),并在時滯系統(tǒng)中獲得了穩(wěn)定性能；文獻[5]將Smith預估控制器引入至內?？刂?Internal Model Control, IMC)器中，實現了基于內模控制的二自由度(2 degree of freedom, 2DOF)Smith預估控制器，使系統(tǒng)的跟隨性與抗擾性能解耦，并且也能夠對含小時滯的過程進行控制；文獻[6-7]提出將分數階(PID)γ控制器引入至內模控制器中，實現了分數階控制器控制整數階系統(tǒng)，但是在有擾動時會產生一定程度的靜差；文獻[8]將分數階PIλ控制器與Smith預估控制器結合，實現對1階時滯過程的控制。

文中針對常見的1階和2階含大時滯過程，基于分數階控制器，首先推導出一種分數階(PD)γSmith預估控制器；之后改進為一種半分數階二自由度Smith預估控制器；最后通過系統(tǒng)的性能指標選定控制器參數后，通過仿真驗證該方法對1階和2階含大時滯過程的有效控制。

1 分數階(PD)γ控制器及Smith預估控制器

1.1 分數階內?？刂破?/h3>

分數階(PID)γ控制器傳遞函數為

(1)

分數階(PD)γ控制器即為式(1)中參數Ki=0時形式。內?？刂平Y構如圖1所示。

圖1 內?？刂平Y構

其中Q(s)為內模控制器，Gp(s)為被控過程，Gm(s)為過程模型，r(s)、y(s)和d(s)分別為系統(tǒng)的給定輸入、輸出和擾動信號。

當系統(tǒng)模型精確時，過程模型Gm(s)與被控過程Gp(s)相等，并且過程模型Gm(s)可逆。

內?？刂破鱍(s)可分為低通濾波部分F(s)和被控過程數學模型中不含滯后環(huán)節(jié)的最小相位穩(wěn)定部分Gm0(s)的逆，即

(2)

令低通濾波部分F(s)表達式為

(3)

式中:η——濾波器時間常數;

γ——分數階階數，1<γ<2。

從而將分數階控制器引入內?？刂浦?。

1階和2階含大時滯過程傳遞函數分別為：

(4)

(5)

所對應的最小相位部分分別為：

(6)

(7)

將式(4)、式(5)和式(3)分別代入式(2)中，可求得內?？刂破鱍(s)形式分別為：

(8)

(9)

1.2 Smith預估控制器

Smith預估控制器結構如圖2所示。

圖2 Smith預估控制器結構

其中Gc(s)為控制器，其余部分含義與內模控制相同。

在被控過程數學模型Gm(s)精確時，給定輸入r(s)和干擾信號d(s)至輸出y(s)的閉環(huán)傳遞函數分別為:

(10)

(11)

式中：A=(Gm0(s)-Gm(s))。

由圖2可以看出，特征方程中的滯后環(huán)節(jié)被消除，進而設計控制器時無需考慮該部分。

2 分數階(PD)γ Smith預估控制器

2.1 常規(guī)分數階(PD)γ Smith預估控制器

將分數階(PD)γ控制器的形式引入至Smith預估控制器中。對于控制器Gc(s)的設計，可參考大林算法的思想，將系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數式(10)設定為如下較為穩(wěn)定的形式

(12)

將式(4)、式(6)和式(5)、式(7)分別代入式(10)中，可得：

(13)

(14)

從式(13)和式(14)可以看出，該控制器可調參數少，實現較為容易。

2.2 半分數階二自由度(PD)γ Smith預估控制器

通過分析文獻[3]中分數階控制器控制整數階被控對象的結果發(fā)現，分數階控制器在抑制擾動時會導致系統(tǒng)的性能下降，產生一定程度的靜差。二自由度控制的寓意是將系統(tǒng)的跟隨性能與抗擾性能進行解耦，使用兩個控制器對兩種性能分別進行控制。因此，在二自由度控制中，將跟隨控制器使用分數階，而干擾抑制控制器使用整數階來控制整數階對象是一種較為可行的思路，可將其稱為半分數階二自由度控制。

二自由度Smith預估控制器結構如圖3所示。

圖3 二自由度Smith預估控制器結構

當模型精確時，有：

(15)

Gyd(s)=[1-Gm(s)Gc2(s)]Gp(s),

(16)

由上式可看出，系統(tǒng)跟隨性和抗擾性實現了解耦，跟隨性僅和跟隨控制器Gc1(s)有關，抗擾性僅和干擾抑制控制器Gc2(s)有關。

采用分數階(PD)γ控制器的形式設計跟隨控制器Gc1(s)，根據系統(tǒng)的跟隨性能傳遞函數式(15)同樣設計為式(12)的穩(wěn)定形式。由于二自由度Smith預估控制器與Smith預估控制器的跟隨性表達式相同，可求得半分數階二自由度Smith預估控制器跟隨控制器Gc1(s)的傳遞函數也為式(13)和式(14)。

對于干擾抑制控制器Gc2(s)的設計，采用整數階控制器的形式。將其拆分為低通濾波部分F(s)和被控過程數學模型中不含滯后環(huán)節(jié)的最小相位穩(wěn)定部分Gm0(s)的逆，即式(2)的形式，分別對1階和2階含大時滯過程選取低通濾波部分F(s)為：

(17)

(18)

λ——低通濾波器F(s)的時間常數;

α、α1、α2——分別為濾波器F1(s)和F2(s)函數中的中間常數。

可以通過確定中間常數實現干擾抑制控制器中零點與被控過程中慣性環(huán)節(jié)的極點對消，實現主導極點左移，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性。最后可求得干擾抑制控制器Gc2(s)傳遞函數分別為：

(19)

(20)

2.3 分數階(PD)γ控制器參數整定

Smith預估控制器結構使系統(tǒng)的特征方程中不含滯后環(huán)節(jié)，因此在設計控制器時，可不考慮系統(tǒng)時滯的作用，僅考慮系統(tǒng)的最小相位部分Gm0(s)。為了滿足系統(tǒng)的魯棒性，通常已知系統(tǒng)設計所需滿足的相角裕度PM，即系統(tǒng)達到穩(wěn)定臨界狀態(tài)所需附加的相角滯后量，將其用于控制器參數整定中。根據經典控制理論，開環(huán)傳遞函數Gop(s)的幅值和相位指標參數定義及性質，有：

PM=180°+φ(ωc),

(21)

20lg|A(ωc)|=0,

(22)

式中:ωc——系統(tǒng)的剪切頻率。

為了使閉環(huán)系統(tǒng)對增益的變化有較強魯棒性，設定剪切頻率ωc附近幅頻特性的斜率為0 dB/dec，即

(23)

聯(lián)立式(21)～式(23)代入上述系統(tǒng)中可求得：

(24)

(25)

通過上述表達式可以看出，所設計系統(tǒng)有可調參數少且整定容易的優(yōu)勢。

另外，由式(10)、式(11)和式(15)、式(16)可知，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程不含有純滯后環(huán)節(jié)，可認為這是分數階時滯系統(tǒng)中遲緩型系統(tǒng)的一種。遲緩型系統(tǒng)的穩(wěn)定條件是當且僅當傳遞函數在復數域的右半平面不含極點，特別是不含虛軸上的極點。這可以作為判斷文中的系統(tǒng)是否穩(wěn)定的一個方式。

3 仿真結果與分析

通過MATLAB/Simulink仿真軟件對控制效果進行分析。選擇ITAE、負調峰值和超調量為性能驗證指標，對文中所提的兩種典型系統(tǒng)進行驗證。

例1 選取文獻[5]中例1，即式(4)形式的1階含大時滯系統(tǒng)表達式，與之進行比較

(26)

對于分數階常規(guī)Smith預估控制器，由式(13)的分數階控制器形式，可求得控制器

(27)

為了與文獻[5]有可比性，截止頻率設定為

ωc=0.02 rad/s,

相角裕度為

PM=65°,

根據式(24)和式(25)參數整定，可得：

γ=1.277 8,

η=0.006 746。

設定系統(tǒng)的給定輸入為單位階躍信號

r(t)=I(t)，

擾動輸入信號為

d(t)=-0.5(t-400)。

例1常規(guī)分數階Smith預估控制器響應波形如圖1所示。

(a) 正常情況

(b) 攝動情況圖4 例1常規(guī)分數階Smith預估控制器響應波形

兩種控制器的仿真響應波形見圖4(a)，各項性能指標見表1。

表1 例1系統(tǒng)性能指標1

為了驗證控制系統(tǒng)魯棒性，對參數T、K和時滯h均加入50%的攝動，此時系統(tǒng)的響應仿真波形見圖4(b)。

通過圖4比較發(fā)現，文獻[5]中的控制器適用于系統(tǒng)存在大攝動的情況，并且存在一定靜差，使ITAE值持續(xù)增大。文中所設計的控制器適合在系統(tǒng)不存在或僅存在小攝動的情況下使用，能夠提供較好的快速性，并且存在攝動時給定改變或增加擾動后仍可恢復至原有正常狀態(tài)。

系統(tǒng)的零極點分布如圖5所示。

(a) 給定輸入閉環(huán)系統(tǒng)(b) 擾動輸入閉環(huán)系統(tǒng)

圖5 例1常規(guī)分數階Smith預估控制器零極點分布

通過對零極點分布分析，極點位于虛軸左側，通過零極點對消，主導極點更加遠離虛軸，該系統(tǒng)穩(wěn)定。

對于半分數階二自由度Smith預估控制器，由式(13)和式(22)，取λ=1.5，則控制器傳遞函數分別為：

(28)

(29)

同樣按照分數階常規(guī)Smith預估控制器選取參數，例1半分數階二自由度Smith預估控制響應波形如圖6所示。

圖6 例1半分數階二自由度Smith預估控制響應波形

系統(tǒng)響應仿真波形見圖6中實線。

系統(tǒng)的各項性能指標見表2。

表2 例1系統(tǒng)性能指標2

同樣對參數T、K和延時h加入攝動。系統(tǒng)給定改變或增加擾動后可以恢復至正常運行。

給定輸入的零極點分布和擾動輸入的零極點分布如圖7所示。

通過對系統(tǒng)零極點分布分析，系統(tǒng)極點也全部位于虛軸左側，因此該系統(tǒng)穩(wěn)定。

例2 選取式(5)形式的2階含大時滯系統(tǒng)模型

(30)

對于分數階常規(guī)Smith預估控制器，由式(14)可知分數階控制器

(31)

選取截止頻率

ωc=9.95 rad/s，

相角裕度

PM=1.45°，

根據式(24)和式(25)進行參數整定，可得

γ=1.45，

η=0.035 7。

設定系統(tǒng)的輸入信號為

r(t)=I(t)，

擾動輸入信號

d(t)=-0.5(t-50)。

(a) 給定輸入閉環(huán)系統(tǒng)(b) 擾動輸入閉環(huán)系統(tǒng)圖7 例1半分數階二自由度Smith預估控制器零極點分布

例2常規(guī)分數階Smith預估控制器響應波形如圖8所示。

圖8 例2常規(guī)分數階Smith預估控制器響應波形

系統(tǒng)響應仿真波形見圖8中實線。

各項性能指標見表3。

表3 例2系統(tǒng)性能指標1

在參數T1、T2、K和延時h中分別加入15%、25%、32%和15%的攝動，即T1=1.15，T2=0.25，K=1.32，h=4.6s，此時系統(tǒng)的響應見圖8中虛線?？梢?，存在攝動的情況下，系統(tǒng)給定改變或增加擾動后仍可以恢復至正常運行。

對于半分數階二自由度Smith控制器，由式(14)和式(20)，取λ=1，則控制器傳遞函數分別為：

(32)

(33)

式中：B=(0.22s2+1.2s+1)。

同樣按照分數階常規(guī)Smith預估控制器選取參數，例2半分數階二自由度Smith預估控制器響應波形如圖9所示。

圖9 例2半分數階二自由度Smith預估控制器響應波形

系統(tǒng)仿真波形見圖9中實線。

系統(tǒng)的性能指標見表4。

表4 例2系統(tǒng)性能指標2

對參數T1、T2、K和延時h添加攝動。此時系統(tǒng)的響應見圖9中虛線，即存在攝動時系統(tǒng)改變給定或增加擾動后仍可以恢復至正常運行。

4 結 語

將分數階(PD)γ控制器引入Smith預估控制器中，得到常規(guī)分數階Smith預估控制器。將其改進為半分數階二自由度Smith預估控制器后，實現了系統(tǒng)跟隨性和抗擾性解耦。仿真結果表明，二者均實現了對1階和2階含大時滯過程的無靜差控制，克服了一定程度的參數攝動，有較好的快速性，并且還有可調參數少、整定容易的優(yōu)點。綜上所述，兩種方法均可作為分數階控制器控制整數階含大時滯過程的可選控制方案。