周進(jìn)節(jié),崔世杰,鄭 陽,吳旭東

(1.中北大學(xué)機械工程學(xué)院,太原 030051;2.中國特種設(shè)備檢測研究院,北京 100029)

鋁合金構(gòu)件在航空航天、交通及電力等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用,因此對這些鋁合金構(gòu)件進(jìn)行無損檢測具有重要意義。電磁超聲檢測因其非接觸、無需耦合劑等優(yōu)點,非常適合對鋁合金構(gòu)件進(jìn)行檢測[1-3]。在對鋁合金構(gòu)件進(jìn)行檢測時,電磁超聲換能器是基于洛倫茲力進(jìn)行電-聲能量轉(zhuǎn)換的。線圈的阻抗直接影響功放傳輸給傳感器的能量[4]。線圈阻抗與其形狀、材料、尺寸參數(shù)等有關(guān)。因此,建立線圈理論模型并計算其阻抗,不僅便于理解線圈阻抗的物理意義及變化規(guī)律,還可為換能器的設(shè)計及提高電-聲能量轉(zhuǎn)換效率提供一定的理論指導(dǎo)。

在渦流傳感器、電磁超聲傳感器等電磁類傳感器阻抗計算方面,國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量的研究。1968年,C.V.Dodd等人針對矩形截面線圈在雙導(dǎo)體平面和雙導(dǎo)體板中產(chǎn)生的矢量磁位進(jìn)行了解析建模,并通過推導(dǎo)得到交變電流在試件中產(chǎn)生的渦流、磁場、力以及線圈阻抗等物理量的積分表達(dá)式[5]。1970年,Dodd C V對線圈位于多層介質(zhì)的情況進(jìn)行了建模與計算,求得了線圈的阻抗及在試塊中產(chǎn)生的渦流。1984年,日本學(xué)者Kawashima應(yīng)用Dodd C V電渦流模型與聲場計算方法得到了單匝矩形截面線圈在鋁板中產(chǎn)生的縱波和橫波分布[6]。2003年,Theodoulidis T P針對Dodd C V電渦流模型中無窮積分計算時間長的問題,提出將無窮積分轉(zhuǎn)化為無窮級數(shù)的方法。該方法不僅簡化了模型的計算過程,而且提高了計算效率[7]。2007年,于亞婷等人采用TREE方法把電渦流傳感器線圈的阻抗積分表達(dá)式轉(zhuǎn)化為級數(shù)表達(dá)式,并進(jìn)行了有限元仿真與計算[8]。2011年,郝寬勝、黃松嶺等人對平面螺旋線圈EMAT進(jìn)行建模,并分析計算了脈沖磁場和輸入阻抗[9]。2013年,翟國富、康磊等人應(yīng)用C.V.Dodd電渦流模型建立了單層螺旋線圈EMAT模型[10],并通過該模型計算了試件中的渦流、洛倫茲力及線圈阻抗。2016年,黃一民、吳德會等人提出了一種位于導(dǎo)體上方正交折線線圈的阻抗解析建模方法,并根據(jù)影響阻抗的各個變量繪制阻抗平面圖[11]。2018年,吳德會等人提出一種包含誤差補償項的任意折線線圈阻抗解析新模型[12]。

但目前對電磁超聲換能器解析建模研究的報道中,尚未詳細(xì)研究不同求和次數(shù)和截斷半徑對于阻抗計算結(jié)果的影響。為此,本文對環(huán)形線圈電磁超聲換能器進(jìn)行建模,根據(jù)電磁場理論導(dǎo)出線圈阻抗積分表達(dá)式,然后采用TREE法將阻抗積分表達(dá)式轉(zhuǎn)化為更加容易求解的級數(shù)表達(dá)式,著重研究了不同的求和次數(shù)和截斷半徑對阻抗計算的影響,并通過阻抗計算值和測量值的比較,說明了模型的適用性。

圖1 模型圖

1 理論建模

1.1 模型的建立及前提

根據(jù)電磁超聲換能器的原理[5,8]建立理論模型,為了使得解析模型便于求解,對實際物理模型進(jìn)行了簡化。3維示意圖如圖1所示,假定空間中各個求解區(qū)域內(nèi)的媒質(zhì)均為線性、各向同性的且除線圈區(qū)域外,其他區(qū)域都當(dāng)做真空處理;把雙層的螺旋形線圈等效為雙層的多個同心圓線圈的疊加;忽略線圈的集膚效應(yīng)和鄰近效應(yīng);忽略位移電流的作用[5,9-10]。

在圓柱坐標(biāo)系下線圈的幾何模型如下圖2所示。求解空間沿z軸方向被分成7個求解區(qū)域,用s來表示。s=1、7為空氣區(qū)域,s=2、4為線圈區(qū)域,s=5為基片區(qū)域,s=6的區(qū)域為試塊區(qū)域。由于各個求解區(qū)域關(guān)于z軸對稱,所以每個求解區(qū)域中的矢量磁位僅有周向分量[5,7,9-10,13]。圖中r1N為線圈內(nèi)徑,r2N為線圈外徑,N為線圈為線圈匝數(shù)。l1、l2、l3、l4為矩形線圈的上下邊界。

圖2 線圈阻抗求解模型

1.2 阻抗推導(dǎo)與計算

由于解析模型關(guān)于Z軸呈旋轉(zhuǎn)對稱,針對環(huán)形線圈電磁超聲換能器阻抗求解模型,麥克斯韋方程組[13]在柱坐標(biāo)系的所有場量均與周向坐標(biāo)無關(guān)[14]。為求解線圈的阻抗,首先考慮位于被測試樣上方的δ函數(shù)線圈在各個空間的矢量磁位(MVP)。δ函數(shù)線圈將空間區(qū)域分成4個求解區(qū)域,示意圖如圖2所示。

δ函數(shù)線圈在各個求解區(qū)域產(chǎn)生的矢量磁位滿足的頻域微分方程可表示為[5,7,9-10,14]:

(1)

式中:As(ω,r,z)為矢量磁位、i(ω)為激勵電流密度、μs和σs分別為磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率、s=1,2,3,4代表四個求解區(qū)域。

圖3 δ函數(shù)線圈解析建模

相鄰的求解區(qū)域應(yīng)滿足以下兩類邊界條件[5]:

由于這是一個軸對稱問題,r與z無關(guān)。因此,可以采用分離變量法,把目標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為一階貝塞爾方程。

分離變量A(r,z)=R(r)Z(z),將其代入目標(biāo)方程(1)中,化簡得到:

(2)

又因Z只與導(dǎo)體的電導(dǎo)率、磁導(dǎo)率、信號頻率有關(guān),將上式中與Z相關(guān)的項寫為常數(shù):

目標(biāo)方程(2)化簡為:

(3)

上式是一個含有參數(shù)t的一階貝塞爾方程,根據(jù)一階貝塞爾方程的通解及其邊界條件可以最終得到各個求解區(qū)域的解依次為[5,9,14]:

e-tl-tz(e2tl+Q1)dt

(4)

e-tl(etl+Q1e-tz)dt

(5)

e-tl-tz(Q2eT3z+Q3e-T3z)dt

(6)

(7)

式中

在得到δ函數(shù)線圈在各個區(qū)域產(chǎn)生矢量磁位的基礎(chǔ)上,對于雙層螺旋線圈在各個求解區(qū)域產(chǎn)生的矢量磁位,可通過對δ函數(shù)線圈的矢量磁位進(jìn)行面積積分及上下兩層累加合并求得。最終得到求解區(qū)域2、區(qū)域4內(nèi)的矢量磁位[9]。

區(qū)域2的MVP為

(8)

區(qū)域4的MVP為

(9)

在計算線圈的輸入阻抗前,首先求解線圈的感應(yīng)電動勢,矩形截面線圈內(nèi)的感應(yīng)電動勢為[5,10,14]:

(10)

式中:S為線圈橫截面積。

雙層線圈的感應(yīng)電動勢,可通過對單環(huán)矩形截面線圈感應(yīng)電動勢的累加得到,將式(8)、式(9)代入式(10)得:

Vd(ω)=

(11)

再根據(jù)歐姆定律,可得到線圈阻抗的積分表達(dá)式為[9]:

(12)

直流阻抗Z0為:

1.3 截斷區(qū)域特征函數(shù)展開法

由于式(12)線圈阻抗積分表達(dá)式中含有貝塞爾函數(shù)的二重廣義無窮積分[15-16],這使得阻抗求解的過程變得困難且耗費大量的時間成本。為了使計算變得高效,設(shè)置Dirichlet邊界條件,即設(shè)置截斷半徑,在距線圈一定的距離R處強加磁場絕緣邊界使得在該處的磁場強度為0,再根據(jù)偏微分方程理論,將線圈阻抗表達(dá)式的積分形式轉(zhuǎn)化為級數(shù)表達(dá),使計算變得高效。

轉(zhuǎn)換后的級數(shù)表達(dá)形式可以表示為:

4[e-tm(l4-l3)-1]+Q1m(e-tml1-e-tml2+e-tml3-e-tml4)2}

(13)

式中

J1(tmR)=0,tmR是J1(x)的第m個根xm,則

tm=xm/R

1.4 阻抗計算

在阻抗級數(shù)表達(dá)式中含有第一類Bessel函數(shù)的零點ti的值且U的計算涉及到對Bessel函數(shù)的積分,為了使編程變得簡單,這里采用Mathematic軟件編程計算。

阻抗級數(shù)表達(dá)形式與阻抗積分表達(dá)形式比較,級數(shù)表達(dá)式求解速度更快,收斂更易控制。在通過級數(shù)表達(dá)式求解線圈阻抗時無窮級數(shù)限必須被截斷,但最優(yōu)截斷點無法預(yù)知。

2 實驗系統(tǒng)

線圈及被測鋁板的參數(shù)如表1、表2所示。

表1 雙層螺旋線圈的參數(shù)

表2 被測鋁板試樣的參數(shù)

為了對雙層螺旋線圈的阻抗進(jìn)行測量,采用了安捷倫公司型號為4195A的阻抗分析儀。在開始測量之前,為保證測量的準(zhǔn)確性,需要對阻抗分析儀進(jìn)行短路、開路、50 Ω負(fù)載的測試與校準(zhǔn),然后再對測量系統(tǒng)進(jìn)行搭建。其中試塊及線圈如圖4所示,試塊厚度為15 mm的鋁塊。連接實驗系統(tǒng)如圖5所示,其中包括阻抗分析儀、線圈、鋁板,其中阻抗分析儀的型號為4195A。

圖4 被測試塊及線圈

圖5 阻抗分析儀及測量系統(tǒng)

在測量過程中,為保證線圈和鋁板之間的提離距離,確保測量的穩(wěn)定性,在線圈的上方放置一塊絕緣塑料薄片,使得線圈與被測試塊之間的距離保持不變。

3 結(jié)果分析

3.1 計算參數(shù)選取

為了取得最優(yōu)的計算參數(shù),在頻率100 kHz下,對不同的截斷半徑和求和次數(shù)進(jìn)行計算與分析。其中R為線圈的半徑,計算結(jié)果如圖6所示。其中圖6(a)展示了截斷半徑為10R、20R、40R、80R的理論計算結(jié)果實部隨著求和次數(shù)變化的四條曲線,圖6(b)展示了截斷半徑為10R、20R、40R、80R的理論計算結(jié)果虛部隨著求和次數(shù)變化的四條曲線。

對圖6進(jìn)行分析可得,在頻率100 kHz下,不同截斷半徑的阻抗計算結(jié)果都隨著求和次數(shù)的增加趨近于一個固定的值,從而說明了阻抗級數(shù)表達(dá)式的收斂性。同時通過分析可以得到截斷半徑越小,收斂的速度越快,更快的趨于固定值。

圖6 頻率為100 kHz時,不同求和次數(shù)、不同截斷半徑的阻抗計算值變化

圖7 頻率為2 MHz時,不同求和次數(shù)、不同截斷半徑的阻抗計算值變化

為了取得最優(yōu)的計算參數(shù),證明在不同頻率下也存在類似的規(guī)律,又分別在頻率2 MHz、5 MHz下,對不同的截斷半徑和求和次數(shù)進(jìn)行計算與分析。理論計算結(jié)果如圖7和圖8所示。

圖8 頻率為5 MHz時,不同求和次數(shù)、不同截斷半徑的阻抗計算值變化

從得到的計算結(jié)果可以看出,在頻率為2 MHz、5 MHz下,也存在類似的規(guī)律。當(dāng)截斷半徑一定時,隨著求和次數(shù)的增加,其計算結(jié)果接近于某一固定值,從而說明這個級數(shù)是收斂的。同時通過分析可以得到截斷半徑越小,收斂的越快。但為了與實際的情況相對應(yīng),取截斷半徑為40R。在保證精度的前提下,為了使計算的效率較高取求和次數(shù)為320次。從計算結(jié)果可以看出,截斷半徑和求和次數(shù),不能單獨考慮,當(dāng)截斷半徑較大時,只有取更大的求和次數(shù),才會更加接近于積分計算的真實值。

3.2 計算與實驗結(jié)果對比

為了證明計算結(jié)果及理論模型的正確性,使用阻抗分析儀對內(nèi)徑為2.25 mm的雙層螺旋線圈的阻抗進(jìn)行測量并對其進(jìn)行阻抗計算。在0～5 MHz取15個頻率點,分別進(jìn)行測量和計算。結(jié)果如圖9所示。其中橫坐標(biāo)為頻率,縱坐標(biāo)為阻抗。

圖9 線圈內(nèi)徑2.25 mm,阻抗計算與測量結(jié)果

從圖9可以看出,在頻率0～5 MHz計算和測量的阻抗實部、虛部是吻合較好。阻抗實部的最大誤差為9.2%,阻抗虛部的最大誤差為11.7%。該實驗驗證了計算的正確性,測量的準(zhǔn)確性。

為了驗證模型的適用性。又分別對內(nèi)徑1.25 mm、4.25 mm的雙層螺旋線圈的阻抗分別進(jìn)行了計算和測量。結(jié)果如圖10、圖11。

圖10 線圈內(nèi)徑1.25 mm,阻抗計算與測量結(jié)果

圖11 線圈內(nèi)徑4.25 mm,阻抗計算與測量結(jié)果

從圖10、圖11可以看出不同內(nèi)徑的線圈阻抗測量值與計算值在頻率5 MHz以下是相吻合的,線圈內(nèi)徑為1.25 mm時,阻抗實部的最大誤差為 6.5%,阻抗虛部的最大誤差為9%。線圈內(nèi)徑為4.25 mm時,阻抗實部的最大誤差為7.8%,阻抗虛部的最大誤差為13.4%。比較發(fā)現(xiàn),在高頻2 MHz～5 MHz,各個線圈阻抗實部的理論計算結(jié)果和測量結(jié)果的誤差最大為5.3%,各個線圈阻抗虛部的理論計算結(jié)果和測量結(jié)果的誤差最大為7.5%。從而說明了模型的適用性及計算和測量的準(zhǔn)確性。

綜上,從計算結(jié)果和測量結(jié)果的對比中可以看出,計算和測量在一定的誤差范圍內(nèi)是相吻合的。這說明了計算和測量的準(zhǔn)確性,以及模型的適用性。導(dǎo)致計算結(jié)果與測量結(jié)果之間存在的誤差可能是由模型中忽略集膚效應(yīng)和臨近效應(yīng)引起的。

4 結(jié)論

本文通過對雙層線圈進(jìn)行理論建模,推導(dǎo)了雙層線圈阻抗計算的級數(shù)表達(dá)式,并得到了以下結(jié)論:

①為了使阻抗計算的精度和計算的效率更高,研究了不同的截斷半徑和求和次數(shù)對計算結(jié)果的影響。為了得到最佳參數(shù),從100 kHz、2 MHz、5 MHz 三個頻率對其進(jìn)行計算和分析,得出了隨著求和次數(shù)增加,計算結(jié)果接近于一個穩(wěn)定的值,計算的精度越來越高。

②通過MathematicTM軟件計算求得的線圈阻抗值與測量值的對比分析,證明了理論模型的適用性和編程計算的正確性。