安徽省宣城中學(242000) 吳衛(wèi)衛(wèi)

解析幾何是溝通代數和幾何的重要橋梁,解決相關問題是,有知識綜合性強、方法靈活、對運算能力和邏輯推理能力要求較高的特點.大部分同學往往在具體問題的求解過程中因為條件多、變化活、運算繁瑣而不知如何下手,或雖有思路卻因運算不過關而半途而廢.面對諸多的問題,作為一線教師的我們不能一昧的做題、講題,而應有意識、有目的地研究試題,尤其是高考題,力求找尋其規(guī)律及本質,把握通性通法方能觸類旁通.本文以2019年全國數學高考ⅠⅠ卷理科第21題為例,再結合近年來的高考題得到離心率是的橢圓的一些充要條件,以期對研究試題有所幫助.原題節(jié)選如下：

題目1已知點A(-2,0),B(2,0),動點M(x,y)滿足直線AM與BM的斜率之積為.記M的軌跡為曲線C.過坐標原點的直線交C于P,Q兩點,點P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結QE并延長交C于點G.證明：△PQG是直角三角形.

本題來源于2011年高考數學江蘇卷第18題.對于第(2)問的第(i)問,參考文獻[1]中得到了以下結論：

結論1橢圓C:=1(a＞b＞0)且a2=2b2,過坐標原點的直線交C于P,Q兩點,點P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結QE并延長交C于點G,則PQ⊥PG.

結論2橢圓C:過坐標原點的直線交C于P,Q兩點,點P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結QE并延長交C于點G,設直線PQ的斜率為k1,直線PG的斜率為k2,則k1k2=

結合結論1和2我們就得到了以下的結論.

性質1(橢圓離心率為的充要條件1)橢圓C:=1(a＞b＞0),過原點的直線交C于P,Q兩點,點P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結QE并延長交C于點G,則PQ⊥PG的充分必要條件是橢圓C滿足a2=2b2,即離心率為.

得到這一性質,我們不禁有這樣一個疑問：還有沒有橢圓離心率為的其它充要條件呢?答案是肯定的,可是到哪去找呢?為此,筆者翻閱了近幾年全國各地的高考題發(fā)現2015年上海理科21題、2011年全國卷理科21題、2010年山東理科21題有同樣的性質.

題目2已知橢圓x2+2y2=1,過原點的兩條直線l1和l2分別于橢圓交于A、B和C、D,記得到的平行四邊形ABCD的面積為S.設l1與l2的斜率之積為,求面積S的值.

性質2(橢圓離心率為的充要條件2)對橢圓=1(a＞b＞0),過原點的直線l1和l2分別與橢圓交于A,B和C,D,記得到的平行四邊形ABCD的面積為S,且l1與l2的斜率之積為,則橢圓的離心率為的充要條件是面積S為定值2ab.

證明充分性的證明,參見文[2],此處從略.下面我們主要證明必要性.

設l1的斜率為k,由

即

即a4-4a2c2+4c4=0,得出 4e4-4e2+1=0即2e2=1,e=.綜上,性質2得證,即橢圓離心率為的充要條件2成立.

題目3已知O為坐標原點,F為橢圓C:x2+=1在y軸正半軸上的焦點,過F且斜率為的直線l與C交于A,B兩點,點P滿足

(1)證明：點P在C上;

(2)設點P關于點O的對稱點為Q,證明：A,P,B,Q四點在同一圓上.

性質3(橢圓離心率為的充要條件3)設直線l過橢圓的左焦點,其斜率為且與橢圓交于A,B兩點,P滿足則橢圓的離心率為的充要條件是P在橢圓上.

證明設直線方程為y=(x+c),與橢圓聯立得2x2+2cx-b2=0,設A(x1,y1),B(x2,y2),則

所以

即a2=2c2,即e=,反過來顯然成立.

接下來,我們考慮A,P,B,Q四點是否在同一圓上?經過探究得到了：

性質4(橢圓離心率為的充要條件4)設直線l過橢圓的左焦點,其斜率為且與橢圓交于A,B兩點,P滿足點P關于點O的對稱點為Q,則橢圓的離心率為的充要條件是A,P,B,Q四點在同一圓上.

證明結合(1)知設經過A,P,B的圓方程為

則有

把方程組的前兩項相加結合第(1)得到

方程組第三項可化為

再結合前面得到

顯然A,P,B,Q四點在同一圓上等價于a2=2c2等價于.

題目4已知橢圓=1(a＞b＞0)的離心率為以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點F1,F2為頂點的三角形的周長為一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點,設P為該雙曲線上異于頂點的任一點,直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A,B和C,D.是否存在常數λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立?若存在,求λ的值;若不存在,請說明理由.

性質5(橢圓離心率為的充要條件5)已知橢圓=1(a＞b＞0)與雙曲線C2頂點焦點互置,F1,F2為C1的左右焦點,P為C2上異于頂點的任一點,直線PF1和C1相交于A,B兩點,直線PF2和C2相交于C,D兩點,則為定值的充要條件是橢圓C1的離心率e=.

性質5的證明參見[3],此處從略.