廣州市荔灣區(qū)教育發(fā)展研究院(510370) 龐新軍

華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 黃麗純

高考試題是經(jīng)過高考命題專家精心研究命制出的蘊(yùn)涵著豐富內(nèi)容的優(yōu)秀試題,這些試題以能力立意命題為指導(dǎo)思想,以數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ)和載體,從測量考生的發(fā)展性和創(chuàng)造性入手,突出對推理論證能力、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)的考查.如果我們一線教師能深刻領(lǐng)會(huì)試題的背景和立意,并在此基礎(chǔ)之上進(jìn)一步拓展延伸,形成“會(huì)一題通一類”的方法,那么我們的教學(xué)效果就能錦上添花、更進(jìn)一層.下面從兩道高考解析幾何題展開探究和思考.

1.原題再現(xiàn)

題1(2016年全國Ⅰ卷文20)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:y=t(t?=0)交y軸于點(diǎn)M,交拋物線C:y2=2px(p＞0)于點(diǎn)P,M關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為N,連結(jié)ON,并延長交C于點(diǎn)H.

(2)除H以外,直線MH與C是否有其它公共點(diǎn)?并說明理由.

圖1

解(1)如圖1,由已知得,又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn),故,故直線ON的方程為,將其代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=,因此所以N為OH的中點(diǎn),即.

(2)直線MH與C除H以外沒有其它公共點(diǎn),理由如下：直線MH的方程為代入y2=2px,得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直線MH與C只有一個(gè)公共點(diǎn),所以除H以外,直線MH與C沒有其它公共點(diǎn).

題2(2017年全國Ⅰ卷文20)設(shè)A,B為曲線C:y=上兩點(diǎn),A與B的橫坐標(biāo)之和為4.

(1)求直線AB的斜率;

(2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn),C在M處的切線與直線AB平行,且AM⊥BM,求直線AB的方程.

解(1)如圖2,kAB==1.

圖2

(2)如圖2,設(shè)M(x3,y3),由,解得x3=2,于是M(2,1).設(shè)直線AB的方程為y=x+m,由x1+x2=4,故線段AB的中點(diǎn)為N(2,2+m),將y=x+m代入y=得x2-4x-4m=0.弦長由題設(shè)知|AB|=2|MN|,解得m=7.所以直線AB的方程為y=x+7.

2.試題評析

題1題面言簡意賅,構(gòu)思巧妙,主要考查拋物線的方程以及直線與拋物線的位置關(guān)系.題1命制的出發(fā)點(diǎn)實(shí)際上是從拋物線外一點(diǎn)通過尺規(guī)作圖的方法作拋物線切線的過程.試題第(1)問以計(jì)算題呈現(xiàn),通過動(dòng)直線l與y軸以及與拋物線C的交點(diǎn)確定N點(diǎn),由此再確定H點(diǎn),求出的值.表面上是求比值,實(shí)際是借助點(diǎn)P是MN的中點(diǎn),去證明點(diǎn)N是OH的中點(diǎn),用代數(shù)運(yùn)算證明幾何特征,體現(xiàn)解析幾何特有的魅力.第(2)問實(shí)際上是論證直線與拋物線相切,但設(shè)問是開放式的,需先判斷再證明,體現(xiàn)探究的意識(shí),綜合考查考生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

題1還體現(xiàn)高考試題以考促教的功能,試題向教學(xué)延伸,對教學(xué)良性引導(dǎo)的特點(diǎn)值得提倡.題1介紹了一種應(yīng)用尺規(guī)過y軸上一點(diǎn)作拋物線y2=2px切線的方法,教師可以結(jié)合試題給學(xué)生講評并留下探索問題——“能否過拋物線外一點(diǎn)用尺規(guī)作出切線?”為學(xué)生創(chuàng)造自主探究學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)和氛圍.

題2主要考查考生對拋物線基本性質(zhì)的理解、直線與拋物線交點(diǎn)的求法及如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決幾何曲線的切線問題,考查的知識(shí)點(diǎn)比較全面.第(1)問求直線斜率的方法多樣,有利于學(xué)生作答,求出kAB=1的結(jié)果時(shí)可以看出,此時(shí)AB直線的位置是不確定的,應(yīng)是一組平行線.第(2)問中給出“M為曲線C上一點(diǎn),C在M處的切線與直線AB平行”,可以確定出點(diǎn)M的位置,再加上“AM⊥BM”時(shí),就可以確定AB的直線方程.

相比題1,題2雖然也考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),但側(cè)重點(diǎn)在運(yùn)算求解方面,在數(shù)學(xué)思維方面略顯不足.如果我們教師能潛心研究,細(xì)心琢磨,題2中也還是別有洞天,蘊(yùn)含玄機(jī)的.在圖2中,存在以下一些問題值得思考：

①當(dāng)AB表示一組平行線時(shí),這組平行線的中點(diǎn)是否在一條直線上?是否經(jīng)過點(diǎn)M?

②當(dāng)點(diǎn)M處的切線與AB平行時(shí),AB的中點(diǎn)N與點(diǎn)M的位置關(guān)系怎樣?

③設(shè)點(diǎn)N關(guān)于點(diǎn)M的對稱點(diǎn)為T時(shí),直線AT、BT與拋物線是否相切?

如此這般探究,題1與題2便建立了一定的聯(lián)系.

3.由題1-2引伸出的相關(guān)命題

圖3

命題 1如圖3,點(diǎn)H(非頂點(diǎn))為拋物線y2=2px(p＞0)上任一點(diǎn),過OH中點(diǎn)N作拋物線對稱軸的平行線,交拋物線于點(diǎn)P,N關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為M,則直線MH為拋物線在點(diǎn)H處的切線.

命題1可以看出題1的逆命題,通過點(diǎn)N為OH的中點(diǎn),則N關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為M在切線上,并且M點(diǎn)在y軸上,這不是偶然,證明省略.進(jìn)一步思考,如果令點(diǎn)N為拋物線任意弦的中點(diǎn),是否也可以得到作拋物線的切線?

圖4

命題2如圖4,點(diǎn)H(非頂點(diǎn))為拋物線y2=2px(p＞0)上任一點(diǎn),過拋物線的任意弦HA的中點(diǎn)N作x軸的平行線,交拋物線于點(diǎn)P,N關(guān)于點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為M,則直線MH為拋物線在點(diǎn)H處的切線,直線MA為拋物線在點(diǎn)A處的切線.

證明設(shè)點(diǎn)H(x0,y0),A(x1,y1),則NP的方程為,又因?yàn)镻在拋物線上,由,得到,因?yàn)镻是MN的中點(diǎn),則,所以直線MH的斜率,MH的方程為,即yy0=p(x+x0),直線MH為拋物線在點(diǎn)H處的切線.同理可得直線MA為拋物線在點(diǎn)A處的切線.

再進(jìn)一步思考,如果點(diǎn)N不是任意弦HA的中點(diǎn),只是對應(yīng)線段成比例的點(diǎn),是否能得到拋物線的切線呢?

圖5

命題3如圖 5,點(diǎn)H(非頂點(diǎn))為拋物線y2=2px(p＞0)上任一點(diǎn),過拋物線的任意弦HA上一點(diǎn)N作拋物線對稱軸的平行線,交拋物線于點(diǎn)P,點(diǎn)M滿足R),則直線MH為拋物線在點(diǎn)H處的切線.

證明設(shè)點(diǎn)H(x0,y0),A(x1,y1),N(xN,yN),由,得

得到N(λx0+x1-λx1,λy0+y1-λy1),因?yàn)橹本€PH平行于x軸,且P點(diǎn)在拋物線y2=2px上,所以

MH的方程為即yy0=p(x+x0).直線MH為拋物線在點(diǎn)H處的切線.

題2的第(2)問解答過程中發(fā)現(xiàn)AB的中點(diǎn)N與M點(diǎn)的連線平行于拋物線的對稱軸,點(diǎn)M處的切線與直線AB平行,而題1的OH的中點(diǎn)N與P點(diǎn)的連線也平行于拋物線的對稱軸,作出P點(diǎn)處的切線,發(fā)現(xiàn)P處的切線斜率,即P處的切線也與直線OH平行;這些都是題1和題2的異曲同工之處.從題1和題2的相似點(diǎn)出發(fā),可以得到有關(guān)拋物線切線的命題4.

命題4如圖6,拋物線y2=2px(p＞0)的一組平行弦中點(diǎn)的軌跡是平行于對稱軸的一條射線,射線交拋物線上一點(diǎn)H,過點(diǎn)H作直線HT平行于平行弦,則直線HT為拋物線在點(diǎn)H處的切線.

圖6

證明設(shè)平行弦所在的直線斜率為k,方程為y=kx+b,解方程組

得(kx+b)2=2px,化簡得

所以,以k為斜率的平行弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

,代入y=kx+b得,因此以k為斜率的平行弦中點(diǎn)軌跡是一條射線,所在直線方程為,平行于拋物線的對物軸.由,得到所以直線HT的方程為y=kx+.聯(lián)立方程

4.由題1-2引伸出的拋物線切線的尺規(guī)作圖法

有了上述關(guān)于拋物線切線的四個(gè)真命題,我們便可用尺規(guī)的作出拋物線的切線.

在題1中,切線MH的方程為與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),由此可知切線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)與切點(diǎn)橫坐標(biāo)互為相反數(shù),對比M(0,t)和切點(diǎn)的坐標(biāo),yH=2yM,可得到作法1、作法2、作法3、作法4、作法5.

圖7

圖8

作法1如圖7,過點(diǎn)H作拋物線對稱軸的垂線交對稱軸于點(diǎn)B;以頂點(diǎn)O為圓心,|OB|為半徑畫弧,與拋物線的對稱軸交于一點(diǎn)T(異于點(diǎn)B);連結(jié)TH,直線TH即為拋物線在點(diǎn)H處的切線.

作法2如圖8,連結(jié)OH,取OH中點(diǎn)N;過點(diǎn)N作拋物線對稱軸的平行線交y軸于點(diǎn)M;連結(jié)MH,直線MH即為拋物線在點(diǎn)H處的切線.

圖9

圖10

作法3如圖9,過點(diǎn)H作拋物線對稱軸的垂線交對稱軸于點(diǎn)B;連結(jié)BH,取BH中點(diǎn)N;過點(diǎn)N作拋物線對稱軸的平行線交y軸于點(diǎn)M;連結(jié)MH,則直線MH為拋物線在點(diǎn)H處的切線.

作法4如圖10,過H作y軸的垂線,垂足為A;取OA中點(diǎn)M,連結(jié)MH,直線MH即為拋物線在點(diǎn)H處的切線.

圖11

圖12

作法5如圖11,以M為圓心,|OM|為半徑畫弧,交y軸于點(diǎn)A;過A作y軸的垂線,交拋物線于點(diǎn)H,連結(jié)MH,直線MH即為拋物線在點(diǎn)H處的切線.

由題2和命題5,設(shè)點(diǎn)H(xH,yH),P(2xH,yH),令P為線段OG的中點(diǎn),則G(4xH,2yH),因?yàn)镠在拋物線上,所以G也在拋物線上,因此P是以O(shè)G為弦的中點(diǎn),而HP平行于x軸,過H平行于OP的直線HT為H點(diǎn)處拋物線的切線.由此得到作法6.

作法6如圖12,過點(diǎn)H作拋物線對稱軸的垂線交對稱軸于點(diǎn)M,在x軸上取一點(diǎn)N,使ON=2OM,作HP平行于x軸,PN垂直于x軸;連OP,過H作OP的平行線HT,即為H點(diǎn)處拋物線的切線.

對于拋物線上任一點(diǎn)H,只需在拋物線上確定縱坐標(biāo)以yH為等差中項(xiàng)的另外兩點(diǎn)A,B,過點(diǎn)H平行于弦AB的直線即為切線.若取原點(diǎn)為點(diǎn)A,點(diǎn)B橫坐標(biāo)為yB=2yH.據(jù)此有作法7.

作法7如圖13,以點(diǎn)H為圓心,|HA|為半徑作圓弧交y軸于點(diǎn)D;過點(diǎn)D作y軸垂線交拋物線于點(diǎn)B,連接AB;過點(diǎn)H作AB的平行線l.直線l即為拋物線在點(diǎn)H的切線.以上兩種作法均是以已知坐標(biāo)軸為前提(或說已知拋物線的對稱軸),有一定局限性.筆者利用命題5,將作法7升華,通過分別構(gòu)造平行于x軸和y軸的相交直線,得到一種無需依靠對稱軸、頂點(diǎn)等任何有關(guān)拋物線的附加條件的作法8.

圖13

圖14

作法8如圖14,在拋物線上作兩條平行的弦,作出中點(diǎn)連線PQ;作曲線上不同點(diǎn)H的另一點(diǎn)A,過A作直線PQ的垂線l;以點(diǎn)H為圓心,|HA|為半徑作圓弧,交直線l于另一點(diǎn)D;過點(diǎn)D作直線l的垂線交拋物線于點(diǎn)B,連接AB;過點(diǎn)H作弦AB的平行線l′.直線l′即為點(diǎn)H的切線.

理解了上述拋物線切線的8種生成方法,再回頭看題1和題2,就不再感覺高考試題命制是那么神秘、高不可攀,我們一線教師也能命制出類似的好題.通過對試題深入地思考探究,挖掘高考試題的特征,揭露研究問題的本質(zhì),有助于我們一線教師優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容增強(qiáng)教學(xué)實(shí)效,有助于提高學(xué)生分析和解決問題的能力,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).