陜西省漢中市鎮(zhèn)巴中學(xué)(723600) 劉再平 李 靖

對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,且a?=b,定義為a,b的指數(shù)平均數(shù),則.

證明先證指數(shù)平均不等式的右邊,如下：

不妨設(shè)a＞b,即a-b＞0,ea-eb＞0,要證不等式的右邊,即證a-b＞,則證換元,令a-b=t＞0,所以需證構(gòu)造函數(shù)即證f(x)＞0.求導(dǎo)得即f(x)為(0,+∞)上的增函數(shù),則f(x)＞f(0)=0,不等式右邊得證,同理可證不等式左邊.

綜上述所,指數(shù)平均不等式鏈得證.

上述指數(shù)平均不等式有著優(yōu)美的幾何意義,即“無(wú)字證明”,如下：

圖1

圖2

如圖1,曲邊梯形面積大于直角邊梯形面積,即S曲梯＞S直梯,所以,即ea-eb＞則故不等式左邊得證;

如圖2,直角邊梯形面積大于曲邊梯形面積,即S曲梯＜S直梯,所以,即ea-eb＜,則,故不等式右邊得證.

綜上述所,指數(shù)平均不等式鏈得證.

運(yùn)用上述指數(shù)平均不等式可以簡(jiǎn)解下述函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題.

例1已知函數(shù)f(x)=ex,x1,x2∈R,且x1?=x2,若求k的取值范圍.

解由題不妨設(shè)x1＞x2,即x1-x2＞0,所以由指數(shù)平均不等式|k|(ex1+ex2),又ex1+ex2＞0,所以,即或.

點(diǎn)評(píng)此題運(yùn)用指數(shù)平均不等式的右邊恰到好處的放縮了原不等式,快速的獲得了關(guān)于參數(shù)k的不等關(guān)系,簡(jiǎn)潔的求得了k的取值范圍.

例2(2013年高考陜西理科壓軸題)已知函數(shù)f(x)=ex,x∈R.

(Ⅰ)若直線(xiàn)y=kx+1與f(x)的反函數(shù)的圖像相切,求實(shí)數(shù)k的值;

(ⅠⅠ)設(shè)x＞0,討論曲線(xiàn)y=f(x)與曲線(xiàn)y=mx2(m＞0)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).

(ⅠⅠⅠ)設(shè)a＜b,比較的大小,并說(shuō)明理由.

解(Ⅰ)k=;

(ⅠⅠ)當(dāng) 0＜m＜時(shí),無(wú)公共點(diǎn);當(dāng)時(shí),有1個(gè)公共點(diǎn);當(dāng)m＞時(shí),有2個(gè)公共點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)此道壓軸題的壓軸問(wèn)只需要將題意翻譯之后,便是指數(shù)平均值不等式的右邊,問(wèn)題迅速解決.

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就要善于解題,數(shù)學(xué)解題的工具是雙基,正如波利亞所說(shuō)：“貨源充足和組織良好的知識(shí)倉(cāng)庫(kù)是一個(gè)解題者的重要資本”,也就是說(shuō)知識(shí)面越廣對(duì)數(shù)學(xué)解題的幫助勢(shì)必越大,而此文闡述的指數(shù)平均不等式雖然教材上未曾提及,然而無(wú)疑是解決相關(guān)高考?jí)狠S題的好工具.