(中北大學 機械工程學院，山西 太原 030051)

社會經(jīng)濟的發(fā)展帶來了各行各業(yè)供水需求的增加，而供水系統(tǒng)在輸送和提升過程中需要消耗大量能量。歐盟委員會的調(diào)查顯示，泵送系統(tǒng)占全球電能輸送系統(tǒng)的近22%[1]，其節(jié)能運行將帶來極大的經(jīng)濟效益。

目前泵送系統(tǒng)的節(jié)能優(yōu)化主要為控制的改進，作為典型的混合整數(shù)非線性規(guī)劃問題[2]，其多變量耦合等特性令供水需求和泵組高效率運轉(zhuǎn)難以同時實現(xiàn)。常見的模型大多以單一的最低流量差[3]、最低能耗[4-5]或最高效率[6-7]為目標，其余目標皆作為約束，這類模型為單目標規(guī)劃模型。為利于求解，一般會簡化水泵高效區(qū)以減少約束[3]，或者根據(jù)實驗數(shù)據(jù)制作最佳泵數(shù)表[8]，通過查表可以快速獲得最佳工作泵數(shù)量以減少決策變量。相比普通多目標規(guī)劃，這類模型求解速度快，但不能把控各個目標間的權(quán)重，在不同的工況下，只能保證所求為非劣解，而非最優(yōu)解。少數(shù)的多目標控制模型多是采用免疫遺傳算法[9-11]、多目標蛙跳算法[12-13]和改進的粒子群算法[14-16]等智能算法，但是這類算法大多較為復(fù)雜，需要依賴大量數(shù)據(jù)，難以直接移植和應(yīng)用于中小型工程項目。

本文綜合考慮了最低流量差和最高效率兩個目標，利用加權(quán)法來簡化目標函數(shù)。同時，根據(jù)水泵效率圖建立了“揚程-理想流量”表，通過查表即可實現(xiàn)對高效率的追蹤，并建立了適應(yīng)工況、自主調(diào)節(jié)權(quán)重的最優(yōu)控制模型。

1 并聯(lián)泵組多目標控制模型

泵組控制模型是通過確定工作泵的數(shù)量和轉(zhuǎn)速來滿足供水需求，同時能保證水泵在最佳工況點附近工作。想要綜合考慮并聯(lián)泵組的最小流量偏差和泵組高效運轉(zhuǎn)這兩個目標，就需對其進行無量綱化，同時建立合適的函數(shù)來評價不同的組合。為此，建立目標函數(shù)如下：

(1)

式中，α，β為正系數(shù)，分別為流量差和高效率的權(quán)重，如果α越大，表示對供水目標最小流量偏差的需求越高，其中α+β=1；i為水泵編號，共n臺水泵并聯(lián)，1≤i≤n；Qi，Qi·need，Qi·bep分別為水泵i的待求工作流量、目標流量和理想流量，m3/h。

1.1 目標流量

單泵i的目標流量根據(jù)泵組總目標流量QAneed(m3/h)和各泵的工作情況Xi(水泵工作為“1”，否則為“0”)來決定。具體如下：

(2)

在已知泵組的目標揚程Hneed(m)的前提下，通過管網(wǎng)特性曲線，可以求得相應(yīng)的泵組總目標流量QAneed。管網(wǎng)特性曲線一般表示形式如下：

H=hs+Sf·Q2

(3)

式中，hs為系統(tǒng)靜揚程，m；Sf為管網(wǎng)阻力系數(shù)。

考慮到管網(wǎng)特性的實時變化，為保證對變工況的適應(yīng)性，給系統(tǒng)加入前饋，令式中Sf和hs由下面兩式進行實時求解：

(4)

(5)

式中，Ht-1，Ht-2為t-1和t-2時刻的揚程，m；Qall·t-1，Qall·t-2為t-1和t-2時刻的總流量，m3/h。

由于泵組內(nèi)各泵型號相同，且相同工作頻率下泵組的總效率最高[17]，因此可將式(2)簡化如下：

(6)

1.2 理想流量

本文實驗基于5臺Ebara CDX 120/12型水泵并聯(lián)的供水平臺開展。在變轉(zhuǎn)速條件下，水泵制造商提供的額定工況效率曲線圖不太精準，需要測定變轉(zhuǎn)速下的效率圖。圖1為Ebara CDX 120/12型水泵在變轉(zhuǎn)速下的效率圖[18]。

圖1 Ebara CDX 120/12的變轉(zhuǎn)速效率示意Fig.1 Variable speed efficiency of Ebara CDX 120/12

圖1中，曲線AB、DC分別為50 Hz和35 Hz情況下水泵的特性曲線。在此調(diào)速范圍內(nèi)，泵基本符合相似定律，且能保持較高的效率[19]。曲線AD、EF、BC為等效率曲線，可由H=a·Q2(a為系數(shù)，代入曲線上任意點求出)求得，在一定范圍內(nèi)，曲線上的工況點的效率近似相等。

效率圖近似以曲線EF為中軸線對稱分布，而曲線的EF段為不同揚程下最高效率點的集合。但是當揚程處于A、E兩點間或F、C兩點間時，高效區(qū)ABCD內(nèi)，工況點的效率隨著朝曲線AE和FC的逼近而提高。因此，可設(shè)曲線段AE、EF、FC為理想流量曲線。曲線段AE、FC隸屬于50 Hz和35 Hz情況下的水泵特性曲線，可由下式求得：

H=ω2·hshut-Sloss·Q2

(7)

式中，ω為調(diào)速比，ω=ni/nrated(ni、nrated分別為實際轉(zhuǎn)速和額定轉(zhuǎn)速，r/min)；hshut為水泵截斷揚程，m；Sloss為揚程損失系數(shù)，可通過擬合制造商提供的額定曲線求得。

EF段處于等效率曲線H=aQ2上，綜上所述，理想流量曲線表達式如下：

(8)

由上式可見，理想流量曲線為較復(fù)雜的分段函數(shù)，不宜直接作為模型的約束。因此，直接對等間隔的H求解函數(shù)，并制成“揚程-理想流量”的表格。最終求解模型時，可以直接查表，從而減少了約束。表格數(shù)據(jù)間隔中的數(shù)值可利用線性插值獲取。

1.3 約束條件

泵組運行需要考慮的約束條件分別有流量約束、揚程約束、效率約束和功耗約束。

流量約束即單泵流量之和與目標總流量相等，即式(6)，在計算Qi·need時已經(jīng)考慮過，此處可略去。并聯(lián)泵組的揚程約束需要各泵揚程相等：

Hi·need=Hneed(i=1,2,…,n)

(9)

鑒于文獻[18]的效率圖已經(jīng)考慮過效率和功耗，因此效率約束和功耗約束可統(tǒng)一由對單泵工況點的限制來實現(xiàn)。而對高效點即理想流量的逼近已在目標函數(shù)內(nèi)完成，此處只需針對轉(zhuǎn)速比、與理想流量點的距離和最終流量差進行約束：

0.7≤ω≤1

(10)

(11)

(12)

式中，λ和θ為系數(shù)，此處皆取0.3，以保證泵在高效區(qū)工作和貼近目標流量[7]。

1.4 流量偏差與效率的權(quán)重

流量偏差與效率的權(quán)重的設(shè)定將極大地影響最優(yōu)解的取值，通過實驗結(jié)果可以確定其值的選擇。本次研究設(shè)定泵組數(shù)量n=5，管網(wǎng)曲線hs=7.083 m、Sf=0.029 35。令供水目標(QAneed,Hneed)分別為(10,10.018)、(15,13.6 868)、(20,18.823)、(25,25.4 268)，在不同的權(quán)重下，使用優(yōu)化模型求解軟件LINGO[20]進行求解，結(jié)果如圖2所示。

圖3 不同目標不同權(quán)重下解的評價Fig.3 Evaluation of solutions for different targets with different weights

圖2 不同約束下解的分布Fig.2 Distribution of solutions under different constraints

在現(xiàn)有約束下，模型的解“×”分布范圍較窄，集中在高效率區(qū)域。在Hneed為10.018 m時，11種權(quán)重變化只有2種解；其他情況下，解的差距也不大，權(quán)重對解的影響極低，推測為約束過多。

與之對比，取消式(11)和式(12)的約束，求解結(jié)果如圖2所示。在主要靠權(quán)重進行調(diào)控的情況下，當Hneed為10.018 m時，解的數(shù)量上升至5種；其余情況下，解的分布范圍也有了極大的提升。而除去α為1時(完全追求最小流量偏差)出現(xiàn)的a～d幾個低效率解外，其余解的分布也與有約束時的重疊，當揚程較高時，重疊現(xiàn)象更為顯著。可見，約束在低揚程時有很大影響，在揚程較高時，影響較小，因此，可以利用對權(quán)重的約束來替代式(11)和式(12)對理想流量點的距離和最終流量差的約束。

對減少約束后的數(shù)據(jù)進行處理。處理時，設(shè)定目標函數(shù)結(jié)果為評價值V、單泵效率E和最終流量差ΔF。ΔF由式(13)求出。對評價值V、單泵效率E和最終流量差ΔF3種評價指標進行歸一化，結(jié)果圖3所示。

(13)

如圖3所示，隨著流量差權(quán)重α的增加，效率E、流量差ΔF降低，評價值V先增加后減小。而模型以流量差、高效率點距離的平方和作為目標函數(shù)，評價值V越低，模型的解越優(yōu)異。若由模型自主選擇權(quán)重搭配，最終結(jié)果會偏向α為1(只考慮最小流量差)或α為0(只考慮高效率)的解，前者偏向于增加水泵數(shù)量低效率運轉(zhuǎn)，后者的工作泵數(shù)量為0。這兩種極端權(quán)重下的解往往不是較優(yōu)解，甚至是非有效解，因此模型的目標函數(shù)需要改進。

2 模型的改進

考慮到模型為混合整數(shù)非線性規(guī)劃(Mixed-Integer Nonlinear Programming)模型，多采用線性加權(quán)法、極大極小法和幾何加權(quán)法等來構(gòu)造評價函數(shù)。隨著權(quán)重的變化，幾何加權(quán)法的結(jié)果比線性加權(quán)法更符合極小值模型[21]。因此，將目標函數(shù)式(1)優(yōu)化為

(14)

式中，α和β為正系數(shù)，α+β=1。

再次求解，結(jié)果如圖4所示。幾何加權(quán)下，解的分布范圍幾乎與線性加權(quán)的相當，除了a點處范圍更大以外。同時，幾何加權(quán)下解的數(shù)量較少，且主要集中在高效率區(qū)范圍內(nèi)，除了α為1時的幾個低效率解外，解的分布與式(11)和式(12)約束的線性加權(quán)法相類似?？梢?，幾何加權(quán)情況下求得非劣解的可能性更高。同樣，對幾何加權(quán)情況下的相關(guān)評價指標進行歸一化，結(jié)果如圖5所示。

圖5 幾何加權(quán)下解的評價Fig.5 Evaluation of solutions under geometric weighting

圖4 不同加權(quán)方式下解的分布Fig.4 Distribution of solutions under different weighting schemes

由圖5可以看出，評價值V在流量差權(quán)重α為0和1兩種極端情況下達到最高點，前者偏向于啟動所有泵(n=5)，在低目標流量時造成極大的流量誤差，不是有效解；后者所求為非劣解，但只考慮流量差，模型給予的評價較差。其余情況下，評價值V較低，總體呈現(xiàn)“U”型，模型達到了綜合考慮流量差和高效率的目的。除了目標總流量QAneed為10 m3/h以外，其余3種情況下，評價值V皆在α為0.5處出現(xiàn)了次高點，表明系統(tǒng)默認對α為0，0.5，1.0的3種組合作出的較低評價。若是不考慮對權(quán)重添加額外的約束，由模型自主選擇權(quán)重搭配，則最終結(jié)果隨著總流量的提升，逐步由向圖5(a)的單極點變?yōu)橄驁D5(b)～(d)的雙極點靠攏。圖5(c)～(d)雖然無明顯極點，但趨勢基本呈“W”型。

可以預(yù)測，目標總流量QAneed為10 m3/h時，權(quán)重偏向α=0.5；QAneed為15～25 m3/h時，權(quán)重偏向α∈(0,0.4)∪(0.6,1)。

當前模型所求解的流量差ΔF皆為正值或極限接近0的負值，而線性加權(quán)下存在高效率但流量差ΔF為較大負值的解?？梢?，除了α為0和1兩種極端情況外，其余權(quán)重比得到的解皆為非劣解。因此，可令模型自主決定權(quán)重比。為此，添加權(quán)重比約束如下:

(15)

再次求解，結(jié)果如表1所示?？梢?，QAneed為15 m3/h和20 m3/h時，α權(quán)重偏向于1，但β對高效率的約束令工作泵數(shù)n處于合理范圍。4個目標下，結(jié)果皆為非劣解。

表1 幾何加權(quán)下自主選擇權(quán)重的求解結(jié)果Tab.1 Solution results under geometric weighting and autonomous selection weights

3 實驗對比

利用改進的Cohen G.最小流

量偏差效率優(yōu)化模型[3]和效率導向泵組預(yù)測控制模型[8]，對并聯(lián)泵組工作區(qū)的7個典型工況點進行了求解，3種模型的求解結(jié)果如表2所示，評價對比情況如圖6～7所示。

結(jié)合圖表可見，在不同供水目標下，多目標與效率主導模型的調(diào)速比ω相同，但多目標模型的工作泵數(shù)量n較高，相較于效率主導模型，多目標模型的效率E會有些許下降；但是由圖7可以看出，多目標的流量差ΔF全部為正，相比效率主導模型來說較為符合需求。多目標與最小流量差模型的工作泵數(shù)量n基本一致，調(diào)速比ω較高，效率E相對較高；流量差ΔF方面，最小流量差模型在目標流量為10～17.5 m3/h時，流量差ΔF為超過20%的負值，不貼合目標需求。綜合多目標模型所求解的評價指標，可以確定：當前的模型滿足適應(yīng)工況、自主調(diào)節(jié)權(quán)重的求解要求。

表2 不同目標下3種模型結(jié)果Tab.2 Results of the three models under different targets

圖6 3種模型的效率比較Fig.6 Comparison of the efficiency of the three models

圖7 3種模型的流量差比較Fig.7 Comparison of flow differences between the three models

4 結(jié) 論

本文針對現(xiàn)今單目標泵組控制系統(tǒng)無法求出變工況條件下最優(yōu)解的問題，構(gòu)建了適應(yīng)工況、自主調(diào)節(jié)權(quán)重的多目標控制模型，并得出如下結(jié)論。

(1) 利用幾何加權(quán)法構(gòu)造系數(shù)在求解最小值時能保證所求解為非劣解。相較于線性加權(quán)法，幾何加權(quán)法在求解多目標最小值問題上更符合實際。

(2) 利用“揚程-理想流量”表來追蹤高效率目標，可以有效地簡化模型目標函數(shù)和約束，降低模型的復(fù)雜度。

(3) 并聯(lián)泵組多目標控制模型總體偏向于高效率，在低流量低效率區(qū)域，能夠綜合考慮效率和流量差；在高流量高效率區(qū)域能夠優(yōu)先考慮效率，而且能提供足夠的流量來滿足需求，符合實際工程的需求。