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        丟番圖方程5·2x+7·3y=11+2z·3w的計算機(jī)輔助解法*

        2013-09-11 07:53:10鄧謀杰周小娥
        關(guān)鍵詞:海南大學(xué)對數(shù)整數(shù)

        鄧謀杰,周小娥

        (海南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院,海南???570228)

        丟番圖方程5·2x+7·3y=11+2z·3w的計算機(jī)輔助解法*

        鄧謀杰,周小娥

        (海南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院,海南???570228)

        利用計算機(jī)輔助方法,給出了指數(shù)丟番圖方程5·2x+7·3y=11+2z·3w的全部整數(shù)解.

        指數(shù)丟番圖方程;整數(shù)解;計算機(jī)輔助解法

        1 問題的提出

        指數(shù)丟番圖方程在丟番圖方程理論中占有重要的地位,其研究成果不僅在數(shù)論研究中有重要的理論意義,同時還有重要的應(yīng)用價值.例如,用于高精度對數(shù)計算、有限單群的分類等[1].但對指數(shù)丟番圖方程的研究常常是比較困難的,對于三元以上的指數(shù)丟番圖方程,其研究尤為困難.Christopher M.Skinner[2]用Baker方法證明了如下結(jié)論:

        定理1 指數(shù)丟番圖方程

        除去0解x=y(tǒng)=z=w=0外,僅有6組非0整數(shù)解

        Baker方法是求解丟番圖方程的一個重要的高等方法,但常常需要很大的計算量.文獻(xiàn)[2]為求解方程(1),將對數(shù)計算到小數(shù)點后220位.在文獻(xiàn)[2]結(jié)尾,作者指出求解形如(1)式的指數(shù)丟番圖方程需要使用諸如對數(shù)的線性形式之類的高等方法.筆者將借助計算機(jī)以上定理1的一個較為簡單的初等證明.

        2 相關(guān)引理

        引理1 若(x,y,z,w)是(1)式的非0整數(shù)解,則它必滿足下列同余式之一:

        證明 由文獻(xiàn)[3]知,

        利用模m=4,8,16,32,3,9,27,81,5,7,13,19,37,73,考慮同余式5·2x+7·3y≡11+2z3w(mod m),可得上述結(jié)論,但計算十分冗長.若使用計算機(jī),只要在1≤x≤36,0≤y≤35,1≤z≤36,0≤w≤35的范圍內(nèi)檢驗.設(shè)m=min{x,z,4},n=min{y,w,3},在PC機(jī)上用UBASIC語言編寫的簡短程序?qū)δ?m· 3n·5·7·13·19·37·73進(jìn)行檢驗,運行時間僅10s.

        3 定理的證明

        下面給出定理1的證明,分2種情形討論.

        (Ⅰ)x=0的情形.

        此時(1)式右端必為奇數(shù),于是有z=0.原方程化為7·3y-3w=6.

        若w=0,顯然有y=0;若w>0,則y>0,但此時顯然7·3y-3w>6,故不可能.于是x=0時必有y=z=w=0.

        (Ⅱ)x>0的情形.

        設(shè)(x,y,z,w)為(1)式的任一非0整數(shù)解,由引理1知,僅有下列6種情形.

        (?。▁,y,z,w)=(1+36k,36l,1+36s,1+36t).故有

        由236≡1(mod 9),對(2)式取模3可得l=0;此時(2)式左端模9余8,由此可知必有t=0,于是有5· 236k+1-3·236s+1=4,從而有k=s=0.因此,在情形(?。?,(1)式僅有1組解(x,y,z,w)=(1,0,1,1).

        對(3)式取模8可得k=0,再取模16可得s=0,于是原方程化為23·336t-7·336l=1,由此顯然推出l=t=0.因此,在情形(ⅲ),(1)式僅有1組解(x,y,z,w)=(2,2,3,2).

        對(4)式取模8可得k=0,再取模27得t=0,于是原方程化為236s+6-7·336l+2=1.由236≡1(mod 27),取模27可得l=0,從而s=0.因此,在情形(ⅳ),(1)式僅有1組解(x,y,z,w)=(2,4,6,2).

        (ⅴ)(x,y,z,w)=(3+36k,36l,2+36s,2+36t).仿照情形(ⅳ)的討論可知,在情形(ⅴ),(1)式僅有1組解(x,y,z,w)=(3,0,2,2).

        由于336≡1(mod 16),若s>0,對(5)式取模16可得-1≡11(mod 16)的矛盾結(jié)果,因此s=0,z=1.由于[3]

        對(5)式取模81,97,256可得如下4種情形(在PC機(jī)上利用UBASIC編寫的簡短程序進(jìn)行檢驗):

        (a)在y≡3(mod 1 152),x>8時,由于31152≡1(mod 512),對(5)式取模512可得189≡2·36+11≡445(mod 512)的矛盾.于是x=8,進(jìn)而得到y(tǒng)=3,w=6.

        在y≡579(mod 1 152),由于3192≡-1(mod 280 321),當(dāng)w≡6(mod 1 152)時,對(5)式取模2 80 321得

        但這將導(dǎo)致

        的矛盾.當(dāng)w≡6+576(mod 1 152)時,由于348≡-1(mod 76 801),對(5)式取模76 801得

        (d)與情形c類似,取模64 513可導(dǎo)致矛盾.

        由以上討論知,此時(1)式僅有1組解(x,y,z,w)=(8,3,1,6).

        綜合情形(Ⅰ),(Ⅱ),定理1得證.

        [1] 曹珍富.丟番圖方程引論[M].哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,1989.

        [2] CHRISTOPHER M SKINNER.On the Diophantine Equation apx+bqy=c+dpzqw[J].Journal of Number Theory,1990,35:194-207.

        [3] BRILLHART J,LEHMER D,SELFRIDGE J,et al.Factorizations of bn-1,b=2;3;5;6;7;10;11;12up to High Powers[M].2nd Edition.Providence:Amer.Math.Soc.,1988.

        (責(zé)任編輯 向陽潔)

        Computer Aided Solution of the Diophantine Equation 5·2x+7·3y=11+2z·3w

        DENG Mou-jie,ZHOU Xiao-e
        (College of Information Science and Technology,Hainan University,Haikou 570228,China)

        With computer assistance,all the solutions in integer of the Diophantine equation 5·2x+7·3y=11+2z·3ware given in this paper.

        exponential diophantine equation;solutions in integer;computer aided solution

        O156.7

        A

        10.3969/j.issn.1007-2985.2013.06.001

        1007-2985(2013)06-0001-03

        2013-04-16

        海南省自然科學(xué)基金資助項目(113002)

        鄧謀杰(1960-),男,黑龍江湯原人,海南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院教授,碩士,主要從事丟番圖方程研究.

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