趙星明,艾典勝,趙 賽

1.山東農(nóng)業(yè)大學(xué)水利土木工程學(xué)院,山東 泰安271018

2.泰安市建筑設(shè)計(jì)院有限責(zé)任公司,山東 泰安271000

3.上海市政工程設(shè)計(jì)研究總院集團(tuán)第七設(shè)計(jì)院有限公司,山東 青島266001

顆粒層過濾工藝廣泛地應(yīng)用于自來水和污水深度處理中，主要用于去除水中懸浮物、藻類、有機(jī)物等。石英砂是常用的濾料。為了增加濾池的含污能力，需要對(duì)石英砂進(jìn)行篩分，確定要篩除部分大小粒徑范圍，以改進(jìn)其級(jí)配組成。濾料級(jí)配是保證過濾效果的關(guān)鍵因素，若粒徑分布不均勻，顆粒會(huì)互相摻雜而降低孔隙率，影響過濾和反沖洗效果。并且在使用過程中也要定期地做篩分試驗(yàn)，以檢驗(yàn)濾料的質(zhì)量。傳統(tǒng)的圖解法對(duì)篩分試驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理，得到的結(jié)果誤差大且計(jì)算過程繁瑣。

本文采用NURBS 樣條曲線和Lagrange 拋物線兩種高精度的插值方法。首先內(nèi)插計(jì)算通過濾料質(zhì)量10%和80%相對(duì)應(yīng)的濾料粒徑d10和d80，然后確定篩除和篩選保留的濾料粒徑，得到新的濾料級(jí)配參數(shù)，使濾料篩選過程準(zhǔn)確方便。

1 濾料篩分試驗(yàn)

某濾池濾料采自河砂，粒徑為0.63～1.60 mm，按照《水處理用濾料》（CJ/T 43-2005）行業(yè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行篩分試驗(yàn)，要求篩選的濾料達(dá)到設(shè)計(jì)參數(shù)d10=0.90 mm，k80=1.4 的要求。對(duì)試驗(yàn)原始數(shù)據(jù)處理后，形成篩孔徑與通過砂量百分?jǐn)?shù)的篩選結(jié)果，如表1 所示。

根據(jù)表1 篩分試驗(yàn)數(shù)據(jù)，計(jì)算出應(yīng)篩除的天然石英砂最小粒徑和最大粒徑。不均勻系數(shù)k80是d80與d10的比值，而d10和d80定義為通過濾料質(zhì)量10%和80%相對(duì)應(yīng)的濾料粒徑。已知d10=0.90 mm，k80=1.4，則d80=0.90×1.4=1.26 mm。

2 NURBS 樣條曲線插值計(jì)算

AutoCAD 是利用非均勻有理B樣條（Non Uniform Rational B-spline，NURBS）算法創(chuàng)建樣條曲線的。NURBS 曲線的基函數(shù)為B樣條，各節(jié)點(diǎn)間距是非均勻的，允許對(duì)控制點(diǎn)加權(quán)，由控制點(diǎn)Pi、節(jié)點(diǎn)矢量U、權(quán)值wi確定。給定n+1 個(gè)控制點(diǎn)p0，p1，…，pn和一個(gè)節(jié)點(diǎn)向量U={u0，u1，…um}，NURBS 曲線方程為：

其中C(u)為曲線上的位置向量，Ni,p(u)是p次B樣條基函數(shù)，由Cox-de Boor 遞推公式定義：

AutoCAD 默認(rèn)wi=1 構(gòu)造NURBS 樣條曲線，在model 空間的WCS 坐標(biāo)系，以篩的孔徑為橫坐標(biāo)，通過篩孔的百分?jǐn)?shù)為縱坐標(biāo)，利用AutoCAD VBA 調(diào)用AddSpline 函數(shù)繪制曲線，擬合點(diǎn)公差僅為1.0000E-10，如圖1 所示。節(jié)點(diǎn)矢量U 由數(shù)組fitPoints 存儲(chǔ)篩孔徑和通過篩孔的百分?jǐn)?shù)坐標(biāo)值，起始切點(diǎn)和終止切點(diǎn)分別由數(shù)組startTan 和endTan 存儲(chǔ)，其程序代碼如下：

在圖1 的x軸d10=0.9 和d80=1.26 兩點(diǎn)，分別作與y軸的平行線與曲線相交，從與曲線相交點(diǎn)作與x軸的平行線與y右軸相交，以此兩個(gè)交點(diǎn)作為10%和80%，向外延伸得到0 和100%兩點(diǎn)，構(gòu)建一個(gè)新坐標(biāo)系。新坐標(biāo)系的0 和100%兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x值為dmin和dmax，即為篩選后保留濾料范圍，之外的全部篩除。

圖1 NURBS 樣條曲線插值計(jì)算圖Fig.1 NURBS spline curve interpolation calculation chart

3 Lagrange 拋物線插值計(jì)算

濾料篩分試驗(yàn)結(jié)果是篩孔徑xi與通過篩孔的百分?jǐn)?shù)yi之間的相關(guān)數(shù)據(jù)，yi=f(xi)，i=0,1,…n，這個(gè)由離散點(diǎn)構(gòu)成的函數(shù)表(xi,yi)，可構(gòu)造函數(shù)f(x)近似表達(dá)，通過插值計(jì)算d10=0.9 和d80=1.26 通過的濾料質(zhì)量。

Lagrange 多項(xiàng)式插值的形式為：

滿足插值條件Ln(xi)=yi，i=0,1,…n的插值多項(xiàng)式為：

其中，插值基函數(shù)為：

由（4）可知，當(dāng)n=2 時(shí)，為拋物線插值，即：

參與Lagrange 拋物線插值計(jì)算的是篩孔徑xi和通過該號(hào)篩的以百分比計(jì)的砂量yi，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)按xi從小到大順序排列，用Excel 的交換格式.csv 文件存儲(chǔ)。為了較容易實(shí)現(xiàn)程序計(jì)算，將（6）和（7）寫成等冪形式：

根據(jù)Lagrange 拋物線插值算法，自定義內(nèi)插函數(shù)p2d，根據(jù)某粒徑內(nèi)插對(duì)應(yīng)的通過的砂量，程序代碼如下：

程序可在Excel VBA 上運(yùn)行，計(jì)算出P10和P80為40.355%和74.470%，等分可得到P0=35.481%和P100＝84.217%，篩選出來的新砂最小粒徑dmin和最大粒徑dmax為0.861 mm 和1.391 mm。而按NURBS 樣條曲線插值計(jì)算的P10和P80為40.360%和74.390%，dmin和dmax為0.862 mm 和1.397 mm，兩種方法計(jì)算的結(jié)果相吻合。

4 結(jié)語

以篩分?jǐn)?shù)據(jù)作為控制點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)矢量，在Auto CAD 平臺(tái)上通過VBA 編程創(chuàng)建NURBS 樣條曲線，擬合點(diǎn)公差達(dá)到1.0000E-10，使濾料篩選過程準(zhǔn)確直觀、簡(jiǎn)便快速。而根據(jù)Lagrange 拋物線插值算法編程計(jì)算，按設(shè)計(jì)要求的濾料粒徑d10和d80，計(jì)算相對(duì)應(yīng)的濾料質(zhì)量百分比P10和P80，同樣可以計(jì)算出篩選的新砂最小粒徑dmin和最大粒徑dmax。使用兩種方法對(duì)濾料篩選，其計(jì)算結(jié)果相吻合。

工程師可根據(jù)過濾池的設(shè)計(jì)要求修改濾料的d10和k80，直接得到相對(duì)應(yīng)的濾料粒徑級(jí)配參數(shù)dmin、d10、d80、dmax、K80等，使濾料篩選過程準(zhǔn)確方便。