■馬林勇

題目橢圓的焦點(diǎn)是F1、F2，橢圓上一點(diǎn)P滿足PF1⊥PF2，下面結(jié)論正確的是( )。

A.P點(diǎn)有兩個(gè)

B.P點(diǎn)有四個(gè)

C.P點(diǎn)不一定存在

D.P點(diǎn)一定不存在

解法一：根據(jù)圓的定理，即圓上任意一點(diǎn)與直徑連接所夾的角都為直角，以F1F2為直徑做圓，知圓的半徑r=c=3＜4=b，因此圓與橢圓無(wú)交點(diǎn)。故選D。

解法二：應(yīng)用三角函數(shù)中的正切值來(lái)判斷角的大小。由題意知當(dāng)P點(diǎn)在短軸端點(diǎn)處時(shí)∠F1PF2最大，設(shè)∠F1PF2=2α，則，所以此時(shí)∠F1PF2為銳角，與題設(shè)矛盾。故選D。

解法三：依據(jù)平面向量成直角時(shí)的兩個(gè)向量相乘為0來(lái)判斷是否為直角。設(shè)P(5Conθ，4 sinθ)，由PF1⊥PF2，知。而(5Conθ-3，4 sinθ)(5Conθ+3，4 sinθ)=25Con2θ-9+16 sin2θ=0?con2θ=無(wú)解。故選D。

解法四：將橢圓知識(shí)與三角函數(shù)知識(shí)相結(jié)合求解。設(shè)∠PF1F2=θ。假設(shè)PF1⊥PF2，則|PF1|+|PF2|=6Conθ+6 sinθ=，而|PF1|+|PF2|=2a=10，即不可能成立。故選D。

解法五：運(yùn)用三角函數(shù)中的余弦定理計(jì)算角的大小。

即∠F1PF2≠90°。所以PF1⊥PF2不存在，應(yīng)選D。

解法六：運(yùn)用勾股定理與焦半徑定理相結(jié)合求解。設(shè)P(x0，y0)。由焦半徑知。假設(shè)PF1⊥PF2，于是可得，所以。在橢圓中，|x0|≤5，而|x0|=，故假設(shè)不成立，故選D。

從這道例題就能充分看出一題多解的重要性，它是同學(xué)們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)不可忽視的一個(gè)重要“武器”。

1.一題多解可以提高同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣。數(shù)學(xué)各部分不是各自獨(dú)立的，而是相互呼應(yīng)的。同學(xué)們都有自己的強(qiáng)項(xiàng)和弱項(xiàng)，學(xué)習(xí)時(shí)可以充分利用自己掌握的知識(shí)去解決新問(wèn)題，這樣會(huì)增強(qiáng)同學(xué)們的自信心，慢慢將弱的環(huán)節(jié)也轉(zhuǎn)變成自己擅長(zhǎng)的模塊。

2.不同的思考角度為同學(xué)們帶來(lái)的是不斷提高的思維能力及邏輯分析能力，有助于拓寬同學(xué)們的解題思路，培養(yǎng)同學(xué)們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

3.將數(shù)學(xué)知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò)體系。這與同學(xué)們總結(jié)出的知識(shí)網(wǎng)不同，同學(xué)們通過(guò)一題多解鍛煉出的解決綜合問(wèn)題的能力，是通過(guò)切身體會(huì)和理解形成的，而不是通過(guò)記憶去形成的。