劉 嵐， 劉雨儂,2， 劉 超， 劉 更， 吳立言， 岳彥炯

(1.西北工業(yè)大學(xué) 陜西省機(jī)電傳動(dòng)與控制工程實(shí)驗(yàn)室，西安 710072;2.中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院，北京 100076；3.中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第七〇三研究所， 哈爾濱 150078)

阻尼材料本身具有高耗能特性，可以在相當(dāng)寬的頻帶范圍內(nèi)抑制結(jié)構(gòu)的振動(dòng)[1]。為了對(duì)附加阻尼結(jié)構(gòu)減振性能進(jìn)行越來越精確的評(píng)估，如何在考慮阻尼材料頻變特性的情況下準(zhǔn)確進(jìn)行建模和振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算成為附加阻尼結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)分析的關(guān)鍵。

附加阻尼結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算的基礎(chǔ)在于對(duì)整體結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)確建模。目前針對(duì)附加阻尼結(jié)構(gòu)的建模方法可以分為復(fù)模量法、模態(tài)應(yīng)變能及有限元法、解析法三大類[2]。復(fù)模量法應(yīng)用在早期研究中，其忽略阻尼材料的頻變特性，將彈性模量和損耗因子等效為常數(shù)處理。Ungar等[3]將阻尼材料的彈性模量近似為復(fù)常數(shù)，提出了阻尼結(jié)構(gòu)的損耗因子及其計(jì)算方法，用來衡量結(jié)構(gòu)的耗能屬性。譚峰[4]在各個(gè)頻段內(nèi)選取常數(shù)彈性模量計(jì)入復(fù)模量法進(jìn)行了建模，完成了箱體振動(dòng)加速度和聲輻射的計(jì)算，并通過試驗(yàn)驗(yàn)證了該方法基本滿足工程應(yīng)用。模態(tài)應(yīng)變能及有限元法以有限元分析為主要手段，由Johnson等[5]在有限元法的基礎(chǔ)上提出，通過各階模態(tài)下的應(yīng)變能分布求得各階模態(tài)阻尼比。國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)模態(tài)應(yīng)變能法進(jìn)行了深入的研究。Cura等[7]結(jié)合模態(tài)應(yīng)變能法，提出了與頻率相關(guān)的修正系數(shù)，間接考慮了材料頻變特性。Hujare等[8]使用修正的模態(tài)應(yīng)變能法在懸臂梁上進(jìn)行布局設(shè)計(jì)并進(jìn)行了試驗(yàn)驗(yàn)證。楊瑞[9]運(yùn)用模態(tài)應(yīng)變能法對(duì)簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析，并通過試驗(yàn)對(duì)結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。解析法主要包括分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)模型和GHM(Golla-Hughes-Mctavish)模型。其中GHM法運(yùn)用比較廣泛，由Golla等[10]首先提出，后來經(jīng)過Mctavish等[11]發(fā)展形成一套理論，可以在計(jì)入阻尼材料時(shí)考慮頻變特性，但其只對(duì)簡(jiǎn)單梁、板結(jié)構(gòu)進(jìn)行了分析計(jì)算。Zghal等[12]用模態(tài)縮減法求解GHM模型中的微分方程，提高了該方法的計(jì)算效率。劉天雄等[13]基于哈密頓原理(Hamilton)，使用GHM模型與有限元法相結(jié)合，得到了結(jié)構(gòu)的固有頻率、模態(tài)阻尼比和響應(yīng)?？偠灾?，復(fù)模量法主要假設(shè)阻尼材料的頻變彈性模量為常數(shù)，在工程近似場(chǎng)合多使用這種簡(jiǎn)化計(jì)算方法。解析法主要在復(fù)合結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程中引入阻尼材料的本構(gòu)關(guān)系，理論上可直接考慮阻尼材料的頻變特性，其理論清晰并能求得系統(tǒng)精確解，但由于方程的復(fù)雜性，它的求解依賴于簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)和特殊邊界條件，目前多用于簡(jiǎn)單二維結(jié)構(gòu)模型中。模態(tài)應(yīng)變能及有限元法主要通過有限元分析求得各階模態(tài)的模態(tài)阻尼比，并可將其應(yīng)用于基于模態(tài)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)計(jì)算中，但傳統(tǒng)的模態(tài)應(yīng)變能法沒有考慮阻尼材料的頻變特性。

對(duì)附加阻尼結(jié)構(gòu)進(jìn)行準(zhǔn)確建模的最終目的是進(jìn)行復(fù)合結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的精確計(jì)算。常用的結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算方法包括完全法和模態(tài)疊加法。在完全法計(jì)算結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)時(shí)，可以在時(shí)域求解過程中直接計(jì)入材料的阻尼系數(shù)，作為材料耗能屬性加以考慮；而為了對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行更加高效的計(jì)算，通常使用基于模態(tài)參數(shù)的模態(tài)疊加法進(jìn)行結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算[14]。阻尼系數(shù)作為其中一項(xiàng)重要的參數(shù)，對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算結(jié)果有較大的影響，目前取值基本依據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)、試驗(yàn)測(cè)量以及近似理論推導(dǎo)，存在有一定的局限性[15-17]。因此使用模態(tài)疊加法的前提是結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的準(zhǔn)確提取，尤其是模態(tài)阻尼比的準(zhǔn)確性。而目前附加阻尼結(jié)構(gòu)在使用傳統(tǒng)模態(tài)應(yīng)變能法提取模態(tài)參數(shù)時(shí)無法準(zhǔn)確計(jì)入阻尼材料的頻變特性，在使用模態(tài)疊加法進(jìn)行結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)分析時(shí)也無法準(zhǔn)確計(jì)入各階模態(tài)的模態(tài)阻尼比。

針對(duì)上述兩個(gè)問題，本文提出了一種考慮阻尼材料頻變特性的結(jié)構(gòu)響應(yīng)計(jì)算方法。該方法建立了一種考慮阻尼材料頻變特性的改進(jìn)模態(tài)應(yīng)變能法，準(zhǔn)確提取了附加阻尼結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)；并在運(yùn)用模態(tài)疊加法求解附加阻尼結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)時(shí)將各階模態(tài)參數(shù)準(zhǔn)確計(jì)入，從而能夠進(jìn)行振動(dòng)響應(yīng)的準(zhǔn)確計(jì)算。同時(shí)通過模態(tài)試驗(yàn)和振動(dòng)響應(yīng)試驗(yàn)驗(yàn)證了該響應(yīng)計(jì)算方法的準(zhǔn)確性。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 傳統(tǒng)模態(tài)應(yīng)變能法

模態(tài)應(yīng)變能法是Johnson等在有限元法的基礎(chǔ)上提出的，其基本思想是：在計(jì)算附加阻尼結(jié)構(gòu)的模態(tài)應(yīng)變能時(shí)，假設(shè)附加阻尼不會(huì)影響結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型，那么對(duì)于同一個(gè)結(jié)構(gòu)可以用無阻尼模態(tài)近似代替有阻尼模態(tài)，通過無阻尼下的模態(tài)分析，得到各階模態(tài)下阻尼層模態(tài)應(yīng)變能和總模態(tài)應(yīng)變能的分布情況，從而求得各階模態(tài)的模態(tài)阻尼比。

在計(jì)算中，各階模態(tài)的模態(tài)應(yīng)變能如式(1)所示。

(1)

式中：V為附加阻尼結(jié)構(gòu)的總體積；{φ}為附加阻尼結(jié)構(gòu)的實(shí)模態(tài)向量。

附加阻尼結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣[K]如式(2)所示。

(2)

因此結(jié)構(gòu)總的模態(tài)應(yīng)變能如式(3)所示。

(3)

式中：[K]M為非阻尼層金屬材料的剛度矩陣；[K]V為阻尼材料的剛度矩陣。

通過這種方式將附加阻尼結(jié)構(gòu)的總應(yīng)變能分為非阻尼層應(yīng)變能UM和阻尼層應(yīng)變能UV。根據(jù)阻尼材料的耗能機(jī)理，可知阻尼層的耗能如式(4)所示。

(4)

式中：βV為阻尼材料的材料損耗因子。

通過模態(tài)損耗因子可以表征附加阻尼結(jié)構(gòu)整體的耗能能力，其為阻尼層的耗能量與總模態(tài)應(yīng)變能的比值。因此，附加阻尼結(jié)構(gòu)某階模態(tài)頻率對(duì)應(yīng)的模態(tài)損耗因子ηi如式(5)所示。

(5)

式中：i為附加阻尼結(jié)構(gòu)的模態(tài)階數(shù)。

由于在模態(tài)試驗(yàn)過程中直接得到的是模態(tài)阻尼比，所以在得到各階模態(tài)損耗因子后，可由式(6)換算成各階模態(tài)阻尼比ξi。

ηi=2ξi

(6)

由式(6)可知，傳統(tǒng)模態(tài)應(yīng)變能法用實(shí)特征向量替代復(fù)特征向量計(jì)算各階模態(tài)阻尼比，可以大大地減小計(jì)算量。但是其在減小計(jì)算量的同時(shí)并沒有考慮阻尼材料的頻變特性，從而使得附加阻尼結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼比計(jì)算的結(jié)果存在較大誤差，因此必須建立一種可以考慮阻尼材料頻變特性的建模方法。

1.2 模態(tài)疊加法求解振動(dòng)響應(yīng)

基于模態(tài)參數(shù)的響應(yīng)計(jì)算一般使用模態(tài)疊加法，其基本原理是將多自由度的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)問題解耦到模態(tài)坐標(biāo)下，轉(zhuǎn)化為一系列單自由度的動(dòng)力學(xué)問題。多自由度系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程如式(7)所示[18]。

(7)

式中：M,C,K分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；{u}為系統(tǒng)位移列向量；{Fa}為系統(tǒng)所受激勵(lì)，一般為時(shí)間或頻率的函數(shù)。

根據(jù)各階模態(tài)特征向量的正交性，將上述物理坐標(biāo)下的動(dòng)力學(xué)方程解耦到模態(tài)坐標(biāo)下，可得如式(8)所示的n個(gè)動(dòng)力學(xué)方程。

(8)

式中：Mr為模態(tài)質(zhì)量，Mr={φr}TM{φr}；Kr為模態(tài)剛度，Kr={φr}TK{φr}；Cr為模態(tài)阻尼，Cr={φr}TC{φr}=2Mrωrζr；Fr為模態(tài)力，F(xiàn)r={φr}T{Fa}；其中r=1,2,…，h。

求解模態(tài)坐標(biāo)下的動(dòng)力學(xué)方程式(8)后可以得到每一階模態(tài)所對(duì)應(yīng)的模態(tài)參與因子ηr，將其代入式(9)即可求得系統(tǒng)的振動(dòng)位移響應(yīng){u}，從而求出系統(tǒng)的振動(dòng)速度和振動(dòng)加速度。

{u}=η1{φ1}+η2{φ2}+…+ηn{φn}=Φ{η}

(9)

式中：Φ為模態(tài)矩陣，Φ=[φ1,φ2,…，φn]；{η}為模態(tài)參與因子列向量。

由式(8)可知，在系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算中，對(duì)于一個(gè)確定的結(jié)構(gòu)和確定的激勵(lì)條件，模態(tài)質(zhì)量Mr、模態(tài)剛度Kr和模態(tài)力Fr都是已知并確定的，只有模態(tài)阻尼Cr計(jì)入不夠明確，而其決定參數(shù)是模態(tài)阻尼比ξr。

因此如果可以準(zhǔn)確得到結(jié)構(gòu)所有模態(tài)的模態(tài)阻尼比，那么就可以得到更加準(zhǔn)確的結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)。但是對(duì)于復(fù)雜的多自由度系統(tǒng)，求解全部模態(tài)的模態(tài)阻尼比基本上是不太可能的；另一方面是對(duì)于確定的激勵(lì)工況，并不是結(jié)構(gòu)的所有模態(tài)都可以被激起，大部分模態(tài)對(duì)振動(dòng)的影響很小。因此在使用模態(tài)疊加法進(jìn)行振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算時(shí)并不需要計(jì)入結(jié)構(gòu)的全部模態(tài)參數(shù)，只要將對(duì)振動(dòng)響應(yīng)貢獻(xiàn)較大的有限n階模態(tài)的模態(tài)阻尼比ξr進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)入，即可得到更準(zhǔn)確的振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算結(jié)果。

2 考慮阻尼材料頻變特性的結(jié)構(gòu)響應(yīng)計(jì)算方法

為了對(duì)附加阻尼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算，提出了考慮阻尼材料頻變特性的結(jié)構(gòu)響應(yīng)計(jì)算方法。該方法在傳統(tǒng)模態(tài)應(yīng)變能法的基礎(chǔ)上，建立了一種考慮阻尼材料彈性模量和損耗因子頻變特性的改進(jìn)模態(tài)應(yīng)變能法，通過迭代準(zhǔn)確提取附加阻尼結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)；并在運(yùn)用模態(tài)疊加法求解復(fù)合結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)時(shí)將各階模態(tài)的模態(tài)參數(shù)準(zhǔn)確計(jì)入，從而得到附加阻尼結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的準(zhǔn)確計(jì)算結(jié)果。在仿真的同時(shí)通過模態(tài)試驗(yàn)驗(yàn)證了模態(tài)參數(shù)提取的準(zhǔn)確性，并通過振動(dòng)響應(yīng)試驗(yàn)驗(yàn)證了該方法求解振動(dòng)響應(yīng)的準(zhǔn)確性。詳細(xì)流程如圖1所示。

圖1 考慮阻尼材料頻變特性的結(jié)構(gòu)響應(yīng)計(jì)算方法Fig.1 Calculation method of structural response considering dynamic characteristics of damping materials

3 改進(jìn)的模態(tài)應(yīng)變能法

3.1 阻尼材料的頻變特性

阻尼材料屬性具有隨激勵(lì)和溫度變化的特性[19]。在穩(wěn)定的外界溫度下，不同型號(hào)阻尼材料的屬性隨激勵(lì)頻率的變化特性不同。為了準(zhǔn)確考慮阻尼材料的頻變特性，本文根據(jù)廠商提供的SA-3C型阻尼材料的屬性表，通過最小二乘法擬合得到該材料的彈性模量與損耗因子隨頻率變化的規(guī)律，如圖2所示。其中E(f)為阻尼材料頻變彈性模量;β(f)為阻尼的頻變材料損耗因子；f為頻率。

圖2表明阻尼材料的彈性模量和材料損耗因子受激勵(lì)頻率的影響明顯，在不同的模態(tài)頻率下對(duì)應(yīng)的材料屬性是不相同的。因此在求解各階模態(tài)阻尼比的過程中，根據(jù)阻尼材料頻變特性曲線對(duì)模態(tài)應(yīng)變能法中的阻尼材料屬性進(jìn)行修正，可以得到準(zhǔn)確的模態(tài)參數(shù)。

圖2 SA-3C型阻尼材料頻變特性Fig.2 Dynamic characteristics of SA-3C

3.2 考慮阻尼材料頻變特性的改進(jìn)模態(tài)應(yīng)變能法

本文提出了一種考慮阻尼材料頻變特性的改進(jìn)模態(tài)應(yīng)變能法。即在傳統(tǒng)模態(tài)應(yīng)變能法基礎(chǔ)上，引入SA-3C材料的彈性模量和材料損耗因子隨激勵(lì)頻率的變化規(guī)律，通過迭代修正各階模態(tài)頻率對(duì)應(yīng)的材料參數(shù)，完成附加阻尼結(jié)構(gòu)的建模及模態(tài)參數(shù)的準(zhǔn)確計(jì)算。

如圖3所示為使用本文改進(jìn)模態(tài)應(yīng)變能法求解M階模態(tài)參數(shù)的計(jì)算流程，具體計(jì)算步驟如下：

圖3 改進(jìn)模態(tài)應(yīng)變能法計(jì)算流程圖Fig.3 Flow chart of improved modal strain energy method

步驟1確定阻尼材料的類型、激振力的頻率范圍；

步驟2選取激振頻率范圍的均值fi對(duì)應(yīng)的彈性模量E(Fi)和損耗因子β(Fi)，將其作為初始材料參數(shù)計(jì)入模態(tài)應(yīng)變能法中對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，得到第i階固有頻率Fi與對(duì)應(yīng)振型；

步驟3將第i階固有頻率Fi和最初計(jì)入的材料屬性對(duì)應(yīng)的頻率值fi通過|(Fi-fi)/Fi|≤ε進(jìn)行判定。若滿足判定條件，輸出第i階模態(tài)的模態(tài)應(yīng)變能分布；若不滿足判定條件則返回步驟2中修正阻尼材料參數(shù)為E(Fi)，β(Fi)，再次進(jìn)行模態(tài)分析，直到滿足判定條件后停止迭代計(jì)算；

步驟4通過第i階模態(tài)應(yīng)變能分布，利用模態(tài)應(yīng)變能法求出模態(tài)損耗因子，進(jìn)而求出該階模態(tài)阻尼比；

步驟5重復(fù)以上步驟2～步驟4完成其它階模態(tài)對(duì)應(yīng)模態(tài)阻尼比的計(jì)算；

步驟6輸出M階模態(tài)的固有頻率、振型和模態(tài)阻尼比。

3.3 仿真與試驗(yàn)?zāi)Ｐ?/h3>

為了驗(yàn)證改進(jìn)模態(tài)應(yīng)變能方法的準(zhǔn)確性，本文以約束阻尼結(jié)構(gòu)的矩形板為研究對(duì)象，將仿真與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。

矩形板的幾何尺寸如圖4所示。其中，基層材料為鋼，彈性模量E1=201 GPa，密度為ρ1=7 850 kg/m3，泊松比為μ1=0.3，長(zhǎng)寬厚為400 mm×400 mm×2 mm；阻尼層選用SA-3C型阻尼材料，其頻變彈性模量E(f)與損耗因子β(f)如圖2所示。密度為ρ2=1 450 kg/m3，泊松比為μ2=0.495，長(zhǎng)寬厚為300 mm×300 mm×2 mm；約束層的材料為鋁，彈性模量為E3=68.9 GPa，泊松比為μ3=0.3，長(zhǎng)寬厚分別為300 mm×300 mm×1 mm，密度為ρ3=2 700 kg/m3。約束阻尼結(jié)構(gòu)的邊界條件為基層四邊的固支約束，阻尼層和約束層覆蓋在基層的正中部，三者共同構(gòu)成約束阻尼板結(jié)構(gòu)。

圖4 算例模型圖(mm)Fig.4 Example model(mm)

3.4 模態(tài)參數(shù)提取及試驗(yàn)驗(yàn)證

首先進(jìn)行模態(tài)參數(shù)的仿真提取。依據(jù)SA-3C阻尼材料的頻變特性，使用改進(jìn)模態(tài)應(yīng)變能法進(jìn)行迭代計(jì)算，提取了考慮阻尼材料頻變特性的各階模態(tài)參數(shù)，包括固有頻率、模態(tài)阻尼比和振型。使用改進(jìn)模態(tài)應(yīng)變能法仿真計(jì)算得到的結(jié)果見表1。

本文通過約束阻尼板的模態(tài)試驗(yàn)對(duì)改進(jìn)模態(tài)應(yīng)變能法提取模態(tài)參數(shù)的準(zhǔn)確性進(jìn)行驗(yàn)證。試驗(yàn)?zāi)Ｐ团c仿真模型一致，將復(fù)合矩形板的基層四邊固定在剛性架上達(dá)到四邊固支的效果。由于基層板正面粘貼了約束層和阻尼層，為測(cè)試基層結(jié)構(gòu)在附加阻尼材料后的振動(dòng)響應(yīng)，在基層板反面布置9×9=81個(gè)測(cè)點(diǎn)，試驗(yàn)?zāi)Ｐ突鶎訙y(cè)點(diǎn)布置和實(shí)測(cè)圖，如圖5所示。模態(tài)試驗(yàn)使用的激勵(lì)方式是移動(dòng)力錘法，選用DYTRAN 5800B4型沖擊力錘，通過預(yù)試驗(yàn)得到力譜曲線可知有效試驗(yàn)頻率范圍為0～750 Hz，故本文只研究該范圍內(nèi)的模態(tài)特性。模態(tài)試驗(yàn)后進(jìn)行了數(shù)據(jù)的處理，主要包括頻響函

數(shù)擬合、模態(tài)參數(shù)提取。通過數(shù)據(jù)處理，可以得到模態(tài)疊加法所需要的模態(tài)參數(shù)，包括固有頻率、主振型和模態(tài)阻尼比，模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

圖5 基層測(cè)點(diǎn)布置與實(shí)測(cè)圖Fig.5 Test points distribution diagram

表1 仿真與試驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)對(duì)比

最后將模態(tài)試驗(yàn)和改進(jìn)模態(tài)應(yīng)變能法仿真得到的前五階振型圖進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖6所示，仿真和試驗(yàn)得到的各階模態(tài)振型一致，表明了在試驗(yàn)和仿真中不存在丟失模態(tài)的情況。

根據(jù)表1和圖6的結(jié)果，將改進(jìn)模態(tài)應(yīng)變能法、傳統(tǒng)模態(tài)應(yīng)變能法提取的模態(tài)參數(shù)與模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。改進(jìn)模態(tài)應(yīng)變能法提取固有頻率的誤差范圍為-3.04%～3.41%，模態(tài)阻尼比的誤差范圍為-0.03%～3.71%，其提取的模態(tài)參數(shù)與模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果較為接近。而傳統(tǒng)模態(tài)應(yīng)變能法提取固有頻率的誤差范圍為0.84%～21.19%，模態(tài)阻尼比的誤差范圍為-10.84%～-17.02%，其僅在第四階與模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果較為接近，其余各階均存在較大誤差。

出現(xiàn)上述結(jié)果的原因是傳統(tǒng)模態(tài)應(yīng)變能法計(jì)入的材料參數(shù)為平均頻率375 Hz對(duì)應(yīng)的阻尼材料屬性，所以該方法的分析結(jié)果在375 Hz附近可以得到比較準(zhǔn)確的模態(tài)參數(shù)，但是在遠(yuǎn)離該頻率的情況下，其結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)相比存在誤差。而本文的改進(jìn)模態(tài)應(yīng)變能法在計(jì)算過程中通過迭代，不斷修正材料的頻變彈性模量和損耗因子，因此各階模態(tài)的固有頻率和模態(tài)阻尼比結(jié)果與模態(tài)試驗(yàn)結(jié)果更接近。

圖6 試驗(yàn)與仿真振型圖對(duì)比Fig.6 Comparition of experiment and simulation modes

4 基于模態(tài)參數(shù)的振動(dòng)響應(yīng)分析與試驗(yàn)

在改進(jìn)模態(tài)應(yīng)變能法準(zhǔn)確提取模態(tài)參數(shù)的基礎(chǔ)上，本文使用模態(tài)疊加法進(jìn)行了基于模態(tài)參數(shù)的結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)分析，并與振動(dòng)響應(yīng)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

分析模型仍使用上文所述的約束阻尼結(jié)構(gòu)模型。在基層上選取相應(yīng)的激振點(diǎn)和測(cè)試點(diǎn)進(jìn)行振動(dòng)響應(yīng)分析，激振點(diǎn)與測(cè)試點(diǎn)位置如圖7所示。根據(jù)本文建立的考慮阻尼材料頻變特性的結(jié)構(gòu)響應(yīng)計(jì)算方法，為取代原有模態(tài)阻尼比的經(jīng)驗(yàn)值，將上文提取到的各階模態(tài)參數(shù)準(zhǔn)確計(jì)入模態(tài)疊加法中進(jìn)行振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算，分別計(jì)算激振點(diǎn)1和點(diǎn)2時(shí)測(cè)試點(diǎn)的振動(dòng)響應(yīng)。同時(shí)在相同約束狀態(tài)下使用激振器進(jìn)行振動(dòng)響應(yīng)試驗(yàn)，將試驗(yàn)結(jié)果與仿真計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。圖8為試驗(yàn)與仿真的加速度頻響結(jié)果對(duì)比，其中圖8(a)和圖8(b)分別顯示當(dāng)激振點(diǎn)1或激振點(diǎn)2被激勵(lì)時(shí)，仿真和試驗(yàn)中測(cè)試點(diǎn)的振動(dòng)加速度頻響曲線。

圖7 激振點(diǎn)與測(cè)試點(diǎn)位置分布圖Fig.7 The distribution of excitation points and test point

圖8 試驗(yàn)與仿真的加速度頻響結(jié)果對(duì)比Fig.8 Comparison of acceleration frequency response results between experiment and simulation

對(duì)比仿真和試驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，基于本文方法進(jìn)行的結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)仿真結(jié)果基本和試驗(yàn)結(jié)果吻合。在頻率0～500 Hz內(nèi)，仿真和試驗(yàn)結(jié)果的共振頻率誤差不大于5%，共振峰值的誤差不大于12%，二者基本吻合；而在頻率500～750 Hz內(nèi)，仿真和試驗(yàn)結(jié)果的共振頻率誤差不大于5%，共振峰值的誤差不大于25%；超過750 Hz后共振頻率和共振峰值的誤差變大，這是由于試驗(yàn)過程中，附加阻尼材料后約束阻尼結(jié)構(gòu)整體剛度下降，激勵(lì)錘與試件接觸時(shí)間增加，會(huì)導(dǎo)致激振力的有效頻率范圍降低，因此超過該頻率范圍的試驗(yàn)數(shù)據(jù)會(huì)產(chǎn)生較大的誤差，導(dǎo)致仿真與試驗(yàn)數(shù)據(jù)差異變大。但總體來看，上述振動(dòng)響應(yīng)數(shù)據(jù)的對(duì)比分析可以驗(yàn)證本文方法在0～750 Hz頻段內(nèi)計(jì)算附加阻尼結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)問題上的準(zhǔn)確性和有效性。

5 結(jié) 論

本文在傳統(tǒng)模態(tài)應(yīng)變能法和模態(tài)疊加法的基礎(chǔ)上，建立了一種考慮阻尼材料彈性模量和損耗因子頻變特性的結(jié)構(gòu)響應(yīng)計(jì)算方法。并通過模態(tài)試驗(yàn)和振動(dòng)響應(yīng)試驗(yàn)對(duì)使用該方法的模態(tài)分析與振動(dòng)響應(yīng)仿真結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比驗(yàn)證。得到主要結(jié)論如下：

(1)根據(jù)廠商提供的SA-3C型阻尼材料的材料屬性，擬合得到了該材料的彈性模量與損耗因子隨頻率變化的規(guī)律。得出了阻尼材料屬性受激勵(lì)頻率影響較為明顯的結(jié)論，明確了阻尼材料頻變特性對(duì)附加阻尼結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算的準(zhǔn)確性有較大影響。

(2)本文提出的改進(jìn)模態(tài)應(yīng)變能法以有限元法為基礎(chǔ)，用實(shí)特征向量替代復(fù)特征向量計(jì)算各階模態(tài)阻尼比，能夠在復(fù)雜結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)提取過程中減小計(jì)算量；其次通過迭代計(jì)入了阻尼材料的頻變特性，保證了模態(tài)參數(shù)的準(zhǔn)確提取。本文方法相比解析法能更快速地提取三維復(fù)雜結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，相比復(fù)模量法和傳統(tǒng)模態(tài)應(yīng)變能法的準(zhǔn)確性更高。同時(shí)本文方法提取模態(tài)參數(shù)的準(zhǔn)確性得到了模態(tài)試驗(yàn)的驗(yàn)證，仿真值和試驗(yàn)值的誤差小于3.71%。

(3)本文提出的考慮阻尼材料彈性模量和損耗因子頻變特性的結(jié)構(gòu)響應(yīng)計(jì)算方法，在通過改進(jìn)模態(tài)應(yīng)變能法提取準(zhǔn)確的模態(tài)參數(shù)基礎(chǔ)上，基于模態(tài)疊加法進(jìn)行振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算時(shí)用準(zhǔn)確的模態(tài)阻尼比替換原有的經(jīng)驗(yàn)值，進(jìn)行了準(zhǔn)確的振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算，并與振動(dòng)響應(yīng)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性。

(4)本文以約束阻尼板結(jié)構(gòu)為模型進(jìn)行仿真和試驗(yàn)，對(duì)于仿真頻段和試驗(yàn)頻段的準(zhǔn)確性有較大的限制。在0～750 Hz的頻段范圍內(nèi)，本文提出的考慮阻尼材料彈性模量和損耗因子頻變特性的結(jié)構(gòu)響應(yīng)計(jì)算方法得到的分析結(jié)果更加接近實(shí)際的試驗(yàn)結(jié)果；在750 Hz以上頻段出現(xiàn)較大誤差，原因是在預(yù)實(shí)驗(yàn)中力錘的力譜曲線顯示有效試驗(yàn)頻率范圍為0～750 Hz。因此為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法在復(fù)雜結(jié)構(gòu)和更寬頻段范圍上的準(zhǔn)確性，針對(duì)三維復(fù)雜結(jié)構(gòu)的驗(yàn)證性試驗(yàn)將是后續(xù)研究的方向。