何 意， 肖 毅， 蘇眾慶

(1. 同濟大學(xué) 航空航天與力學(xué)學(xué)院，上海 200092；2.香港理工大學(xué) 機械工程系，香港 999077)

先進復(fù)合材料正逐步取代傳統(tǒng)的金屬材料作為新一代結(jié)構(gòu)材料被廣泛應(yīng)用。然而復(fù)合材料構(gòu)件在全服役周期中，由于各種載荷的作用不可避免地會產(chǎn)生各種缺陷，而分層損傷是其主要失效形式之一，由其引起的結(jié)構(gòu)抗壓、剪切強度的大幅下降將嚴重威脅結(jié)構(gòu)安全。因此，對復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分層損傷進行早期診斷是一項具有重要工程價值的研究工作。

研究表明，當(dāng)復(fù)合材料層合板中產(chǎn)生分層損傷時，其結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)將會發(fā)生顯著變化，而這些主要反映在模態(tài)參數(shù)的變化上，因此模態(tài)參數(shù)分析是分層損傷系統(tǒng)識別的重要手段[1]。一般模態(tài)參數(shù)主要包括振型、頻率以及阻尼三個參數(shù)。早期研究主要關(guān)注如何建立動力學(xué)模型以準(zhǔn)確計算分層板模態(tài)頻率，試驗及計算結(jié)果表明，在低階模態(tài)下分層早中期階段(分層比小于等于50%)頻率改變不明顯，僅表現(xiàn)出5%以內(nèi)的偏差，對于分層早期診斷沒有實質(zhì)性作用[2-5]。對振型分析而言，大量試驗以及數(shù)值分析表明，在分層早中期階段，直至第6階模態(tài)前，分層板與無損板的振型均無明顯區(qū)別[6-8]。對比振型與頻率，可發(fā)現(xiàn)阻尼在分層早期中具有更高的敏感性，十分適合作為分層診斷的模態(tài)參數(shù)。一些工作主要通過對比試驗數(shù)據(jù)得到了層合板阻尼因分層而顯著上升的定性分析結(jié)果，并且其中部分工作對于分層板低階阻尼進行了理論求解，但僅僅關(guān)注材料阻尼的影響，這造成了低階模態(tài)阻尼的預(yù)測結(jié)果基本上表現(xiàn)為定值規(guī)律，這與試驗中出現(xiàn)的阻尼上升現(xiàn)象不吻合[9]。實際中，約束端摩擦損耗、空氣阻尼等間接因素均可造成阻尼升高，但上述結(jié)果已排除了不良干擾，因此可認為損傷結(jié)構(gòu)仍存在內(nèi)部能量損耗機制，其中由內(nèi)摩擦造成的接觸阻尼被認為是主要原因。早先，一些學(xué)者在動力學(xué)分析中主要采用干摩擦模型，然而無論是經(jīng)典的庫倫摩擦或是其彈性變形均認為耗能僅發(fā)生滑動階段，未考慮前滑移階段耗能機理[10-13]?；谏鲜鲅芯康木窒扌?，許多學(xué)者認為需要考慮前滑移階段的位移-力關(guān)系，提出了一種黏性庫倫摩擦模型，認為前滑動階段中系統(tǒng)受黏性力作用，但該模型放棄了彈性庫倫摩擦中的摩擦剛度[14-17]。

考慮接觸問題的分層板有限元建?？梢酝ㄟ^多種方式實現(xiàn)，以獲得精確的分層板動態(tài)響應(yīng)。Luo等提出運用彈簧連接給分層上下接觸面設(shè)定約束，計算結(jié)果表明，彈簧剛度大小對結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)并無明顯影響，且計算數(shù)值普遍高于試驗值，某些情況下偏離嚴重，說明該方法因未釋放接觸面張開的約束而導(dǎo)致了結(jié)構(gòu)整體剛度偏高。為了釋放張開的約束，Ju等[18-20]將罰剛度法用于分層接觸面有限元建模，計算結(jié)果驗證了罰剛度法對于計算分層板頻率響應(yīng)的準(zhǔn)確性，說明該方法能更準(zhǔn)確反映分層接觸性質(zhì)，然而他們的研究中并未對如何合理選取罰剛度給出相應(yīng)的解釋，或僅僅使用有限元軟件的默認值。

基于上述背景分析，本文旨在建立描述分層板動態(tài)層間接觸阻尼行為的理論模型。首先，采用應(yīng)變能法(Specific Damping Capacity, SDC)[21-22]對復(fù)合材料材料阻尼進行有限元求解。然后，針對接觸阻尼，基于黏彈性靜摩擦模型建立靜-滑動摩擦一體化的能量損耗理論框架。利用有限元軟件Abaqus建立分層板的3維動力學(xué)有限元模型，并給出了接觸層模量與罰剛度之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，從而確定罰剛度的輸入方法，同時給出接觸阻尼的有限元導(dǎo)入方法。最后，運用自由衰減試驗測得分層板的一階模態(tài)阻尼，并將試驗阻尼和時域響應(yīng)分別與理論阻尼和有限元模型時域響應(yīng)作對比，驗證理論與有限元模型的有效性。

1 分層層合板阻尼

1.1 材料阻尼

分層層合板的整體阻尼性能包括了材料阻尼和接觸阻尼兩部分，因此首先要確定復(fù)合材料阻尼的求解方法。目前利用有限元求解復(fù)合材料阻尼性能的方法主要有彈性-黏彈性對應(yīng)原理(Elastic-Viscoelastic Correspondence Principle)[23]以及應(yīng)變能法。本文采用應(yīng)變能法計算材料阻尼。

應(yīng)變能法主要思想為：結(jié)構(gòu)總的比阻尼容量可以表征為每一個振動周期內(nèi)的損耗能量除以總應(yīng)變能

ψ=ΔU/U

(1)

式中：ΔU為一周期內(nèi)的損耗能量；U為不含阻尼情況下結(jié)構(gòu)最大的應(yīng)變能。為求解U，首先需要求解無阻尼系統(tǒng)的運動方程

(2)

式中：M，K，F(xiàn)及a分別為結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩陣、剛度矩陣、載荷向量以及位移向量。由式(2)可求得系統(tǒng)應(yīng)力向量σ、應(yīng)變向量ε。根據(jù)彈性力學(xué)原理，應(yīng)變能理論表達有

(3)

(4)

由式(3)和式(4)可得到材料比阻尼容量ψmat

ψmat=ΔUmat/U

(5)

有限元軟件對式(3)和式(4)進行積分計算時，采用高斯積分法。該方法只需知道每個高斯積分點的積分點體積，以及對應(yīng)的積分點處被積函數(shù)值，兩者相乘即可得單個積分點積分值。事實上，Abaqus有限元軟件計算后可直接導(dǎo)出模態(tài)下的積分點應(yīng)力、應(yīng)變及積分點體積值，運用以上數(shù)據(jù)即可計算應(yīng)變能及耗散能。

1.2 接觸阻尼

振動狀態(tài)下，分層上下界面的接觸被認為是導(dǎo)致阻尼上升的主要原因。為進一步理解分層界面能量耗散機制，提供定量分析分層界面接觸阻尼方法，需建立相應(yīng)的接觸阻尼模型。

干摩擦一般用庫倫摩擦模型描述，表1給出了該模型及其擴張形式。表中：FN為法向加載力；FT為切向加載力；fT為摩擦力；sc為黏滯階段微滑移；μ為靜摩擦因數(shù)，本文中均默認靜摩擦因數(shù)與動摩擦因數(shù)一致。其中：“1”為經(jīng)典庫倫摩擦模型；“2”為考慮靜摩擦彈性變形的彈性庫倫模型；“3”為考慮靜摩擦階段為黏性變形的黏性庫倫摩擦模型。庫倫摩擦及其變形表現(xiàn)了摩擦理論對于前滑移階段位移-摩擦力關(guān)系的發(fā)展。接觸問題中，既存在滑動摩擦也存在靜摩擦，同時接觸界面還存在著一定的接觸剛度，因此需要將上述模型進行結(jié)合。該模型同時需要描述滑移階段和前滑移階段的能量損耗，還需要考慮到實際存在的接觸剛度影響，據(jù)此需要建立靜-動摩擦一體化能量損耗模型。

表1 不同干摩擦模型及其方程表達與遲滯回線

對于黏滯階段，考慮上下接觸對之間的靜摩擦，為同時引入接觸剛度以及黏性耗能，將其描述為Kelvin黏彈性模型

(6)

式中：τcont,γfric為由靜摩擦造成的界面切向應(yīng)力與切向應(yīng)變；Gcont為靜摩擦等效切向接觸模量；ccont為靜摩擦等效切向黏性阻尼系數(shù)；若此處忽略界面粗糙度影響可認為Gcont與ccont為接觸面樹脂材料的剪切模量與黏性系數(shù)，Gcont=891.30 MPa，ccont=Gcont(2ξcont/ωr)(ξcont為樹脂材料阻尼比，約為0.008)。設(shè)第r階模態(tài)下，sc隨時間變化有(默認初始位置為0，相位為0)

sc=sasin(ωrt)

(7)

式中：sa為單點靜摩擦接觸循環(huán)周期內(nèi)最大微滑移距離。設(shè)h表示接觸的變形厚度，則γfric可表示為

(8)

將式(8)代入式(6)

(9)

式(9)中h對于實際的粗糙材料可由顯微鏡觀察得到，雖然忽略了粗糙度影響，但為與實際接近，取文獻[24]中h值0.005 mm。ωr為第r階模態(tài)頻率;將式(9)轉(zhuǎn)換為二次曲線形式，則有

(10)

該二次曲線為一傾斜的橢圓遲滯回線(見圖1)。其包圍面積即代表損耗能量，則單點接觸一周期內(nèi)的損耗能量有

(11)

圖1 Kelvin黏彈性靜摩擦遲滯回線Fig.1 Hysteresis loop of Kelvin viscoelastic static friction

當(dāng)FT超過最大靜摩擦力摩擦階段中出現(xiàn)滑動摩擦，此時遲滯回線無法維持完整的橢圓，遲滯回線會出現(xiàn)削平頂部的情況，削平起始點即為橢圓遲滯回線中應(yīng)力最大點，其對應(yīng)的sc為

(12)

式(12)中存在ccontωr?Gcont，易知應(yīng)力最大點約等于sa，該性質(zhì)反映了由于橢圓函數(shù)的特性，使得應(yīng)力最大點與微滑移最大點并不重合。圖1已做夸大處理，實際中應(yīng)力最大點與微滑移最大點十分接近，為簡便計算在后文中默認兩點重合。產(chǎn)生削平效應(yīng)后，原遲滯回線拓展出一平行四邊形區(qū)域，新的遲滯回線為

(13)

式中:sb為滑動1/2摩擦滑移距離，該靜-動摩擦一體化能量損耗模型可用圖2表示。圖3為該模型遲滯回線。

此時，損耗能量將需要加上滑動摩擦部分，單點接觸一周期內(nèi)的損耗能量為

(14)

圖2 靜-動摩擦一體化能量損耗模型Fig.2 Static-slip-integrated friction energy-dissipated model

將式(14)在整個接觸域進行積分，得到結(jié)構(gòu)總接觸損耗能量

(15)

類似應(yīng)變能法，可同樣得到接觸比阻尼容量ψcont

ψcont=ΔUcont/U

(16)

式(5)與式(16)相加，即得到整體分層板結(jié)構(gòu)的比阻尼容量

ψ=ψmat+ψcont

(17)

將比阻尼容量以阻尼比形式表示[25]

(18)

圖3 靜-動摩擦一體化能量損耗模型遲滯回線Fig.3 Hysteresis loop of static-slip-integrated friction energy-dissipated model

2 分層層合板有限元模型

2.1 分層界面接觸對

接觸問題的數(shù)值計算呈現(xiàn)出高度復(fù)雜的非線性現(xiàn)象，需要強大的求解器來避免收斂問題。因此，本研究使用通用有限元軟件Abaqus來構(gòu)建3D動態(tài)隱式模型，該軟件具有用于接觸建模的高級穩(wěn)定控制。建立分層層合板有限元模型的關(guān)鍵在于運用合理的方法描述分層接觸問題，它既能反映真實分層界面邊界條件，又能提供良好收斂性能使其在盡可能短的時間提供足夠精度的結(jié)果。Abaqus中提供了Interaction模塊用以建立部件表面接觸行為。

Abaqus建立接觸主要有兩種約束形成方案：節(jié)點到面的離散及面到面的離散。面到面的離散會為整個接觸面(而不是單個節(jié)點)建立接觸條件，可在分析中同時考慮主面和從面的形狀變化，節(jié)點穿透的程度低于節(jié)點到面的離散，因此一般情況下，面到面的離散得到的接觸應(yīng)力結(jié)果精度要高于點對面離散。為避免過于嚴重的穿透以及得到更精確的接觸應(yīng)力，選用面到面離散方法。

對于主從面的選取，在接觸對中，建議選擇具有較高剛度的表面作為主表面，而較低剛度的表面作為從表面。對于偏置分層板，由于分層的上部比下部薄，因此為較低剛度表面，被定義為從面；相應(yīng)地，下部表面被定義為主面。對于中央分層板，由于上下部剛度相同，主、從面選取不受限制，可保持與偏置分層板設(shè)置相同。分層界面在振動過程中，由于上下節(jié)點對之間不存在切向的錯位遷移，則滑動方程可選擇小滑移模式：該模式默認節(jié)點不存在切向錯位遷移，接觸行為只發(fā)生在起始時的各節(jié)點對之間，計算過程無需判斷節(jié)點遷移，可提高計算效率。

設(shè)定約束形成方案后需定義接觸屬性。對于法向，應(yīng)給定壓力-過盈關(guān)系以模擬界面間不可穿透約束。壓力-過盈關(guān)系主要有硬接觸和軟接觸兩種。硬接觸條件可以最小化從主表面間的穿透，且對于隱式算法軟接觸計算時間成本更高，因此選用硬接觸，其壓力p與過盈關(guān)系hover有(見圖4)

(19)

硬接觸中Abaqus提供了三種不同的實行方法：直接法、罰剛度法、增廣拉格朗日法。綜合收斂性以及精度要求，選取罰剛度法。罰剛度法中，壓力是過盈量的函數(shù)，兩者關(guān)系分為線性與非線性兩種，此處選用線性關(guān)系

圖4 壓力-過盈關(guān)系Fig.4 Pressure-overclosure relationship

p=Khover

(20)

式中：K為罰剛度，MPa/mm。

最后，需在接觸屬性中引入阻尼。在有限元接觸模型中引入接觸阻尼是一個難點。將接觸層虛擬為一層含阻尼的薄層材料是其中一種方法[26]。該方法實際將接觸上下表面固結(jié)在一起，無法實現(xiàn)動態(tài)下接觸界面的張合，對于分層等張合明顯的弱接觸行為，會對結(jié)構(gòu)模態(tài)結(jié)果產(chǎn)生較明顯的影響。本次有限元建模中，采用接觸屬性中阻尼(Contact Property—>Damping)選項引入接觸阻尼。該選項阻尼定義為抵制接觸面之間的相對運動，阻尼系數(shù)是間隙距離的函數(shù)，有線性與分段線性兩種函數(shù)關(guān)系，為簡易定義與計算穩(wěn)定，取線性關(guān)系。

2.2 罰函數(shù)接觸剛度

罰函數(shù)法是約束變分原理中的一種，利用約束變分原理得到修正泛函，其解近似地滿足接觸面的不可穿透性條件。因此，式(20)中的罰剛度K數(shù)學(xué)意義為約束變分原理中約束縮放因子，K越大約束條件滿足越好，模型越逼真，但過大的K將導(dǎo)致收斂性下降。

由上述可知，原則上值的意義僅存在于數(shù)學(xué)層面，無明確的物理意義。然而在式(8)中，模型假設(shè)了接觸面的變形發(fā)生在厚度為h的接觸層以內(nèi)，其接觸層法向受壓時存在變形，該假設(shè)與K值的數(shù)學(xué)意義相似，即類比過盈量為接觸層變形量(見圖5)。因此，根據(jù)接觸層的彈性模量可得到K的大小。

圖5 接觸層變形等效節(jié)點過盈Fig.5 Equivalent node overclosure quoted from deformation of contact layer

注意到，K單位為MPa/mm，而接觸層彈性模量Econt單位為MPa，因此二者轉(zhuǎn)換實質(zhì)為量綱轉(zhuǎn)換。有限元單元本構(gòu)關(guān)系有

σe=QBae

(21)

式中：ae為單元位移向量；Q為本構(gòu)矩陣;B為應(yīng)變矩陣。其中QB可表示為

S=QB

(22)

式中：S為應(yīng)力矩陣，其展開得到

S=[QB1…QB8]=[S1…S8]

(23)

式中：Si,33項為單元ζ方向(接觸面法向)的應(yīng)力矩陣分量

(24)

正負號對應(yīng)節(jié)點在單元局部坐標(biāo)中的坐標(biāo)正負號。式(24)中并不包含ζ方向的自變量，因此Si,33對于該方向是常量。設(shè)單個單元在板厚變形量為Δh，則厚度方向應(yīng)力為

(25)

此時得到一個厚度方向位移與壓力之間的本構(gòu)關(guān)系，令K等于該本構(gòu)

(26)

式(26)表現(xiàn)了K從數(shù)學(xué)含義向物理含義的傳遞。

2.3 接觸阻尼引入

接觸屬性中的阻尼系數(shù)定義為

(27)

式中:Ae為節(jié)點面積；ve為接觸節(jié)點對相對運動速度；fvd為阻尼力大小，易知該阻尼系數(shù)單位為MPa·s/mm。事實上式(27)表示了Abaqus中的接觸阻尼是等效黏性阻尼，該系數(shù)被定義為法方向阻尼系數(shù)，為考慮切向阻尼，還提供了切向系數(shù)，默認的切向系數(shù)為0。本文中主要考慮切向的阻尼效應(yīng)，為突出切向的影響，此處取較大的切向系數(shù)1 000。

對于線性阻尼系數(shù)-間隙函數(shù)，需定義間隙距離，該參量意義為：若接觸節(jié)點對之間的距離在所定義的間隙內(nèi)，則考慮阻尼效應(yīng)，否則不考慮。經(jīng)試算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)間隙距離較小時，計算結(jié)果穩(wěn)定性下降，當(dāng)間隙距離大于分層面在振動下的最大分離距離時，穩(wěn)定性良好。此時，所有接觸點對在完整振動周期內(nèi)均受阻尼力影響，第k接觸點對單周期內(nèi)損耗能有

(28)

整個接觸面總損耗能為

(29)

在激勵相同情況下，式(29)中除?外均是常數(shù)，總應(yīng)變能U與式(5)相同情況下阻尼比為

(30)

式(30)的括號表示一個常數(shù)，顯然該阻尼選項中阻尼系數(shù)與最終求得的接觸阻尼比呈正比例關(guān)系。由“1.2”節(jié)所述的接觸阻尼比已知，根據(jù)式(30)容易求得對應(yīng)的輸入阻尼系數(shù)?。為驗證式(30)，取不同的?代入并計算模型在該接觸阻尼系數(shù)下的阻尼比，其結(jié)果如圖6所示。

圖6 有限元接觸阻尼系數(shù)與結(jié)構(gòu)整體阻尼比之間的關(guān)系Fig.6 Relationship between the contact damping coefficient in FEM and the integrated damping ratio of the structure

2.4 基于有限元模型的求解流程

從式(4)與式(16)可知，欲求得分層板材料阻尼與接觸阻尼，需要知道應(yīng)力、應(yīng)變、積分點體積、接觸應(yīng)力與接觸滑移距離等信息，本文理論計算均需與有限元模型結(jié)合。傳統(tǒng)的Frequency以及Modal dynamic等線性攝動步對于含有接觸非線性(約束變分)的模型不能求解，運用Dynamic Implicit可有效模擬含有接觸非線性模型的動態(tài)響應(yīng)。Dynamic Implicit采用直接積分方法對總體矩陣方程進行求解，相比Modal dynamic計算時間更長，但能良好反映接觸狀態(tài)以及接觸對整體結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響。圖7給出了具體求解流程，主要步驟如下：

步驟1運用Dynamic Implicit分析步計算無阻尼系統(tǒng)的一階動態(tài)響應(yīng)；

步驟2從步驟1中輸出應(yīng)力、應(yīng)變、積分點體積、分層接觸面接觸應(yīng)力以及滑移距離；

步驟3提取應(yīng)力、應(yīng)變以及積分點體積數(shù)據(jù)，結(jié)合復(fù)合材料各方向阻尼比分量運用應(yīng)變能法求解一階模態(tài)材料阻尼；

步驟4提取接觸應(yīng)力以及滑移距離數(shù)據(jù)，運用靜-滑動摩擦一體化接觸阻尼模型計算一階模態(tài)接觸阻尼；

步驟5將計算得到的材料阻尼與接觸阻尼導(dǎo)入原阻尼結(jié)構(gòu)，并計算有阻尼系統(tǒng)的一階動態(tài)響應(yīng)。

3 動態(tài)參數(shù)測試

采用自由衰減法進行一階模態(tài)阻尼試驗，該方法操作簡便且數(shù)據(jù)精確。測試步驟為：給結(jié)構(gòu)一個瞬時激勵后，得到一階模態(tài)下結(jié)構(gòu)的自由衰減曲線，通過擬合時域數(shù)據(jù)中的各波峰值得到衰減函數(shù)曲線，從而到阻尼比參數(shù)。

對于欠阻尼系統(tǒng)(ζ<1)某點的位移有如下形式通解

(31)

復(fù)合材料的一階模態(tài)材料阻尼隨著一階模態(tài)頻率上升而上升，其大致滿足經(jīng)驗公式[27]

ξ1st-order=aln(f1st-order)+b

(32)

式中：a和b為需要通過試驗確定的系數(shù)。

試驗中不可避免存在空氣阻尼影響，一定振幅下阻尼和振幅成線性關(guān)系，可通過線性擬合法排除空氣阻尼干擾[27]。

圖7 結(jié)合有限元模型的求解流程Fig.7 Solving process combined with FEM

本試驗用材為威海光威復(fù)材公司提供的碳纖維/環(huán)氧(T300/7901)預(yù)浸料，層合板鋪層為正交鋪層[0/902/02/902/0]s，材料參數(shù)見表2。板件制備中，以聚四氟乙烯薄膜作為預(yù)埋分層材料埋入鋪層特定位置，薄膜厚度為0.025 mm。工程中，包括沖擊、邊緣應(yīng)力以及生產(chǎn)缺陷等工況主要造成宏觀分層，且振動主要也局限于對宏觀分層的探測。為符合工程中的損傷容限需求，設(shè)置分層長度為40 mm，取五組不同全長試樣(分層比例)：90 mm(44.4%),130 mm(30.8%),170 mm(23.5%),210 mm(19.0%)和250 mm(16.0%)，主要討論早期宏觀裂紋，不設(shè)置大于50%分層比例的試樣。試樣尺寸及分層厚度方向位置見圖9，“//”代表分層。圖10為試樣實物圖。

表2 T300/7901碳纖維/環(huán)氧樹脂復(fù)合材料力學(xué)參數(shù)

圖9 預(yù)埋分層試件幾何尺寸Fig.9 Geometry of delamination-preset composite plate specimens

圖10 預(yù)埋分層試件實物Fig.10 Delamination-preset composite plate specimens

4 結(jié) 果

由前述可知，為了計算材料阻尼以及接觸阻尼，需先對無阻尼板進行有限元計算。分層板存在穩(wěn)定的模態(tài)接觸阻尼前提是其在該模態(tài)下存在穩(wěn)定的接觸狀態(tài)，為此首先需討論不同模態(tài)下的接觸狀態(tài)。通過“2.2”節(jié)方法求得罰剛度并導(dǎo)入有限元模型，計算其前三階接觸狀態(tài)，計算結(jié)果見表3。

表3表現(xiàn)了44.4%偏置分層板前三階模態(tài)在半個周期(波峰至波谷)內(nèi)的五個相位點接觸情況，顯然前三階模態(tài)的接觸狀態(tài)各有不同：一階模態(tài)接觸基本發(fā)生在分層兩端界處；二階模態(tài)則集中于兩端界對角點處；三階模態(tài)集中在分層中部處。前兩階模態(tài)接觸在0相位處發(fā)生突變，分別由原接觸端界/對角點轉(zhuǎn)移到另一端部，而三階模態(tài)接觸則表現(xiàn)為由閉合到張開的呼吸效應(yīng)。上述結(jié)果表明當(dāng)分層板處于某一模態(tài)時，其具有穩(wěn)定的接觸狀態(tài)，這一特性保證了分層板能有穩(wěn)定的模態(tài)接觸阻尼。

表3 44.4%偏置分層板有限元模型前三階模態(tài)接觸狀態(tài)

對于分層板的兩部分阻尼，首先需準(zhǔn)確得到復(fù)合材料的材料阻尼，其關(guān)鍵在于準(zhǔn)確得到復(fù)合材料各個方向阻尼比分量值。一階阻尼比各分量與一階頻率有關(guān)，需通過試驗得到阻尼比分量與頻率的函數(shù)，通過裁切不同長度的板件得到不同一階頻率的數(shù)據(jù)；對于不同分量，通過測試不同纖維方向無損單向板得到，即分別測試0°，90°以及45°單向板以得到ξ11,ξ22(ξ33)以及ξ12(ξ13)，ξ23采用經(jīng)驗方法表示為ξ23=ξ12/2，圖11(a)、圖11(b)和圖11(c)分別表現(xiàn)了0°，90°以及45°無損板的測試結(jié)果及擬合曲線，所得阻尼比頻率依賴性表達式見表4。

為了驗證擬合公式，將所得公式用于SDC法計算“3”節(jié)所述鋪層的無損層合板阻尼，并與試驗值對比(見圖12)。結(jié)果顯示，試驗值擬合的公式與計算值擬合的公式相比接近，在低頻部分吻合良好，在高頻部分誤差稍大，從圖12可知，在60～80 Hz的試驗阻尼比飆升源自于該頻域段為夾持機械的共振頻率。通過對比可知，所得阻尼比頻率依賴性表達式滿足對分層板材料阻尼計算的要求。

圖11 單向板一階模態(tài)阻尼試驗值及擬合結(jié)果Fig.11 Experiment and fitting 1st-order damping ratio results of unidirectional composite plates

圖12 正交層合板一階模態(tài)阻尼試驗值及擬合結(jié)果Fig.12 Experiment and fitting 1st-order damping ratio results of cross laminated composite plates

將接觸應(yīng)力與滑移距離信息運用到靜-動摩擦一體化能量損耗模型，計算分層板一階接觸阻尼，并與此前應(yīng)變能法得到的材料阻尼相加得到分層板一階模態(tài)阻尼。圖13給出了兩種分層情況的分層板一階模態(tài)阻尼試驗以及理論計算結(jié)果。從圖13可知，當(dāng)層合板含有分層時一階模態(tài)阻尼將明顯地上升，且兩種不同分層位置的分層板一階模態(tài)阻尼均隨分層比例上升而上升，此外中央分層板阻尼普遍高于偏置分層板阻尼。顯然，阻尼對于早中期板件的分層損傷具有較高的敏感度，是一項適合用于分層檢測的模態(tài)參數(shù)。此外，圖中給出了理論計算的接觸阻尼(虛線)，接觸阻尼隨分層比例上升的趨勢十分明顯?？傮w上，理論計算結(jié)果與試驗值反映出相同的阻尼變化趨勢，其中偏置分層組理論與試驗吻合良好，而中央分層組除分層比44.4%一項外，其余各項數(shù)據(jù)基本也處于較小的誤差范圍內(nèi)。

表4 T300/7901碳纖維/環(huán)氧樹脂復(fù)合材料阻尼分量

圖13 分層板一階模態(tài)阻尼試驗值與理論值Fig.13 Experiment and fitting 1st-order damping ratio results of delaminated composite plates

將上述理論結(jié)果導(dǎo)入有限元建模，并計算有阻尼情況下的動態(tài)響應(yīng)。其中材料阻尼以瑞利阻尼引入，接觸阻尼由“2.3”節(jié)所介紹的方式引入。分別選取偏置、中央分層兩組試件中分層比例為19.0%，30.8%和44.4%項進行有限元模擬，模擬結(jié)果與試驗結(jié)果如圖14所示。圖中的試驗結(jié)果經(jīng)過濾波處理，僅保留了一階的自由衰減。首先，從圖14的波形圖可知，有限元模型的一階模態(tài)頻率，對比試驗頻率值，兩者基本一致，表明該種建模方法有效反映了裂紋引起的結(jié)構(gòu)剛度退化。其次，衰減曲線同樣表現(xiàn)出與試驗接近的衰減規(guī)律，接觸阻尼對整體結(jié)構(gòu)響應(yīng)的影響通過上述接觸阻尼引入方法得以表現(xiàn)。圖13(b)所表現(xiàn)的中央分層組分層比44.4%一項理論值與試驗值相差較大的情況在圖14 (d)也有相似反映。

圖14 考慮接觸阻尼有限元模型時域響應(yīng)與試驗時域響應(yīng)Fig.14 The 1st-ordertime-domain responses of experiment and FEM models with contact damping setting

最后，為表現(xiàn)現(xiàn)實中分層板在振動過程中的“呼吸效應(yīng)”，選取分層比為44.4%偏置分層一項進行穩(wěn)態(tài)振動仿真，激勵頻率為第三階模態(tài)頻率，該項的分層在第三階模態(tài)下具有較為明顯的張合現(xiàn)象。圖15表現(xiàn)了該有限元模型第三階模態(tài)-π/2相位模態(tài)振型。圖16表現(xiàn)了該有限元模型分層上下接觸面某對應(yīng)點的時域響應(yīng)。明顯地，該有限元模型有效地模擬了上下接觸面的相互作用，并由此引起了振動過程中的“呼吸效應(yīng)”。

圖15 44.4%偏置分層板有限元模型第三階模態(tài)-π/2相位模態(tài)振型Fig.15 The -π/2 phase 3rd-order modal shape of the 44.4% offset delaminated composite FEM model

圖16 44.4%偏置分層板有限元模型分層上下接觸面某對應(yīng)點的時域響應(yīng)Fig.16 The time-domain response of a certain node-pair on the 44.4% offset delaminated composite FEM model

5 結(jié) 論

本文從理論、試驗以及有限元模擬三個方面對分層層合板一階模態(tài)阻尼特性進行了詳細的研究。首先，運用應(yīng)變能法求解了復(fù)合材料材料阻尼，同時基于靜-滑動摩擦一體化方法建立了求解分層界面接觸阻尼的理論模型。然后，運用有限元軟件Abaqus建立了求解分層層合板動態(tài)響應(yīng)的三維有限元模型，并確定了罰剛度與接觸層模量的定量關(guān)系，同時給出接觸阻尼導(dǎo)入有限元模型的方法。最后，運用自由衰減法進行了試驗研究，驗證了模型的有效性，主要結(jié)論如下：

(1) 罰剛度法能有效模擬分層接觸面間的接觸狀態(tài)，且罰剛度取值與實際接觸層模量間具有特定關(guān)系；

(2) 分層會顯著提高復(fù)合材料層合板的阻尼性能，試驗與理論計算結(jié)果均表明：分層比例越大，層合板一階模態(tài)阻尼上升越多，其中接觸阻尼起主要作用。

(3) 在厚度方向上，中央分層板模態(tài)接觸阻尼普遍高于偏置分層板。

(4) 靜-滑動摩擦一體化模型能有效求解分層板一階模態(tài)接觸阻尼，該方法有效印證了接觸阻尼的主要來源為分層界面間摩擦所導(dǎo)致的能量損耗。