張 戈， 高志慧， 邊宇樞

(北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動化學(xué)院，北京 100083)

柔性機(jī)械臂因具有輕質(zhì)、操作靈活、能耗低等特點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于工業(yè)制造領(lǐng)域與航空航天領(lǐng)域[1]。但柔性機(jī)械臂的柔性結(jié)構(gòu)在運(yùn)動過程中會產(chǎn)生彈性變形和機(jī)械振動[2]，當(dāng)機(jī)械臂執(zhí)行搬運(yùn)、裝配、噴涂等往復(fù)性作業(yè)時，周期性剛性運(yùn)動或者剛性運(yùn)動的周期性成分成為持續(xù)激勵。當(dāng)持續(xù)激勵的頻率與機(jī)械臂模態(tài)頻率接近時，就會發(fā)生共振。這種情況下，即使小幅激勵也可激起劇烈振動響應(yīng)，破壞系統(tǒng)穩(wěn)定、惡化動態(tài)性能。目前常見的工業(yè)機(jī)械臂，在國際標(biāo)準(zhǔn)測試條件下，其低階固有頻率常低至幾赫茲。而輕型高速機(jī)械臂與大型空間機(jī)械臂的低階固有頻率更可低至1 Hz以下[3-4]；另一方面，隨著工作速度不斷提高，機(jī)械臂的操作頻率不斷趨近機(jī)械臂的低階固有頻率。

與柔性結(jié)構(gòu)不同，柔性機(jī)械臂不僅模態(tài)密集而且模態(tài)參數(shù)會隨拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變化而變化。此外，剛性運(yùn)動引發(fā)的激勵頻率也會隨工作任務(wù)而改變。在這種情況下，單純依靠機(jī)械臂結(jié)構(gòu)設(shè)計難以完全規(guī)避共振的發(fā)生。另外，阻尼雖然能夠在一定程度上減小參數(shù)激勵共振的非穩(wěn)定區(qū)域，但是不能直接起到消減振幅的作用。因此，單純通過提高機(jī)械臂自身結(jié)構(gòu)阻尼來抑制共振的做法也顯得力不從心。

目前國內(nèi)外對于柔性機(jī)械臂的振動研究主要集中在非共振的小幅振動上，對于柔性機(jī)械臂在持續(xù)激勵下的共振的研究尚不多見。

柔性機(jī)械臂是剛?cè)狁詈系姆蔷€性動力學(xué)系統(tǒng)。利用這種系統(tǒng)的獨(dú)有特性進(jìn)行減振，為柔性機(jī)械臂的振動研究開辟了新的思路。在眾多的非線性耦合作用中，飽和是多自由度非線性振動系統(tǒng)的一種特有性質(zhì)，它的產(chǎn)生依賴于內(nèi)共振的形成。當(dāng)非線性振動系統(tǒng)的某些模態(tài)頻率滿足公度關(guān)系時，則在一定條件下會形成內(nèi)共振。眾多學(xué)者對基于內(nèi)共振的抑振策略進(jìn)行了研究[5]。Sun等[6]利用具有時滯的非線性吸振器引起了被控系統(tǒng)不同模態(tài)之間的內(nèi)共振，將低頻模態(tài)振動能量轉(zhuǎn)換到高頻模態(tài)，從而抑制了基頻范圍的振動。Karimpour等[7]利用內(nèi)共振將懸臂梁的振動能量傳遞至吸振器并轉(zhuǎn)化為電能。Bian等[8-9]提出了一種基于內(nèi)共振現(xiàn)象的吸振器，可以快速吸收大部分振動能量，并通過試驗驗證了其可靠性。但現(xiàn)有研究大多都是針對瞬時激勵引起的振動，而非持續(xù)激勵所引起的振動。

在內(nèi)共振的基礎(chǔ)上，飽和原理進(jìn)一步揭示了外激勵與內(nèi)共振模態(tài)之間存在的一種能量傳遞關(guān)系。當(dāng)外激勵幅值超過臨界點(diǎn)時，與外激勵共振的內(nèi)共振模態(tài)的振幅不會隨外激勵幅值的增長而增大，多余能量會被傳輸?shù)降碗A內(nèi)共振模態(tài)中。許多學(xué)者對飽和原理進(jìn)行了研究。Warminski等[10]選取梁、板等作為研究對象，基于飽和原理探討了利用壓電陶瓷致動器去控制主共振或參激共振。Xu等[11]使用非線性飽和控制器有效抑制了非線性束狀結(jié)構(gòu)的高振幅振動。Kandil等[12]采用非線性飽和控制器對旋轉(zhuǎn)葉片動力系統(tǒng)在非穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速下的振動進(jìn)行了有效的抑制。但這些研究大多以單一的柔性結(jié)構(gòu)為對象，對于剛?cè)狁詈系娜嵝詸C(jī)械臂尚未有充分的研究。

本文以剛?cè)狁詈系娜嵝詸C(jī)械臂為研究對象，利用內(nèi)共振構(gòu)建了半主動式吸振器，建立了系統(tǒng)的動力學(xué)模型，應(yīng)用多尺度法求解系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解，研究了計入吸振器的柔性機(jī)械臂在持續(xù)小幅外共振激勵作用下的飽和現(xiàn)象，并且通過數(shù)值仿真驗證了吸振器的有效性。

1 系統(tǒng)動力學(xué)建模

1.1 建立坐標(biāo)系與模型假設(shè)

圖1 包含吸振器的柔性機(jī)械臂模型Fig.1 The model of the flexible manipulator with a vibration absorber

為建立柔性機(jī)械臂的動力學(xué)模型，需要對柔性機(jī)械臂進(jìn)行模型假設(shè)：

1)柔性臂的材質(zhì)是均勻的，材料是各向同性的，柔性臂的結(jié)構(gòu)滿足Euler-Bernoulli梁的特點(diǎn)；

2)柔性機(jī)械臂在水平面內(nèi)運(yùn)動，柔性臂的彈性變形也發(fā)生在該平面內(nèi)。

采用假設(shè)模態(tài)法將柔性臂的橫向彎曲變形離散。柔性機(jī)械臂發(fā)生彎曲變形的各階模態(tài)中，第一階模態(tài)動能量較大并在振動響應(yīng)中起主要作用，因此選取一階模態(tài)作為被控模態(tài)。記柔性臂的一階模態(tài)響應(yīng)為q1，則柔性臂的變形近似為

w(x,t)=φ1(x)q1(t)

(1)

1.2 吸振器控制模型

吸振器主要由電機(jī)、剛性支桿兩部分組成。剛性支桿簡化為無質(zhì)量剛性桿與端部的集中質(zhì)量mC。電機(jī)作為吸振器定子隨柔性臂一起振動，剛性支桿作為吸振器動子在電機(jī)的驅(qū)動控制下繞電機(jī)軸轉(zhuǎn)動。通過控制電機(jī)力矩τ2，使得柔性臂的振動模態(tài)和吸振器的振動模態(tài)形成內(nèi)共振，構(gòu)建能量的跨模態(tài)遷移通道，并通過吸振器的阻尼消耗振動的能量，從而實(shí)現(xiàn)減振。

采用反饋控制原理對吸振器進(jìn)行控制。設(shè)計線性反饋和非線性反饋聯(lián)合作用的控制器實(shí)現(xiàn)振動控制的目標(biāo)。線性反饋包括位置反饋和速度反饋，引入吸振器振動響應(yīng)的角位移信號，構(gòu)造調(diào)節(jié)吸振器固有頻率的剛度項；引入吸振器振動響應(yīng)的角速度信號，構(gòu)造調(diào)節(jié)吸振器阻尼的阻尼項。在線性反饋的基礎(chǔ)上，設(shè)計非線性反饋，引入柔性機(jī)械臂系統(tǒng)振動響應(yīng)信號，構(gòu)造調(diào)節(jié)吸振器與柔性機(jī)械臂運(yùn)動耦合關(guān)系的非線性耦合項，改善吸振器系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)性能。

因此，吸振器的力矩τ2構(gòu)造為

(2)

(3)

1.3 建立系統(tǒng)動力學(xué)方程

在柔性臂末端D施加力，模擬持續(xù)外激勵

F=F0cos(ωt+φ)

(4)

應(yīng)用Kane方法，并代入式(2)～式(4)，求得柔性臂的一階模態(tài)響應(yīng)q1與吸振器的擺動角度φ的動力學(xué)方程。其中，吸振器的擺動角度φ也可視為機(jī)械臂系統(tǒng)的一個振動模態(tài)

(5)

(6)

2 動力學(xué)方程的多尺度法求解

2.1 方程無量綱化

為簡化推導(dǎo)過程，對式(5)與式(6)進(jìn)行無量綱化，定義

(7)

得到無量綱化后的方程為

(8)

(9)

2.2 多尺度法求解

運(yùn)用多尺度方法對無量綱振動控制方程進(jìn)行攝動近似解析。引入小量參數(shù)0<ε?1，代換系統(tǒng)的非線性項、耦合項和阻尼項，將系統(tǒng)的變量重新標(biāo)度，規(guī)定

(10)

柔性機(jī)械臂一階模態(tài)頻率ω1≈ω時，外激勵與柔性臂的一階模態(tài)發(fā)生共振。此時，即使是幅度很小的外激勵也會使柔性臂產(chǎn)生較大的振動響應(yīng)，影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。本文以一定頻帶范圍內(nèi)的小幅外激勵作用下的柔性機(jī)械臂的主共振作為主要研究內(nèi)容。因此，做弱外激勵假設(shè)，規(guī)定

(11)

將式(10)、式(11)代入式(8)和式(9)，略去ε2和更高項，提取ε0,ε1對應(yīng)的項，可以得到以下方程。

ε0對應(yīng)的方程

(12)

(13)

ε1對應(yīng)的方程

(14)

(15)

應(yīng)用多尺度法求解式(14)和式(15)的近似解，需引入兩個不同的時間尺度

T0=τ,T1=ετ

(16)

利用求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t將無量綱時間τ的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)改寫為

(17)

(18)

所取獨(dú)立的時間尺度的個數(shù)取決于求解的精度。這里取到方程的一次近似解

(19)

φ(τ,ε)=φ0(T0,T1)+εφ1(T0,T1)+O(ε2)

(20)

觀察式(12)和式(13)的形式，可設(shè)其解為

(21)

(22)

(23)

(24)

3 穩(wěn)態(tài)解的分析

計入吸振器的柔性機(jī)械臂受到持續(xù)外激勵后所形成的穩(wěn)定狀態(tài)直接反映了吸振器的吸振效果，因此需要求出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解。

3.1 求穩(wěn)態(tài)解

在2∶1內(nèi)共振存在的基礎(chǔ)上，分析弱受迫的柔性機(jī)械臂發(fā)生一階模態(tài)共振時的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。引入兩個解諧參數(shù)σ1和σ2，σ1為內(nèi)共振頻率的偏差值，與吸振器的結(jié)構(gòu)設(shè)計和控制策略有關(guān)，σ2為共振頻率的偏差值，與吸振器的減振頻帶有關(guān)，即

ωS2=0.5ωS1+εσ1

(25)

ωS3=ωS1+εσ2

(26)

若存在穩(wěn)態(tài)解，則需要消除長期項。在式(18)和式(19)中,根據(jù)消除長期項條件，從而得到可解性條件

(27)

(28)

將式(27)和式(28)中的函數(shù)A1,A2表示為極坐標(biāo)形式

(29)

式中:a1,α1,a2,α2由式(27)和式(28)確定。引入相角

γ1=2σ1T1+2α2-α1

(30)

γ2=σ2T1+φ-α1

(31)

令式(27)與式(28)等號左側(cè)的實(shí)部與虛部分別為零，并代入式(29)～式(31)得

(32)

(33)

(34)

(35)

1)單模態(tài)解，a1≠0,a2=0,表現(xiàn)為線性振動

將a2代入式(32)和式(34)，消去相角γ1可得

(36)

a2=0

(37)

由式(36)可知，單模態(tài)解與非線性系數(shù)無關(guān)。柔性機(jī)械臂模態(tài)幅值與外激勵幅值呈現(xiàn)線性關(guān)系，吸振器不工作。

2)雙模態(tài)解a1≠0,a2≠0,表現(xiàn)為非線性振動

將式(32)～式(35)中的相角γ1和γ2消去可得

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

3.2 穩(wěn)態(tài)解存在形式的討論

(44)

由式(44)可以看出，ξ2>ξ1，下面對a1,a2的實(shí)數(shù)解的存在形式進(jìn)行討論。

只存在一個線性解

若U1<0，a2存在三個解，一個線性解，兩個非線性解

若U1>0，則只有一個線性解

由上述分析可知，非線性解中柔性機(jī)械臂的模態(tài)幅值a1與外激勵幅值無關(guān)，僅與吸振器的速度反饋增益、耦合反饋增益、內(nèi)外共振的調(diào)諧狀態(tài)以及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)。

3.3 系統(tǒng)飽和現(xiàn)象分析

圖2 外激勵幅值對系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響Fig.2 Influence of excitation amplitude on system steady state response

4 吸振器有效性的驗證

4.1 無吸振器時的共振現(xiàn)象

計入柔性臂阻尼條件下，無吸振器時柔性機(jī)械臂的末端振動響應(yīng)如圖3所示。柔性機(jī)械臂受到持續(xù)小幅外共振激勵時，末端振幅無法依靠柔性臂的自身小阻尼來衰減。證明了即使是小幅的持續(xù)外共振激勵也會引起柔性機(jī)械臂的劇烈振動。

圖3 無吸振器時柔性機(jī)械臂末端振動響應(yīng)Fig.3 Vibration response at the end of the flexible manipulator without vibration absorber

4.2 內(nèi)共振現(xiàn)象

由理論分析可知，當(dāng)內(nèi)共振完全調(diào)諧時(ε=0.05，σ1=0)，柔性機(jī)械臂的一階模態(tài)頻率和吸振器的振動頻率滿足2∶1公度關(guān)系時，系統(tǒng)形成完全內(nèi)共振。假設(shè)模態(tài)能量在交互過程中無衰減，即ζ1=0，ζ2=0。設(shè)定位置反饋增益kp=0.67和速度反饋增益kd=0。數(shù)值仿真得到慢時間域中柔性機(jī)械臂一階模態(tài)與吸振器模態(tài)的模態(tài)響應(yīng)曲線，其中粗實(shí)線表示柔性機(jī)械臂模態(tài)幅值a1的大小，虛線表示吸振器模態(tài)a2/10的大小，如圖4所示。

圖4 柔性機(jī)械臂一階模態(tài)和吸振器模態(tài)的模態(tài)響應(yīng)曲線Fig.4 Modal response of first-order mode and vibration absorber mode of the flexible manipulator

4.3 吸振器的飽和控制

在柔性機(jī)械臂上添加吸振器，通過改變吸振器的頻率，系統(tǒng)形成2∶1內(nèi)共振。引入合適的吸振器參數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)柔性機(jī)械臂系統(tǒng)的飽和控制，且柔性機(jī)械臂的模態(tài)幅值將達(dá)到飽和后不再增加。設(shè)定位置反饋增益kp=0.67，速度反饋增益kd=0.000 1，耦合反饋增益e1=0.01，數(shù)值仿真得到柔性機(jī)械臂末端振動響應(yīng)如圖5所示，吸振器剛性支桿轉(zhuǎn)角如圖6所示。柔性臂與吸振器均出現(xiàn)了飽和現(xiàn)象。

圖5 柔性機(jī)械臂飽和控制時末端振動響應(yīng)Fig.5 Vibration response at the end of the flexible manipulator under saturation control

圖6 柔性機(jī)械臂飽和控制時吸振器剛性支桿轉(zhuǎn)角Fig.6 Vibration response of the vibration absorber rigid rod under saturation control

對比無吸振器和有吸振器時柔性機(jī)械臂的末端振動響應(yīng)，如圖7所示，圖中實(shí)線為有吸振器時柔性機(jī)械臂的末端振動，圖中虛線為無吸振器時柔性機(jī)械臂的末端振動。從圖中可以看出與不進(jìn)行振動控制相比，采用飽和控制的方法，柔性機(jī)械臂的末端振動幅值在2 s后達(dá)到飽和狀態(tài)而不再增加，外激勵能量傳遞到吸振器中，同時柔性機(jī)械臂的末端振動幅值相對無吸振器控制狀態(tài)有大幅度降低。以上分析驗證了飽和控制的有效性。

圖7 無吸振器和飽和控制時柔性機(jī)械臂末端振動響應(yīng)對比Fig.7 Comparison of vibration response at the end of flexible manipulator without absorber and under saturation control

5 結(jié) 論

本文以剛?cè)狁詈系娜嵝詸C(jī)械臂為研究對象，構(gòu)造了具有非線性耦合項的內(nèi)共振吸振器，通過調(diào)節(jié)吸振器參數(shù)，可以使機(jī)械臂的一階振動模態(tài)q1與吸振器振動模態(tài)φ形成2∶1內(nèi)共振。

應(yīng)用Kane方法建立了計入內(nèi)共振吸振器的柔性機(jī)械臂在持續(xù)小幅外激勵作用下的非線性動力學(xué)方程。

利用多尺度方法得到非線性動力學(xué)方程的近似穩(wěn)態(tài)解；通過分析穩(wěn)態(tài)解的存在形式，證明了系統(tǒng)具有飽和特性。

通過理論分析與數(shù)值仿真，得到如下結(jié)論：

(1)小幅的持續(xù)外共振激勵會引起柔性機(jī)械臂的劇烈振動響應(yīng)。

(2)柔性機(jī)械臂的一階模態(tài)頻率和吸振器的振動頻率滿足2∶1公度關(guān)系時，系統(tǒng)形成了內(nèi)共振，在吸振器與柔性臂之間構(gòu)建了有效的能量傳輸通道。

(3)在持續(xù)小幅的外共振激勵作用下，相對于無吸振器狀態(tài)，采用飽和控制可以使柔性機(jī)械臂末端振幅顯著減小，證明了吸振器的有效性。