陳太聰， 沈文杰

(1. 華南理工大學(xué)亞熱帶建筑科學(xué)國家重點實驗室 廣州，510641)

(2. 華南理工大學(xué)土木與交通學(xué)院 廣州，510641)

引 言

在工程結(jié)構(gòu)的健康監(jiān)測實踐中，結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識別是關(guān)鍵工作之一。針對環(huán)境激勵下的結(jié)構(gòu)工作模態(tài)辨識問題，人們已發(fā)展了多種分析方法。其中，Cole[1]提出了從系統(tǒng)平穩(wěn)隨機響應(yīng)中提取自由振動衰減歷程的隨機減量技術(shù)(random decrement technique，簡稱RDT)。由于RDT計算量小，處理速度快，應(yīng)用成本低，易于在線實現(xiàn)，因此在工程實踐中得到了廣泛應(yīng)用[2-3]。

傳統(tǒng)RDT主要通過位移或速度響應(yīng)數(shù)據(jù)來獲取結(jié)構(gòu)自由振動衰減響應(yīng)曲線[4]，繼而可采用基于自由振動響應(yīng)的Ibrahim時域方法[5](Ibrahim time domain method，簡稱ITD)進行模態(tài)辨識。工程實踐中針對加速度響應(yīng)的測量較為常見，此時RDT所得的加速度特征信號存在奇異值[6]，與自由振動衰減響應(yīng)曲線不符，若直接用于ITD將會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的有偏估計和結(jié)果異常[7]，影響RDT的實用性。近年來有學(xué)者針對基于加速度響應(yīng)的隨機減量技術(shù)開展研究，如：Huang[8]結(jié)合自回歸模型(auto regression，簡稱AR)時域算法；Ku等[9]結(jié)合頻響函數(shù)(frequency response function，簡稱FRF)頻域算法；Areemit等[10]結(jié)合特征系統(tǒng)實現(xiàn)(eigensystem realization algorithm，簡稱ERA)時域算法，都可以較好地求解模態(tài)參數(shù)，但結(jié)合ITD的時域算法研究仍較為少見。此外，在多自由度系統(tǒng)的模態(tài)辨識實踐中，無論采用何種響應(yīng)數(shù)據(jù)，由于識別算法和測量噪聲的影響，常常得到復(fù)模態(tài)結(jié)果。此時對于經(jīng)典阻尼結(jié)構(gòu)，需要從識別所得復(fù)模態(tài)中提取結(jié)構(gòu)實模態(tài)，而傳統(tǒng)的模數(shù)方法[11]和最大關(guān)聯(lián)度法[12]仍不具有廣泛的適用性。

針對傳統(tǒng)RDT+ITD方法在工程結(jié)構(gòu)工作模態(tài)分析實踐中存在的問題，筆者開展相關(guān)研究，以實現(xiàn)基于不同響應(yīng)數(shù)據(jù)的RDT+ITD用于一般多自由度系統(tǒng)的模態(tài)辨識，改善辨識效果。首先，針對隨機減量加速度特征信號存在的奇異值問題，提出加速度特征信號截斷方法，探討有效的截斷比例取值，截斷后可直接應(yīng)用于ITD進行模態(tài)辨識；其次，針對多自由度結(jié)構(gòu)模態(tài)辨識中的復(fù)模態(tài)結(jié)果，提出最小距離法用于經(jīng)典阻尼結(jié)構(gòu)的實模態(tài)提取，并在響應(yīng)數(shù)據(jù)適應(yīng)性和抗噪性兩方面，與傳統(tǒng)的模數(shù)方法和最大關(guān)聯(lián)度法進行對比；最后，通過3自由度結(jié)構(gòu)算例和桁架模型實驗，對所提方法進行驗證。

1 RDT+ITD模態(tài)辨識基本原理

1.1 隨機減量特征信號的構(gòu)造

RDT處理是將隨機響應(yīng)過程轉(zhuǎn)化為隨機減量特征信號的過程。對于平穩(wěn)隨機過程X(t)和Y(t)，隨機減量特征信號定義為在一定條件T下隨機過程的一個均值。該信號的數(shù)學(xué)表達可描述為

δYX(τ)=E[Y(t+τ)|TX(t)]

(1)

其中：δYX(τ)的第1個下標(biāo)Y表示均值來源的隨機過程；第2個下標(biāo)X表示條件T來源的隨機過程。

在RDT的實際應(yīng)用中，測試所得的結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)時程只是隨機過程的一個樣本實現(xiàn)過程，因此，在假設(shè)隨機過程是平穩(wěn)且遍歷的前提下，隨機減量特征信號可表達為該樣本過程的條件均值

(2)

式(2)中的觸發(fā)條件T可以有多種形式，包括水平穿越觸發(fā)、零穿越觸發(fā)、極值點觸發(fā)和隨機采樣觸發(fā)等。以常用的水平穿越觸發(fā)條件為例，隨機減量特征信號由下式計算

(3)

對于多自由度系統(tǒng)，RDT處理[13]如下：選取1個測點的響應(yīng)通道作為參考通道，對該響應(yīng)通道做單自由度系統(tǒng)下的RDT處理，即截取若干個子信號段進行總體平均；同時記錄下每個子信號段截取的時刻，根據(jù)這些時刻對其他測點的響應(yīng)通道作相同的總體平均處理，從而得到每個測點的隨機減量特征信號。

1.2 基于自由振動衰減信號的模態(tài)辨識

ITD方法的基本計算原理可概括如下。

在等時距測量情況下，第t時刻的結(jié)構(gòu)自由振動觀測響應(yīng)X(t)可由觀測模態(tài)ψr疊加表達為

(4)

其中：ωr為結(jié)構(gòu)固有頻率；μr=exp(ωrΔt)。

若構(gòu)造兩組觀測矩陣

(5)

(6)

則結(jié)合式(4)可得

D=ΦΛ

(7)

(8)

其中

(9)

由式(7)及式(8)消去Λ后，可得

(10)

令

(11)

則由式(10)可知

A=ΦΩΦ-1

(12)

(13)

其中

(14)

在求得μr和Φ后，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的第r階固有頻率ωr和阻尼比ζr可分別確定為

ωr=|lnμr|/Δt

(15)

(16)

2 實用改進技術(shù)

2.1 隨機減量加速度特征信號截斷

若外激勵是零均值的平穩(wěn)高斯白噪聲，則由水平穿越觸發(fā)條件構(gòu)造得到的隨機減量特征信號，與隨機響應(yīng)相關(guān)函數(shù)RYX(τ)之間有如下對應(yīng)關(guān)系[6]

δYX(τ)=RYX(τ)x0/RYX(0)

(17)

以單自由系統(tǒng)為考察對象，將平穩(wěn)隨機振動理論的隨機響應(yīng)相關(guān)函數(shù)表達式[14]代入式(17)中，可以解得具體的位移、速度和加速度響應(yīng)對應(yīng)的隨機減量特征信號表達式分別為

(18)

(19)

(20)

其中：ωn和ωd分別為系統(tǒng)無阻尼和有阻尼自振頻率；ζ為系統(tǒng)阻尼比；δ(τ)為狄拉克函數(shù)。

通過與以下自由振動衰減響應(yīng)的對比

(21)

(22)

(23)

可以發(fā)現(xiàn)，對于位移和速度響應(yīng)，隨機減量特征信號等價于具有特定初始條件的自由振動響應(yīng)；但對于加速度響應(yīng)，隨機減量特征信號與自由振動響應(yīng)有所區(qū)別，其在τ=0處存在一個奇異值。

在多自由度結(jié)構(gòu)的隨機減量應(yīng)用中，文獻[6]已證明，隨機減量加速度特征信號同樣存在τ=0處的奇異值，其大小取決于隨機激勵的相關(guān)函數(shù)和結(jié)構(gòu)的質(zhì)量陣，因此該奇異值被應(yīng)用于多維隨機激勵間的時延相關(guān)性檢查以及結(jié)構(gòu)集中質(zhì)量陣的判定。

在結(jié)構(gòu)模態(tài)辨識中，Ku等[7]的研究表明，隨機減量加速度特征信號的奇異值會產(chǎn)生不利的影響，可能導(dǎo)致有偏估計和結(jié)果異常。為了降低該奇異值的影響，有研究在后續(xù)采用結(jié)合AR模型[8]、FRF[9]及ERA[10]等無需嚴(yán)格要求信號的自由振動性質(zhì)的識別算法，意即對于隨機減量加速度特征信號的初始奇異值不敏感，均可以獲得良好的模態(tài)辨識效果。

筆者通過多個數(shù)值算例和模型實驗的結(jié)果分析，綜合考慮誤差影響和數(shù)據(jù)完整性，使用1/200～1/50作為加速度特征信號的截斷比例，即重設(shè)隨機減量加速度特征信號總時程的1/200～1/50處時刻為起始時刻，可有效保證模態(tài)識別精度。

2.2 經(jīng)典阻尼結(jié)構(gòu)實模態(tài)提取

對于多自由度經(jīng)典阻尼結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，識別算法和測量噪聲往往導(dǎo)致識別得到的結(jié)構(gòu)自振模態(tài)為復(fù)模態(tài)形式，而非實模態(tài)。ITD方法中的擴大模型法[15]可用于從識別復(fù)模態(tài)中提取實模態(tài)，但該方法的處理過程較為復(fù)雜，不易應(yīng)用。出于實際應(yīng)用的目的，多名學(xué)者提出了不同方法，其中以傳統(tǒng)模數(shù)法和最大關(guān)聯(lián)度法較為常用。

傳統(tǒng)模數(shù)法取識別復(fù)模態(tài)φC的模作為實模態(tài)φR的大小，其符號由{φC}的實部所決定[11]

φR=sgn[Re(φC)]⊙|φC|

(24)

其中：sgn(·)為符號函數(shù)。

該方法較適用于小阻尼結(jié)構(gòu)，此時的復(fù)模態(tài)相位角偏離0°或180°,約在10°以內(nèi)[16]。

最大關(guān)聯(lián)度法由Ahmadian等[12]給出了一般形式，應(yīng)用也較為廣泛[3, 17]。實模態(tài)φR由復(fù)模態(tài)φC旋轉(zhuǎn)得到

(25)

式(25)中的轉(zhuǎn)角θ通過最大化復(fù)模態(tài)φC與實模態(tài)φR之間的關(guān)聯(lián)度獲得，即由

(26)

可解得轉(zhuǎn)角θ滿足條件

(27)

雖然上述兩種方法的思路清晰，操作簡單，但實際計算表明，兩者仍不具有廣泛的適用性?；谧钚【嚯x的思想，筆者提出一種新的轉(zhuǎn)換方法，在復(fù)平面中使原復(fù)模態(tài)與轉(zhuǎn)換實模態(tài)之間的距離最短，即尋找實模態(tài)φR和轉(zhuǎn)角θ以使達到以下指標(biāo)

(28)

令式(28)中的性能函數(shù)對φR和θ的1階導(dǎo)數(shù)分別等于零，最終可解得

(29)

(30)

對比式(30)和式(25)可見，最小距離法與最大關(guān)聯(lián)度法有一定程度的相似性，但由式(29)可推導(dǎo)得到，在應(yīng)用最小距離法時

(31)

3 數(shù)值算例

為了驗證本研究方法用于模態(tài)參數(shù)辨識的效果，取1個3自由度結(jié)構(gòu)模型用于算例分析。結(jié)構(gòu)運動方程為

考慮基底白噪聲激勵，在每一個自由度上均設(shè)置測點，整個結(jié)構(gòu)共3個測點。基于等時間步長0.02s，采用Newmark-β數(shù)值積分法計算得到各測點的位移、速度和加速度響應(yīng)，取進入穩(wěn)態(tài)階段后的90 000個時間步用于分析，即總時長為1 800s，并在位移、速度和加速度響應(yīng)的模擬輸出上均疊加3種不同水平(0%，10%，20%)的噪聲作為觀測響應(yīng)。

分別對位移、速度和加速度觀測響應(yīng)進行相應(yīng)RDT處理，獲得對應(yīng)的自由振動衰減信號。其中，選擇第3自由度響應(yīng)作為參考通道，選擇1.5倍的響應(yīng)數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差作為水平穿越觸發(fā)條件，疊加長度為1 500單位步長，并選擇1/200作為隨機減量加速度特征信號的截斷比例。后續(xù)采用ITD方法和3種實模態(tài)提取方法辨識結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)。

不同響應(yīng)數(shù)據(jù)和不同噪聲水平下結(jié)構(gòu)所有3階模態(tài)參數(shù)的識別結(jié)果如表1～表3所示，包括模態(tài)頻率、頻率識別誤差、模態(tài)阻尼比、各階識別模態(tài)與理論模態(tài)的置信度(modal assurance criterion，簡稱MAC)等。由表可得出以下結(jié)果。

1) 在無測試噪聲的情況下，無論基于何種響應(yīng)，均能夠較好地識別出3個階次的頻率和模態(tài)，但阻尼比的識別精度相對較低。隨著測試噪聲不斷增大，識別能力逐漸減弱。其中：采用速度響應(yīng)對各階次模態(tài)參數(shù)的識別效果較好；采用位移響應(yīng)則是有利于低階模態(tài)參數(shù)的識別；采用加速度響應(yīng)有利于高階模態(tài)參數(shù)的識別。該特點與白噪聲激勵下的位移、速度、加速度響應(yīng)的頻譜圖分布規(guī)律相符。

2) 結(jié)構(gòu)實模態(tài)識別中，在3種響應(yīng)下，最小距離法和最大關(guān)聯(lián)度法均顯示出了比傳統(tǒng)模數(shù)法更良好的辨識效果，但在高噪聲的部分情況下，最大關(guān)聯(lián)度法會失效，此時最小距離法仍能得到高精度的辨識結(jié)果，抗噪性能好。

為了驗證本研究所提隨機減量加速度特征信號截斷方法的有效性，以及所提截斷比例的可行性，取不同的截斷比例(0，1/500～1/2)，對比分析相應(yīng)的模態(tài)辨識結(jié)果。圖1所示為未進行截斷的隨機減量加速度特征信號(此處僅列出第3自由度響應(yīng)的結(jié)果，其他自由度的情況類似)。根據(jù)不同截斷比例處理后的結(jié)構(gòu)模態(tài)辨識結(jié)果如表4所示，其中采用最小距離法提取實模態(tài)。

表1 RDT+ITD識別結(jié)果(噪聲水平為0%)

表2 RDT+ITD識別結(jié)果(噪聲水平為10%)

表3 RDT+ITD識別結(jié)果(噪聲水平為20%)

圖1 不同噪聲水平下第3加速度響應(yīng)通道的隨機減量特征信號

表4 不同截取比例下基于加速度響應(yīng)的模態(tài)識別結(jié)果

由圖1和表4所示結(jié)果可得：

1)τ=0附近的數(shù)據(jù)與后續(xù)數(shù)據(jù)差異較大，若不進行截斷，則僅能識別得到第3階模態(tài)，對第1階和第2階的有偏估計導(dǎo)致模態(tài)遺漏；

2) 過小的截斷比例(<1/200)會導(dǎo)致模態(tài)參數(shù)的識別精度降低，過大的截斷比例(>1/50)不僅使識別精度降低，還會導(dǎo)致模態(tài)遺漏；

3) 選擇1/200～1/50的截斷比例較能保證辨識結(jié)果的可靠性。

4 模型實驗

為驗證本研究方法用于實際結(jié)構(gòu)模態(tài)辨識的效果，進行了桁架結(jié)構(gòu)模型實驗，模型如圖2所示，測點編號如圖3所示。在底層9號節(jié)點處施加豎向白噪聲激勵，進行7批次振動實驗，每次測試4個測點的豎向加速度響應(yīng)。其中：4號測點為多次觀測的參考點；第1批測點為1～4；第2批測點為4～7；第3批測點為4，8，10和11；第4批測點為4，12～14；第5批測點為4，15～17；第6批測點為4，18～20；第7批測點為4，20～22。

分別對采集到的7批次4通道加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)進行模態(tài)辨識處理，依次將每一通道作為參考通道進行RDT處理，選擇1/200作為隨機減量加速度特征信號的截斷比例，采用最小距離法進行結(jié)構(gòu)實模態(tài)提取，最終可以得到28組模態(tài)信息。在此基礎(chǔ)上，通過與有限元模型分析得到頻率及振型對比，可確定6階有效模態(tài)，見表5。所得結(jié)果進一步驗證了針對加速度響應(yīng)數(shù)據(jù)的隨機減量特征信號截斷方法以及針對實模態(tài)提取的最小距離法的有效性。

圖2 桁架結(jié)構(gòu)模型

圖3 底層平面上加速度傳感器的布置

為了驗證所提的加速度特征信號截斷比例的有效性，以第1批測試為例，取第3通道為參考通道進行RDT處理，對這組數(shù)據(jù)進行不同截斷比例下的模態(tài)辨識，結(jié)果見表6。所得結(jié)果再次驗證了選擇1/200～1/50的截斷比例用于模態(tài)辨識的可靠性。

表5 桁架結(jié)構(gòu)模型的模態(tài)識別結(jié)果

表6 不同截斷比例下桁架結(jié)構(gòu)的模態(tài)識別結(jié)果

Tab.6 Modal identification results of truss model with different truncation ratio

截斷比例頻率誤差/%MAC第4階第7階第9階第4階第7階第9階0——————1/5002.40.1-8.60.9980.9640.9961/2001.90.2-8.71.0000.9740.9981/1001.80.1-8.71.0000.9720.9971/501.6-0.1-8.61.0000.9680.9951/102.80.3-8.70.9970.9640.9971/5—0.3-8.6—0.9750.9941/2—1.9——0.973—

5 結(jié)束語

針對傳統(tǒng)RDT+ITD方法在工程結(jié)構(gòu)工作模態(tài)分析中的應(yīng)用問題，提出了隨機減量加速度特征信號的截斷方法，以及由識別復(fù)模態(tài)提取經(jīng)典阻尼結(jié)構(gòu)實模態(tài)的最小距離法，改進了基于不同響應(yīng)數(shù)據(jù)的RDT+ITD用于一般多自由度系統(tǒng)的模態(tài)辨識效果。在對隨機減量加速度特征信號進行截斷時，推薦截斷比例取值1/200～1/50。在提取實模態(tài)時，相對于傳統(tǒng)模數(shù)法和最大關(guān)聯(lián)度法，最小距離法對響應(yīng)數(shù)據(jù)類型的適應(yīng)性更強，抗噪能力更優(yōu)。本研究改進方法原理簡單，易于實現(xiàn)，可方便應(yīng)用于工程振動測試實踐。