■李傳翔

統(tǒng)計學(xué)研究的對象是客觀事物的數(shù)量特征和數(shù)量關(guān)系,它是關(guān)于數(shù)據(jù)的搜集、整理、歸納分析和解釋的科學(xué),其基本思想是用樣本估計總體,用樣本的某種數(shù)字特征(平均數(shù)、方差)去估計總體的相應(yīng)數(shù)字特征。下面借助于高考題,與大家一起探究高考中的樣本特征數(shù)問題。

一、考查基本概念的理解情況

例1演講比賽共有11位評委分別給出某選手的原始評分,評定該選手的成績時,從11個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分,得到9個有效評分。9個有效評分與11個原始評分相比,不變的數(shù)字特征是( )。

A.中位數(shù) B.平均數(shù)

C.標(biāo)準(zhǔn)差 D.極差

解：根據(jù)題意可知,從11個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分,得到9個有效評分,9個有效評分與11個原始評分相比,最中間的一個數(shù)不變,即中位數(shù)不變。應(yīng)選A。

本題考查數(shù)據(jù)的數(shù)字特征,解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、方差、極差的定義以及計算方法。

二、考查平均數(shù)的計算問題

例2某工廠為提高生產(chǎn)效率,開展技術(shù)創(chuàng)新活動,提出了完成某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式。為比較兩種生產(chǎn)方式的效率,選取40名工人,將他們隨機分成兩組,每組20人,第一組工人用第一種生產(chǎn)方式,第二組工人用第二種生產(chǎn)方式。根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時間(單位：min)繪制了如圖1所示的莖葉圖。

圖1

根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高,并說明理由。

解：第一種生產(chǎn)方式的平均數(shù)為=84,第二種生產(chǎn)方式的平均數(shù)為=74.7,可知,所以第一種生產(chǎn)方式完成任務(wù)的平均時間大于第二種生產(chǎn)方式完成任務(wù)的平均時間,即第二種生產(chǎn)方式的效率更高。

圖表是信息的良好載體,具有直觀通俗的特點,在現(xiàn)代社會中,人們必須具備從各種傳媒的圖表中及時收取信息,加工處理為我所用的能力,這是社會的要求,也是素質(zhì)教育的要求。

三、考查方差的計算問題

例3甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次,兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖2所示,則( )。

圖2

A.甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)

B.甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)

C.甲的成績的方差小于乙的成績的方差

D.甲的成績的極差小于乙的成績的極差

解：甲的平均數(shù)是中位數(shù) 是 6,極 差 是 4,方 差 是

所以甲的成績的方差小于乙的成績的方差,應(yīng)選C。

高考對方差的考查仍是以熟練運用公式為前提,重點考查公式的具體運用。方差公式為s2=當(dāng)一組數(shù)據(jù)較大時,將各個數(shù)據(jù)同時減去一個與它們的平均數(shù)接近的常數(shù),則新數(shù)據(jù)的方差等于原數(shù)據(jù)的方差。

四、考查樣本特征數(shù)與概率的綜合問題

例4(2018年高考天津卷)已知某校甲,乙,丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為240,160,160?，F(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻愛心活動。

(1)應(yīng)從甲,乙,丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人?

(2)設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A,B,C,D,E,F,G表示,現(xiàn)從中隨機抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作。

①試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果。

②設(shè)M為事件“抽取的2名同學(xué)來自同一年級”,求事件M發(fā)生的概率。

解：(1)由題意可知,甲,乙,丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3∶2∶2。由于采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué),因此應(yīng)從甲,乙,丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取的人數(shù)為7=2。

(2)①從抽出的7名同學(xué)中隨機抽取2名同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{A,G},{B,C},{B,D},{B,E},{B,F},{B,G},{C,D},{C,E},{C,F},{C,G},{D,E},{D,F},{D,G},{E,F},{E,G},{F,G},共21種情況。

②不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中,來自甲年級的是A,B,C,來自乙年級的是D,E,來自丙年級的是F,G,則從抽出的7名同學(xué)中隨機抽取2名同學(xué)來自同一年級的所有可能結(jié)果為{A,B},{A,C},{B,C},{D,E},{F,G},共5種情況。所以事件M發(fā)生的概率為P(M)=

本題主要考查概率與樣本特征數(shù)的應(yīng)用。解答本題的關(guān)鍵是正確理解分層抽樣的意義。

1.為評估一種農(nóng)作物的種植效果,選了n塊地作為試驗田。這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1,x2,…,xn,下面給出的指標(biāo)中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是( )。

A.x1,x2,…,xn的平均數(shù)

B.x1,x2,…,xn的標(biāo)準(zhǔn)差

C.x1,x2,…,xn的最大值

D.x1,x2,…,xn的中位數(shù)

提示：評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的指標(biāo)是標(biāo)準(zhǔn)差或方差。應(yīng)選B。

2.已知一組數(shù)據(jù)6,7,8,9,10,則該組數(shù)據(jù)的方差是

提示：一組數(shù)據(jù)6,7,8,9,10的平均數(shù)為=8,所以該組數(shù)據(jù)的方差為8)2+(9-8)2+(10-8)2]=2。

3.在一次馬拉松比賽中,35名運動員的成績(單位：min)如圖3所示。

圖3

若將運動員按成績由好到差編為1～35號,再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人,則其中成績在區(qū)間[130,151]上的運動員人數(shù)為( )。

A.3 B.4 C.5 D.6

提示：根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù),可知成績在區(qū)間[130,151]上的運動員人數(shù)為30。用系統(tǒng)抽樣方法從35人中抽取7人,成績在區(qū)間[130,151]上的運動員應(yīng)抽取的人數(shù)為7×,應(yīng)選D。