■王佩其

大家知道,樣本的數(shù)字特征主要包括樣本的眾數(shù),中位數(shù),平均數(shù),方差(標(biāo)準(zhǔn)差),它是統(tǒng)計(jì)知識(shí)的一個(gè)核心考點(diǎn)。高考對(duì)樣本的數(shù)字特征的考查往往是與其他知識(shí)相結(jié)合,以交匯題的形式出現(xiàn)的。下面舉例說(shuō)明,供同學(xué)們參考。

一、與頻率分布直方圖的交匯

例1某校初三年級(jí)有400名學(xué)生,隨機(jī)抽查了40名學(xué)生測(cè)試1min仰臥起坐的成績(jī)(單位：次),將數(shù)據(jù)整理后繪制成如圖1所示的頻率分布直方圖。用樣本估計(jì)總體,下列結(jié)論正確的是( )。

圖1

A.該校初三學(xué)生1min仰臥起坐的次數(shù)的中位數(shù)為25

B.該校初三學(xué)生1min仰臥起坐的次數(shù)的眾數(shù)為24

C.該校初三學(xué)生1min仰臥起坐的次數(shù)超過(guò)30的人數(shù)約有80

D.該校初三學(xué)生1min仰臥起坐的次數(shù)少于20的人數(shù)約為8

解：因?yàn)榈谝唤M數(shù)據(jù)的頻率為0.02×5=0.1,第二組數(shù)據(jù)的頻率為0.06×5=0.3,第三組數(shù)據(jù)的頻率為0.08×5=0.4,所以中位數(shù)在第三組內(nèi)。設(shè)中位數(shù)為25+x,則x×0.08=0.5-0.1-0.3=0.1,故x=1.25,可得中位數(shù)為26.25,A錯(cuò)誤。第三組數(shù)據(jù)所在的小矩形最高,第三組數(shù)據(jù)的中間值為27.5,所以眾數(shù)為27.5,B錯(cuò)誤。1min仰臥起坐的次數(shù)超過(guò)30的頻率為0.04×5=0.2,所以超過(guò)30次的人數(shù)為400×0.2=80,C正確。1min仰臥起坐的次數(shù)少于20的頻率為0.02×5=0.1,所以1min仰臥起坐的次數(shù)少于20的人數(shù)為400×0.1=40,D錯(cuò)誤。應(yīng)選C。

頻率分布直方圖與眾數(shù),中位數(shù),平均數(shù)的關(guān)系：最高的小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為眾數(shù);中位數(shù)左邊和右邊的小矩形的面積之和是相等的;平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”,它等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和。

二、與莖葉圖的交匯

例2已知某選手的9個(gè)得分,去掉1個(gè)最高分,去掉1個(gè)最低分,7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91?，F(xiàn)場(chǎng)制作的9個(gè)分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來(lái)有1個(gè)數(shù)據(jù)模糊,無(wú)法辨認(rèn),在圖2中用x表示,則7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的方差為

圖2

解：由莖葉圖可知,去掉的兩個(gè)數(shù)是87和99,所以87+90×2+91×2+94+90+x=91×7,解得x=4,可得這個(gè)模糊數(shù)據(jù)為94,故7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的方差s2=[(87-91)2+(90-91)2×2+(91-91)2×2+(94-91)2×2]=

莖葉圖既可以表示兩組數(shù)據(jù),也可以表示一組數(shù)據(jù),用它表示的數(shù)據(jù)是完整的數(shù)據(jù),因此可以從莖葉圖中看出數(shù)據(jù)的眾數(shù)(數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù))、中位數(shù)(中間位置的一個(gè)數(shù),或中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù))等。

三、與優(yōu)化決策問(wèn)題的交匯

例3甲、乙兩人在相同條件下各射擊10次,每次中靶環(huán)數(shù)情況如圖3所示。

圖3

(1)請(qǐng)?zhí)顚?xiě)表1中的數(shù)據(jù),并寫(xiě)出計(jì)算過(guò)程。

表1

(2)從下列三個(gè)不同的角度對(duì)這次測(cè)試結(jié)果進(jìn)行分析。

①?gòu)钠骄鶖?shù)和方差相結(jié)合看(分析誰(shuí)的成績(jī)更穩(wěn)定);②從平均數(shù)和命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)相結(jié)合看(分析誰(shuí)的成績(jī)好些);③從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢(shì)看(分析誰(shuí)更有潛力)。

解：(1)由圖3可知,甲射擊10次中靶環(huán)數(shù)分別為9,5,7,8,7,6,8,6,7,7,將它們由小到大排列為5,6,6,7,7,7,7,8,8,9。

乙射擊10次中靶環(huán)數(shù)分別為2,4,6,8,7,7,8,9,9,10,將它們由小到大排列為2,4,6,7,7,8,8,9,9,10。

由此可填表如表2所示。

表2

(2)①因?yàn)槠骄鶖?shù)相同,且s2甲＜s2乙,所以甲成績(jī)比乙穩(wěn)定。

②因?yàn)槠骄鶖?shù)相同,命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)甲比乙少,所以乙成績(jī)比甲好些。

③因?yàn)榧壮煽?jī)?cè)谄骄鶖?shù)上下波動(dòng),而乙處于上升勢(shì)頭,從第三次以后的射擊環(huán)數(shù)就沒(méi)有比甲少的情況發(fā)生,所以乙更有潛力。

用樣本估計(jì)總體就是利用樣本的數(shù)字特征來(lái)描述總體的數(shù)字特征。平均數(shù)反映了數(shù)據(jù)取值的平均水平;方差(標(biāo)準(zhǔn)差)描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小。方差(標(biāo)準(zhǔn)差)越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大,越不穩(wěn)定;方差(標(biāo)準(zhǔn)差)越小,數(shù)據(jù)的離散程度越小,越穩(wěn)定。

圖4是某賽季甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員每場(chǎng)比賽得分的莖葉圖,則甲、乙兩人比賽得分的中位數(shù)之和是

圖4

提示：由莖葉圖可知,甲比賽得分的中位數(shù)為28,乙比賽得分的中位數(shù)為36。

所以甲、乙兩人比賽得分的中位數(shù)之和為28+36=64。