何德海

利用計算器得出含根號無理數(shù)近似值的方法相信大家都掌握了，但如果我們手頭沒有計算器或不允許使用計算器時，該如何估算它們的近似值或大致范圍呢？下面結(jié)合有關(guān)題目談?wù)剮А癧]”無理數(shù)的值的估算方法。

一、采用夾逼法

例1 （2018·臺州）估計[7]+1的值在（? ? ? ?）。

A.2和3之間 B.3和4之間

C.4和5之間 D.5和6之間

解：∵22=4，32=9，∴[4]=2，[9]=3，

又∵4<7<9，∴[4<7<9]。

即[2<7<3]，∴[3<7+1<4]。

故選B。

點評：本題主要考查估算無理數(shù)[7]的整數(shù)部分。采用“夾逼法”，利用“若a、b都為正數(shù)，且a>b，則[a>b]”的結(jié)論，可以得出[7]的整數(shù)部分。本題對[7]的近似值要求不高，運用一次“夾逼法”，即可求解。

例2 填空：[7≈]? ? ? ? ?（精確到十分位）。

解：∵2=[4<7<9=3]，∴無理數(shù)[7]的值介于2和3之間，即[7]的整數(shù)部分為2。

又∵2.62=6.76，2.72=7.29，∴2.6[<7][<2.7]。又∵2.642=6.9696，2.652=7.0225，∴2.64[<7][<2.65]。∴[7]的百分位上的數(shù)為4，根據(jù)四舍五入法則，[7≈]2.6（精確到十分位）。

點評：本題仍然是估算無理數(shù)[7]的值，但要求精確到十分位，精度要求高了，需要多次運用“夾逼法”。用此種方法，先確定整數(shù)位，再確定十分位、百分位等，多次運用還可以求出更加精確的值。此種方法，也適用于其他帶根號無理數(shù)的估值。

二、利用數(shù)軸上的點

例3 （2019·武威）下列整數(shù)中，與[10]最接近的整數(shù)是（? ? ? ?）。

A.3 B.4 C.5 D.6

分析：本題除了運用例1所提供的“夾逼法”外，也可以將教材中提供的“在數(shù)軸上畫出表示[2]的點”的方法“移植”過來。

解：如圖1，在數(shù)軸上，構(gòu)造邊長分別為3和1的長方形OABC（或兩直角邊分別為3、1的Rt△OCB），然后以O(shè)為圓心，以O(shè)B長為半徑畫弧，交數(shù)軸的正半軸為M，則點M即為數(shù)軸上表示無理數(shù)[10]的點，由圖可直觀看出與[10]最接近的整數(shù)是3。本題選A。

圖1

點評：本題利用數(shù)軸，構(gòu)造圖形，在數(shù)軸上直觀表示出帶根號的無理數(shù)，利用圖形直觀，可估算出該無理數(shù)的值。當我們將數(shù)軸上的刻度細分時，估值的精度還能有所提高。

（作者單位：江蘇省句容市教師發(fā)展中心）