席鵬飛， 楊明合， 郭王恒， 石建剛

（1. 中國(guó)石油鉆井工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室長(zhǎng)江大學(xué)研究室，湖北武漢 434000；2. 中國(guó)石油新疆油田分公司工程技術(shù)研究院，新疆克拉瑪依 834000）

聲波時(shí)差法是計(jì)算異常壓實(shí)地層壓力的一種常用方法，其核心是在確定正常壓實(shí)段聲波時(shí)差趨勢(shì)線基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確計(jì)算異常聲波時(shí)差點(diǎn)偏離趨勢(shì)線的程度[1-3]。由于聲波時(shí)差受地層巖性等因素的影響會(huì)出現(xiàn)波動(dòng)，影響了利用聲波時(shí)差識(shí)別異常壓實(shí)地層的精度?，F(xiàn)場(chǎng)往往是結(jié)合實(shí)鉆及測(cè)井等資料識(shí)別異常壓實(shí)地層、計(jì)算異常壓實(shí)地層的壓力。該方法的識(shí)別精度取決于個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)及對(duì)地層的認(rèn)識(shí)程度，不可避免地存在隨意性和盲目性，因而異常壓實(shí)地層的識(shí)別精度不高。為提高識(shí)別異常壓實(shí)地層的精度、準(zhǔn)確預(yù)測(cè)異常壓實(shí)地層的壓力，除需要對(duì)聲波時(shí)差數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理外，還要進(jìn)一步研究聲波時(shí)差數(shù)據(jù)自身包含的規(guī)律。為此，筆者采用密度聚類法來(lái)剔除聲波時(shí)差數(shù)據(jù)中的無(wú)效數(shù)據(jù)，基于小波理論分析了正常壓實(shí)段內(nèi)聲波時(shí)差沿正常壓實(shí)趨勢(shì)線的波動(dòng)性[4-6]。通過(guò)分布擬合檢驗(yàn)，確定了聲波時(shí)差波動(dòng)性的概率分布函數(shù)，從概率的角度辨識(shí)異常壓實(shí)地層，避免了實(shí)際計(jì)算中的隨意性，該方法同樣適用于其他類似測(cè)井資料（如密度）的分析。

1 正常壓實(shí)段聲波時(shí)差數(shù)據(jù)的分布擬合

對(duì)于正常壓實(shí)地層，井深與聲波時(shí)差的自然對(duì)數(shù)呈線性關(guān)系[7]：

1.1 剔除無(wú)效數(shù)據(jù)點(diǎn)

由于受地層、井徑和測(cè)量?jī)x器等因素的影響，聲波時(shí)差數(shù)據(jù)中含有較多無(wú)效數(shù)據(jù)，筆者采用密度聚類（dbscan）法對(duì)聲波時(shí)差數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理[8-9]。圖1為新疆油田瑪湖凹陷A井501.00～4 190.00 m井段21 297個(gè)聲波時(shí)差數(shù)據(jù)聚類分析結(jié)果，圖中580個(gè)噪聲點(diǎn)和769個(gè)邊界點(diǎn)為無(wú)效數(shù)據(jù)，其余為核心點(diǎn)，聚為2簇。初步判斷第1簇核心點(diǎn)位于正常壓實(shí)地層，對(duì)應(yīng)508.00～2 965.00 m井段。

圖1 A井聲波時(shí)差數(shù)據(jù)密度聚類分析結(jié)果Fig. 1 The results of density clustering analysis by interval transit time in Well A

1.2 正常壓實(shí)段聲波時(shí)差數(shù)據(jù)的波動(dòng)性分析

圖2 所示為圖1中正常壓實(shí)井段（第1簇核心點(diǎn)）的散點(diǎn)圖。從圖2可以看出，該井段聲波時(shí)差的自然對(duì)數(shù)與井深明顯呈線性關(guān)系，擬合關(guān)系式為：

Fig. 2 The distribution of lnΔt along well depth at normally compacted section

由圖2可知，隨井深H增大，在趨勢(shì)線兩側(cè)波動(dòng)顯著，顯然受地層因素影響較大。這種波動(dòng)可用小波分析進(jìn)行描述[10-11]。依據(jù)小波分析理論，數(shù)據(jù)點(diǎn)沿其趨勢(shì)線方向的波動(dòng)可用如下公式描述：

實(shí)際上，若設(shè)低頻信號(hào)為直線，可利用點(diǎn)到直線的距離公式，直接導(dǎo)出式（3）。對(duì)于圖2中的任意一點(diǎn)，若其位于趨勢(shì)線上方，則該點(diǎn)到趨勢(shì)線的距離為：

當(dāng)趨勢(shì)線斜率k很小時(shí)，，則式（4）可改寫為：

若點(diǎn)i位于趨勢(shì)線下方，則該點(diǎn)到趨勢(shì)線的距離為。

圖3 正常壓實(shí)段波動(dòng)項(xiàng) 沿井深的分布Fig. 3 Distribution of fluctuation item along the depth of well at normally compacted section

圖4 波動(dòng)項(xiàng) 分布的擬合Fig. 4 The fitting of the fluctuation item distribution

1.3 正常壓實(shí)段聲波時(shí)差數(shù)據(jù)頻率分布

tLS分布和LG分布的概率密度函數(shù)分別為：

式中：Γ（x）為伽馬函數(shù)；μ為位置參數(shù)；σ為尺度參數(shù)；ν為形狀參數(shù)。

在Matlab軟件的Distribution Fitting模塊中，分別用tLS分布和LG分布的概率密度函數(shù)擬合波動(dòng)項(xiàng)的分布規(guī)律，結(jié)果見(jiàn)圖4。由圖4可知，相較于正態(tài)分布，tLS分布和LG分布更加接近波動(dòng)項(xiàng)的分布頻率。擬合確定的tLS分布和LG分布概率密度函數(shù)的參數(shù)值見(jiàn)表1。

表 1 tLS分布和LG分布概率密度函數(shù)的參數(shù)Table 1 Probability density function of the tLS distribution and the LG distribution

1.4 波動(dòng)項(xiàng)Δ頻率分布的擬合檢驗(yàn)

分布擬合檢驗(yàn)基于假設(shè)檢驗(yàn)，通過(guò)檢驗(yàn)給定分布函數(shù)與樣本分布的符合程度，從而對(duì)該分布做出取舍[14]。數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)n大于2 000時(shí)，常用皮爾遜卡方（χ2）和柯?tīng)柲缏宸?斯米諾夫（K-S）檢驗(yàn)[15-16]，筆者采用χ2進(jìn)行擬合檢驗(yàn)。

皮爾遜檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量χ2為：

式中：n為試驗(yàn)次數(shù)；k為樣本空間劃分的子集（或區(qū)間）的個(gè)數(shù)；pi為第i個(gè)子集上給定分布的概率；fi為第i個(gè)子集上樣本出現(xiàn)的頻數(shù)。

一般當(dāng)總體分布未知時(shí)，檢驗(yàn)假設(shè)H01：總體分布函數(shù)為 tLS，即X～F(μ，σ，v)；H02：總體分布函數(shù)為 LG，即X～L(μ，σ)。

當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n充分大（n=13 099≥50），則當(dāng)H0為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量χ2近似服從自由度為k-1的χ2分布[16]，故在給定顯著性α的條件下，H0的拒絕域?yàn)椋?/p>

圖5 k=50時(shí)2種分布與樣本的頻率擬合Fig. 5 Frequency fitting of two kinds of distributions and samples when k=50

從圖5可以看出，第i個(gè)區(qū)間上tLS分布和LG分布的值在區(qū)間中心區(qū)域小、邊緣大。進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，在邊緣區(qū)間內(nèi)，波動(dòng)項(xiàng)的頻數(shù)fi都很?。ǎ?0），相對(duì)樣本總量可以忽略，在計(jì)算χ2時(shí)需忽略這些將導(dǎo)致χ2明顯增大的邊緣區(qū)間，即有效樣本區(qū)間為11～41區(qū)間。

當(dāng)顯著性水平α=0.05時(shí)，根據(jù)式（8）計(jì)算出tLS分布的χ2=51.1，而(50-1)=66.339，不滿足式（9），接受H01，認(rèn)為波動(dòng)項(xiàng)Δ的分布符合tLS分布。同理，計(jì)算出LG分布的χ2=84.9，滿足式（9），則拒絕H02，即認(rèn)為波動(dòng)項(xiàng)Δ的分布不符合LG分布。

2 異常壓實(shí)段概率分析

對(duì)于第i點(diǎn)聲波時(shí)差，越大，與位置參數(shù)μ的距離越大，也就是到“由式（1）確定趨勢(shì)線”的距離就越大，即屬于正常壓實(shí)段的可能性越小。據(jù)此可以構(gòu)建屬于正常壓實(shí)段概率的計(jì)算公式。從tLS概率密度函數(shù)圖（見(jiàn)圖6）可以看出，對(duì)于任意，可以用圖中陰影面積S來(lái)表示距離μ的遠(yuǎn)近程度。結(jié)合概率定義，那么屬于正常壓實(shí)段的概率pi可表示為：

式中：f(x)、P(x)和F(x)為tLS分布的概率密度函數(shù)、概率函數(shù)和概率分布函數(shù)，其參數(shù)可從上文求出。

圖6 正常壓實(shí)段波動(dòng)項(xiàng)Δi的tLS分布Fig. 6 tLS distribution of fluctuation item Δi at normally compacted section

圖7 A井lnΔt及pi沿井深的分布Fig. 7 Distributions of lnΔt and pi along well depth in Well A

從圖7可以看出：500.00～2 950.00 m井段絕大部分pi大于0.12，位于3σ直線上方。若以3σ作為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則該段屬于正常壓實(shí)段；井深2 950.00 m以深井段的pi小于0.02，屬于正常壓實(shí)段的概率基本為0，為異常壓實(shí)段。實(shí)鉆資料顯示，該井在井深2 940.00 m左右壓力明顯抬升，地層壓力系數(shù)由1.04升至1.71，證明該方法識(shí)別異常壓實(shí)段的可靠性較好。

圖8 B井lnΔt及pi沿井深的分布Fig. 8 Distributions of lnΔt and pi along well depth in well B

3 結(jié)論與建議

1）受地層巖性等因素影響，聲波時(shí)差數(shù)據(jù)會(huì)出現(xiàn)波動(dòng)而影響識(shí)別異常壓實(shí)地層的精度。對(duì)于去除異常數(shù)據(jù)后的正常壓實(shí)段的聲波時(shí)差數(shù)據(jù)，其波動(dòng)性可用小波理論進(jìn)行分析，分布擬合檢驗(yàn)表明，這種波動(dòng)性可用tLocation-Scale分布進(jìn)行描述。

2）基于tLocation-Scale分布，構(gòu)建識(shí)別異常壓實(shí)段的概率計(jì)算公式，從概率的角度辨識(shí)異常壓實(shí)地層，并用概率量化了該辨識(shí)的可靠程度，避免了計(jì)算的盲目性、隨意性。

3）該方法同樣適用于其他基于泥頁(yè)巖正常壓實(shí)趨勢(shì)線的常規(guī)測(cè)井資料（如密度、伽馬及電阻率等）分析，具有一定的推廣應(yīng)用價(jià)值。