張光偉， 高嗣土， 喬 陽， 田 帆

（西安石油大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，陜西西安 710065）

近年來，國(guó)內(nèi)外研制出多種形式的旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向鉆井工具，其與PDC鉆頭配合可以顯著提高硬地層的鉆速[1-3]。為了進(jìn)一步提高硬地層的鉆進(jìn)效率，人們開展了大量理論與試驗(yàn)研究[4-8]，但多集中于復(fù)合鉆進(jìn)條件下PDC鉆頭破巖效率研究，對(duì)旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向鉆井條件下PDC鉆頭破巖效率的研究則較少。有人利用Matlab軟件建立數(shù)字化PDC鉆頭和數(shù)字化巖石模型，模擬了復(fù)合鉆進(jìn)條件下巖石的破碎過程，并將模擬結(jié)果與試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了對(duì)比，發(fā)現(xiàn)兩者吻合良好[9-10]。筆者借鑒前人的研究思路，以指向式旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向鉆井工具可控彎接頭為研究對(duì)象，利用Matlab軟件對(duì)巖石進(jìn)行離散化處理，研制了數(shù)字化導(dǎo)向鉆進(jìn)破巖仿真程序，給出了鉆頭切削巖石效率的表示方法，分析了可控彎接頭導(dǎo)向機(jī)構(gòu)中內(nèi)外偏心環(huán)轉(zhuǎn)速對(duì)PDC鉆頭破巖效率的影響，以期對(duì)提高指向式旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向系統(tǒng)的鉆井效率有一定的指導(dǎo)作用。

1 PDC鉆頭的數(shù)字化模型

1.1 切削齒工作面的數(shù)字化

采用直角坐標(biāo)系下的矩形等弧劃分?jǐn)?shù)字化方法建立PDC鉆頭齒工作面的數(shù)字化模型[11-12]，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：

式中：xp，yp和為切削齒工作面數(shù)字化節(jié)點(diǎn)p的坐標(biāo)；R為PDC鉆頭切削齒的半徑，mm；θstep為切削齒的角度步長(zhǎng)，（°）；。

切削齒工作面數(shù)字化方法及模型如圖1所示。

圖1 切削齒工作面數(shù)字化方法及模型Fig. 1 Digitization method and model of cutting tooth surface

1.2 切削齒側(cè)面的數(shù)字化

PDC鉆頭主切削齒的側(cè)面為圓柱面，為了得到其數(shù)字化模型，將其在周向及軸線方向等分，設(shè)某數(shù)字化節(jié)點(diǎn)m的坐標(biāo)為 (xm,ym,zm)，則：

式中：lstep為軸線方向上的長(zhǎng)度步長(zhǎng)l為切削齒圓柱部分長(zhǎng)度，mm。

切削齒側(cè)面數(shù)字化方法及模型如圖2所示。

圖2 切削齒側(cè)面數(shù)字化方法及模型Fig. 2 Digitization method and model of cutting tooth side

1.3 規(guī)徑齒的數(shù)字化

規(guī)徑齒一般是由常規(guī)切削齒經(jīng)過線切割加工獲得的，如圖3（a）所示。由于A點(diǎn)所代表的齒側(cè)節(jié)點(diǎn)微元與鉆頭中心點(diǎn)O之間的距離大于鉆頭半徑，屬于被切割部分。在獲得規(guī)徑齒時(shí)，將A點(diǎn)向沿 PDC切削齒工作平面平行的方向，投影到大圓柱面即鉆頭外圓柱輪廓面，得到A′點(diǎn)，坐標(biāo)為。設(shè)A點(diǎn)在Oxy平面內(nèi)的坐標(biāo)為，則：

規(guī)徑齒數(shù)字化模型如圖3（b）所示。

圖3 規(guī)徑齒數(shù)字化方法及模型Fig. 3 Digitization method and model of gauge teeth

至此，PDC鉆頭主要特征的數(shù)字化就已完成，根據(jù)每顆切削齒在鉆頭坐標(biāo)系中的位置和方向參數(shù)，利用PDC鉆頭幾何學(xué)基本方程[13]，基于Matlab平臺(tái)進(jìn)行矩陣的平移、旋轉(zhuǎn)操作，即可繪制出由24顆規(guī)徑齒構(gòu)成的PDC鉆頭數(shù)字化模型，如圖4所示。

圖4 PDC鉆頭的數(shù)字化模型Fig. 4 Digital model of PDC bit

2 巖石的數(shù)字化模型

將巖石抽象為由小立方體微元組成的離散化對(duì)象，微元的每個(gè)頂點(diǎn)為一個(gè)數(shù)字化節(jié)點(diǎn)，假設(shè)巖石為長(zhǎng)方體巖樣，以巖石上表面的形心為原點(diǎn)O，沿鉆頭垂直向下鉆進(jìn)的方向?yàn)閆軸，建立直角坐標(biāo)系OXYZ，如圖5（a）所示。設(shè)巖樣的長(zhǎng)寬高分別為l，w和h，則巖石上任意節(jié)點(diǎn)P有：

巖石的三維數(shù)字化模型如圖5（b）所示。

圖5 巖石數(shù)字化方法及模型Fig. 5 Digitization method and model of rock

PDC鉆頭與巖石相互作用的實(shí)質(zhì)是切削齒與巖石數(shù)字化節(jié)點(diǎn)的相互作用。因此，對(duì)巖石三維區(qū)域內(nèi)的數(shù)字化節(jié)點(diǎn)賦予不同的抗剪強(qiáng)度、研磨性等物性參數(shù)，即可表示不同材質(zhì)的數(shù)字化巖石。

3 PDC鉆頭破巖過程的模擬

將PDC鉆頭所有的數(shù)字化節(jié)點(diǎn)存放于Matlab矩陣中，按所需要的方式進(jìn)行平移、旋轉(zhuǎn)操作[14-15]。在旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向鉆井條件下，將PDC鉆頭移至巖石表面、使鉆頭軸線與巖石Z軸重合，定義鉆頭沿自身軸線旋轉(zhuǎn)，沿巖石Z軸豎直向下鉆進(jìn)，即可模擬鉆頭與巖石的作用過程。齒面節(jié)點(diǎn)與巖石的相互作用關(guān)系如圖6所示。

設(shè)外部切削齒刃上某節(jié)點(diǎn)P在t時(shí)刻的坐標(biāo)為Pt，在t-1時(shí)刻坐標(biāo)為，由于模擬過程中每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)鉆頭轉(zhuǎn)過的角度和進(jìn)尺都遠(yuǎn)小于鉆頭半徑，故可認(rèn)為節(jié)點(diǎn)P在t時(shí)刻的速度方向矢量為；同時(shí)，P點(diǎn)在t時(shí)刻周圍有8個(gè)巖石數(shù)字化節(jié)點(diǎn)，這8個(gè)節(jié)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)巖石正方體微元，通過對(duì)速度矢量向上和向下圓整，可得到Pt點(diǎn)在所處巖石微元的指向點(diǎn)Pf的坐標(biāo)。

圖6 齒面節(jié)點(diǎn)與巖石的相互作用關(guān)系Fig. 6 Interaction between tooth surface nodes and rock

經(jīng)圓整處理后可獲得t時(shí)刻P點(diǎn)在三維巖石上的“指向點(diǎn)”和“經(jīng)過點(diǎn)”，其中“經(jīng)過點(diǎn)”為被去除的巖石節(jié)點(diǎn)，去除“經(jīng)過點(diǎn)”后，將Pt點(diǎn)的坐標(biāo)值賦給Pf，就得到t時(shí)刻井底與井壁的坐標(biāo)，將其進(jìn)行三角剖分、曲面重構(gòu)即可得到模擬井底與井壁的可視化模型。同理，齒面節(jié)點(diǎn)經(jīng)過相應(yīng)的圓整處理，如果能在巖石上找到其對(duì)應(yīng)的“指向點(diǎn)”，則判定該節(jié)點(diǎn)與巖石接觸，即可為計(jì)算切削齒接觸面積做準(zhǔn)備。

4 內(nèi)外偏心環(huán)轉(zhuǎn)速比對(duì)破巖效率的影響

4.1 破巖效率的定量表示

破巖效率可用巖石切削量定量表示，相同時(shí)間步長(zhǎng)的切削量越大，意味著其破巖效率越高。切削量包括切削面積和切削體積，切削齒的工作區(qū)域由齒面工作區(qū)域與齒刃工作區(qū)域組成，如圖7所示。

圖7 齒刃與齒面工作區(qū)域Fig. 7 Tooth blade working area and tooth surface working area

數(shù)字化過程中，齒面和齒刃節(jié)點(diǎn)均勻分布，設(shè)切削齒工作面由N個(gè)數(shù)字節(jié)點(diǎn)組成，切削齒工作區(qū)域內(nèi)包含n個(gè)節(jié)點(diǎn)，設(shè)第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)為），則齒面接觸區(qū)域的形心H的坐標(biāo)為：

在PDC切削齒齒刃上，采用齒刃等效接觸點(diǎn)M來代替齒刃接觸點(diǎn)進(jìn)行切削參數(shù)的計(jì)算與分析，點(diǎn)M為齒面中心點(diǎn)C與齒面工作區(qū)域等效點(diǎn)H的連線與齒刃的交點(diǎn)，其坐標(biāo)為：

式中：RH為H點(diǎn)到C點(diǎn)的距離，m。

根據(jù)接觸面區(qū)域節(jié)點(diǎn)占齒工作面節(jié)點(diǎn)的比例，可得接觸面積S為：

切削面積是接觸面在過齒面定位點(diǎn)鉆頭軸線平面上投影的面積。由此，假設(shè)t時(shí)刻齒面中心點(diǎn)坐面法向量為。鉆頭與巖石互作用的過程中，由于鉆頭每步轉(zhuǎn)過的角度步長(zhǎng)很小，可近似認(rèn)與齒面中心點(diǎn)在t時(shí)刻的速度方向一致，即為該時(shí)刻過C點(diǎn)鉆頭軸線平面的法向量。向量與向量n夾角的余弦為：

切削面積Sst為：

切削體積為t到t+1時(shí)間步之間的切削面積與齒面中心點(diǎn)行程的乘積，則在T時(shí)間步內(nèi)，單切削齒的切削體積

4.2 導(dǎo)向軸指向角的確定

井下閉環(huán)可控彎接頭是指向式旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向鉆井系統(tǒng)的重要組成部分，由旋轉(zhuǎn)外套、導(dǎo)向軸、導(dǎo)向機(jī)構(gòu)、驅(qū)動(dòng)電機(jī)和電子控制系統(tǒng)組成，如圖8所示?？煽貜澖宇^導(dǎo)向機(jī)構(gòu)為導(dǎo)向鉆井工具的核心，主要由內(nèi)、外偏心環(huán)組成，導(dǎo)向軸的一端由可控彎接頭導(dǎo)向機(jī)構(gòu)控制，另一端安裝鉆頭[16]。

圖8 可控彎接頭的結(jié)構(gòu)Fig. 8 Structure of the controllable bending joint1.外偏心環(huán)驅(qū)動(dòng)電機(jī)；2.外偏心環(huán)連接法蘭；3.外偏心環(huán)； 4.內(nèi)偏心環(huán)；5.內(nèi)偏心環(huán)連接法蘭；6.內(nèi)偏心環(huán)驅(qū)動(dòng)電機(jī)；7.導(dǎo)向軸；8.扭矩傳遞機(jī)構(gòu)；9.密封結(jié)構(gòu)；10.球座；11.旋轉(zhuǎn)外套

鉆井過程中，井下閉環(huán)可控彎接頭通過調(diào)整旋轉(zhuǎn)外套、外偏心環(huán)和內(nèi)偏心環(huán)的相對(duì)位置，可以改變導(dǎo)向軸的空間姿態(tài)，實(shí)現(xiàn)可控彎接頭工具角和工具面角的調(diào)整，從而實(shí)現(xiàn)定向鉆進(jìn)，可控彎接頭導(dǎo)向機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化模型如圖9所示。設(shè)內(nèi)偏心環(huán)的角速度為ω1，幾何中心為E；外偏心環(huán)的角速度為ω2，幾何中心為E1；偏心環(huán)組的幾何中心為E2，旋轉(zhuǎn)外套的角速度為ω3，用2個(gè)向量代替內(nèi)、外偏心環(huán)的偏心距e。

圖9 導(dǎo)向機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)模型簡(jiǎn)化示意Fig. 9 Schematic diagram of the movement model of the steering mechanism

根據(jù)導(dǎo)向機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)化模型的幾何關(guān)系建立數(shù)學(xué)方程，可得偏心環(huán)組中心點(diǎn)E2與可控彎接頭導(dǎo)向軸線的夾角φ′為：

考慮旋轉(zhuǎn)外套的旋轉(zhuǎn)，其夾角變?yōu)椋?/p>

式中：m為內(nèi)外偏心環(huán)的轉(zhuǎn)速比；t為時(shí)間步長(zhǎng)。

鉆進(jìn)過程中，井下閉環(huán)可控彎接頭指向角為鉆頭中心線與鉆井工具軸線的夾角。因此，理想狀況下，一定時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)的可控彎接頭指向角只與內(nèi)、外偏心環(huán)的轉(zhuǎn)速比有關(guān)。

4.3 內(nèi)外偏心環(huán)轉(zhuǎn)速比對(duì)切削量的影響

對(duì)于可控彎接頭，影響切削量的主要因素為可控彎接頭導(dǎo)向軸的指向角和旋轉(zhuǎn)外套的長(zhǎng)度L，因?yàn)樗鼈儧Q定了鉆頭中心與井眼中心的偏心距。由于旋轉(zhuǎn)外套的長(zhǎng)度是固定的，所以內(nèi)、外偏心環(huán)轉(zhuǎn)速比對(duì)可控彎接頭的破巖效率起著主導(dǎo)作用。

導(dǎo)向鉆進(jìn)過程中，井下閉環(huán)可控彎接頭帶動(dòng)鉆頭在井底旋轉(zhuǎn)一周，鉆頭上的每個(gè)切削齒都經(jīng)過井眼參考垂直平面，各切削齒的切削面積為各齒切削軌跡和前一次作用的疊加區(qū)域，不利于計(jì)算，筆者選用距離井眼中心40 mm的外部單齒為研究對(duì)象，切削齒半徑R為16.0 mm，齒的前傾角為12°，進(jìn)齒深度為2.0 mm，模擬鉆進(jìn)總深度為16.0 mm（2個(gè)鉆井循環(huán)），整個(gè)過程需要756時(shí)間步，定義可控彎接頭與轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)速比為3∶1，旋轉(zhuǎn)外套的長(zhǎng)度L為1 000 mm，巖石的抗剪強(qiáng)度為11 MPa，內(nèi)摩擦角為22°，摩擦系數(shù)為0.2，然后進(jìn)行模擬計(jì)算。

圖10 外部單齒在時(shí)的切削面積Fig. 10 Cutting( area o)f external single teeth at the time

圖11 外部單齒在m=0.5時(shí)的切削面積Fig. 11 Cutting area of external single teeth at m=0.5

圖12 外部單齒在m=1.0時(shí)的切削面積Fig. 12 Cutting area of external single teeth at m=1.0

圖13所示為不同轉(zhuǎn)速比下切削體積隨時(shí)間步長(zhǎng)的變化曲線。從圖13可以看出：可控彎接頭中的內(nèi)外偏心環(huán)轉(zhuǎn)速比由0逐漸增大到0.8左右過程中，其切削體積呈線性增加，這是因?yàn)閮?nèi)外偏心環(huán)轉(zhuǎn)速比增大，導(dǎo)向軸指向角增大，巖屑積累量增大，此時(shí)巖屑隨著鉆頭共同作用，導(dǎo)致破巖接觸面積顯著增大，破巖效率明顯增大。若持續(xù)增大內(nèi)外偏心環(huán)轉(zhuǎn)速比，則巖屑積累厚度增加導(dǎo)致鉆頭切削深度減小，再加上鉆井工具自身造斜條件的限制，其切削體積趨于恒定。

5 結(jié) 論

1）基于Matlab軟件建立了一種模擬旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向鉆井模式下PDC鉆頭鉆進(jìn)的方法，模擬了旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向鉆井條件下數(shù)字化PDC鉆頭與數(shù)字化巖石的相互作用過程，給出了破巖效率的定量表示方法，為研究提高旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向鉆具破巖效率提供了思路。

圖13 外部單齒在不同轉(zhuǎn)速比下的切削體積Fig. 13 Cutting volumes of the external single tooth at different speed ratios

3）PDC鉆頭外部切削齒的切削體積隨著轉(zhuǎn)速比增大發(fā)生相應(yīng)變化，切削體積在初始階段近似呈線性增加；轉(zhuǎn)速比達(dá)到0.9左右時(shí)，切削體積增大速度趨于平緩，最終達(dá)到平衡狀態(tài)。

4）模擬結(jié)果表明，對(duì)于抗剪強(qiáng)度為11 MPa、內(nèi)摩擦角為22°、摩擦系數(shù)為0.2的巖石，最佳破巖轉(zhuǎn)速比在1.0左右；巖石切削量最大的時(shí)間步長(zhǎng)區(qū)間為 300～450。