鄒紅波，柴 濤，鮑 剛

(三峽大學(xué) 電氣與新能源學(xué)院，湖北 宜昌 443000)

0 引言

PID作為最經(jīng)典的控制器[1]之一，在各個(gè)工業(yè)控制[2]領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，其控制性能的優(yōu)劣，主要由Kp、Ki、Kd決定。對(duì)這三個(gè)參數(shù)整定是現(xiàn)在研究的一個(gè)重要方向，傳統(tǒng)的PID參數(shù)整定[3]方法主要是根據(jù)數(shù)學(xué)模型[4]來(lái)進(jìn)行理論計(jì)算，進(jìn)而求得PID參數(shù)。但是人工計(jì)算繁瑣，而且并不能精確的求得所需良好控制性能的PID參數(shù)。隨著群智能算法以及人工智能的發(fā)展，PID參數(shù)的整定更加的智能化。楊智等[5]采用改進(jìn)的粒子群算法對(duì)PID參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化；周蓓晨[6]等采用擬混沌人群搜索算法來(lái)整定PID參數(shù)；李遠(yuǎn)梅等[7]通過(guò)將螢火蟲算法應(yīng)用到PID參數(shù)整定中。上述方法都為PID參數(shù)整定提供了一個(gè)不錯(cuò)的思想，并且都提高了PID控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。生物地理學(xué)優(yōu)化算法(Biogeography-based optimization，BBO)[8]是一種新的群智能算法，該算法通過(guò)模擬自然界中物種的遷移規(guī)律來(lái)解決許多優(yōu)化問(wèn)題，模型簡(jiǎn)單明了，在許多性能上都表現(xiàn)出了比其他群智能算法更加優(yōu)秀的性能。

和其他群智能算法[9]一樣，BBO算法存在后期搜索能力弱的缺點(diǎn)。為了改善這個(gè)問(wèn)題，本文將混沌映射[10]嵌入到選擇算子中，增加算法的選擇范圍，并使種群多樣化，并且在后期進(jìn)行混沌搜索來(lái)加強(qiáng)算法的搜索能力，使算法跳出早熟陷阱，加快算法搜索最優(yōu)解，最終達(dá)到全局最優(yōu)。并將改進(jìn)的BBO算法應(yīng)用到PID參數(shù)整定中，提高了PID控制性能。

1 BBO算法

生物地理優(yōu)化算法(BBO)是一種基于種群的算法，但它將群體中的每種解決方案視為棲息地，并將解決方案的適應(yīng)度視為棲息地適應(yīng)度指數(shù)(HSI)。 每個(gè)解決方案的分量就代表一個(gè)適應(yīng)度變量(SIV)，它通過(guò)模擬自然界中物種的遷移和突變過(guò)程來(lái)不斷地更替群體來(lái)解決優(yōu)化問(wèn)題。個(gè)體遷入率λ和遷出率μ可看作為個(gè)體適應(yīng)度函數(shù)。具有高適應(yīng)度的棲息地具有更多物種種類，所以遷入率λ低，遷出率μ高。相反，棲息地適應(yīng)度低，遷入率λ高，而遷出率μ低。

物種的遷移模型[11]有很多種，可以將它簡(jiǎn)化為不同的數(shù)學(xué)模型。如下為簡(jiǎn)單的線性遷移模型：

(1)

(2)

圖1所示是常用的線性遷移模型。將棲息地最大種群數(shù)量設(shè)為Smax=n，s為種群數(shù)量，I為最大遷入率，E為最大遷出率。從圖1中可以看出當(dāng)棲息地中物種數(shù)量為0時(shí)，其遷入率λ最大，遷出率μ為0；隨著物種的遷移，物種數(shù)量也會(huì)隨之增加，當(dāng)棲息地中的物種數(shù)量越來(lái)越多時(shí)，其它物種遷入到這個(gè)棲息地的概率就會(huì)減?。欢w出的概率就會(huì)增大，即遷出率μ逐漸增大；由圖1可知，當(dāng)棲息地上的物種達(dá)到頂峰Smax時(shí)，遷入率λ會(huì)減小到零，而此時(shí)遷出率μ最大。BBO算法主要包括遷移和變異兩個(gè)操作。

圖1 線性遷移模型

本文采用的是文獻(xiàn)[11]中的余弦遷移模型，使其更加符合自然規(guī)律，S表示種群數(shù)量。如圖2所示。

圖2 余弦遷移模型

其數(shù)學(xué)公式如下：

(3)

(4)

傳統(tǒng)BBO算法采用的是最簡(jiǎn)單的線性遷移模型，但是并不能反映出生態(tài)系統(tǒng)遷移的本質(zhì)，而采用余弦遷移模型能更加貼切生物種群的遷移規(guī)律，增加種群的多樣性。

BBO算法的變異操作也是根據(jù)物種的數(shù)量概率P(si)對(duì)棲息地的特征分量進(jìn)行變異，這樣就提高了種群的多樣性。棲息地的適應(yīng)度過(guò)高或者過(guò)低時(shí)，相對(duì)應(yīng)棲息地的物種數(shù)量概率都比較低；但適應(yīng)度處于中等水平時(shí)，物種數(shù)量的概率相對(duì)較高。當(dāng)一個(gè)棲息地的物種數(shù)量概率過(guò)低時(shí)，則表示其方案可行性低，若將其變異，有可能使其變成更好的方案。所以，變異率與物種的數(shù)量概率成反比，相應(yīng)的函數(shù)如式(5)所示：

(5)

式中，mmax為最大突變率；Pmax為P(Si)中的最大值，i=1，…N，N為種群中的總數(shù)。

2 改進(jìn)的BBO算法

2.1 混沌映射

混沌系統(tǒng)是隨機(jī)的不規(guī)則運(yùn)動(dòng)，其行為主要表現(xiàn)為不確定性、不可重復(fù)、不可預(yù)測(cè)[12]。在混沌的發(fā)展中已經(jīng)出現(xiàn)了許多混沌映射，比如logistic 映射[13]、帳篷映射[14]、切比雪夫映射[15]等。最常用的一種就是logistic 映射，如下所示：

yk+1=μyk(1-yk)

(6)

式中，k表示為迭代次數(shù)，k=1，…，K，K為最大的迭代次數(shù)。μ為控制系數(shù)，當(dāng)μ=4，y1∈(0， 1)，且y1≠{0.25， 0.5， 0.75}時(shí)，方程式(6)處于混沌狀態(tài)。

上述的混沌范圍是處于(0,1)之間，本文所要采用的另一種混沌映射如下：

(7)

當(dāng)取值y1=0.7，α=0.4，β=2.8 時(shí)，方程式(7)處于混沌狀態(tài)，并且其產(chǎn)生的混沌解位于(-0.9，0.9)比logistic 映射解的范圍大，更加有利于搜索。文后算法均采用此參數(shù)設(shè)定。

2.2 具有混沌映射的生物地理學(xué)優(yōu)化算法(CBBO)

CBBO的原理是在遷移操作的過(guò)程中采用混沌映射生成的值來(lái)取代rand產(chǎn)生[0,1]的隨機(jī)值概率，如下：

rand→yk

其中，yk為式(7)的解，經(jīng)過(guò)變換后選擇算子的選擇范圍將擴(kuò)大。在算法后期搜索能力不強(qiáng)時(shí)，將得到的每一組解進(jìn)行k次混沌搜索，得到新的個(gè)體，用新個(gè)體取代舊個(gè)體。進(jìn)行混沌搜索的公式如下：

Xkbest=Xbest+yk

(8)

式中，yk為方程式(7)的解。

混沌映射生物地理學(xué)優(yōu)化算法的流程表示為：

(1)產(chǎn)生初始種群，設(shè)定種群規(guī)模為P，最大迭代次數(shù)K，最大遷移率和遷出率I=E，最大突變率Mmax。

(2)計(jì)算種群所處棲息地的適宜度指數(shù)(HSI)，進(jìn)行比較，保留HSI最高的棲息地。判斷是否滿足條件，滿足，則輸出；否則，繼續(xù)執(zhí)行下面步驟。

(3)由式(3)、式(4)計(jì)算出每個(gè)解的遷入率λ和遷出率μ。

(4)將遷入率λ、遷入率μ與混沌映射概率(yk)進(jìn)行比較，選擇需要遷入和遷出的棲息地H。重新組合成新的棲息地H′，計(jì)算H′適宜度指數(shù)(HSI)，更新棲息地。

(5)根據(jù)式(5)進(jìn)行變異操作

(6)根據(jù)式(8)混沌映射進(jìn)行混沌搜索

(7)更新每個(gè)棲息地的適應(yīng)度變量(SIV)和每個(gè)棲息地的適應(yīng)度指數(shù)(HSI)，并保存最佳解

(8)若滿足迭代停止條件，則停止；不滿足，重復(fù)步驟(3)。

3 基于CBBO算法PID參數(shù)整定

PID作為經(jīng)典的控制器，從提出到現(xiàn)在，一直都是人們研究的熱點(diǎn)，但是其參數(shù)的整定一直是個(gè)難點(diǎn)，確定一組合適的參數(shù)對(duì)于PID的控制性能是一個(gè)質(zhì)的飛躍。傳統(tǒng)的整定方法不能夠滿足現(xiàn)有工業(yè)最優(yōu)控制的要求，如Z-N整定。隨著群智能算法的興起，優(yōu)化能力的提升，這給PID參數(shù)整定提供了新的思路。PID的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(9)

式中，Kp為比例系數(shù)，Ki積分系數(shù)，Kd為微分系數(shù)。所謂的參數(shù)整定，就是當(dāng)PID的控制性能達(dá)到最優(yōu)時(shí)，得到的上面3個(gè)系數(shù)，此時(shí)的系數(shù)可作為最佳系數(shù)。本文采用CBBO算法來(lái)優(yōu)化這3個(gè)系數(shù)，將這3個(gè)參數(shù)作為CBBO算法的適應(yīng)度變量，適應(yīng)度函數(shù)的選擇常常根據(jù)其性能指標(biāo)來(lái)選擇，常見(jiàn)評(píng)判控制性能的指標(biāo)有，時(shí)間乘絕對(duì)誤差積分(ITAE)、時(shí)間乘平方誤差積分(ITSE)、平方誤差積分(ISE)、絕對(duì)誤差積分(IAE)。常用來(lái)作為評(píng)判指標(biāo)的是ITAE，同時(shí)考慮超調(diào)量和上升時(shí)間，可將式(10)作為算法的適應(yīng)度函數(shù)：

(10)

其中，e(t)為實(shí)際輸出與期望輸出偏差，T為上升時(shí)間，δ為超調(diào)量。

4 仿真分析

4.1 算法性能測(cè)試

為了驗(yàn)證CBBO算法的優(yōu)化性能，將CBBO算法與原始的BBO算法以及傳統(tǒng)的蟻群算法(Ant Colony Optimization, ACO)、粒子群算法(Particle Swarm Optimization，PSO)、遺傳算法(Genetic Algorithm，GA)算法進(jìn)行尋優(yōu)比較，選擇了Sphere、Schwefel、Ackley、Quartic這4個(gè)經(jīng)典測(cè)試函數(shù)來(lái)進(jìn)行仿真測(cè)試，每個(gè)函數(shù)的維度均為20，最小值為0。將各算法的種群數(shù)設(shè)置為P=50，迭代次數(shù)為K=150次。其他參數(shù)設(shè)置見(jiàn)文獻(xiàn)[8]。4個(gè)函數(shù)公式及變量范圍如下：

各個(gè)算法對(duì)4個(gè)經(jīng)典測(cè)試函數(shù)的尋優(yōu)結(jié)果見(jiàn)表1，尋優(yōu)曲線見(jiàn)圖3。

表1 ACO、PSO、GA、BBO、CBBO算法的尋優(yōu)結(jié)果

(a) Sphere

(b) Schwefel

(c) Quartic

(d) Ackley 圖3 各算法的迭代曲線

從表1中可以看出，CBBO的最優(yōu)值和平均值均小于BBO算法以及其他群智能算法，反映了改進(jìn)后的CBBO算法在尋優(yōu)精度方面都更加優(yōu)秀，標(biāo)準(zhǔn)差的大小意味著算法的穩(wěn)定性，而CBBO的標(biāo)準(zhǔn)差也小于相比較的算法，說(shuō)明改進(jìn)后算法的穩(wěn)定性也優(yōu)于BBO、PSO、ACO、GA算法。

從圖3迭代曲線可以看出，橫坐標(biāo)是迭代次數(shù)，縱坐標(biāo)為最優(yōu)值的對(duì)數(shù)值，CBBO算法無(wú)論是在收斂速度還是在后期跳出局部最優(yōu)時(shí)的能力都要優(yōu)于BBO、PSO、ACO、GA算法，正是加入了混沌映射，使算法在后期搜索無(wú)力時(shí)，增加算法的搜索能力，加快了算法的搜索速度并提高了算法的精度。

從上述CBBO的搜索精度和收斂速度來(lái)看，整體的優(yōu)化性能是高于其他幾種算法的，所以，該改進(jìn)方法是可行有效的。

4.2 PID參數(shù)的整定

為了驗(yàn)證CBBO算法的優(yōu)化性能，選擇如下傳遞函數(shù)作為PID控制器的受控對(duì)象，數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(11)

采用BBO算法和CBBO算法來(lái)進(jìn)行對(duì)比，兩者均將式(10)作為適應(yīng)度函數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)，找出一組最適合的參數(shù)(Kp、Ki、Kd)來(lái)滿足系統(tǒng)控制性能的要求。算法參數(shù)設(shè)置為：總種群數(shù)為100，迭代次數(shù)為30，突變率為0.5，其他參數(shù)設(shè)置與文獻(xiàn)[8]中的一樣。仿真結(jié)果見(jiàn)表2。HSI迭代曲線和PID階躍曲線如圖4所示。

圖4a反映了適宜度函數(shù)隨著迭代次數(shù)的變化情況，可以明顯的看到BBO算法極易陷入早熟，很快就達(dá)到了最優(yōu)解，而CBBO算法能夠跳出早熟，繼續(xù)搜索其最優(yōu)解，最終達(dá)到全局最優(yōu)，可以得出CBBO算法的收斂速度以及精度均要優(yōu)于BBO，圖4b反映的是PID整定后的階躍曲線圖。

根據(jù)表1和圖4可以看到經(jīng)CBBO算法的優(yōu)化后，PID控制器的控制性能更加優(yōu)越，雖然在上升時(shí)間上面未能表現(xiàn)出優(yōu)勢(shì)，但是在其超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間等方面均體現(xiàn)出了不錯(cuò)的優(yōu)勢(shì)，并且在第25s處加入一個(gè)幅值為0.2 的干擾，可以看到被CBBO優(yōu)化后的PID控制器振蕩更小，調(diào)節(jié)時(shí)間更短，在相同的干擾下，其恢復(fù)能力更強(qiáng)，表明在CBBO算法的優(yōu)化后，PID控制器的抗干擾能力得到了提高。

表2 BBO、CBBO對(duì)PID參數(shù)整定的響應(yīng)性能

(a) 適宜度函數(shù)隨迭代次數(shù)變化曲線

(b) 階躍曲線圖 圖4 HSI迭代曲線與PID階躍曲線

5 結(jié)論

本文通過(guò)對(duì)BBO算法的改進(jìn)，引入余弦遷移模型、嵌入混沌映射來(lái)改善BBO算法在前期易早熟、后期搜索能力不強(qiáng)的缺點(diǎn)，并將改進(jìn)的BBO算法應(yīng)用到PID參數(shù)整定中，仿真算例表明：改進(jìn)后的BBO算法在收斂速度以及精度方面都得到了提高，對(duì)PID參數(shù)整定后的控制器，擁有良好的魯棒性、超調(diào)小以及調(diào)節(jié)時(shí)間短的控制性能。