向 華，余金舫，王 超，熊 成

(華中科技大學(xué) 國(guó)家數(shù)控系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心，武漢 430074)

0 引言

數(shù)控機(jī)床空間誤差補(bǔ)償和熱誤差補(bǔ)償技術(shù)作為一種有效的后補(bǔ)償手段，廣泛地應(yīng)用在高檔精密數(shù)控機(jī)床上[1-2]。基于數(shù)控系統(tǒng)的誤差補(bǔ)償技術(shù)，通常是將機(jī)床的部分空間網(wǎng)格點(diǎn)誤差數(shù)據(jù)保存到系統(tǒng)中，再通過一定的方法計(jì)算機(jī)床空間任意一點(diǎn)的誤差值(補(bǔ)償量)，并補(bǔ)償給運(yùn)動(dòng)軸，以實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)補(bǔ)償?shù)墓δ躘3-4]。

目前一般使用空間插值法計(jì)算機(jī)床空間任意位置的誤差值?？臻g插值法因具有原理具體、實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單以及網(wǎng)格點(diǎn)的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值相同的特點(diǎn)，已被應(yīng)用于FANUC數(shù)控系統(tǒng)空間補(bǔ)償模塊中。使用空間插值法需要事先存儲(chǔ)空間網(wǎng)格點(diǎn)的誤差數(shù)據(jù)，以三軸機(jī)床為例，若每個(gè)軸測(cè)量21個(gè)點(diǎn)，需存儲(chǔ)的數(shù)據(jù)量為27783(3×213)個(gè)。對(duì)于大型機(jī)床，若要獲取更精確的誤差數(shù)據(jù)，就必須增大單軸的測(cè)量點(diǎn)數(shù)。實(shí)際操作過程中，往往因?yàn)閿?shù)控系統(tǒng)數(shù)據(jù)空間大小的限制，單軸測(cè)量點(diǎn)數(shù)不會(huì)太多，如FANUC系統(tǒng)中限制單軸最大測(cè)量點(diǎn)數(shù)為25[5]。

對(duì)空間網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合可以減少存儲(chǔ)的數(shù)據(jù)量。在一定的擬合誤差允許范圍內(nèi)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)于這種非線性映射關(guān)系的的數(shù)據(jù)具有很好的擬合作用[6-7]，如機(jī)床熱誤差建模的主要方式已經(jīng)從基于最小二乘法的線性模型[8]轉(zhuǎn)變?yōu)樯窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)模型了。與此同時(shí)，當(dāng)以空間網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)據(jù)為樣本訓(xùn)練好神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)后，又可以使用訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)非網(wǎng)格點(diǎn)的誤差值進(jìn)行預(yù)測(cè)，即以一個(gè)模型，實(shí)現(xiàn)兩個(gè)功能。

本文針對(duì)數(shù)控機(jī)床空間誤差補(bǔ)償技術(shù)中的網(wǎng)格點(diǎn)誤差數(shù)據(jù)的存儲(chǔ)和非網(wǎng)格點(diǎn)誤差值的預(yù)測(cè)的問題，使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)機(jī)床空間網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，以減少數(shù)據(jù)存儲(chǔ)量。然后使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)非網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)據(jù)。在本文中，以目前常用的空間插值法為比對(duì)標(biāo)準(zhǔn)，將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合和預(yù)測(cè)的誤差值與之對(duì)比，兩者的擬合結(jié)果在誤差允許范圍內(nèi)，預(yù)測(cè)結(jié)果也十分接近，表明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型是一種可行的空間誤差數(shù)據(jù)擬合和預(yù)測(cè)的方法。

1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合方法

根據(jù)機(jī)床空間誤差數(shù)據(jù)的特性，選用單隱層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行擬合。本節(jié)首先介紹神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型及BP算法，以所測(cè)的機(jī)床空間網(wǎng)格點(diǎn)的坐標(biāo)為模型輸入，以空間網(wǎng)格點(diǎn)測(cè)量誤差為輸出，對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練，以便得到空間網(wǎng)格點(diǎn)誤差值的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合模型。

1.1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型與BP算法

典型的三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型如圖1所示，圖中xi表示輸入層第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸入值，bh表示隱層第h個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸出值，yj表示輸出層第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸出值，vih表示輸入層第i個(gè)節(jié)點(diǎn)到隱層第h個(gè)節(jié)點(diǎn)的權(quán)值，whj表示隱層第h個(gè)節(jié)點(diǎn)到輸出層第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的權(quán)值。使用θj表示輸出層第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的閾值，γh表示隱層第h個(gè)節(jié)點(diǎn)的閾值。

圖1 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

第h個(gè)隱層神經(jīng)元的輸入：

(1)

則bh可表示為：

bh=f(αh-γh)

(2)

其中，隱層和輸出層激活函數(shù)為Sigmoid函數(shù)：

f(x)=(1+e-x)-1

(3)

第j個(gè)輸出神經(jīng)元的輸入：

(4)

則yj可表示為：

yj=f(βj-θj)

(5)

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練是以模型輸出值y與實(shí)際值yk的均方誤差盡可能小為目標(biāo)，通過對(duì)權(quán)值(vih,whj)和閾值進(jìn)行更新，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)的過程?；谔荻认陆档腂P算法能更快地收斂，權(quán)值和閾值更新步長(zhǎng)為：

Δwhj=ηgjbh

(6)

Δθj=-ηgj

(7)

Δvih=ηehxi

(8)

Δγh=-ηeh

(9)

η為學(xué)習(xí)率。

依據(jù)更新策略，不斷調(diào)整權(quán)值與閾值，直至達(dá)到訓(xùn)練次數(shù)或擬合效果不再增加為止(均方誤差不再減小)。

1.2 數(shù)據(jù)來源——空間誤差測(cè)量

將機(jī)床的行程空間按照一定的間距劃分成三維空間網(wǎng)格，使用激光跟蹤儀依次測(cè)出每個(gè)空間網(wǎng)格點(diǎn)在三個(gè)坐標(biāo)軸方向上的的誤差，網(wǎng)格點(diǎn)測(cè)量次序如圖2所示。實(shí)際操作過程中，通常以X軸為第一補(bǔ)償軸，先測(cè)完X軸上的網(wǎng)格點(diǎn)誤差(圖2中序號(hào)1到Max1)，然后將Y軸(第二補(bǔ)償軸)增加一個(gè)網(wǎng)格距離，測(cè)量下一條線。測(cè)完第一層XOY后，Z軸增加一個(gè)網(wǎng)格距離，然后重復(fù)第一層的測(cè)量過程，直至空間網(wǎng)格點(diǎn)測(cè)量完畢。將得到的機(jī)床誤差數(shù)據(jù)作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練集。

圖2 空間誤差測(cè)量圖

1.3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合分析

利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)機(jī)床空間誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，將輸入層節(jié)點(diǎn)數(shù)設(shè)置為3，分別為任一點(diǎn)的在機(jī)床坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值。輸出層節(jié)點(diǎn)數(shù)設(shè)置為3，表示該點(diǎn)在三個(gè)坐標(biāo)軸方向的誤差值。隱層節(jié)點(diǎn)數(shù)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式[6]設(shè)定為10個(gè)。訓(xùn)練后的效果如圖3所示。圖中坐標(biāo)軸Z軸數(shù)據(jù)表示為誤差值(單位為m)，X軸和Y軸數(shù)據(jù)均表示空間網(wǎng)格點(diǎn)在該軸方向的點(diǎn)序號(hào)。X、Y、Z軸的擬合誤差分別為[-1.84, 2.05]，[-0.79, 1.29]，[-1.2, 1.89](單位為μm)。由于X軸原始誤差較大，擬合誤差也略大于Y、Z兩軸的誤差，從總體上看，各軸的擬合誤差都滿足實(shí)際補(bǔ)償?shù)囊蟆D4為X、Y、Z三軸的誤差分布圖，三個(gè)軸的擬合誤差基本上符合正態(tài)分布，其三軸誤差均值分別為0.20，0.20，0.16(單位為μm)，標(biāo)準(zhǔn)差分別為0.86，0.45，0.66(單位為μm)。誤差均值接近于0μm，標(biāo)準(zhǔn)差(方差)也很小，說明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合效果很好，可以用于機(jī)床誤差數(shù)據(jù)的擬合。

所建立的3-10-3結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的參數(shù)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為73(3×10+10×3+10+3)個(gè)，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于空間插值預(yù)測(cè)所需保存的參數(shù)個(gè)數(shù)3993(3×11×11×11)。

(a) X軸誤差數(shù)據(jù) (b) X軸誤差數(shù)據(jù)擬合

(c) X軸擬合誤差 (d) Y軸誤差數(shù)據(jù)

(e) Y軸誤差數(shù)據(jù)擬合 (f) Y軸擬合誤差

(g) Z軸誤差數(shù)據(jù) (h) Z軸誤差數(shù)據(jù)擬合

(i) Z軸擬合誤差

(a) X軸擬合誤差分布

(b) Y軸擬合誤差分布

(c) Z軸擬合誤差分布 圖4 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合誤差分布

2 非網(wǎng)格點(diǎn)誤差值預(yù)測(cè)

機(jī)床空間誤差的實(shí)際測(cè)量過程只能獲取一定數(shù)量的空間網(wǎng)格點(diǎn)誤差數(shù)據(jù)，對(duì)于需要對(duì)機(jī)床空間內(nèi)的任意位置進(jìn)行實(shí)時(shí)補(bǔ)償?shù)臄?shù)控機(jī)床而言，還需要對(duì)非網(wǎng)格點(diǎn)進(jìn)行誤差補(bǔ)償。所以需要對(duì)非網(wǎng)格點(diǎn)進(jìn)行誤差預(yù)測(cè)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠根據(jù)所測(cè)的空間網(wǎng)格點(diǎn)進(jìn)行非線性擬合，也能夠根據(jù)訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)非網(wǎng)格點(diǎn)誤差進(jìn)行預(yù)測(cè)。除此之外，目前常用的非網(wǎng)格點(diǎn)誤差預(yù)測(cè)方法為空間插值法[5]。

2.1 空間插值預(yù)測(cè)方法

使用空間插值法可以對(duì)機(jī)床行程空間內(nèi)的坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測(cè)(插值)。該方法利用“距離越遠(yuǎn)對(duì)待估點(diǎn)影響越小”的思想，認(rèn)為與未采樣點(diǎn)距離最近的若干點(diǎn)對(duì)未采樣點(diǎn)值的影響最大。根據(jù)給定的測(cè)量點(diǎn)誤差和空間位置，實(shí)現(xiàn)空間任意一點(diǎn)三維誤差值計(jì)算?？臻g插值法是通過得到每一個(gè)空間點(diǎn)和選定測(cè)量點(diǎn)對(duì)的逼近關(guān)系，以及相應(yīng)的權(quán)重關(guān)系，求得空間任意一點(diǎn)空間誤差值。而權(quán)重函數(shù)則可以看成是對(duì)距離的權(quán)重，距離越遠(yuǎn)，權(quán)重越小。

如圖5所示，空間任意點(diǎn)P包含于頂點(diǎn)為Pn(n=1,2,…8)的長(zhǎng)方體補(bǔ)償空間，Pn為實(shí)際測(cè)量點(diǎn)，每點(diǎn)的三個(gè)軸方向的誤差值Cnx、Cny、Cnz(n=1,2,…8)已知，需要求長(zhǎng)方體補(bǔ)償空間內(nèi)任意點(diǎn)P三個(gè)軸方向的空間誤差值Px、Py和Pz。下面以X軸方向的誤差計(jì)算為例進(jìn)行說明，Y和Z軸方向誤差計(jì)算方法可以此類推。

圖5中，點(diǎn)Dj(j=1,2,…6)為點(diǎn)P在各平面或軸上的投影，點(diǎn)Dj處的三個(gè)軸方向的誤差值Djx、Djy、Djz(j=1,2,…6)。

圖5 空間誤差插值原理圖

在頂點(diǎn)為P1、P2到P8的長(zhǎng)方體補(bǔ)償空間內(nèi)，計(jì)算點(diǎn)P在X軸方向的內(nèi)部分割比rx，計(jì)算方式如下：

(11)

其中，P1x和P2x是P1和P2頂點(diǎn)的X軸坐標(biāo)。

以同樣的方式計(jì)算點(diǎn)P在Y、Z軸方向的內(nèi)部分割比ry、rz。

計(jì)算點(diǎn)D1在X軸方向上的誤差值。因?yàn)辄c(diǎn)D1在線段P1P2上，根據(jù)反距離加權(quán)法，將距離看成是權(quán)重，則點(diǎn)D1在X軸方向上的誤差值D1x為：

D1x=(1-rx)C1x+rxC2x

(12)

按此方法計(jì)算出Djx、Djy、Djz(j=1,2,…6)。再根據(jù)Cnx、Cny、Cnz(n=1,2,…8)和Djx、Djy、Djz(j=1,2,…6)計(jì)算點(diǎn)P在X軸方向的空間誤差值Cx為：

Cx=(1-rx)(1-ry)(1-rz)C1x+rx(1-ry)(1-rz)C2x+

rxry(1-rz)C3x+(1-rx)ry(1-rz)C4x+

(1-rx)(1-ry)rzC5x+rx(1-ry)rzC6x+

rxryrzC7x+(1-rx)ryrzC8x

(13)

同理，Y軸和Z軸上的補(bǔ)償量Cy和Cz以相同的方式確定。

2.2 數(shù)控系統(tǒng)誤差實(shí)時(shí)補(bǔ)償

在數(shù)控系統(tǒng)中，根據(jù)上述方法進(jìn)行誤差補(bǔ)償。首先根據(jù)機(jī)床的實(shí)時(shí)位置，一方面插補(bǔ)器根據(jù)G代碼指令計(jì)算出下一插補(bǔ)周期的進(jìn)給量(Δx, Δy, Δz)，另一方面根據(jù)誤差補(bǔ)償算法，計(jì)算出補(bǔ)償量(Δex, Δey, Δez)，累加后送入驅(qū)動(dòng)器，控制電機(jī)位置，從而實(shí)現(xiàn)誤差補(bǔ)償。誤差補(bǔ)償流程如圖6所示。

圖6 誤差補(bǔ)償流程圖

2.3 預(yù)測(cè)分析

以機(jī)床的4條對(duì)角線為分析對(duì)象，預(yù)測(cè)對(duì)角線的定位誤差，結(jié)果如圖7所示。由于將機(jī)床行程空間劃分為11×11×11的空間網(wǎng)格，所以每條空間對(duì)角線包含已測(cè)量的11個(gè)點(diǎn)。由圖可知，空間插值預(yù)測(cè)方法在網(wǎng)格點(diǎn)處的預(yù)測(cè)值與實(shí)測(cè)值相同；神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)曲線較為平滑，其預(yù)測(cè)結(jié)果與空間插值預(yù)測(cè)結(jié)果以及實(shí)測(cè)值都很接近，誤差在[-2, 4]μm之內(nèi)，完全滿足誤差擬合以及補(bǔ)償?shù)囊蟆?/p>

(a) PPP對(duì)角線定位誤差

(b) NPP對(duì)角線定位誤差

(c) NPN對(duì)角線定位誤差

(d) PPN對(duì)角線定位誤差 圖7 兩種方法預(yù)測(cè)對(duì)角線定位誤差

3 結(jié)束語

本文將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型應(yīng)用于機(jī)床空間誤差數(shù)據(jù)的擬合以及預(yù)測(cè)之中，通過對(duì)比空間插值法，得出以下結(jié)論：

(1) 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型能有效擬合機(jī)床空間網(wǎng)格點(diǎn)誤差數(shù)據(jù)，擬合誤差在[-1.84, 2.05]μm范圍之內(nèi)，擬

合誤差對(duì)實(shí)際機(jī)床誤差補(bǔ)償結(jié)果影響很小，滿足要求。該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型數(shù)參數(shù)個(gè)數(shù)僅為73個(gè)，大大減小了數(shù)控系統(tǒng)公共空間存儲(chǔ)量。

(2) 使用訓(xùn)練好的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型還能對(duì)機(jī)床非網(wǎng)格點(diǎn)誤差值進(jìn)行預(yù)測(cè)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對(duì)四條空間對(duì)角線誤差值預(yù)測(cè)值與空間插值法預(yù)測(cè)值的十分接近，在[-2, 4]μm之間，說明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)是一種可靠的機(jī)床空間誤差預(yù)測(cè)方法。